本講為重要知識點，題型主要圍繞函數(shù)的思想以及函數(shù)的性質(zhì)考察，配合導(dǎo)數(shù)的幾何意義對學(xué)生的邏輯思維能力要求很高。主要學(xué)習(xí)用集合語言和對應(yīng)關(guān)系刻畫函數(shù)概念。通過函數(shù)的不同表示方法加深對函數(shù)概念的認識。學(xué)習(xí)用精確的符號語言刻畫函數(shù)性質(zhì)的方法，并通過冪函數(shù)的學(xué)習(xí)函數(shù)研究函數(shù)的基本內(nèi)容、過程和方法。
考點一 函數(shù)的概念及其表示
1.函數(shù)的定義
設(shè)A，B是非空的數(shù)集，如果按照某種確定的對應(yīng)關(guān)系f，使對于集合A中的任意一個數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對應(yīng)，稱f：A→B為從集合A到集合B的一個函數(shù)y＝f(x)，x∈A
2．函數(shù)的有關(guān)概念
(1)函數(shù)的定義域、值域：在函數(shù)y＝f(x)，x∈A中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域；與x的值相對應(yīng)的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合{f(x)|x∈A}叫做函數(shù)的值域.顯然，值域是集合B的子集．
(2)函數(shù)的三要素：定義域、值域和對應(yīng)關(guān)系．
(3)相等函數(shù)：如果兩個函數(shù)的定義域和對應(yīng)關(guān)系完全一致，則這兩個函數(shù)相等，這是判斷兩函數(shù)相等的依據(jù)．
(4)函數(shù)的表示法：解析法、圖象法、列表法．
3．分段函數(shù)
若函數(shù)在其定義域內(nèi)，對于定義域內(nèi)的不同取值區(qū)間，有著不同的對應(yīng)關(guān)系，這樣的函數(shù)通常叫做分段函數(shù)．
(1)確定函數(shù)的定義域常從解析式本身有意義，或從實際出發(fā)．
(2)如果函數(shù)y＝f(x)用表格給出，則表格中x的集合即為定義域．
(3)如果函數(shù)y＝f(x)用圖象給出，則圖象在x軸上的投影所覆蓋的x的集合即為定義域.
值域是一個數(shù)集，由函數(shù)的定義域和對應(yīng)關(guān)系共同確定．
(1)分段函數(shù)雖由幾個部分構(gòu)成，但它表示同一個函數(shù)．
(2)分段函數(shù)的定義域是各段定義域的并集，值域是各段值域的并集．
(3)各段函數(shù)的定義域不可以相交.
4．常用結(jié)論
(1)若f(x)為整式，則函數(shù)的定義域為R；
(2)若f(x)為分式，則要求分母不為0；
(3)若f(x)為對數(shù)式，則要求真數(shù)大于0；
(4)若f(x)為根指數(shù)是偶數(shù)的根式，則要求被開方式非負；
(5)若f(x)描述實際問題，則要求使實際問題有意義．
如果f(x)是由幾個部分的數(shù)學(xué)式子構(gòu)成的，求定義域常常等價于解不等式(組)．
考點二 函數(shù)的基本性質(zhì)
1.函數(shù)的單調(diào)性
(1)單調(diào)函數(shù)的定義
(2)單調(diào)區(qū)間的定義
如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)或減函數(shù)，那么就說函數(shù)y＝f(x)在這一區(qū)間上具有(嚴格的)單調(diào)性，區(qū)間D叫做y＝f(x)的單調(diào)區(qū)間．
2．函數(shù)的最值
3.函數(shù)的奇偶性
4.函數(shù)的周期性
(1)周期函數(shù)：對于函數(shù)y＝f(x)，如果存在一個非零常數(shù)T，使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的任何值時，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就稱函數(shù)y＝f(x)為周期函數(shù)，稱T為這個函數(shù)的周期.
(2)最小正周期：如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個最小的正數(shù)，那么這個最小正數(shù)就叫做f(x)的最小正周期.
注意：
（1）如果一個奇函數(shù)f(x)在原點處有定義，即f(0)有意義，那么一定有f(0)＝0.
（2）如果函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，那么f(x)＝f(|x|).
（3）奇函數(shù)在兩個對稱的區(qū)間上具有相同的單調(diào)性；偶函數(shù)在兩個對稱的區(qū)間上具有相反的單調(diào)性.
（4）函數(shù)周期性常用結(jié)論
對f(x)定義域內(nèi)任一自變量的值x：
①若f(x＋a)＝－f(x)，則T＝2a(a>0).
②若f(x＋a)＝eq \f(1,f（x）)，則T＝2a(a>0).
③若f(x＋a)＝－eq \f(1,f（x）)，則T＝2a(a>0).
5.對稱性的三個常用結(jié)論
①若函數(shù)y＝f(x＋a)是偶函數(shù)，則函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝a對稱.
②若對于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，則y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝a對稱.
③若函數(shù)y＝f(x＋b)是奇函數(shù)，則函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于點(b，0)中心對稱.
高頻考點一 函數(shù)的概念及其表示
例1、下列命題中，正確的有 SKIPIF 1 < 0
A. 函數(shù) SKIPIF 1 < 0 與函數(shù) SKIPIF 1 < 0 表示同一函數(shù)
B. 已知函數(shù) SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0
C. 若函數(shù)，則 SKIPIF 1 < 0
D. 若函數(shù) SKIPIF 1 < 0 的定義域為 SKIPIF 1 < 0 ，則函數(shù) SKIPIF 1 < 0 的定義域為 SKIPIF 1 < 0
【答案】BC
【解析】
解： SKIPIF 1 < 0 的定義域是 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 的定義域是 SKIPIF 1 < 0 ，或 SKIPIF 1 < 0 ，
兩函數(shù)的定義域不同，故不是同一函數(shù)，A錯誤;
函數(shù) SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，故B正確；
若函數(shù) SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，故C正確；
若函數(shù) SKIPIF 1 < 0 的定義域為 SKIPIF 1 < 0 ，則函數(shù) SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，即函數(shù) SKIPIF 1 < 0 的定義域為 SKIPIF 1 < 0 ，故D錯誤.
【變式訓(xùn)練】
1、若函數(shù) SKIPIF 1 < 0 的定義域為 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 3B．3C．1D． SKIPIF 1 < 0 1
【答案】A
【解析】
由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
由題意可知上式的解集為 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 為方程 SKIPIF 1 < 0 的一個根，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
故選：A
高頻考點二 函數(shù)的基本性質(zhì)
例2：已知函數(shù) SKIPIF 1 < 0 是奇函數(shù)，且在 SKIPIF 1 < 0 上是減函數(shù)，且在區(qū)間 SKIPIF 1 < 0 上的值域為 SKIPIF 1 < 0 ，則在區(qū)間 SKIPIF 1 < 0 上 SKIPIF 1 < 0
A. 有最大值4B. 有最小值 SKIPIF 1 < 0 C. 有最大值 SKIPIF 1 < 0 D. 有最小值 SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】
解： SKIPIF 1 < 0 函數(shù) SKIPIF 1 < 0 是奇函數(shù)，在 SKIPIF 1 < 0 上是減函數(shù)，
SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上也是減函數(shù)，
SKIPIF 1 < 0 在區(qū)間 SKIPIF 1 < 0 上的值域為 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 最大值為 SKIPIF 1 < 0 ，最小值為 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 在區(qū)間 SKIPIF 1 < 0 上也是減函數(shù)，且最大值為 SKIPIF 1 < 0 ，
最小值為 SKIPIF 1 < 0 ，
故選： SKIPIF 1 < 0
【變式訓(xùn)練】
1．設(shè)函數(shù) SKIPIF 1 < 0 ，則滿足 SKIPIF 1 < 0 的x的取值范圍是（ ）
A．（－∞，－1]B．（0，＋∞）
C．（－1，0）D．（－∞，0）
【答案】D
【解析】
解：函數(shù) SKIPIF 1 < 0 ，的圖象如圖：
滿足 SKIPIF 1 < 0 ，
可得： SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ．
故選：D.
高頻考點三 中心對稱性質(zhì)：幾個復(fù)雜的奇函數(shù)
例3、對于定義在 SKIPIF 1 < 0 上的函數(shù) SKIPIF 1 < 0 ，點 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 圖像的一個對稱中心的充要條件是：對任意 SKIPIF 1 < 0 都有 SKIPIF 1 < 0 ，判斷函數(shù) SKIPIF 1 < 0 的對稱中心______.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】根據(jù)點 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 圖像的一個對稱中心的充要條件，列出式子，即可得出結(jié)果.
解：因為 SKIPIF 1 < 0 ，由于 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 .即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .所以 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的一個對稱中心.
故答案為： SKIPIF 1 < 0 .
【變式訓(xùn)練】
1、設(shè)函數(shù) SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 滿足不等式 SKIPIF 1 < 0 ，則當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時， SKIPIF 1 < 0
的最大值為
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【詳解】
因為 SKIPIF 1 < 0 ,所以函數(shù) SKIPIF 1 < 0 為奇函數(shù),又因為 SKIPIF 1 < 0 為單調(diào)減函數(shù),且 SKIPIF 1 < 0 所以 SKIPIF 1 < 0 為 SKIPIF 1 < 0 上減函數(shù),因此 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ,因為 SKIPIF 1 < 0 ,所以可行域為一個三角形 SKIPIF 1 < 0 及其內(nèi)部,其中 SKIPIF 1 < 0 ,因此直線 SKIPIF 1 < 0 過點 SKIPIF 1 < 0 時取最大值 SKIPIF 1 < 0 ,選B.
【基本規(guī)律】
1、若 SKIPIF 1 < 0 滿足 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 關(guān)于 SKIPIF 1 < 0 中心對稱
SKIPIF 1 < 0
3. SKIPIF 1 < 0
高頻考點四 軸對稱
例4：已知函數(shù) SKIPIF 1 < 0 有唯一零點，則負實數(shù) SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】函數(shù) SKIPIF 1 < 0 有有唯一零點，設(shè) SKIPIF 1 < 0
則函數(shù) SKIPIF 1 < 0 有唯一零點，則 SKIPIF 1 < 0 3e|t|-a（2t+2-t）=a2，
設(shè) SKIPIF 1 < 0 ∴ SKIPIF 1 < 0 為偶函數(shù)，
∵函數(shù) SKIPIF 1 < 0 有唯一零點，∴ SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 有唯一的交點，
∴此交點的橫坐標為0， SKIPIF 1 < 0 解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 （舍去），故選A．
【變式訓(xùn)練】
1.已知函數(shù) SKIPIF 1 < 0 在區(qū)間 SKIPIF 1 < 0 的值域為 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．2B．4C．6D．8
【答案】C
【詳解】解： SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點對稱， SKIPIF 1 < 0 是將上述函數(shù)圖象向右平移2個單位，并向上平移3個單位得到，所以 SKIPIF 1 < 0 圖象關(guān)于 SKIPIF 1 < 0 對稱，則 SKIPIF 1 < 0 ，故選 SKIPIF 1 < 0 .
【基本規(guī)律】
1.函數(shù) SKIPIF 1 < 0 對于定義域內(nèi)任意實數(shù) SKIPIF 1 < 0 滿足 SKIPIF 1 < 0 ，則函數(shù) SKIPIF 1 < 0 關(guān)于直線 SKIPIF 1 < 0 對稱，特別地當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時，函數(shù) SKIPIF 1 < 0 關(guān)于直線 SKIPIF 1 < 0 對稱；
2.如果函數(shù) SKIPIF 1 < 0 滿足 SKIPIF 1 < 0 ，則函數(shù) SKIPIF 1 < 0 的圖象關(guān)于直線 SKIPIF 1 < 0 對稱.
3. SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 關(guān)于直線 SKIPIF 1 < 0 對稱。
高頻考點五 中心對稱和軸對稱構(gòu)造出周期性
例5：已知函數(shù)為定義域為的偶函數(shù)，且滿足，當(dāng)時，.若函數(shù)在區(qū)間上的所有零點之和為__________．
【答案】5
【詳解】∵足，∴，又因函數(shù)為偶函數(shù)，∴，即，∴，令，，，即求與交點橫坐標之和.，
作出圖象：
由圖象可知有10個交點，并且關(guān)于中心對稱，∴其和為故答案為：5
【變式訓(xùn)練】
1.定義在 SKIPIF 1 < 0 上的奇函數(shù) SKIPIF 1 < 0 滿足 SKIPIF 1 < 0 ，且在 SKIPIF 1 < 0 上單調(diào)遞減，若方程 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上有實數(shù)根，則方程 SKIPIF 1 < 0 在區(qū)間 SKIPIF 1 < 0 上所有實根之和是（ ）
A．30B．14C．12D．6
【答案】A
【詳解】
由 SKIPIF 1 < 0 知函數(shù) SKIPIF 1 < 0 的圖象關(guān)于直線 SKIPIF 1 < 0 對稱，∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是R上的奇函數(shù)，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 的周期為4，考慮 SKIPIF 1 < 0 的一個周期，例如 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上是減函數(shù)知 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上是增函數(shù)， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上是減函數(shù)， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上是增函數(shù)，
對于奇函數(shù) SKIPIF 1 < 0 有 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時， SKIPIF 1 < 0 ，當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時， SKIPIF 1 < 0 ，
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時， SKIPIF 1 < 0 ，當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時， SKIPIF 1 < 0 ，方程 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上有實數(shù)根，
則這實數(shù)根是唯一的，因為 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上是單調(diào)函數(shù)，
則由于 SKIPIF 1 < 0 ，故方程 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上有唯一實數(shù)，在 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 上 SKIPIF 1 < 0 ，
則方程 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 上沒有實數(shù)根，從而方程 SKIPIF 1 < 0 在一個周期內(nèi)有且僅有兩個實數(shù)根，
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 ，方程 SKIPIF 1 < 0 的兩實數(shù)根之和為 SKIPIF 1 < 0 ，
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 ，方程 SKIPIF 1 < 0 的所有6個實數(shù)根之和為 SKIPIF 1 < 0 .故選：A.
【基本規(guī)律】
關(guān)于對稱中心與對稱軸構(gòu)造周期的經(jīng)驗結(jié)論
1.若函數(shù)有兩個對稱中心（a，0）與（b，0）），則函數(shù)具有周期性，周期T=2|a-b|。
2.若函數(shù)有兩條對稱軸x=a與x=b，則函數(shù)具有周期性，周期T=2|a-b|。
3.若函數(shù)有一個對稱中心（a，0）與一條對稱軸x=b，，則函數(shù)具有周期性，周期T=4|a-b|。
增函數(shù)
減函數(shù)
定義
一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為I，如果對于定義域I內(nèi)某個區(qū)間D上的任意兩個自變量的值x1，x2
當(dāng)x1

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