1．（2分）二次函數(shù)y＝（x﹣3）2+1的圖象的頂點坐標(biāo)是（ ）
A．（3，﹣1）B．（﹣3，1）C．（﹣3，﹣1）D．（3，1）
2．（2分）已知，則的值為（ ）
A．B．C．D．2
3．（2分）已知兩條直線被三條平行線所截，截得線段的長度如圖所示，則x的值為（ ）
A．3B．4C．5D．6
4．（2分）如果兩個相似三角形的面積之比為9：4，那么這兩個三角形的周長之比為（ ）
A．81：16B．27：12C．9：4D．3：2
5．（2分）如圖是測量河寬的示意圖，測得BD＝150m，DC＝75m，EC＝60m，則河寬AB的長為（ ）
A．60mB．80mC．100mD．120m
6．（2分）已知二次函數(shù)y＝x2﹣1圖象上三點：（﹣1，y1），（2，y2），（3，y3），比較y1，y2，y3的大小（ ）
A．y1＜y3＜y2B．y1＜y2＜y3C．y2＜y1＜y3D．y3＜y2＜y1
7．（2分）已知二次函數(shù)y＝（x﹣2）2﹣6，當(dāng)﹣1≤x≤4時，y的最小值為（ ）
A．3B．0C．﹣2D．﹣6
8．（2分）如圖，用繩子圍成周長為10m的矩形，記矩形的一邊長為xm，矩形的面積為Sm2．當(dāng)x在一定范圍內(nèi)變化時，S隨x的變化而變化，則S與x滿足的函數(shù)表達(dá)式為（ ）
A．S＝x（5﹣x）（0＜x＜5）B．S＝x（10﹣x）（0＜x＜5）
C．S＝x（x﹣5）（0＜x＜5）D．S＝x（x﹣10）（0＜x＜5）
二、填空題（本題共8道小題，每小題2分，共16分
9．（2分）二次函數(shù)y＝﹣2x2+4x+1圖象的開口方向是 ．
10．（2分）若2m＝3n，那么m：n＝ ．
11．（2分）如圖，為了測量某棵樹的高度，小明用長為2m的竹竿做測量工具，移動竹竿，使竹竿、樹的頂端的影子恰好落在地面的同一點．此時，竹竿與這一點距離相距6m，與樹相距15m，則樹的高度為 m．
12．（2分）如圖，在△ABC中，點P是AB邊上的一點，連接CP，要使△ACP∽△ABC，還需要補充的一個條件是 ．
13．（2分）如圖Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，E是AC上一點，AE＝5，ED⊥AB，垂足為D，則AD的長為 ．
14．（2分）如果二次函數(shù)y＝mx2﹣2mx﹣3m的圖象與y軸的交點為（0，3），那么m＝ ．
15．（2分）寫出拋物線y＝2（x﹣1）2上一對關(guān)于對稱軸對稱的點的坐標(biāo)，這對點的坐標(biāo)可以是 和 ．
16．（2分）如圖為二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象，此圖象與x軸的交點坐標(biāo)分別為（﹣1，0），（3，0）．有以下3種說法：①ac＜0；②a+b+c＞0；③當(dāng)x＞1時，y隨著x的增大而增大．這3種說法中，正確的有 ．
三、解答題（本題共11道小題，17-20題每題6分，21題4分，22-24題每題6分，25題8分，26-27題每題7分，共68分）
17．（6分）已知：如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，求證：△ACD∽△CBD．
18．（6分）已知一個二次函數(shù)圖象上部分點的橫坐標(biāo)x，縱坐標(biāo)y的對應(yīng)值如下表：
（1）該二次函數(shù)與y軸的交點坐標(biāo)是 ．
（2）在給定的坐標(biāo)系中畫出該二次函數(shù)的圖象．
19．（6分）如圖，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，求證：△ADE∽△EFC．
20．（6分）已知二次函數(shù)y＝x2﹣2x﹣3．
（1）將y＝x2﹣2x﹣3化成y＝a（x﹣h）2+k的形式；
（2）求該二次函數(shù)圖象的頂點坐標(biāo)．
21．（4分）如圖是邊長為1的正方形網(wǎng)格，△A1B1C1的頂點均為格點，在該網(wǎng)格中畫出△A2B2C2（△A2B2C2的頂點均在格點上），使△A2B2C2∽△A1B1C1．
22．（6分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，二次函數(shù)y＝x2+bx+c的圖象過點A（1，0）和B（0，﹣3）．
（1）求此二次函數(shù)的表達(dá)式；
（2）設(shè)此二次函數(shù)圖象的頂點為C，寫出一個過點C的二次函數(shù)的表達(dá)式．
23．（6分）如圖，在△ABC中，D，E分別是邊AB，AC上的點，連接DE，且∠ADE＝∠ACB．
（1）求證：△ADE∽△ACB；
（2）如果E是AC的中點，AD＝8，AB＝10，求AE的長．
24．（6分）在矩形ABCD中，AB＝10，BC＝12，點E為DC的中點，連接BE，過點A作AF⊥BE，垂足為點F．
（1）求證：△BEC∽△ABF；
（2）求AF的長．
25．（8分）已知二次函數(shù)y＝x2﹣4x+3．
（1）該函數(shù)與x軸的交點坐標(biāo) ；
（2）在坐標(biāo)系中，用描點法畫出該二次函數(shù)的圖象；
（3）根據(jù)圖象回答：
①當(dāng)自變量x的取值范圍滿足什么條件時，y＜0？
②當(dāng)0≤x＜3時，y的取值范圍是多少？
26．（7分）如圖，AD是△ABC的中線，點O是AD上任一點，連接BO并延長，交AC于點E．
（1）如圖1，當(dāng)時，求的值；
（2）如圖2，當(dāng)時，求的值．
27．（7分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y＝ax2+bx+3a過點A（﹣1，0）．
（1）求拋物線的對稱軸；
（2）直線y＝x+4與y軸交于點B，與該拋物線對稱軸交于點C．如果該拋物線與線段BC有交點，結(jié)合函數(shù)的圖象，求a的取值范圍．
2021-2022學(xué)年北京市房山區(qū)九年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題（本題共8道小題，每小題2分，共16分），下面各題均有四個選項，其中只有一個是符合題意的．
1．（2分）二次函數(shù)y＝（x﹣3）2+1的圖象的頂點坐標(biāo)是（ ）
A．（3，﹣1）B．（﹣3，1）C．（﹣3，﹣1）D．（3，1）
【分析】根據(jù)拋物線y＝a（x﹣h）2+k的頂點坐標(biāo)是（h，k）直接寫出即可．
【解答】解：拋物線y＝（x﹣3）2+1的頂點坐標(biāo)是（3，1）．
故選：D．
【點評】此題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，關(guān)鍵是熟記：拋物線y＝a（x﹣h）2+k的頂點坐標(biāo)是（h，k），對稱軸是直線x＝h．
2．（2分）已知，則的值為（ ）
A．B．C．D．2
【分析】先把化成+1，再把＝代入計算即可得出答案．
【解答】解：∵＝，
∴＝+1＝+1＝．
故選：C．
【點評】此題考查了比例的性質(zhì)，熟練掌握比例的基本性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
3．（2分）已知兩條直線被三條平行線所截，截得線段的長度如圖所示，則x的值為（ ）
A．3B．4C．5D．6
【分析】由平行線分線段成比例定理得出比例式，即可得出結(jié)果．
【解答】解：∵兩條直線被三條平行線所截，
∴，
解得：x＝4，
故選：B．
【點評】本題考查了平行線分線段成比例定理；由平行線分線段成比例定理得出比例式是解決問題的關(guān)鍵．
4．（2分）如果兩個相似三角形的面積之比為9：4，那么這兩個三角形的周長之比為（ ）
A．81：16B．27：12C．9：4D．3：2
【分析】直接根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論．
【解答】解：∵兩個相似三角形的面積之比為9：4，
∴相似比是3：2，
∵相似三角形的周長比等于相似比，
∴這兩個三角形的周長之比為：3：2，
故選：D．
【點評】本題考查的是相似三角形的性質(zhì)，熟知相似三角形的面積的比等于相似比的平方是解答此題的關(guān)鍵．
5．（2分）如圖是測量河寬的示意圖，測得BD＝150m，DC＝75m，EC＝60m，則河寬AB的長為（ ）
A．60mB．80mC．100mD．120m
【分析】先證明△ABD∽△ECD，然后利用相似比計算AB的長即可．
【解答】解：∵AB⊥BC，CE⊥BC，
∴AB∥CE，
∴△ABD∽△ECD，
∴＝，即＝，
∴AB＝120（m）．
∴河寬AB為120m．
故選：D．
【點評】本題考查了相似三角形的應(yīng)用，正確得出相似三角形是解題關(guān)鍵．
6．（2分）已知二次函數(shù)y＝x2﹣1圖象上三點：（﹣1，y1），（2，y2），（3，y3），比較y1，y2，y3的大?。? ）
A．y1＜y3＜y2B．y1＜y2＜y3C．y2＜y1＜y3D．y3＜y2＜y1
【分析】將三個點的橫坐標(biāo)分別代入解析式，求出相應(yīng)的函數(shù)值，再進(jìn)行比較即可．
【解答】解：將點（﹣1，y1），（2，y2），（3，y3）分別代入y＝x2﹣1得，
y1＝1﹣1＝0，
y2＝4﹣1＝3，
y3＝9﹣1＝8．
可見y1＜y2＜y3．
故選：B．
【點評】本題考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，由于函數(shù)圖象上的點符合函數(shù)解析式，將各點代入，求出函數(shù)值比較其大小是最簡捷的方法．
7．（2分）已知二次函數(shù)y＝（x﹣2）2﹣6，當(dāng)﹣1≤x≤4時，y的最小值為（ ）
A．3B．0C．﹣2D．﹣6
【分析】根據(jù)題目中的函數(shù)解析式和二次函數(shù)的性質(zhì)，可以得到當(dāng)1≤x≤4時該函數(shù)的最小值．
【解答】解：∵二次函數(shù)y＝（x﹣2）2﹣6，
∴該函數(shù)圖象的開口向上，對稱軸為直線x＝2，當(dāng)x＝2時取得最小值﹣6，
∵﹣1≤x≤4，
∴當(dāng)x＝2取得最小值﹣6，
故選：D．
【點評】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用二次函數(shù)的性質(zhì)解答．
8．（2分）如圖，用繩子圍成周長為10m的矩形，記矩形的一邊長為xm，矩形的面積為Sm2．當(dāng)x在一定范圍內(nèi)變化時，S隨x的變化而變化，則S與x滿足的函數(shù)表達(dá)式為（ ）
A．S＝x（5﹣x）（0＜x＜5）B．S＝x（10﹣x）（0＜x＜5）
C．S＝x（x﹣5）（0＜x＜5）D．S＝x（x﹣10）（0＜x＜5）
【分析】由矩形周長可得x與y的關(guān)系，然后由S＝xy求解．
【解答】解：由題意得2（x+y）＝10，
即y＝5﹣x，
∴S＝xy＝x（5﹣x），
故選：A．
【點評】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是掌握求矩形周長與面積的方法．
二、填空題（本題共8道小題，每小題2分，共16分
9．（2分）二次函數(shù)y＝﹣2x2+4x+1圖象的開口方向是 下 ．
【分析】根據(jù)二次函數(shù)y＝﹣2x2+4x+1中a＝﹣2＜0，即可判定．
【解答】解：∵y＝﹣2x2+4x+1中a＝﹣2＜0，
∴圖象的開口向下，
故答案為：下．
【點評】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，通過a的符號即可判斷開口方向．
10．（2分）若2m＝3n，那么m：n＝ 3：2 ．
【分析】逆用比例的性質(zhì)：內(nèi)項之積等于外項之積即可求解．
【解答】解：∵2m＝3n，
∴m：n＝3：2．
故答案為：3：2．
【點評】考查了比例的性質(zhì)：內(nèi)項之積等于外項之積．若＝，則ad＝bc．
11．（2分）如圖，為了測量某棵樹的高度，小明用長為2m的竹竿做測量工具，移動竹竿，使竹竿、樹的頂端的影子恰好落在地面的同一點．此時，竹竿與這一點距離相距6m，與樹相距15m，則樹的高度為 7 m．
【分析】此題中，竹竿、樹以及經(jīng)過竹竿頂端和樹頂端的太陽光構(gòu)成了一組相似三角形，利用相似三角形的對應(yīng)邊成比例即可求得樹的高度．
【解答】解：如圖；
AD＝6m，AB＝21m，DE＝2m；
由于DE∥BC，所以△ADE∽△ABC，得：
，即，
解得：BC＝7m，
故答案為：7．
【點評】此題考查了相似三角形在測量高度時的應(yīng)用；解題的關(guān)鍵是找出題中的相似三角形，并建立適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型來解決問題．
12．（2分）如圖，在△ABC中，點P是AB邊上的一點，連接CP，要使△ACP∽△ABC，還需要補充的一個條件是 ∠B＝∠ACP或∠ACB＝∠APC或 ．
【分析】欲使△ACP∽△ABC，通過觀察發(fā)現(xiàn)兩個三角形有一個公共角，即∠A，若夾此對應(yīng)角的兩邊對應(yīng)成比例或有一組角對應(yīng)相等即可．
【解答】解：∵∠A＝∠A
∴當(dāng)∠B＝∠ACP或∠ACB＝∠APC或時，△ACP∽△ABC．
故答案為：∠B＝∠ACP或∠ACB＝∠APC或．
【點評】本題考查相似三角形的判定方法的理解及運用，識別兩三角形相似，除了要掌握定義外，還要注意正確找出兩三角形的對應(yīng)邊成比例、對應(yīng)角相等．
13．（2分）如圖Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，E是AC上一點，AE＝5，ED⊥AB，垂足為D，則AD的長為 4 ．
【分析】先證明△ADE∽△ACB，得出對應(yīng)邊成比例，即可求出AD的長．
【解答】解：∵ED⊥AB，
∴∠ADE＝90°＝∠C，
∵∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ACB，
∴，
即，
解得：AD＝4．
故答案為：4．
【點評】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)；熟練掌握相似三角形的判定方法，證明三角形相似得出比例式是解決問題的關(guān)鍵．
14．（2分）如果二次函數(shù)y＝mx2﹣2mx﹣3m的圖象與y軸的交點為（0，3），那么m＝ ﹣1 ．
【分析】將點（0，3）代入函數(shù)解析式即可求得m的值．
【解答】解：∵二次函數(shù)y＝mx2﹣2mx﹣3m的圖象與y軸的交點為（0，3），
∴﹣3m＝3，
∴m＝﹣1，
故答案為：﹣1．
【點評】本題考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征和二次函數(shù)的性質(zhì)，圖象上點的坐標(biāo)適合解析式是解題的關(guān)鍵．
15．（2分）寫出拋物線y＝2（x﹣1）2上一對關(guān)于對稱軸對稱的點的坐標(biāo)，這對點的坐標(biāo)可以是 （2，2） 和 （0，2） ．
【分析】根據(jù)拋物線的對稱軸是直線x＝1作答．
【解答】解：∵拋物線y＝2（x﹣1）2的對稱軸是直線x＝1，
∴這對對稱點的坐標(biāo)可以是（2，2），（0，2）（答案不唯一）．
故答案為：（2，2），（0，2）（答案不唯一）．
【點評】考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，二次函數(shù)圖象與幾何變換．需要掌握拋物線的軸對稱性．
16．（2分）如圖為二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象，此圖象與x軸的交點坐標(biāo)分別為（﹣1，0），（3，0）．有以下3種說法：①ac＜0；②a+b+c＞0；③當(dāng)x＞1時，y隨著x的增大而增大．這3種說法中，正確的有 ①③ ．
【分析】由拋物線的開口方向、與y軸的交點判定a、c的符號即可判斷①將x＝1代入函數(shù)關(guān)系式，結(jié)合圖象即可判斷②；利用對稱軸和二次函數(shù)的圖象的性質(zhì)即可判斷③．
【解答】解：①∵該拋物線的開口方向向上，
∴a＞0；
又∵該拋物線與y軸交于負(fù)半軸，
∴c＜0，
∴ac＜0；
故本選項正確；
②∵根據(jù)拋物線的圖象知，該拋物線的對稱軸是直線x＝＝1，
∴當(dāng)x＝1時，y＜0，
即a+b+c＜0；
故本選項錯誤；
③由②知，該拋物線的對稱軸是直線x＝1，
∴當(dāng)x＞1時，y隨著x的增大而增大；
故本選項正確；
綜上所述，以上說法正確的是①③；
故答案為：①③．
【點評】主要考查圖象與二次函數(shù)系數(shù)之間的關(guān)系，拋物線與x軸的交點，二次函數(shù)的性質(zhì)，重點是從圖象中找出重要信息．
三、解答題（本題共11道小題，17-20題每題6分，21題4分，22-24題每題6分，25題8分，26-27題每題7分，共68分）
17．（6分）已知：如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，求證：△ACD∽△CBD．
【分析】根據(jù)垂直的定義得到∠ADC＝∠BDC＝90°，根據(jù)余角的性質(zhì)得到∠A＝∠BCD，由相似三角形的判定定理即可得到結(jié)論．
【解答】證明：∵CD⊥AB，
∴∠ADC＝∠BDC＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠A+∠ACD＝∠ACD+∠BCD＝90°，
∴∠A＝∠BCD，
∴△ACD∽△CBD．
【點評】本題考查了相似三角形的判定，垂直的定義，余角的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．
18．（6分）已知一個二次函數(shù)圖象上部分點的橫坐標(biāo)x，縱坐標(biāo)y的對應(yīng)值如下表：
（1）該二次函數(shù)與y軸的交點坐標(biāo)是 （0，﹣3） ．
（2）在給定的坐標(biāo)系中畫出該二次函數(shù)的圖象．
【分析】（1）由函數(shù)圖象經(jīng)過點（0，﹣3），即可求得該二次函數(shù)與y軸的交點坐標(biāo)是（0，﹣3）；
（2）利用描點發(fā)法畫函數(shù)圖象；
【解答】解：（1）∵拋物線經(jīng)過點（0，﹣3），
∴該二次函數(shù)與y軸的交點坐標(biāo)是（0，﹣3）；
故答案為：（0，﹣3）；
（2）描點、連線，畫出函數(shù)圖象如圖：
【點評】本題考查了二次函數(shù)圖象和性質(zhì)，二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，正確分析表格數(shù)據(jù)是解題的關(guān)鍵．
19．（6分）如圖，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，求證：△ADE∽△EFC．
【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)可知∠AED＝∠C，∠A＝∠FEC，根據(jù)相似三角形的判定定理可知△ADE∽△EFC．
【解答】證明：∵DE∥BC，
∴∠AED＝∠C．
又∵EF∥AB，
∴∠A＝∠FEC．
∴△ADE∽△EFC．
【點評】本題考查的是平行線的性質(zhì)及相似三角形的判定定理．
20．（6分）已知二次函數(shù)y＝x2﹣2x﹣3．
（1）將y＝x2﹣2x﹣3化成y＝a（x﹣h）2+k的形式；
（2）求該二次函數(shù)圖象的頂點坐標(biāo)．
【分析】（1）運用配方法把一般式化為頂點式；
（2）根據(jù)頂點式得出即可．
【解答】解：（1）y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4；
（2）∵y＝（x﹣1）2﹣4，
∴該二次函數(shù)圖象的頂點坐標(biāo)是（1，﹣4）．
【點評】本題考查的是二次函數(shù)的三種形式、二次函數(shù)的性質(zhì)，掌握配方法把一般式化為頂點式是解題的關(guān)鍵．
21．（4分）如圖是邊長為1的正方形網(wǎng)格，△A1B1C1的頂點均為格點，在該網(wǎng)格中畫出△A2B2C2（△A2B2C2的頂點均在格點上），使△A2B2C2∽△A1B1C1．
【分析】將△A1B1C1的各邊都縮小2倍，畫出圖形即可．
【解答】解：如圖，△A2B2C2即為所求．
【點評】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
22．（6分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，二次函數(shù)y＝x2+bx+c的圖象過點A（1，0）和B（0，﹣3）．
（1）求此二次函數(shù)的表達(dá)式；
（2）設(shè)此二次函數(shù)圖象的頂點為C，寫出一個過點C的二次函數(shù)的表達(dá)式．
【分析】（1）把A（1，0）和點B（0，1）代入y＝x2+bx+c得到關(guān)于b、c的方程組，解方程組即可；
（2）根據(jù)題意，可以寫出一個點C的二次函數(shù)的解析式，答案不唯一．
【解答】解：（1）把A（1，0）和點B（0，﹣3）代入y＝﹣x2+bx+c得，
解得，
所以這個二次函數(shù)的解析式為y＝x2+2x﹣3；
（2）∵y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，
∴C（﹣1，﹣4），
∵二次函數(shù)y＝﹣4x2的圖象過點（﹣1，﹣4），
∴過點C的一個二次函數(shù)的表達(dá)式為y＝﹣4x2，答案不唯一．
【點評】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式：設(shè)二次函數(shù)的解析式為y＝ax2+bx+c（a≠0），然后把二次函數(shù)圖象上的點的坐標(biāo)代入得到關(guān)于a、b、c的方程組，解方程組求出a、b、c的值，從而確定二次函數(shù)的解析式．
23．（6分）如圖，在△ABC中，D，E分別是邊AB，AC上的點，連接DE，且∠ADE＝∠ACB．
（1）求證：△ADE∽△ACB；
（2）如果E是AC的中點，AD＝8，AB＝10，求AE的長．
【分析】（1）根據(jù)相似三角形的判定即可求出證．
（2）由于點E是AC的中點，設(shè)AE＝x，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可知＝，從而列出方程解出x的值．
【解答】解：（1）∵∠ADE＝∠ACB，∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ACB；
（2）由（1）可知：△ADE∽△ACB，
∴＝，
∵點E是AC的中點，設(shè)AE＝x，
∴AC＝2AE＝2x，
∵AD＝8，AB＝10，
∴＝，
解得：x＝2，
∴AE＝2．
【點評】本題考查相似三角形，解題的關(guān)鍵是熟練運用相似三角形的性質(zhì)與判定，本題屬于中等題型．
24．（6分）在矩形ABCD中，AB＝10，BC＝12，點E為DC的中點，連接BE，過點A作AF⊥BE，垂足為點F．
（1）求證：△BEC∽△ABF；
（2）求AF的長．
【分析】（1）在矩形ABCD中，有∠C＝∠ABC＝∠ABF+∠EBC＝90°，由于AF⊥BE，所以∠AFB＝∠C＝90°，∠BAF＝∠EBC，從而得證；
（2）在矩形ABCD中，AB＝10，可知CD＝AB＝10，由于E為DC的中點，CE＝5，由勾股定理可求得：BE＝13，最后由△ABF∽△BEC得：，從而可求出答案．
【解答】解：（1）在矩形ABCD中，
有∠C＝∠ABC＝∠ABF+∠EBC＝90°
∵AF⊥BE，
∴∠AFB＝∠C＝90°，
∴∠BAF＝∠EBC
∴△BEC∽△ABF
（2）在矩形ABCD中，AB＝10，
∴CD＝AB＝10，
∵E為DC的中點，
∴CE＝5，
又BC＝12，
在Rt△BEC中，
由勾股定理得：BE＝13，
由△ABF∽△BEC得：
即：＝，
∴解得：AF＝
【點評】本題考查相似三角形的性質(zhì)與判定，解題的關(guān)鍵熟練運用相似三角形的判定方法以及矩形的性質(zhì)，本題屬于中等題型．
25．（8分）已知二次函數(shù)y＝x2﹣4x+3．
（1）該函數(shù)與x軸的交點坐標(biāo) （1，0），（3，0） ；
（2）在坐標(biāo)系中，用描點法畫出該二次函數(shù)的圖象；
（3）根據(jù)圖象回答：
①當(dāng)自變量x的取值范圍滿足什么條件時，y＜0？
②當(dāng)0≤x＜3時，y的取值范圍是多少？
【分析】（1）把函數(shù)解析式整理成頂點式形式，然后寫出頂點坐標(biāo)即可，再令y＝0，解關(guān)于x的一元二次方程即可得到與x軸的交點坐標(biāo)；
（2）根據(jù)二次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點和頂點坐標(biāo)作出圖象即可；
（3）①結(jié)合函數(shù)圖象即可求出y＜0時，自變量x的取值范圍；②根據(jù)函數(shù)圖象寫出y的取值范圍即可．
【解答】解：（1）∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，
∴頂點坐標(biāo)為（2，﹣1），
令y＝0，則x2﹣4x+3＝0，
解得x1＝1，x2＝3，
所以，與x軸的交點坐標(biāo)是（1，0），（3，0）；
故答案為：（1，0），（3，0）；
（2）如圖所示；
（3）①當(dāng)1＜x＜3時，y＜0；
②0≤x＜3時，y的取值范圍是﹣1≤y≤3．
【點評】本題考查了二次函數(shù)與不等式的關(guān)系，拋物線與x軸的交點問題，二次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)以及函數(shù)圖象的作法是解題的關(guān)鍵．
26．（7分）如圖，AD是△ABC的中線，點O是AD上任一點，連接BO并延長，交AC于點E．
（1）如圖1，當(dāng)時，求的值；
（2）如圖2，當(dāng)時，求的值．
【分析】（1）過D作EDF∥AC交BE于點F，則DF是△BCD的中位線，利用中位線定理可得CE＝2DF，證明△AOE≌△DOF（ASA），根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得AE＝DF，即可求解；
（2）過D作EDF∥AC交BE于點F，則DF是△BCD的中位線，利用中位線定理可得CE＝2DF，證明△AOE∽△DOF，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得2AE＝DF，即可求解．
【解答】解：（1）如圖1，過D作DF∥AC交BE于點F．
∵DF∥AC，且AD是△ABC的中線．
∴DF是△BCE的中位線，
∴CE＝2DF．
∵，
∴AO＝DO，
∵DF∥AC，
∴∠EAO＝∠FDO．
在△AOE和△DOF中，
，
∴△AOE≌△DOF（ASA），
∴DF＝AE，
∴CE＝2AE，
∴AC＝3AE，
∴＝；
（2）過D作EDF∥AC交BE于點F，
∵DF∥AC，且AD是△ABC的中線．
∴DF是△BCE的中位線，
∴CE＝2DF．
∵，
∴，
∵DF∥AC，
∴∠EAO＝∠FDO，∠AEO＝∠DFO，
∴△AOE∽△DOF，
∴，
∴DF＝2AE，
∴CE＝4AE．
∴AC＝5AE，
∴＝．
【點評】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形中位線定理，熟練掌握三角形中位線定理是解題的關(guān)鍵．
27．（7分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y＝ax2+bx+3a過點A（﹣1，0）．
（1）求拋物線的對稱軸；
（2）直線y＝x+4與y軸交于點B，與該拋物線對稱軸交于點C．如果該拋物線與線段BC有交點，結(jié)合函數(shù)的圖象，求a的取值范圍．
【分析】（1）根據(jù)坐標(biāo)軸上點的坐標(biāo)特征代入點A的坐標(biāo)，得出b＝4a，則解析式為y＝ax2+4ax+3a，進(jìn)一步求得拋物線的對稱軸；
（2）結(jié)合圖形，分兩種情況：①a＞0；②a＜0；進(jìn)行討論即可求解．
【解答】解：（1）∵拋物線y＝ax2+bx+3a過點A（﹣1，0），
∴a﹣b+3a＝0，
∴b＝4a，
∴拋物線的解析式為y＝ax2+4ax+3a，
∴拋物線的對稱軸為x＝﹣＝﹣2；
（2）∵直線y＝x+4與y軸交于點B，與該拋物線對稱軸交于點C，
∴B（0，4），C（﹣2，2），
∵拋物線y＝ax2+bx+3a經(jīng)過點A（﹣1，0）且對稱軸x＝﹣2，
由拋物線的對稱性可知拋物線也一定過A的對稱點（﹣3，0），
①a＞0時，如圖1，
將x＝0代入拋物線得y＝3a，
∵拋物線與線段BC恰有一個公共點，
∴3a≥4，
解得a≥，
②a＜0時，如圖2，
將x＝﹣2代入拋物線得y＝﹣a，
∵拋物線與線段BC恰有一個公共點，
∴﹣a≥2，
解得a≤﹣2；
綜上所述，a≥或a≤﹣2．
【點評】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)以及解一元一次不等式，解題的關(guān)鍵是熟練掌握解一元一次不等式，待定系數(shù)法求拋物線解析式．本題屬于中檔題，難度不大，但涉及知識點較多，需要對二次函數(shù)足夠了解才能快捷的解決問題．
聲明：試題解析著作權(quán)屬菁優(yōu)網(wǎng)所有，未經(jīng)書面同意，不得復(fù)制發(fā)布日期：2024/7/21 21:51:54；用戶：菁優(yōu)校本題庫；郵箱：2471@xyh.cm；學(xué)號：56380052x
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