1．（2分）下列圖書館的標(biāo)志中，是中心對稱圖形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2分）下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．a(chǎn)x2+bx+c＝0B．+x2﹣1＝0
C．2x2﹣x+2＝0D．4x﹣1＝0
3．（2分）二次函數(shù)y＝（x﹣1）2+2圖象的頂點坐標(biāo)是（ ）
A．（2，﹣1）B．（2，1）C．（﹣1，2）D．（1，2）
4．（2分）一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0配方后可變形為（ ）
A．（x+1）2＝4B．（x﹣1）2＝4C．（x+1）2＝16D．（x﹣1）2＝16
5．（2分）已知點A（1，y1），B（2，y2）在拋物線y＝﹣（x+1）2+2上，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．y1＞y2＞2B．y2＞y1＞2C．2＞y1＞y2D．2＞y2＞y1
6．（2分）原價為100元的某種藥品經(jīng)過連續(xù)兩次降價后為64元，設(shè)平均每次降價的百分率為x，則下面所列方程正確的是（ ）
A．100（1﹣x）2＝64B．64（1﹣x）2＝100
C．100（1﹣2x）＝64D．64（1﹣2x）＝100
7．（2分）在同一坐標(biāo)系中一次函數(shù)y＝ax+b和二次函數(shù)y＝ax2+bx的圖象可能為（ ）
A．B．
C．D．
8．（2分）如圖，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的對稱軸為直線x＝1，與x軸的一個交點坐標(biāo)為（﹣1，0），其部分圖象如圖所示，下列結(jié)論中正確的有（ ）
①4ac＜b2
②方程ax2+bx+c＝0的兩個根是x1＝﹣1，x2＝3
③3a+c＞0
④當(dāng)y＞0時，x的取值范圍是﹣1≤x≤3
A．①②B．①②③C．①③④D．②④
二、填空題（本題共16分，每小題2分）
9．（2分）拋物線y＝﹣x2+2x﹣7與y軸的交點坐標(biāo)為 ．
10．（2分）已知x＝1是關(guān)于x的一元二次方程x2+ax﹣2b＝0的解，則代數(shù)式2a﹣4b的值為 ．
11．（2分）二次函數(shù)y＝x2﹣4x﹣2的最小值為 ．
12．（2分）在同一坐標(biāo)系下，拋物線y1＝﹣x2+4x和直線y2＝2x的圖象如圖所示，那么不等式﹣x2+4x＞2x的解集是 ．
13．（2分）若x＝2是一元二次方程x2﹣mx﹣2＝0的一個根，則m＝ ；方程的另一根是 ．
14．（2分）已知關(guān)于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+1＝0有兩個不相等的實數(shù)根，a的取值范圍是 ．
15．（2分）如圖，正方形ABCD的邊長為6，點E在邊CD上．以點A為中心，把△ADE順時針旋轉(zhuǎn)90°至△ABF的位置．若DE＝2，則FC＝ ．
16．（2分）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c自變量x與函數(shù)值y之間滿足下列數(shù)量關(guān)系：
則代數(shù)式（a﹣b+c）（a+b+c）的值是 ．
三、解答題（本題共68分，第17～22題，每小題5分，第23～26題，每小題5分，第27～28題，每小題5分）解答應(yīng)寫出文字說明、演算步驟或證明過程.
17．（5分）解方程：x2﹣6x＝16．
18．（5分）解方程：2x2+3x﹣4＝0．
19．（5分）已知二次函數(shù)y＝﹣x2+bx+c的圖象過點A（0，1）和點B（﹣1，2），求這個二次函數(shù)的解析式．
20．（5分）已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣4mx+3m2＝0．
（1）求證：該方程總有兩個實數(shù)根；
（2）若m＞0，且該方程的兩個實數(shù)根的差為2，求m的值．
21．（5分）二次函數(shù)圖象上部分點的橫坐標(biāo)x，縱坐標(biāo)y的對應(yīng)值如下表：
（1）直接寫出表格當(dāng)中的m值： ；
（2）求這個二次函數(shù)的表達式；
（3）在圖中畫出這個二次函數(shù)的圖象．
（4）直接寫出當(dāng)﹣4＜x＜0時，y的取值范圍是 ．
22．（5分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，△ABC的三個頂點分別為A（﹣3，4），B（﹣5，1），C（﹣1，2）．
（1）畫出△ABC關(guān)于原點對稱的△A1B1C1，并寫出點B1的坐標(biāo)；
（2）畫出△ABC繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)90°后的△A2B2C2，并寫出點B2的坐標(biāo)．
23．（6分）如圖，在等邊△ABC中，點D是AB邊上一點，連接CD，將線段CD繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)60°后得到CE，連接AE．求證：AE∥BC．
24．（6分）如圖1，單孔拱橋的形狀近似拋物線形，建立如圖2所示的平面直角坐標(biāo)系，在正常水位時，水面寬度AB為12m，拱橋的最高點C到水面AB的距離為6m．
（1）求拋物線的解析式；
（2）因為上游水庫泄洪，水面寬度變?yōu)?0m，求水面上漲的高度．
25．（6分）閱讀材料：各類方程的解法不盡相同，但是它們有一個共同的基本數(shù)學(xué)思想——轉(zhuǎn)化，把未知轉(zhuǎn)化為已知．用“轉(zhuǎn)化”的數(shù)學(xué)思想，我們還可以解一些新的方程．例如，一元三次方程x3﹣2x2﹣3x＝0，通過因式分解可以把它轉(zhuǎn)化為x（x2﹣2x﹣3）＝0，解方程x＝0和x2﹣2x﹣3＝0，可得方程x3﹣2x2﹣3x＝0的解．
問題：（1）方程x3﹣2x2﹣3x＝0的解是x1＝0，x2＝ ，x3＝ ．
（2）求方程x3＝6x2+16x的解．
拓展：（3）用“轉(zhuǎn)化”思想求方程＝x的解．
26．（6分）已知拋物線y＝x2﹣2ax+a2﹣4，拋物線的頂點為M．
（1）求點M的坐標(biāo)；
（2）設(shè)拋物線與x軸交于A（x1，0），B（x2，0）兩點，且x2＞x1
①判斷AB的長是否為定值，并證明；
②已知點N（0，﹣4），且NA≥5，利用圖象求x2﹣x1+a的取值范圍．
27．（7分）問題發(fā)現(xiàn)：（1）如圖1，已知C為線段AB上一點，分別以線段AC、BC為直角邊作等腰直角三角形，∠ACD＝90°，CA＝CD，CB＝CE，連接AE、BD，則AE、BD之間的數(shù)量關(guān)系為 ，位置關(guān)系為 ；
拓展探究：（2）如圖2，把Rt△ACD繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)，線段AE、BD交于點F，則AE與BD之間的關(guān)系是否仍然成立？請說明理由．
拓展延伸：（3）如圖3，已知AC＝CD，BC＝CE，∠ACD＝∠BCE＝90°，連接AB、AE、AD，把線段AB繞點A旋轉(zhuǎn)，若AB＝5，AC＝3，請直接寫出旋轉(zhuǎn)過程中線段AE的最大值．
28．（7分）對于某一函數(shù)給出如下定義：如果存在實數(shù)p，當(dāng)其自變量的值為p時，其函數(shù)值等于p，則稱p為這個函數(shù)的不動值，在函數(shù)存在不動值時，該函數(shù)的最大不動值與最小不動值之差q稱為這個函數(shù)的不動長度，特別地，當(dāng)函數(shù)只有一個不動值時，其不動長度q為0，例如，圖中的函數(shù)有0和1兩個不動值，其不動長度q為1．
（1）下列函數(shù)①y＝2x，②y＝x2+1，③y＝x2﹣2x中存在不動值的是 （填序號）；
（2）函數(shù)y＝3x2+bx，
①若其不動長度為0，則b的值為 ；
②若﹣2≤b≤2，求其不動長度q的取值范圍；
（3）記函數(shù)y＝x2﹣4x（x≥t）的圖象為G1，將G1沿x＝t翻折后得到的函數(shù)圖象記為G2，函數(shù)G的圖象由G1和G2兩部分組成，若其不動長度q滿足0≤q≤5，則t的取值范圍為 ．
2021-2022學(xué)年北京市大興三中九年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題（本題共16分，每小題2分）第1-8題均有四個選項，符合題意的選項只有一個．
1．（2分）下列圖書館的標(biāo)志中，是中心對稱圖形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根據(jù)軸對稱圖形與中心對稱圖形的概念求解．
【解答】解：A、不是中心對稱圖形，故此選項錯誤；
B、不是中心對稱圖形，故此選項錯誤；
C、是中心對稱圖形，故此選項正確；
D、不是中心對稱圖形，故此選項錯誤；
故選：C．
【點評】此題主要考查了中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念．軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合，中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉(zhuǎn)180度后兩部分重合．
2．（2分）下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．a(chǎn)x2+bx+c＝0B．+x2﹣1＝0
C．2x2﹣x+2＝0D．4x﹣1＝0
【分析】根據(jù)一元二次方程的定義解答．一元二次方程必須滿足四個條件：（1）未知數(shù)的最高次數(shù)是2；（2）二次項系數(shù)不為0；（3）是整式方程；（4）含有一個未知數(shù)．由這四個條件對四個選項進行驗證．
【解答】解：A、若ax2+bx+c＝0是一元二次方程，a，b，c是常數(shù)，且a≠0，故此選項不符合題意；
B、是分式方程，故此選項不符合題意；
C、是一元二次方程，故此選項符合題意；
D、是一元一次方程，故此選項不符合題意．
故選：C．
【點評】本題考查了一元二次方程的概念，判斷一個方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化簡后是否是只含有一個未知數(shù)且未知數(shù)的最高次數(shù)是2．
3．（2分）二次函數(shù)y＝（x﹣1）2+2圖象的頂點坐標(biāo)是（ ）
A．（2，﹣1）B．（2，1）C．（﹣1，2）D．（1，2）
【分析】利用頂點式方程可直接得到拋物線的頂點坐標(biāo)．
【解答】解：∵y＝（x﹣1）2+2，
∴頂點坐標(biāo)為（1，2），
故選：D．
【點評】本題主要考查二次函數(shù)的頂點坐標(biāo)，掌握二次函數(shù)的頂點式y(tǒng)＝a（x﹣h）2+k的頂點坐標(biāo)為（h，k）是解題的關(guān)鍵．
4．（2分）一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0配方后可變形為（ ）
A．（x+1）2＝4B．（x﹣1）2＝4C．（x+1）2＝16D．（x﹣1）2＝16
【分析】根據(jù)配方法即可求出答案．
【解答】解：∵x2﹣2x﹣3＝0，
∴x2﹣2x+1＝4，
∴（x﹣1）2＝4，
故選：B．
【點評】本題考查一元二次方程，解題的關(guān)鍵是熟練運用一元二次方程的解法，本題屬于基礎(chǔ)題型．
5．（2分）已知點A（1，y1），B（2，y2）在拋物線y＝﹣（x+1）2+2上，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．y1＞y2＞2B．y2＞y1＞2C．2＞y1＞y2D．2＞y2＞y1
【分析】先將x＝1或x＝2代入函數(shù)解析式求出y1和y2，然后比較大?。?br>【解答】解：當(dāng)x＝1時，y1＝﹣（1+1）2+2＝﹣2，
當(dāng)x＝2時，y2＝﹣（2+1）2+2＝﹣7，
∴2＞y1＞y2．
故選：C．
【點評】本題考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，本題還可以利用二次函數(shù)的增減性求解．
6．（2分）原價為100元的某種藥品經(jīng)過連續(xù)兩次降價后為64元，設(shè)平均每次降價的百分率為x，則下面所列方程正確的是（ ）
A．100（1﹣x）2＝64B．64（1﹣x）2＝100
C．100（1﹣2x）＝64D．64（1﹣2x）＝100
【分析】可先表示出第一次降價后的價格，那么第一次降價后的價格×（1﹣降低的百分率）＝64，把相應(yīng)數(shù)值代入即可求解．
【解答】解：第一次降價后的價格為100×（1﹣x），第二次降價后價格為100×（1﹣x）×（1﹣x），
則列出的方程是100（1﹣x）2＝64．
故選：A．
【點評】此題考查由實際問題抽象出一元二次方程中求平均變化率的方法．若設(shè)變化前的量為a，變化后的量為b，平均變化率為x，則經(jīng)過兩次變化后的數(shù)量關(guān)系為a（1±x）2＝b．
7．（2分）在同一坐標(biāo)系中一次函數(shù)y＝ax+b和二次函數(shù)y＝ax2+bx的圖象可能為（ ）
A．B．
C．D．
【分析】可先由一次函數(shù)y＝ax+b圖象得到字母系數(shù)的正負，再與二次函數(shù)y＝ax2+bx的圖象相比較看是否一致．
【解答】解：A、由拋物線可知，a＞0，x＝﹣＞0，得b＜0，由直線可知，a＞0，b＜0，正確；
B、由拋物線可知，a＞0，由直線可知，a＜0，錯誤；
C、由拋物線可知，a＜0，x＝﹣＞0，得b＞0，由直線可知，a＜0，b＜0，錯誤；
D、由拋物線可知，a＜0，由直線可知，a＞0，錯誤．
故選：A．
【點評】本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)和一次函數(shù)的性質(zhì)，做題時要注意數(shù)形結(jié)合思想的運用，同學(xué)們加強訓(xùn)練即可掌握，屬于基礎(chǔ)題．
8．（2分）如圖，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的對稱軸為直線x＝1，與x軸的一個交點坐標(biāo)為（﹣1，0），其部分圖象如圖所示，下列結(jié)論中正確的有（ ）
①4ac＜b2
②方程ax2+bx+c＝0的兩個根是x1＝﹣1，x2＝3
③3a+c＞0
④當(dāng)y＞0時，x的取值范圍是﹣1≤x≤3
A．①②B．①②③C．①③④D．②④
【分析】利用拋物線與x軸的交點個數(shù)可對①進行判斷；利用拋物線的對稱性得到拋物線與x軸的一個交點坐標(biāo)為（3，0），則可對②進行判斷；由對稱軸方程得到b＝﹣2a，然后根據(jù)x＝﹣1時函數(shù)值為0可得到3a+c＝0，則可對③進行判斷；根據(jù)拋物線在x軸上方所對應(yīng)的自變量的范圍可對④進行判斷．
【解答】解：∵拋物線與x軸有2個交點，
∴b2﹣4ac＞0，即4ac＜b2，所以①正確；
∵拋物線的對稱軸為直線x＝1，
而點（﹣1，0）關(guān)于直線x＝1的對稱點的坐標(biāo)為（3，0），
∴方程ax2+bx+c＝0的兩個根是x1＝﹣1，x2＝3，所以②正確；
∵x＝﹣＝1，即b＝﹣2a，
而x＝﹣1時，y＝0，即a﹣b+c＝0，
∴a+2a+c＝0，
∴3a+c＝0，即a＝﹣，所以③錯誤；
∵拋物線與x軸的兩點坐標(biāo)為（﹣1，0），（3，0），
∴當(dāng)﹣1＜x＜3時，y＞0，所以④錯誤．
故選：A．
【點評】本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系：對于二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0），二次項系數(shù)a決定拋物線的開口方向和大小：當(dāng)a＞0時，拋物線向上開口；當(dāng)a＜0時，拋物線向下開口；一次項系數(shù)b和二次項系數(shù)a共同決定對稱軸的位置：當(dāng)a與b同號時（即ab＞0），對稱軸在y軸左；當(dāng)a與b異號時（即ab＜0），對稱軸在y軸右；常數(shù)項c決定拋物線與y軸交點位置：拋物線與y軸交于（0，c）；拋物線與x軸交點個數(shù)由△決定：Δ＝b2﹣4ac＞0時，拋物線與x軸有2個交點；Δ＝b2﹣4ac＝0時，拋物線與x軸有1個交點；Δ＝b2﹣4ac＜0時，拋物線與x軸沒有交點．
二、填空題（本題共16分，每小題2分）
9．（2分）拋物線y＝﹣x2+2x﹣7與y軸的交點坐標(biāo)為 （0，﹣7） ．
【分析】將x＝0代入拋物線解析式即可求得拋物線y＝﹣x2+2x﹣7與y軸的交點坐標(biāo)．
【解答】解：當(dāng)x＝0時，y＝﹣7，
∴拋物線y＝﹣x2+2x﹣7與y軸的交點坐標(biāo)為（0，﹣7），
故答案為：（0，﹣7）．
【點評】本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
10．（2分）已知x＝1是關(guān)于x的一元二次方程x2+ax﹣2b＝0的解，則代數(shù)式2a﹣4b的值為 ﹣2 ．
【分析】將x＝1代入原方程即可求出（a﹣2b）的值，然后將其整體代入求值．
【解答】解：將x＝1代入原方程可得：1+a﹣2b＝0，
∴a﹣2b＝﹣1，
∴原式＝2（a﹣2b）
＝﹣2，
故答案為：﹣2．
【點評】本題考查一元二次方程，解題的關(guān)鍵是正確理解一元二次方程的解的概念，本題屬于基礎(chǔ)題型．
11．（2分）二次函數(shù)y＝x2﹣4x﹣2的最小值為 ﹣6 ．
【分析】本題由于二次項的系數(shù)為1，可用配方法求解．
【解答】解：y＝x2﹣4x﹣2＝（x﹣2）2﹣6，由于函數(shù)開口向上，因此函數(shù)有最小值，且最小值為﹣6，
故答案為：﹣6．
【點評】本題是一道二次函數(shù)的解析式的試題，考查了二次函數(shù)的最值和頂點式的運用及頂點坐標(biāo)的求法．
12．（2分）在同一坐標(biāo)系下，拋物線y1＝﹣x2+4x和直線y2＝2x的圖象如圖所示，那么不等式﹣x2+4x＞2x的解集是 0＜x＜2 ．
【分析】根據(jù)函數(shù)圖象寫出拋物線在直線上方部分的x的取值范圍即可．
【解答】解：由圖可知，拋物線y1＝﹣x2+4x和直線y2＝2x的交點坐標(biāo)為（0，0），（2，4），
所以，不等式﹣x2+4x＞2x的解集是0＜x＜2．
故答案為：0＜x＜2．
【點評】本題考查了二次函數(shù)與不等式，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．
13．（2分）若x＝2是一元二次方程x2﹣mx﹣2＝0的一個根，則m＝ 1 ；方程的另一根是 ﹣1 ．
【分析】利用根與系數(shù)的關(guān)系，得到兩根之積，先求出另外一根，再利用兩根之和求出m的值，還可以直接將x＝2代入到方程中，直接求出m和另外一根的值．
【解答】解：設(shè)方程的另外一根為a，
則2a＝﹣2，2+a＝m，
∴a＝﹣1，m＝1，
故答案為：1；﹣1．
【點評】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系，利用根與系數(shù)的關(guān)系，得到兩根之和和兩根之積，是解決本題的關(guān)鍵．
14．（2分）已知關(guān)于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+1＝0有兩個不相等的實數(shù)根，a的取值范圍是 a＜2且a≠1 ．
【分析】由方程有兩個不相等的實數(shù)根，根據(jù)根的判別式可得到a的不等式，可求得a的取值范圍．
【解答】解：
∵關(guān)于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+1＝0有兩個不相等的實數(shù)根，
∴Δ＞0且a﹣1≠0，
即（﹣2）2﹣4（a﹣1）＞0且a﹣1≠0，解得a＜2且a≠1，
∴a的取值范圍是a＜2且a≠1．
【點評】本題主要考查根的判別式，由根的判別式得到關(guān)于a的不等式是解題的關(guān)鍵．
15．（2分）如圖，正方形ABCD的邊長為6，點E在邊CD上．以點A為中心，把△ADE順時針旋轉(zhuǎn)90°至△ABF的位置．若DE＝2，則FC＝ 8 ．
【分析】先根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和正方形的性質(zhì)證明C、B、F三點在一條直線上，又知BF＝DE＝2，可得FC的長．
【解答】解：∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠ABC＝∠D＝90°，AD＝AB，
由旋轉(zhuǎn)得：∠ABF＝∠D＝90°，BF＝DE＝2，
∴∠ABF+∠ABC＝180°，
∴C、B、F三點在一條直線上，
∴CF＝BC+BF＝6+2＝8，
故答案為：8．
【點評】本題主要考查了正方形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)，難度適中．由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出BF＝DE是解答本題的關(guān)鍵．
16．（2分）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c自變量x與函數(shù)值y之間滿足下列數(shù)量關(guān)系：
則代數(shù)式（a﹣b+c）（a+b+c）的值是 5 ．
【分析】由表格可得拋物線對稱軸為直線x＝1，然后根據(jù)對稱性可求x＝﹣1時y的值，進而求解．
【解答】解：由題可得拋物線經(jīng)過點（0，﹣3），（2，﹣3），
∴拋物線對稱軸為直線x＝＝1，
∵拋物線經(jīng)過點（3，﹣9），
∴x＝﹣1時y＝﹣9，
即﹣9＝a﹣b+c，
又∵拋物線經(jīng)過點（1，﹣1），
∴﹣1＝a+b+c，
∴（a﹣b+c）（a+b+c）＝（﹣9）×（﹣1）＝9．
故答案為：9．
【點評】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系，通過拋物線上點的坐標(biāo)的特征求解．
三、解答題（本題共68分，第17～22題，每小題5分，第23～26題，每小題5分，第27～28題，每小題5分）解答應(yīng)寫出文字說明、演算步驟或證明過程.
17．（5分）解方程：x2﹣6x＝16．
【分析】整理成一般式后，利用因式分解法求解可得．
【解答】解：x2﹣6x﹣16＝0，
∴（x+2）（x﹣8）＝0，
∴x+2＝0或x﹣8＝0，
解得：x＝﹣2或x＝8．
【點評】本題主要考查解一元二次方程的能力，熟練掌握解一元二次方程的基本方法是解題的關(guān)鍵．
18．（5分）解方程：2x2+3x﹣4＝0．
【分析】找出a，b，c的值，計算出根的判別式的值大于0，代入求根公式即可求出解．
【解答】解：這里a＝2，b＝3，c＝﹣4，
∵△＝9+32＝41，
∴x＝．
【點評】此題考查了解一元二次方程﹣公式法，熟練掌握求根公式是解本題的關(guān)鍵．
19．（5分）已知二次函數(shù)y＝﹣x2+bx+c的圖象過點A（0，1）和點B（﹣1，2），求這個二次函數(shù)的解析式．
【分析】根據(jù)點A、B的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式．
【解答】解：∵二次函數(shù)y＝﹣x2+bx+c的圖象過點A（0，1）和點B（﹣1，2），
∴，解得：，
∴二次函數(shù)的解析式為y＝﹣x2﹣2x+1．
【點評】本題考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，熟練掌握待定系數(shù)法是解題的關(guān)鍵．
20．（5分）已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣4mx+3m2＝0．
（1）求證：該方程總有兩個實數(shù)根；
（2）若m＞0，且該方程的兩個實數(shù)根的差為2，求m的值．
【分析】（1）根據(jù)方程的系數(shù)，結(jié)合根的判別式可得出Δ＝4m2，利用偶次方的非負性可得出4m2≥0，即Δ≥0，再利用“當(dāng)Δ≥0時，方程有兩個實數(shù)根”即可證出結(jié)論；
（2）方法一：利用因式分解法求出x1＝m，x2＝3m．由題意得出m的方程，解方程則可得出答案．
方法二：利用根與系數(shù)的關(guān)系可求出答案．
【解答】（1）證明：∵a＝1，b＝﹣4m，c＝3m2，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣4m）2﹣4×1×3m2＝4m2．
∵無論m取何值時，4m2≥0，即Δ≥0，
∴原方程總有兩個實數(shù)根．
（2）解：方法一：∵x2﹣4mx+3m2＝0，即（x﹣m）（x﹣3m）＝0，
∴x1＝m，x2＝3m．
∵m＞0，且該方程的兩個實數(shù)根的差為2，
∴3m﹣m＝2，
∴m＝1．
方法二：
設(shè)方程的兩根為x1，x2，則x1+x2＝4m，x1?x2＝3m2，
∵x1﹣x2＝2，
∴（x1﹣x2）2＝4，
∴（x1+x2）2﹣4x1x2＝4，
∴（4m）2﹣4×3m2＝4，
∴m＝±1，
又m＞0，
∴m＝1．
【點評】本題考查了根的判別式、偶次方的非負性以及因式分解法解一元二次方程，解題的關(guān)鍵是：（1）牢記“當(dāng)Δ≥0時，方程有實數(shù)根”；（2）利用因式分解法求出方程的解．
21．（5分）二次函數(shù)圖象上部分點的橫坐標(biāo)x，縱坐標(biāo)y的對應(yīng)值如下表：
（1）直接寫出表格當(dāng)中的m值： 0 ；
（2）求這個二次函數(shù)的表達式；
（3）在圖中畫出這個二次函數(shù)的圖象．
（4）直接寫出當(dāng)﹣4＜x＜0時，y的取值范圍是 ﹣4≤y＜5 ．
【分析】（1）根據(jù)函數(shù)的對稱性即可求解；
（2）拋物線的頂點坐標(biāo)為（﹣1，﹣4），則設(shè)拋物線的表達式為y＝a（x+1）2﹣4，將點（0，﹣3）代入上式，即可求解；
（3）描點、連線畫出函數(shù)的圖象即可；
（4）根據(jù)函數(shù)的對稱性求得x＝﹣4時的函數(shù)值為5，又函數(shù)有最小值﹣4，即可求得當(dāng)﹣4＜x＜0時，﹣4≤y＜5．
【解答】解：（1）∵x＝﹣2或x＝0的函數(shù)值相同，都是﹣3，
∴函數(shù)的對稱軸為直線x＝＝﹣1，
∵點（﹣3，0）和點（1.0）關(guān)于直線x＝﹣1對稱，
∴m＝0，
故答案為0；
（2）∵拋物線的頂點坐標(biāo)為（﹣1，﹣4），
則設(shè)拋物線的表達式為y＝a（x+1）2﹣4，將點（0，﹣3）代入上式并解得a＝1，
故拋物線的表達式為y＝（x+1）2﹣4；
（3）畫出函數(shù)圖象如圖：
（4）∵（2，5）（﹣4，5）關(guān)于直線x＝﹣1對稱，
∴x＝﹣4時，函數(shù)y＝5，
∵函數(shù)有最小值﹣4，
∴當(dāng)﹣4＜x＜0時，﹣4≤y＜5，
故答案為：﹣4≤y＜5．
【點評】本題考查的是待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)圖象和性質(zhì)，二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，二次函數(shù)的最值，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
22．（5分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，△ABC的三個頂點分別為A（﹣3，4），B（﹣5，1），C（﹣1，2）．
（1）畫出△ABC關(guān)于原點對稱的△A1B1C1，并寫出點B1的坐標(biāo)；
（2）畫出△ABC繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)90°后的△A2B2C2，并寫出點B2的坐標(biāo)．
【分析】（1）利用中心對稱的性質(zhì)分別作出A，B，C的對應(yīng)點A1，B1，C1即可；
（2）利用旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)分別作出A，B，C的對應(yīng)點A2，B2，C2即可．
【解答】解：（1）如圖，△A1B1C1即為所求，點B1的坐標(biāo)（5，﹣1）；
（2）如圖，△A2B2C2即為所求，點B2的坐標(biāo)（﹣1，﹣5）．
【點評】本題考查作圖﹣中心對稱，旋轉(zhuǎn)變換等知識，解題的關(guān)鍵是掌握中心對稱，旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)，屬于中考?？碱}型．
23．（6分）如圖，在等邊△ABC中，點D是AB邊上一點，連接CD，將線段CD繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)60°后得到CE，連接AE．求證：AE∥BC．
【分析】利用等邊三角形的性質(zhì)得AC＝BC，∠B＝∠ACB＝60°，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得CD＝CE，∠DCE＝60°，則∠DCE＝∠ACB，所以∠BCD＝∠ACE，接著證明△BCD≌△ACE得到∠EAC＝∠B＝60°，從而得到∠EAC＝∠ACB，然后根據(jù)平行線的判定方法得到結(jié)論．
【解答】解：∵△ABC是等邊三角形，
∴AC＝BC，∠B＝∠ACB＝60°，
∵線段CD繞點C順時針旋轉(zhuǎn)60°得到CE，
∴CD＝CE，∠DCE＝60°，
∴∠DCE＝∠ACB，
即∠BCD+∠DCA＝∠DCA+∠ACE，
∴∠BCD＝∠ACE，
在△BCD與△ACE中，
，
∴△BCD≌△ACE，
∴∠EAC＝∠B＝60°，
∴∠EAC＝∠ACB，
∴AE∥BC．
【點評】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．也考查了等邊三角形的性質(zhì)和全等三角形的判定與性質(zhì)．
24．（6分）如圖1，單孔拱橋的形狀近似拋物線形，建立如圖2所示的平面直角坐標(biāo)系，在正常水位時，水面寬度AB為12m，拱橋的最高點C到水面AB的距離為6m．
（1）求拋物線的解析式；
（2）因為上游水庫泄洪，水面寬度變?yōu)?0m，求水面上漲的高度．
【分析】（1）設(shè)拋物線的解析式為y＝ax2+k，根據(jù)點B、C坐標(biāo)可求出其解析式；
（2）將x＝5或x＝﹣5代入解析式求出y的值即可得出答案．
【解答】解：（1）設(shè)拋物線的解析式為y＝ax2+k，
由題意，得：B（6，0）、C（0，6），
∴y＝ax2+6，
∴0＝a?62+6，
解得a＝﹣，
∴解析式為y＝﹣x2+6；
（2）由題意得，水面寬度的橫坐標(biāo)為﹣5和5，
∴y＝﹣×52+6＝﹣+6＝，
∴水面上漲的高度為m．
【點評】本題主要考查二次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、理解題意．
25．（6分）閱讀材料：各類方程的解法不盡相同，但是它們有一個共同的基本數(shù)學(xué)思想——轉(zhuǎn)化，把未知轉(zhuǎn)化為已知．用“轉(zhuǎn)化”的數(shù)學(xué)思想，我們還可以解一些新的方程．例如，一元三次方程x3﹣2x2﹣3x＝0，通過因式分解可以把它轉(zhuǎn)化為x（x2﹣2x﹣3）＝0，解方程x＝0和x2﹣2x﹣3＝0，可得方程x3﹣2x2﹣3x＝0的解．
問題：（1）方程x3﹣2x2﹣3x＝0的解是x1＝0，x2＝ 3 ，x3＝ ﹣1 ．
（2）求方程x3＝6x2+16x的解．
拓展：（3）用“轉(zhuǎn)化”思想求方程＝x的解．
【分析】（1）用因式分解法求解方程x2﹣2x﹣3＝0可得結(jié)論；
（2）仿照例題因式分解等號的左邊，得關(guān)于x的三個一次方程，求解即可；
（3）方程的兩邊平方，得一元二次方程，求解后需檢驗．
【解答】解：（1）∵x2﹣2x﹣3＝0，
∴（x﹣3）（x+1）＝0．
∴x﹣3＝0或x+1＝0．
∴x＝3或x＝﹣1．
故答案為：3，﹣1；
（2）方程x3＝6x2+16x，可化為x3﹣6x2﹣16x＝0，
∴x（x2﹣6x﹣16）＝0，
∴x（x+2）（x﹣8）＝0．
∴x＝0或x+2＝0或x﹣8＝0，
∴x1＝0，x2＝﹣2，x3＝8．
（3），方程兩邊平方，得﹣2x+15＝x2，
即x2+2x﹣15＝0，
∴（x+5）（x﹣3）＝0，
∴x+5＝0或x﹣3＝0，
∴x1＝﹣5，x2＝3．
當(dāng)x＝﹣5時，
＝＝5≠﹣5，
故﹣5不是原方程的解，舍去；
當(dāng)x＝3時，
＝＝3．
∴x＝3是原方程的解．
【點評】本題考查了高次方程、無理方程的解法，理解題例學(xué)會轉(zhuǎn)化的思想方法是解決本題的關(guān)鍵．
26．（6分）已知拋物線y＝x2﹣2ax+a2﹣4，拋物線的頂點為M．
（1）求點M的坐標(biāo)；
（2）設(shè)拋物線與x軸交于A（x1，0），B（x2，0）兩點，且x2＞x1
①判斷AB的長是否為定值，并證明；
②已知點N（0，﹣4），且NA≥5，利用圖象求x2﹣x1+a的取值范圍．
【分析】（1）把一般式配成頂點式即可得到M點坐標(biāo)；
（2）①令y＝0，可求得A、B兩點的坐標(biāo)，則AB長可求；
②由MA＝5時，求得A點坐標(biāo)，結(jié)合圖象可得取值范圍．
【解答】解：（1）∵y＝（x﹣a）2﹣4，
∴M（a，﹣4）；
（2）①AB長為定值，
令y＝0，則x2﹣2ax+a2﹣4＝0
則（x﹣a）2＝4，
解得x1＝a+2或x2＝a﹣2，
AB長＝|a+2﹣（a﹣2）|＝4，
②當(dāng)NA＝5時，
當(dāng)點A在y軸左側(cè)時，如圖：
∵NA＝5，ON＝4，則OA＝3，故點A（﹣3，0），
∵NA≥5，則a﹣2≤﹣3，∵AB＝4＝x2﹣x1，
∵x2﹣x1+a＝4+a，故x2﹣x1+a≤3；
當(dāng)點A在y軸右側(cè)時，
同理可得：點A（3，0），
則a﹣2≥3，x2﹣x1+a≥9；
故：x2﹣x1+a的取值范圍為x2﹣x1+a≤3或x2﹣x1+a≥9．
【點評】本題考查拋物線與x軸的交點、二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征、二次函數(shù)的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用二次函數(shù)的性質(zhì)解答．
27．（7分）問題發(fā)現(xiàn)：（1）如圖1，已知C為線段AB上一點，分別以線段AC、BC為直角邊作等腰直角三角形，∠ACD＝90°，CA＝CD，CB＝CE，連接AE、BD，則AE、BD之間的數(shù)量關(guān)系為 AE＝BD ，位置關(guān)系為 AE⊥BD ；
拓展探究：（2）如圖2，把Rt△ACD繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)，線段AE、BD交于點F，則AE與BD之間的關(guān)系是否仍然成立？請說明理由．
拓展延伸：（3）如圖3，已知AC＝CD，BC＝CE，∠ACD＝∠BCE＝90°，連接AB、AE、AD，把線段AB繞點A旋轉(zhuǎn)，若AB＝5，AC＝3，請直接寫出旋轉(zhuǎn)過程中線段AE的最大值．
【分析】（1）延長BD交AE于H，證明△ACE≌△DCB，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AE＝BD，∠AEC＝∠DBC，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得到∠EHD＝90°，證明結(jié)論；
（2）證明△ACE≌△DCB，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)證明；
（3）連接BD，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AE＝BD，根據(jù)勾股定理求出AD，結(jié)合圖形計算，得到答案．
【解答】解：（1）如圖1，延長BD交AE于H，
在△ACE和△DCB中，
，
∴△ACE≌△DCB（SAS），
∴AE＝BD，∠AEC＝∠DBC，
∵∠CDB＝∠HDE，
∴∠EHD＝∠DCB＝90°，即AE⊥BD，
故答案為：AE＝BD；AE⊥BD；
（2）AE與BD之間的關(guān)系仍然成立，
理由如下：如圖2，設(shè)BD，CE交于P，
∵∠ACD＝∠BCE＝90°，
∴∠ACD+∠DCE＝∠BCE+∠DCE，即∠ACE＝∠DCB，
在△ACE和△DCB中，
，
∴△ACE≌△DCB（SAS），
∴AE＝BD，∠AEC＝∠DBC，
∵∠FPE＝∠CPB，
∴∠EFP＝∠PCB＝90°，即AE⊥BD；
（3）如圖3，連接BD，
由（2）的方法可得：△ACE≌△DCB，
∴AE＝BD，
在Rt△ACD中，AC＝CD＝3，
由勾股定理得：AD＝＝3，
當(dāng)點A在BD上時，BD最大，最大值為5+3，
∴線段AE的最大值為5+3．
【點評】本題考查的是旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)，根據(jù)SAS定理證明△ACE≌△DCB是解題的關(guān)鍵．
28．（7分）對于某一函數(shù)給出如下定義：如果存在實數(shù)p，當(dāng)其自變量的值為p時，其函數(shù)值等于p，則稱p為這個函數(shù)的不動值，在函數(shù)存在不動值時，該函數(shù)的最大不動值與最小不動值之差q稱為這個函數(shù)的不動長度，特別地，當(dāng)函數(shù)只有一個不動值時，其不動長度q為0，例如，圖中的函數(shù)有0和1兩個不動值，其不動長度q為1．
（1）下列函數(shù)①y＝2x，②y＝x2+1，③y＝x2﹣2x中存在不動值的是 ①③ （填序號）；
（2）函數(shù)y＝3x2+bx，
①若其不動長度為0，則b的值為 1 ；
②若﹣2≤b≤2，求其不動長度q的取值范圍；
（3）記函數(shù)y＝x2﹣4x（x≥t）的圖象為G1，將G1沿x＝t翻折后得到的函數(shù)圖象記為G2，函數(shù)G的圖象由G1和G2兩部分組成，若其不動長度q滿足0≤q≤5，則t的取值范圍為 2≤t≤5或t＜﹣ ．
【分析】（1）令函數(shù)的x與y相等列出方程求解，有解則存在不動值，無解則不存在不動值；
（2）①先求函數(shù)的不動值，然后結(jié)合不動長度求b的值；
②通過不動值用含有b的式子表示出不動長度q，再利用b的取值范圍求出q的取值范圍；
（3）先求出G2的函數(shù)解析式，再求出函數(shù)G的不動值，然后表示出不動長度，最后結(jié)合不動長度求出t的取值范圍．
【解答】解：（1）①令x＝y(tǒng)，得x＝2x，
解得：x＝0，故①存在不動值；
②令x＝y(tǒng)，得x＝x2+1，此方程無解，故②不存在不動值；
③令x＝y(tǒng)，得x＝x2﹣2x，
解得：x＝0或x＝3，故③存在不動值；
故答案為：①③；
（2）①令x＝y(tǒng)，得x＝3x2+bx，
解得：x＝0或x＝，
∵不動長度為0，
∴＝0，
∴b＝1，
故答案為：1；
②由①得，函數(shù)的不動值為x＝0或x＝，
∴不動長度q＝||，
∵﹣2≤b≤2，
當(dāng)﹣2≤b≤1時，0≤1﹣b≤3，
∴不動長度為0≤≤1，
當(dāng)1＜b≤2時，﹣1≤1﹣b＜0，
∴不動長度為0＜﹣≤，
綜上所述，函數(shù)y＝3x2+bx的不動長度的取值范圍為0≤q≤1；
（3）令y＝x，得x2﹣4x＝x，
解得：x＝0或x＝5，
∴函數(shù)y＝x2﹣4x的不動長度為5﹣0＝5，
當(dāng)直線x＝t在y軸右側(cè)時，
如圖1，當(dāng)t＝5時，函數(shù)G只有一個不動值5，
此時，函數(shù)G的不動長度為0，
如圖2，當(dāng)t＝2時，函數(shù)G的圖象與函數(shù)y＝x2﹣4x的圖象一致，
此時，函數(shù)G的不動長度為5，
∵0≤q≤5，
∴2≤t≤5；
當(dāng)直線x＝t在y軸左側(cè)時，
如圖3，當(dāng)圖象G2與直線y＝x只有一個交點時，
∵G1沿x＝t翻折后得到的函數(shù)圖象記為G2，y＝x2﹣4x（x≥t）的圖象為G1，
∴G2的函數(shù)解析式為y＝（x﹣2t+2）2﹣4（x＜t），
令y＝（x﹣2t+2）2﹣4＝x，得：x2﹣（4t﹣3）x+4t2﹣8t＝0，
∴Δ＝（4t﹣3）2﹣4（4t2﹣8t）＝0，
解得：t＝﹣，
結(jié)合圖象可知，當(dāng)t＜﹣時，圖象G2與直線將不會有交點，
∴圖象G2沒有不動值，
∴函數(shù)G的不動長度仍為5，符合題意；
綜上所述，t的取值范圍為2≤t≤5或t＜﹣．
故答案為：2≤t≤5或t＜﹣．
【點評】本題屬于二次函數(shù)綜合題，考查的二次函數(shù)與一次函數(shù)交點問題、新定義“不動值”、翻折的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是讀懂新定義、準確畫圖并判斷函數(shù)之間的交點情況．
聲明：試題解析著作權(quán)屬菁優(yōu)網(wǎng)所有，未經(jīng)書面同意，不得復(fù)制發(fā)布日期：2024/7/22 19:16:33；用戶：菁優(yōu)校本題庫；郵箱：2471@xyh.cm；學(xué)號：56380052x
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