2021-2022學(xué)年北京市東城區(qū)廣渠門中學(xué)九年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷【含解析】-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

A．3，﹣1，﹣2B．3，1，﹣2C．3，﹣1，2D．3，1，2
2．（2分）下列圖形中既是中心對(duì)稱圖形又是軸對(duì)稱圖形的是（）
A．B．C．D．
3．（2分）下列事件中，是必然事件的是（）
A．中秋節(jié)晚上能看到月亮
B．今天考試小明能得滿分
C．早上的太陽從東方升起
D．明天氣溫會(huì)升高
4．（2分）用配方法解一元二次方程x2+4x﹣5＝0，此方程可變形為（）
A．（x+2）2＝9B．（x﹣2）2＝9C．（x+2）2＝1D．（x﹣2）2＝1
5．（2分）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，若∠AOB＝100°，則∠ACB的度數(shù)是（）
A．40°B．50°C．60°D．80°
6．（2分）若一個(gè)扇形的半徑是18cm，且它的弧長是12π cm，則此扇形的圓心角等于（）
A．30°B．60°C．90°D．120°
7．（2分）如果點(diǎn)M（﹣2，y1），N（﹣1，y2）在拋物線y＝﹣x2+2x上，那么下列結(jié)論正確的是（）
A．y1＜y2B．y1＞y2C．y1≤y2D．y1≥y2
8．（2分）小宇承包了一片荒山，他想把這片荒山改造成一個(gè)蘋果園，現(xiàn)在有一種蘋果樹苗，它的成活率如下表所示：
下面有四個(gè)推斷：
①當(dāng)移植的樹數(shù)是1500時(shí)，表格記錄成活數(shù)是1335，所以這種樹苗成活的概率是0.890；
②隨著移植棵數(shù)的增加，樹苗成活的頻率總在0.900附近擺動(dòng)，顯示出一定的穩(wěn)定性，可以估計(jì)樹苗成活的概率是0.900；
③若小宇移植10000棵這種樹苗，則可能成活9000棵；
④若小宇移植20000棵這種樹苗，則一定成活18000棵．
其中合理的是（）
A．①③B．①④C．②③D．②④
二.填空題（共8小題，每小題2分，共16分）
9．（2分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)P（2，﹣3）關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是．
10．（2分）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，E是BC延長線上一點(diǎn)，若∠BAD＝105°，則∠DCE的度數(shù)是 °．
11．（2分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y＝ax2+bx+c與x軸交于（1，0），（3，0）兩點(diǎn)，請(qǐng)寫出一個(gè)滿足y＜0的x的值．
12．（2分）某公司8月份銷售額為200萬元，10月份銷售額為320萬元，求銷售額平均每月的增長率，設(shè)銷售額平均每月的增長率為x，則可列方程為．
13．（2分）如圖，PA，PB是⊙O的切線，A，B為切點(diǎn)，AC是⊙O的直徑，∠BAC＝15°，則∠P的度數(shù)為．
14．（2分）一個(gè)袋子中裝有6個(gè)黑球和3個(gè)白球，這些球除顏色外，形狀、大小、質(zhì)地等完全相同，在看不到球的條件下，隨機(jī)地從這個(gè)袋子中摸出一個(gè)球，摸到白球的概率為．
15．（2分）在Rt△ABD中，∠B＝90°，點(diǎn)C在線段AD上，過點(diǎn)C作CE⊥AB于點(diǎn)E，CF⊥BD于點(diǎn)F，使得四邊形CEBF為正方形，此時(shí)AC＝3cm，CD＝4cm，則陰影部分面積為 cm2．
16．（2分）如圖，在⊙O中，半徑OC＝6，D是半徑OC上一點(diǎn)，且OD＝4．A，B是⊙O上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，∠ADB＝90°，F(xiàn)是AB的中點(diǎn)，則OF的長的最大值等于．
三、解答題（本題共68分，第17-22題，每小題5分，第23-26題，每小題5分，第27-28題，每小題5分）
17．（5分）解方程：x2+4x＝6．
18．（5分）如圖，將△ABC繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)得到△DBE，且A，D，C三點(diǎn)在同一條直線上．求證：DB平分∠ADE．
19．（5分）下面是小元設(shè)計(jì)的“過圓上一點(diǎn)作圓的切線”的尺規(guī)作圖過程．
已知：如圖1，⊙O及⊙O上一點(diǎn)P．
求作：過點(diǎn)P的⊙O的切線．
作法：如圖2，
①作射線OP；
②在直線OP外任取一點(diǎn)A，以點(diǎn)A為圓心，AP為半徑作⊙A，與射線OP交于另一點(diǎn)B；
③連接并延長BA與⊙A交于點(diǎn)C；
④作直線PC；
則直線PC即為所求．
根據(jù)小元設(shè)計(jì)的尺規(guī)作圖過程，
（1）使用直尺和圓規(guī)，補(bǔ)全圖形；（保留作圖痕跡）
（2）完成下面的證明：
證明：∵BC是⊙A的直徑，
∴∠BPC＝90°（）（填推理的依據(jù)）．
∴OP⊥PC．
又∵OP是⊙O的半徑，
∴PC是⊙O的切線（）（填推理的依據(jù)）．
20．（5分）如圖，在⊙O中，＝，求證：∠B＝∠C．
21．（5分）關(guān)于x的方程x2+（2k+1）x+k2﹣1＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．
（1）求實(shí)數(shù)k的取值范圍；
（2）若k為負(fù)整數(shù)，求此時(shí)方程的根．
22．（5分）表是二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的部分x，y的對(duì)應(yīng)值：
（1）二次函數(shù)圖象的開口向，頂點(diǎn)坐標(biāo)是，m的值為；
（2）當(dāng)x＞0時(shí)，y的取值范圍是；
（3）當(dāng)拋物線y＝ax2+bx+c的頂點(diǎn)在直線y＝x+n的下方時(shí)，n的取值范圍是．
23．（6分）一些不便于直接測量的圓形孔道的直徑可以用如下方法測量．如圖，把一個(gè)直徑為10mm的小鋼球緊貼在孔道邊緣，測得鋼球頂端離孔道外端的距離為8mm，求這個(gè)孔道的直徑AB．
24．（6分）在一個(gè)口袋中有四個(gè)大小、質(zhì)地相同的小球，上面分別標(biāo)有數(shù)字1、2、3、4，現(xiàn)從中隨機(jī)抽取一個(gè)（不放回），再從剩下的3個(gè)中隨機(jī)抽取第二個(gè)小球．
（1）用畫樹狀圖或列表的方法，列出前后兩次取出小球上所標(biāo)數(shù)字的所有可能情況；
（2）計(jì)算取出的兩個(gè)小球上的數(shù)字之積為奇數(shù)的概率是多少？
25．（6分）如圖，已知△ABC是等邊三角形，以AB為直徑作⊙O，交BC邊于點(diǎn)D，交AC邊于點(diǎn)F，作DE⊥AC于點(diǎn)E．
（1）求證：DE是⊙O的切線；
（2）若△ABC的邊長為4，求EF的長度．
26．（6分）已知二次函數(shù)y＝x2﹣ax+b在x＝0和x＝4時(shí)的函數(shù)值相等．
（1）求二次函數(shù)y＝x2﹣ax+b的對(duì)稱軸；
（2）過P（0，1）作x軸的平行線與二次函數(shù)y＝x2﹣ax+b的圖象交于不同的兩點(diǎn)M、N．
①當(dāng)MN＝2時(shí)，求b的值；
②當(dāng)PM+PN＝4時(shí)，請(qǐng)結(jié)合函數(shù)圖象，直接寫出b的取值范圍．
27．（7分）在△ABC中，∠C＝60°，AC＝BC，點(diǎn)D在線段BC上（不與點(diǎn)B、C重合），連接AD，將AD繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到DE，連接BE．
（1）①依題意補(bǔ)全圖1；
②探究線段AB、BD、BE之間的數(shù)量關(guān)系，并寫出證明過程．
（2）若AB＝6，AD＝2，求BE的長（直接寫出答案）
28．（7分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中的點(diǎn)P和圖形M，給出如下的定義：若在圖形M上存在一點(diǎn)Q，使得P、Q兩點(diǎn)間的距離小于或等于1，則稱P為圖形M的關(guān)聯(lián)點(diǎn)．
（1）當(dāng)⊙O的半徑為2時(shí)，
①在點(diǎn)P1（，0），P2（，），P3（，0）中，⊙O的關(guān)聯(lián)點(diǎn)是．
②點(diǎn)P在直線y＝﹣x上，若P為⊙O的關(guān)聯(lián)點(diǎn)，求點(diǎn)P的橫坐標(biāo)的取值范圍．
（2）⊙C的圓心在x軸上，半徑為2，直線y＝﹣x+1與x軸、y軸交于點(diǎn)A、B．若線段AB上的所有點(diǎn)都是⊙C的關(guān)聯(lián)點(diǎn)，直接寫出圓心C的橫坐標(biāo)的取值范圍．
2021-2022學(xué)年北京市東城區(qū)廣渠門中學(xué)九年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
一.選擇題（共8小題，每小題2分，共16分）
1．（2分）一元二次方程3x2﹣x﹣2＝0的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)分別是（）
A．3，﹣1，﹣2B．3，1，﹣2C．3，﹣1，2D．3，1，2
【分析】找出方程的二次項(xiàng)系數(shù)，一次項(xiàng)系數(shù)，以及常數(shù)項(xiàng)即可．
【解答】解：方程3x2﹣x﹣2＝0的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)分別是3，﹣1，﹣2，
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了一元二次方程的一般形式，其一般形式為ax2+bx+c＝0（a≠0）．
2．（2分）下列圖形中既是中心對(duì)稱圖形又是軸對(duì)稱圖形的是（）
A．B．C．D．
【分析】據(jù)中心對(duì)稱圖形的定義旋轉(zhuǎn)180°后能夠與原圖形完全重合即是中心對(duì)稱圖形，以及軸對(duì)稱圖形的定義即可判斷出．
【解答】解：A、∵此圖形旋轉(zhuǎn)180°后不能與原圖形重合，∴此圖形不是中心對(duì)稱圖形，是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；
B、此圖形旋轉(zhuǎn)180°后能與原圖形重合，此圖形是中心對(duì)稱圖形，也是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)正確；
C、∵此圖形旋轉(zhuǎn)180°后不能與原圖形重合，∴此圖形不是中心對(duì)稱圖形，是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；
D、∵此圖形旋轉(zhuǎn)180°后能與原圖形重合，∴此圖形是中心對(duì)稱圖形，不是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤．
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了中心對(duì)稱圖形與軸對(duì)稱的定義，根據(jù)定義得出圖形形狀是解決問題的關(guān)鍵．
3．（2分）下列事件中，是必然事件的是（）
A．中秋節(jié)晚上能看到月亮
B．今天考試小明能得滿分
C．早上的太陽從東方升起
D．明天氣溫會(huì)升高
【分析】必然事件就是一定發(fā)生的事件，即發(fā)生的概率是1的事件．
【解答】解：A、B、D都是隨機(jī)事件，故該選項(xiàng)錯(cuò)誤；
C、是一定會(huì)發(fā)生的事件，是必然事件．
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】關(guān)鍵是理解必然事件就是一定發(fā)生的事件．
解決此類問題，要學(xué)會(huì)關(guān)注身邊的事物，并用數(shù)學(xué)的思想和方法去分析、看待、解決問題，提高自身的數(shù)學(xué)素養(yǎng)．
4．（2分）用配方法解一元二次方程x2+4x﹣5＝0，此方程可變形為（）
A．（x+2）2＝9B．（x﹣2）2＝9C．（x+2）2＝1D．（x﹣2）2＝1
【分析】移項(xiàng)后配方，再根據(jù)完全平方公式求出即可．
【解答】解：x2+4x﹣5＝0，
x2+4x＝5，
x2+4x+22＝5+22，
（x+2）2＝9，
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解一元二次方程的應(yīng)用，關(guān)鍵是能正確配方．
5．（2分）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，若∠AOB＝100°，則∠ACB的度數(shù)是（）
A．40°B．50°C．60°D．80°
【分析】直接根據(jù)圓周角定理進(jìn)行解答即可．
【解答】解：∵∠AOB與∠ACB是同弧所對(duì)的圓心角與圓周角，∠AOB＝100°，
∴∠ACB＝∠AOB＝50°．
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半．
6．（2分）若一個(gè)扇形的半徑是18cm，且它的弧長是12π cm，則此扇形的圓心角等于（）
A．30°B．60°C．90°D．120°
【分析】把弧長公式進(jìn)行變形，代入已知數(shù)據(jù)計(jì)算即可．
【解答】解：根據(jù)弧長的公式l＝，得
n＝＝＝120°，
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是弧長的計(jì)算，掌握弧長的公式l＝是解題的關(guān)鍵．
7．（2分）如果點(diǎn)M（﹣2，y1），N（﹣1，y2）在拋物線y＝﹣x2+2x上，那么下列結(jié)論正確的是（）
A．y1＜y2B．y1＞y2C．y1≤y2D．y1≥y2
【分析】首先求得拋物線y＝﹣x2+2x的對(duì)稱軸是直線x＝1，利用二次函數(shù)的性質(zhì)，點(diǎn)M、N在對(duì)稱軸的左側(cè)，y隨著x的增大而增大，得出答案即可．
【解答】解：拋物線y＝﹣x2+2x的對(duì)稱軸是直線x＝﹣＝1，
∵a＝﹣1＜0，拋物線開口向下，﹣2＜﹣1＜1，
∴y1＜y2．
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，二次函數(shù)的性質(zhì)，求得對(duì)稱軸，掌握二次函數(shù)圖象的性質(zhì)解決問題．
8．（2分）小宇承包了一片荒山，他想把這片荒山改造成一個(gè)蘋果園，現(xiàn)在有一種蘋果樹苗，它的成活率如下表所示：
下面有四個(gè)推斷：
①當(dāng)移植的樹數(shù)是1500時(shí)，表格記錄成活數(shù)是1335，所以這種樹苗成活的概率是0.890；
②隨著移植棵數(shù)的增加，樹苗成活的頻率總在0.900附近擺動(dòng)，顯示出一定的穩(wěn)定性，可以估計(jì)樹苗成活的概率是0.900；
③若小宇移植10000棵這種樹苗，則可能成活9000棵；
④若小宇移植20000棵這種樹苗，則一定成活18000棵．
其中合理的是（）
A．①③B．①④C．②③D．②④
【分析】隨著移植棵數(shù)的增加，樹苗成活的頻率總在0.900附近擺動(dòng)，顯示出一定的穩(wěn)定性，可以估計(jì)樹苗成活的概率是0.900，據(jù)此進(jìn)行判斷即可．
【解答】解：①當(dāng)移植的樹數(shù)是1500時(shí)，表格記錄成活數(shù)是1335，這種樹苗成活的概率不一定是0.890，故錯(cuò)誤；
②隨著移植棵數(shù)的增加，樹苗成活的頻率總在0.900附近擺動(dòng)，顯示出一定的穩(wěn)定性，可以估計(jì)樹苗成活的概率是0.900，故正確；
③若小宇移植10000棵這種樹苗，則可能成活9000棵，故正確；
④若小宇移植20000棵這種樹苗，則不一定成活18000棵，故錯(cuò)誤．
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查利用頻率估計(jì)概率，解答本題的關(guān)鍵是明確概率的定義，大量重復(fù)實(shí)驗(yàn)時(shí)，事件發(fā)生的頻率在某個(gè)固定位置左右擺動(dòng)，并且擺動(dòng)的幅度越來越小，根據(jù)這個(gè)頻率穩(wěn)定性定理，可以用頻率的集中趨勢來估計(jì)概率，這個(gè)固定的近似值就是這個(gè)事件的概率．
二.填空題（共8小題，每小題2分，共16分）
9．（2分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)P（2，﹣3）關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是（﹣2，3）．
【分析】直接利用關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱點(diǎn)的性質(zhì)得出答案．
【解答】解：點(diǎn)P（2，﹣3）關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是：（﹣2，3）．
故答案為：（﹣2，3）．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱點(diǎn)的性質(zhì)，正確把握對(duì)應(yīng)點(diǎn)橫縱坐標(biāo)的關(guān)系是解題關(guān)鍵．
10．（2分）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，E是BC延長線上一點(diǎn)，若∠BAD＝105°，則∠DCE的度數(shù)是 105 °．
【分析】由圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，可得∠BAD+∠BCD＝180°，又由鄰補(bǔ)角的定義可得：∠BCD+∠DCE＝180°，可得∠DCE＝∠BAD．
【解答】解：∵∠BAD＝105°，
∴∠BCD＝180°﹣∠BAD＝75°，
∴∠DCE＝180°﹣∠BCD＝105°．
故答案為：105．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)．此題比較簡單，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．
11．（2分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y＝ax2+bx+c與x軸交于（1，0），（3，0）兩點(diǎn)，請(qǐng)寫出一個(gè)滿足y＜0的x的值 2（答案不唯一）．
【分析】根據(jù)函數(shù)圖象可以直接得到答案．
【解答】解：∵在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y＝ax2+bx+c與x軸交于（1，0），（3，0）兩點(diǎn)，
∴當(dāng)y＜0的x的取值范圍是：1＜x＜3，
∴x的值可以是2．
故答案為：2（答案不唯一）．
【點(diǎn)評(píng)】考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，需要學(xué)生熟悉二次函數(shù)圖象的性質(zhì)并要求學(xué)生具備一定的讀圖能力．
12．（2分）某公司8月份銷售額為200萬元，10月份銷售額為320萬元，求銷售額平均每月的增長率，設(shè)銷售額平均每月的增長率為x，則可列方程為 200（1+x）2＝320 ．
【分析】設(shè)該商店銷售額平均每月的增長率為x，根據(jù)該商店今年8月份及10月份的銷售額，即可得出關(guān)于x的一元二次方程．
【解答】解：設(shè)該商店銷售額平均每月的增長率為x，
依題意，得：200（1+x）2＝320，
故答案為：200（1+x）2＝320．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．
13．（2分）如圖，PA，PB是⊙O的切線，A，B為切點(diǎn)，AC是⊙O的直徑，∠BAC＝15°，則∠P的度數(shù)為 30° ．
【分析】先利用切線的性質(zhì)得到∠CAP＝90°，則利用互余計(jì)算出∠PAB＝75°，再根據(jù)切線長定理得到PA＝PB，然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和計(jì)算∠P的度數(shù)．
【解答】解：∵PA為切線，
∴OA⊥PA，
∴∠CAP＝90°，
∴∠PAB＝90°﹣∠BAC＝90°﹣15°＝75°，
∵PA，PB是⊙O的切線，
∴PA＝PB，
∴∠PBA＝∠PAB＝75°，
∴∠P＝180°﹣75°﹣75°＝30°．
故答案為30°．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑．
14．（2分）一個(gè)袋子中裝有6個(gè)黑球和3個(gè)白球，這些球除顏色外，形狀、大小、質(zhì)地等完全相同，在看不到球的條件下，隨機(jī)地從這個(gè)袋子中摸出一個(gè)球，摸到白球的概率為．
【分析】讓白球的個(gè)數(shù)除以球的總數(shù)即為所求的概率．
【解答】解：因?yàn)閭€(gè)袋子中裝有6個(gè)黑球3個(gè)白球，共9個(gè)球，
所以隨機(jī)地從這個(gè)袋子中摸出一個(gè)球，摸到白球的概率為．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查概率的求法：如果一個(gè)事件有n種可能，而且這些事件的可能性相同，其中事件A出現(xiàn)m種可能，那么事件A的概率P（A）＝．
15．（2分）在Rt△ABD中，∠B＝90°，點(diǎn)C在線段AD上，過點(diǎn)C作CE⊥AB于點(diǎn)E，CF⊥BD于點(diǎn)F，使得四邊形CEBF為正方形，此時(shí)AC＝3cm，CD＝4cm，則陰影部分面積為 6 cm2．
【分析】將△CFD繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△CEM，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出CD＝CM，∠FCD＝∠ECM，由正方形的性質(zhì)得出CE＝CF，∠ECF＝90°，證出∠ACM＝90°，由三角形面積公式可得出答案．
【解答】解：將△CFD繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△CEM，
∴CD＝CM，∠FCD＝∠ECM，
∵四邊形CEBF為正方形，
∴CE＝CF，∠ECF＝90°，
∴∠ACE+∠FCD＝90°，
∴∠ACE+∠ECM＝90°，
∴∠ACM＝90°，
∴陰影部分面積＝S△ACE+S△ECM
＝S△ACM
＝AC?CM
＝×3×4
＝6（cm2）．
故答案為：6．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，正方形的判定與性質(zhì)，證出∠ACM＝90°是解題的關(guān)鍵．
16．（2分）如圖，在⊙O中，半徑OC＝6，D是半徑OC上一點(diǎn)，且OD＝4．A，B是⊙O上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，∠ADB＝90°，F(xiàn)是AB的中點(diǎn)，則OF的長的最大值等于 2+ ．
【分析】根據(jù)三角形三邊關(guān)系OF≤OD+DF，則點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)至OC上時(shí)，OF長度最大，因?yàn)榇藭r(shí)F是AB的中點(diǎn)，則OF⊥AB，此時(shí)A、B關(guān)于OC對(duì)稱，解直角三角形即可求得OF的長度．
【解答】解：∵當(dāng)點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)至OC上時(shí)，OF長度最大，如圖，
∵F是AB的中點(diǎn)，
∴OC⊥AB，
設(shè)OF為x，則DF＝x﹣4，
∵△ABD是等腰直角三角形，
∴DF＝AB＝BF＝x﹣4，
在Rt△BOF中，OB2＝OF2+BF2，
∵OB＝OC＝6，
∴36＝x2+（x﹣4）2，解得x＝2+或2﹣（舍去）
∴OF的長的最大值等于2+，
故答案為2+．
方法二：
解：過點(diǎn)A作AE⊥BC于點(diǎn)E，如圖1，在Rt△ABE中，AB2＝AE2+BE2，
同理可得：AC2＝AE2+CE2，AD2＝AE2+DE2，為證明的方便，不妨設(shè)BD＝CD＝x，DE＝y(tǒng)，
∴AB2+AC2＝2AE2+（x+y）2+（x﹣y）2＝2AE2+2x2+2y2、
＝2AE2+2BD2+2DE2＝2AD2+2BD2．
如圖2，連接DF，取OD的中點(diǎn)E，連接EF，
∵DF是△ABD的中線，EF是△OFD的中線，OF是△AOB的中線，
∵2EF2+2OE2＝OF2+FD2，
2FD2+2BF2＝BD2+AD2，
OF2＝OB2﹣BF2，
∴4EF2＝2OB2﹣4OE2＝2OB2﹣OD2，
∴EF2＝OB2﹣OD2＝﹣×42＝14，
∴EF＝
在△OFE中，OE＝2，EF＝，
∵OF≤OE+EF，
∴OF長的最大值為2+．
故答案為：2+．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了垂徑定理，直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用等，確定點(diǎn)F與點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)至共線時(shí)，OF長度最大是解題的關(guān)鍵．
三、解答題（本題共68分，第17-22題，每小題5分，第23-26題，每小題5分，第27-28題，每小題5分）
17．（5分）解方程：x2+4x＝6．
【分析】配方法求解即可．
【解答】解：x2+4x+4＝10，
（x+2）2＝10，
x+2＝±，
x＝﹣2±，
即x1＝﹣2+，x2＝﹣2﹣．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查配方法解一元二次方程的能力，熟練掌握配方法是解題的關(guān)鍵．
18．（5分）如圖，將△ABC繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)得到△DBE，且A，D，C三點(diǎn)在同一條直線上．求證：DB平分∠ADE．
【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到△ABC≌△DBE，進(jìn)一步得到BA＝BD，從而得到∠A＝∠ADB，根據(jù)∠A＝∠BDE得到∠ADB＝∠BDE，從而證得結(jié)論．
【解答】證明：∵將△ABC繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)得到△DBE，
∴△ABC≌△DBE
∴BA＝BD．
∴∠A＝∠ADB．
∵∠A＝∠BDE，
∴∠ADB＝∠BDE．
∴DB平分∠ADE．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：①對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；②對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；③旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．也考查了鄰補(bǔ)角定義．
19．（5分）下面是小元設(shè)計(jì)的“過圓上一點(diǎn)作圓的切線”的尺規(guī)作圖過程．
已知：如圖1，⊙O及⊙O上一點(diǎn)P．
求作：過點(diǎn)P的⊙O的切線．
作法：如圖2，
①作射線OP；
②在直線OP外任取一點(diǎn)A，以點(diǎn)A為圓心，AP為半徑作⊙A，與射線OP交于另一點(diǎn)B；
③連接并延長BA與⊙A交于點(diǎn)C；
④作直線PC；
則直線PC即為所求．
根據(jù)小元設(shè)計(jì)的尺規(guī)作圖過程，
（1）使用直尺和圓規(guī)，補(bǔ)全圖形；（保留作圖痕跡）
（2）完成下面的證明：
證明：∵BC是⊙A的直徑，
∴∠BPC＝90°（直徑所對(duì)的圓周角是直角）（填推理的依據(jù)）．
∴OP⊥PC．
又∵OP是⊙O的半徑，
∴PC是⊙O的切線（經(jīng)過半徑的外端，且垂直于這條半徑的直線是圓的切線）（填推理的依據(jù)）．
【分析】（1）根據(jù)題意作出圖形即可；
（2）根據(jù)圓周角定理得到∠BPC＝90°，根據(jù)切線的判定定理即可得到結(jié)論．
【解答】解：（1）補(bǔ)全圖形如圖所示，則直線PC即為所求；
（2）證明：∵BC是⊙A的直徑，
∴∠BPC＝90°（直徑所對(duì)的圓周角是直角），
∴OP⊥PC．
又∵OP是⊙O的半徑，
∴PC是⊙O的切線（經(jīng)過半徑的外端，且垂直于這條半徑的直線是圓的切線）．
故答案為：直徑所對(duì)的圓周角是直角，經(jīng)過半徑的外端，且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了切線的判定，圓周角定理，正確的作出圖形是解題的關(guān)鍵．
20．（5分）如圖，在⊙O中，＝，求證：∠B＝∠C．
【分析】由于＝，所以AB＝CD，故∠AOB＝∠COD，進(jìn)而證明即可．
【解答】證明：∵在⊙O中，＝，
∴AB＝CD，
∴∠AOB＝∠COD，
∵OA＝OB，OC＝OD，
∴在△AOB中，∠B＝90°﹣，
在△COD中，∠C＝90°﹣，
∴∠B＝∠C．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查圓心角、弧、弦的關(guān)系，關(guān)鍵是根據(jù)＝，得出∠AOB＝∠COD．
21．（5分）關(guān)于x的方程x2+（2k+1）x+k2﹣1＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．
（1）求實(shí)數(shù)k的取值范圍；
（2）若k為負(fù)整數(shù)，求此時(shí)方程的根．
【分析】（1）由方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根知Δ＞0，據(jù)此列出關(guān)于k的不等式，解之可得；
（2）由所得k的范圍，結(jié)合k為負(fù)整數(shù)得出k的值，代入方程，再利用因式分解法求解可得．
【解答】解：（1）由題意知，Δ＞0，
則（2k+1）2﹣4×1×（k2﹣1）＞0，
解得：k＞﹣；
（2）∵k為負(fù)整數(shù)，
∴k＝﹣1，
則方程為x2﹣x＝0，
解得：x1＝1，x2＝0．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了根的判別式以及因式分解法解一元二次方程，解題的關(guān)鍵是：（1）根據(jù)方程的系數(shù)結(jié)合根的判別式，找出Δ＝4k+5＞0；（2）將k＝﹣1代入原方程，利用因式分解法解方程．
22．（5分）表是二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的部分x，y的對(duì)應(yīng)值：
（1）二次函數(shù)圖象的開口向上，頂點(diǎn)坐標(biāo)是（1，﹣2），m的值為 2 ；
（2）當(dāng)x＞0時(shí)，y的取值范圍是 y≥﹣2 ；
（3）當(dāng)拋物線y＝ax2+bx+c的頂點(diǎn)在直線y＝x+n的下方時(shí)，n的取值范圍是 n＞﹣3 ．
【分析】（1）由表中所給x、y的對(duì)應(yīng)值，可求得二次函數(shù)解析式，可求得拋物線的開口方向及頂點(diǎn)坐標(biāo)，令x＝﹣1代入可求得m的值；
（2）由二次函數(shù)的解析式可求得其增減性，當(dāng)x＞0時(shí)，可知其有最小值，無最大值，可求得y的取值范圍；
（3）在y＝x+n中，令x＝1代入，結(jié)合條件可得到關(guān)于n的不等式，可求得n的取值范圍．
【解答】解：
（1）把點(diǎn)（0，﹣1），（1，﹣2）和（2，﹣1）代入二次函數(shù)解析式可得
，解得，
∴二次函數(shù)解析式為y＝x2﹣2x﹣1＝（x﹣1）2﹣2，
∴二次函數(shù)圖象開口向上，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，﹣2），
令x＝﹣1，代入可得m＝2，
故答案為：上；（1，﹣2）；2；
（2）∵y＝（x﹣1）2﹣2，
∴當(dāng)x＝1時(shí)，y有最小值﹣2，
∴當(dāng)x＞0時(shí)，y≥﹣2，
故答案為：y≥﹣2；
（3）在y＝x+n中，令x＝1代入可得y＝1+n，
∵拋物線y＝ax2+bx+c的頂點(diǎn)在直線y＝x+n的下方時(shí)，
∴1+n＞﹣2，解得n＞﹣3，
故答案為：n＞﹣3．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)，利用待定系數(shù)法求得二次函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．
23．（6分）一些不便于直接測量的圓形孔道的直徑可以用如下方法測量．如圖，把一個(gè)直徑為10mm的小鋼球緊貼在孔道邊緣，測得鋼球頂端離孔道外端的距離為8mm，求這個(gè)孔道的直徑AB．
【分析】先求出鋼球的半徑及OD的長，連接OA，過點(diǎn)O作OD⊥AB于點(diǎn)D，則AB＝2AD，在Rt△AOD中利用勾股定理即可求出AD的長，進(jìn)而得出AB的長．
【解答】解：連接OA，過點(diǎn)O作OD⊥AB于點(diǎn)D，
則AB＝2AD，
∵鋼球的直徑是10mm，
∴鋼球的半徑是5mm，
∵鋼球頂端離零件表面的距離為8mm，
∴OD＝3mm，
在Rt△AOD中，
∵AD＝＝＝4mm，
∴AB＝2AD＝2×4＝8mm．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是垂徑定理的應(yīng)用及勾股定理，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形是解答此題的關(guān)鍵．
24．（6分）在一個(gè)口袋中有四個(gè)大小、質(zhì)地相同的小球，上面分別標(biāo)有數(shù)字1、2、3、4，現(xiàn)從中隨機(jī)抽取一個(gè)（不放回），再從剩下的3個(gè)中隨機(jī)抽取第二個(gè)小球．
（1）用畫樹狀圖或列表的方法，列出前后兩次取出小球上所標(biāo)數(shù)字的所有可能情況；
（2）計(jì)算取出的兩個(gè)小球上的數(shù)字之積為奇數(shù)的概率是多少？
【分析】（1）畫樹狀圖，即可得出結(jié)論；
（2）畫樹狀圖，共有12種等可能的結(jié)果，其中取出的兩個(gè)小球上的數(shù)字之積為奇數(shù)的結(jié)果有2種，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）畫樹形圖如下：
由以上可知共有12種可能結(jié)果分別為：（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，3），（2，4），
（3，1），（3，2），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3）；
（2）畫樹狀圖如下：
共有12種等可能的結(jié)果，其中取出的兩個(gè)小球上的數(shù)字之積為奇數(shù)的結(jié)果有2種，
∴取出的兩個(gè)小球上的數(shù)字之積為奇數(shù)的概率為＝．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了樹狀圖法求概率，樹狀圖法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，適合于兩步或兩步以上完成的事件．用到的知識(shí)點(diǎn)為：概率＝所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．
25．（6分）如圖，已知△ABC是等邊三角形，以AB為直徑作⊙O，交BC邊于點(diǎn)D，交AC邊于點(diǎn)F，作DE⊥AC于點(diǎn)E．
（1）求證：DE是⊙O的切線；
（2）若△ABC的邊長為4，求EF的長度．
【分析】（1）連接OD，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求出∠ODE＝90°，根據(jù)切線的判定定理證明即可；
（2）連接AD，BF，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求出DC、CF，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出EC，結(jié)合圖形計(jì)算即可．
【解答】（1）證明：如圖1，連接OD，
∵△ABC是等邊三角形，
∴∠B＝∠C＝60°．
∵OB＝OD，
∴∠ODB＝∠B＝60°．
∵DE⊥AC，
∴∠DEC＝90°．
∴∠EDC＝30°．
∴∠ODE＝90°．
∴DE⊥OD于點(diǎn)D．
∵點(diǎn)D在⊙O上，
∴DE是⊙O的切線；
（2）解：如圖2，連接AD，BF，
∵AB為⊙O直徑，
∴∠AFB＝∠ADB＝90°．
∴AF⊥BF，AD⊥BD．
∵△ABC是等邊三角形，
∴，．
∵∠EDC＝30°，
∴．
∴FE＝FC﹣EC＝1．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是切線的判定、等邊三角形的性質(zhì)以及直角三角形的性質(zhì)，掌握經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線是解題的關(guān)鍵．
26．（6分）已知二次函數(shù)y＝x2﹣ax+b在x＝0和x＝4時(shí)的函數(shù)值相等．
（1）求二次函數(shù)y＝x2﹣ax+b的對(duì)稱軸；
（2）過P（0，1）作x軸的平行線與二次函數(shù)y＝x2﹣ax+b的圖象交于不同的兩點(diǎn)M、N．
①當(dāng)MN＝2時(shí)，求b的值；
②當(dāng)PM+PN＝4時(shí)，請(qǐng)結(jié)合函數(shù)圖象，直接寫出b的取值范圍．
【分析】（1）利用x＝0和x＝4時(shí)的函數(shù)值相等可得二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸x＝＝2；
（2）①不妨設(shè)點(diǎn)M在點(diǎn)N的左側(cè)．由MN＝2，根據(jù)對(duì)稱性可知點(diǎn)M（1，1），點(diǎn)N（3，1）；
②由圖象直接可得．
【解答】解：（1）∵二次函數(shù)y＝x2﹣ax+b在x＝0和x＝4時(shí)的函數(shù)值相等．
∴對(duì)稱軸為直線x＝＝2；
（2）①不妨設(shè)點(diǎn)M在點(diǎn)N的左側(cè)．
∵對(duì)稱軸為直線x＝2，MN＝2，
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1，1），點(diǎn)N的坐標(biāo)為（3，1），
∴x＝﹣＝2，1＝1﹣a+b，
∴a＝4，b＝4；
②∵a＝4，
∴y＝x2﹣4x+b，
過P（0，1）作x軸的平行線與二次函數(shù)y＝x2﹣4x+b的圖象交于不同的兩點(diǎn)M、N．
∴1＝x2﹣4x+b有兩個(gè)不同的根，
∴Δ＝16﹣4b+4＞0，
∴b＜5，
∵x1+x2＝4，
∴1≤b＜5．
【點(diǎn)評(píng)】考查知識(shí)點(diǎn)：二次函數(shù)圖象的對(duì)稱性．對(duì)稱軸兩側(cè)的點(diǎn)到對(duì)稱軸的距離相等是解題的關(guān)鍵點(diǎn)．
27．（7分）在△ABC中，∠C＝60°，AC＝BC，點(diǎn)D在線段BC上（不與點(diǎn)B、C重合），連接AD，將AD繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到DE，連接BE．
（1）①依題意補(bǔ)全圖1；
②探究線段AB、BD、BE之間的數(shù)量關(guān)系，并寫出證明過程．
（2）若AB＝6，AD＝2，求BE的長（直接寫出答案）
【分析】（1）①根據(jù)旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)畫出圖形即可；
②只要證明△CAD≌△BAE．推出BE＝CD，可得AB＝BC＝CD+BD＝BE+DB；、
（2）如圖2中，作EH⊥CB交CB的延長線于H．設(shè)BE＝x．在Rt△EBH中，∠EBH＝60°，推出∠BEH＝30°，可得BH＝x，EH＝x，在Rt△DEH中，根據(jù)DE2＝DH2+EH2，構(gòu)建方程即可解決問題；
【解答】解：（1）①如圖1中，旋轉(zhuǎn)后的圖形如圖所示．
②結(jié)論：AB＝BE+DB．
理由：∵∠C＝60°，AC＝BC，AD＝DE，∠ADE＝60°，
∴△ACB，△ADE度數(shù)等邊三角形，
∴AC＝AB＝BC，AD＝AD，∠CAB＝∠DAE＝60°，
∴∠CAD＝∠BAE，
在△CAD和△BAE中，
，
∴△CAD≌△BAE．
∴BE＝CD，
∴AB＝BC＝CD+BD＝BE+DB．
（2）如圖2中，作EH⊥CB交CB的延長線于H．設(shè)BE＝x．
∵AC＝AB＝6，AB＝BD+BE，
∴DB＝6﹣x，
∵△CAD≌△BAE，
∴∠ABE＝∠C＝60°，
在Rt△EBH中，∠EBH＝60°，
∴∠BEH＝30°，
∴BH＝x，EH＝x，
在Rt△DEH中，∵DE2＝DH2+EH2，DE＝AD＝2，DH＝6﹣x，
∴28＝（6﹣x）2+（x）2，
解得x＝2或4，
∴BE的長為2或4．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角形綜合題、等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問題，學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問題，屬于中考常考題型．
28．（7分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中的點(diǎn)P和圖形M，給出如下的定義：若在圖形M上存在一點(diǎn)Q，使得P、Q兩點(diǎn)間的距離小于或等于1，則稱P為圖形M的關(guān)聯(lián)點(diǎn)．
（1）當(dāng)⊙O的半徑為2時(shí)，
①在點(diǎn)P1（，0），P2（，），P3（，0）中，⊙O的關(guān)聯(lián)點(diǎn)是 P2，P3 ．
②點(diǎn)P在直線y＝﹣x上，若P為⊙O的關(guān)聯(lián)點(diǎn)，求點(diǎn)P的橫坐標(biāo)的取值范圍．
（2）⊙C的圓心在x軸上，半徑為2，直線y＝﹣x+1與x軸、y軸交于點(diǎn)A、B．若線段AB上的所有點(diǎn)都是⊙C的關(guān)聯(lián)點(diǎn)，直接寫出圓心C的橫坐標(biāo)的取值范圍．
【分析】（1）①根據(jù)點(diǎn)P1（，0），P2（，），P3（，0），求得OP1＝，OP2＝1，OP3＝，于是得到結(jié)論；②根據(jù)定義分析，可得當(dāng)最小y＝﹣x上的點(diǎn)P到原點(diǎn)的距離在1到3之間時(shí)符合題意，設(shè)P（x，﹣x），根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式即可得到結(jié)論；
（2根據(jù)已知條件得到A（1，0），B（0，1），如圖1，當(dāng)圓過點(diǎn)A時(shí)，得到C（﹣2，0），如圖2，當(dāng)直線AB與小圓相切時(shí)，切點(diǎn)為D，得到C（1﹣，0），于是得到結(jié)論；如圖3，當(dāng)圓過點(diǎn)O，則AC＝1，得到C（2，0），如圖4，當(dāng)圓過點(diǎn)B，連接BC，根據(jù)勾股定理得到C（2，0），于是得到結(jié)論．
【解答】解：（1）①∵點(diǎn)，
∴，
∴P1與⊙O的最小距離為，P2與⊙O的最小距離為1，OP3與⊙O的最小距離為，
∴⊙O的關(guān)聯(lián)點(diǎn)是P2，P3；
故答案為：P2，P3；
②根據(jù)定義分析，可得當(dāng)直線y＝﹣x上的點(diǎn)P到原點(diǎn)的距離在1到3之間時(shí)符合題意，
∴設(shè)P（x，﹣x），當(dāng)OP＝1時(shí)，
由距離公式得，，
∴，
當(dāng)OP＝3時(shí)，，
解得：；
∴點(diǎn)P的橫坐標(biāo)的取值范圍為：，或；
（2）∵直線y＝﹣x+1與x軸、y軸交于點(diǎn)A、B，
∴A（1，0），B（0，1），如圖1，當(dāng)圓過點(diǎn)A時(shí)，此時(shí)，CA＝3，
∴C（﹣2，0），
如圖2，當(dāng)直線AB與小圓相切時(shí)，切點(diǎn)為D，
∴CD＝1，
∵直線AB的解析式為y＝﹣x+1，
∴直線AB與x軸的夾角為45°，
∴，
∴，
∴圓心C的橫坐標(biāo)的取值范圍為：﹣2≤xC≤1﹣；
如圖3，當(dāng)圓過點(diǎn)O，則AC＝1，
∴C（2，0），
如圖4，當(dāng)圓過點(diǎn)B，連接BC，此時(shí)，BC＝3，
∴，
∴．
∴圓心C的橫坐標(biāo)的取值范圍為：；
綜上所述：圓心C的橫坐標(biāo)的取值范圍為：或．
【點(diǎn)評(píng)】本題是圓的綜合題，考查了一次函數(shù)的性質(zhì)，勾股定理，直線與圓的位置關(guān)系，兩點(diǎn)間的距離公式，正確的作出圖形是解題的關(guān)鍵．
聲明：試題解析著作權(quán)屬菁優(yōu)網(wǎng)所有，未經(jīng)書面同意，不得復(fù)制發(fā)布日期：2024/7/21 21:50:00；用戶：菁優(yōu)校本題庫；郵箱：2471@xyh.cm；學(xué)號(hào)：56380052移植棵數(shù)（n）
成活數(shù)（m）
成活率（m/n）
50
47
0.940
270
235
0.870
400
369
0.923
750
662
0.883
1500
1335
0.890
3500
3203
0.915
7000
6335
0.905
14000
12628
0.902
x
…
﹣1
﹣
0
1
2
3
…
y
…
m
﹣1
﹣2
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2
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成活數(shù)（m）
成活率（m/n）
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0.870
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369
0.923
750
662
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1500
1335
0.890
3500
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0.915
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2
3
…
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m
﹣1
﹣2
﹣1
2
…

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