專題7.7 平行線中的四大經(jīng)典模型 【北師大版】 【模型1 “豬蹄”型（含鋸齒型）】 1．（2020下·湖北武漢·八年級統(tǒng)考期末）如圖，AB∥CD，EF平分∠BED，∠DEF+∠D=66°，∠B?∠D=28°，則∠BED= ． 【答案】80° 【分析】過E點(diǎn)作EM∥AB，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠BED=∠B+∠D，利用角平分線的定義可求得∠B+3∠D=132°，結(jié)合∠B-∠D=28°即可求解． 【詳解】解：過E點(diǎn)作EM∥AB， ∴∠B=∠BEM， ∵AB∥CD， ∴EM∥CD， ∴∠MED=∠D， ∴∠BED=∠B+∠D， ∵EF平分∠BED， ∴∠DEF=12∠BED， ∵∠DEF+∠D=66°， ∴12∠BED+∠D=66°， ∴∠BED+2∠D=132°， 即∠B+3∠D=132°， ∵∠B-∠D=28°， ∴∠B=54°，∠D=26°， ∴∠BED=80°． 故答案為：80°． 【點(diǎn)睛】本題主要考查平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，作出輔助線證出∠BED=∠B+∠D是解題的關(guān)鍵． 2．（2023上·遼寧鞍山·八年級統(tǒng)考期中）如圖，已知AB∥CD，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠BAD=80°，∠BCD=n°，則∠BED的度數(shù)為 ．（用含n的式子表示） 【答案】40°+12n° 【分析】首先過點(diǎn)E作EF∥AB，由平行線的傳遞性得AB∥CD∥EF，再根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等，得出∠BCD=∠ABC=n°，∠BAD=∠ADC=80°，由角平分線的定義得出∠ABE=12n°，∠EDC=40°，再由兩直線平行，內(nèi)錯角相等得出∠BEF=∠ABE=12n° ∠FED=∠EDC=40°，由∠BED=∠BEF+∠FED即可得出答案． 【詳解】解：如圖，過點(diǎn)E作EF∥AB，則AB∥CD∥EF， ∵AB∥CD， ∴∠BCD=∠ABC=n°，∠BAD=∠ADC=80°， 又∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC， ∴∠ABE=12∠ABC=12n°， ∠EDC=12∠ADC=12×80°=40°， ∵AB∥EF∥CD， ∴∠BEF=∠ABE=12n° ， ∠FED=∠EDC=40°， ∴∠BED=∠FED+∠BEF=40°+12n°， 故答案為：40°+12n°． 【點(diǎn)睛】本題考查平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，解題關(guān)鍵是作出正確的輔助線，掌握平行線的性質(zhì)和角平分線的定義． 3．（2023下·廣東河源·八年級河源市第二中學(xué)校考期中）已知直線l1∥l2， A是l1上的一點(diǎn)，B是l2上的一點(diǎn)，直線l3和直線l1，l2交于C和D，直線CD上有一點(diǎn)P． (1)如果P點(diǎn)在C，D之間運(yùn)動時，問∠PAC，∠APB，∠PBD有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請說明理由． (2)若點(diǎn)P在C，D兩點(diǎn)的外側(cè)運(yùn)動時（P點(diǎn)與C，D不重合），試探索∠PAC，∠APB，∠PBD之間的關(guān)系又是如何？（請直接寫出答案，不需要證明） 【答案】(1)∠PAC+∠PBD=∠APB (2)當(dāng)點(diǎn)P在直線l1上方時，∠PBD?∠PAC=∠APB；當(dāng)點(diǎn)P在直線l2下方時，∠PAC?∠PBD=∠APB． 【分析】（1）過點(diǎn)P作PE∥l1，由“平行于同一條直線的兩直線平行”可得出PE∥l1∥l2，再由“兩直線平行，內(nèi)錯角相等”得出∠PAC=∠APE、∠PBD=∠BPE，再根據(jù)角與角的關(guān)系即可得出結(jié)論； （2）按點(diǎn)P的兩種情況分類討論：①當(dāng)點(diǎn)P在直線l1上方時；②當(dāng)點(diǎn)P在直線l2下方時，同理（1）可得∠PAC=∠APE、∠PBD=∠BPE，再根據(jù)角與角的關(guān)系即可得出結(jié)論． 【詳解】（1）解：∠PAC+∠PBD=∠APB． 過點(diǎn)P作PE∥l1，如圖1所示． ∵ PE∥l1，l1∥l2， ∴ PE∥l1∥l2， ∴∠PAC=∠APE，∠PBD=∠BPE， ∵∠APB=∠APE+∠BPE， ∴∠PAC+∠PBD=∠APB． （2）解：結(jié)論：當(dāng)點(diǎn)P在直線l1上方時，∠PBD?∠PAC=∠APB；當(dāng)點(diǎn)P在直線l2下方時，∠PAC?∠PBD=∠APB． ①當(dāng)點(diǎn)P在直線l1上方時，如圖2所示．過點(diǎn)P作PE∥l1． ∵ PE∥l1，l1∥l2， ∴ PE∥l1∥l2， ∴∠PAC=∠APE，∠PBD=∠BPE， ∵∠APB=∠BPE?∠APE， ∴∠PBD?∠PAC=∠APB． ②當(dāng)點(diǎn)P在直線l2下方時，如圖3所示．過點(diǎn)P作PE∥l1． ∵ PE∥l1，l1∥l2， ∴ PE∥l1∥l2， ∴∠PAC=∠APE，∠PBD=∠BPE， ∵∠APB=∠APE?∠BPE， ∴∠PAC?∠PBD=∠APB． 【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)以及角的計(jì)算，解題的關(guān)鍵是根據(jù)“兩直線平行，內(nèi)錯角相等”找到相等的角．本題屬于基礎(chǔ)題，難度不大，解決該題型題目時，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出相等（或互補(bǔ)）的角是關(guān)鍵． 4．（2023下·山東聊城·八年級統(tǒng)考階段練習(xí)）已知直線AB//CD，EF是截線，點(diǎn)M在直線AB、CD之間． (1)如圖1，連接GM，HM．求證：∠M＝∠AGM＋∠CHM； (2)如圖2，在∠GHC的角平分線上取兩點(diǎn)M、Q，使得∠AGM＝∠HGQ．試判斷∠M與∠GQH之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由． 【答案】(1)證明見詳解 (2)∠GQH=180°?∠M；理由見詳解 【分析】（1）過點(diǎn)M作MN∥AB，由AB∥CD，可知MN∥AB∥CD．由此可知：∠AGM=∠GMN，∠CHM=∠HMN，故∠AGM+∠CHM=∠GMN+∠HMN=∠M； （2）由（1）可知∠AGM+∠CHM=∠M．再由∠CHM=∠GHM，∠AGM＝∠HGQ，可知 ：∠M=∠HGQ+∠GHM，利用三角形內(nèi)角和是180°，可得∠GQH=180°?∠M． 【詳解】（1） 解：如圖：過點(diǎn)M作MN∥AB， ∴MN∥AB∥CD， ∴∠AGM=∠GMN，∠CHM=∠HMN， ∵∠M=∠GMN+∠HMN， ∴∠M=∠AGM+∠CHM． （2）解：∠GQH=180°?∠M，理由如下： 如圖：過點(diǎn)M作MN∥AB， 由（1）知∠M=∠AGM+∠CHM， ∵HM平分∠GHC， ∴∠CHM=∠GHM， ∵∠AGM＝∠HGQ， ∴∠M=∠HGQ+∠GHM， ∵∠HGQ+∠GHM+∠GQH=180°， ∴∠GQH=180°?∠M． 【點(diǎn)睛】本題考查了利用平行線的性質(zhì)求角之間的數(shù)量關(guān)系，正確的作出輔助線是解決本題的關(guān)鍵，同時這也是比較常見的幾何模型“豬蹄模型”的應(yīng)用． 5．（2023下·福建莆田·八年級莆田第二十五中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖，AB//CD，點(diǎn)E在直線AB，CD內(nèi)部，且AE⊥CE． （1）如圖1，連接AC，若AE平分∠BAC，求證：CE平分∠ACD； （2）如圖2，點(diǎn)M在線段AE上， ①若∠MCE=∠ECD，當(dāng)直角頂點(diǎn)E移動時，∠BAE與∠MCD是否存在確定的數(shù)量關(guān)系?并說明理由； ②若∠MCE=1n∠ECD（n為正整數(shù)），當(dāng)直角頂點(diǎn)E移動時，∠BAE與∠MCD是否存在確定的數(shù)量關(guān)系?并說明理由． 【答案】（1）見解析；（2）①∠BAE+12∠MCD=90°，理由見解析；②∠BAE+nn+1∠MCD=90°，理由見解析. 【分析】（1）根據(jù)平行的性質(zhì)可得∠BAC+∠DCA=180°，再根據(jù)AE⊥CE可得∠EAC+∠ECA=90°，根據(jù)AE平分∠BAC可得∠BAE=∠EAC,等量代換可得∠ECD+∠EAC=90°，繼而求得∠DCE=∠ECA； （2）①過E作EF∥AB，先利用平行線的傳遞性得出EF∥AB∥CD，再利用平行線的性質(zhì)及已知條件可推得答案； ②過E作EF∥AB，先利用平行線的傳遞性得出EF∥AB∥CD，再利用平行線的性質(zhì)及已知條件可推得答案. 【詳解】（1）解：因?yàn)锳B//CD， 所以∠BAC+∠DCA=180°， 因?yàn)锳E⊥CE， 所以∠EAC+∠ECA=90°， 因?yàn)锳E平分∠BAC， 所以∠BAE=∠EAC， 所以∠BAE+∠DCE=90°， 所以∠EAC+∠DCE=90°， 所以∠DCE=∠ECA， 所以CE平分∠ACD； （2）①∠BAE與∠MCD存在確定的數(shù)量關(guān)系：∠BAE+12∠MCD=90°， 理由如下： 過E作EF∥AB， ∵AB∥CD， ∴EF∥AB∥CD， ∴∠BAE=∠AEF，∠FEC=∠DCE， ∵∠E=90°， ∴∠BAE+∠ECD=90°， ∵∠MCE=∠ECD， ∴∠BAE+12∠MCD=90°； ②∠BAE與∠MCD存在確定的數(shù)量關(guān)系：∠BAE+nn+1∠MCD=90°， 理由如下： 過E作EF∥AB， ∵AB∥CD， ∴EF∥AB∥CD， ∴∠BAE=∠AEF，∠FEC=∠DCE， ∵∠E=90°， ∴∠BAE+∠ECD=90°， ∵∠MCE=1n∠ECD， ∴∠BAE+nn+1∠MCD=90°. 【點(diǎn)睛】本題主要考查平行線的性質(zhì)和角平分線的定義，解決本題的關(guān)鍵是要添加輔助線利用平行性質(zhì). 6．（2023·全國·八年級專題練習(xí)）（1）如圖1，已知AB//CD，∠ABF=∠DCE，求證：∠BFE=∠FEC （2）如圖2，已知AB//CD，∠EAF=14∠EAB，∠ECF=14∠ECD，求證：∠AFC=34∠AEC 【答案】（1）見解析；（2）見解析 【分析】（1）如圖：延長BF、DC相較于E，由AB//CD可得∠ABF=∠E，再結(jié)合∠ABF=∠DCE 可得∠DCE=∠E，即可得當(dāng)BE//DE，最后運(yùn)用兩直線平行、內(nèi)錯角相等即可證明結(jié)論； （2）如圖2：連接AC，設(shè)∠EAF=x，∠ECF=y，∠EAB=4x，∠ECD=4y，根據(jù)平行線性質(zhì)得出∠BAC+∠ACD=180°，求出∠CAE+∠ACE=180°-（4x+4y），再求出∠AEC和∠AFC，最后比較即可得到結(jié)論． 【詳解】（1）證明：如圖：延長BF、DC相較于G ∵AB//CD ∴∠ABF=∠G ∵∠ABF=∠DCE ∴∠DCE=∠G ∴BG//CE ∴∠BFE=∠FEC； （2）如圖2：連接AC，設(shè)∠EAF=x，∠ECF=y，∠EAB=4x，∠ECD=4y， ∵AB//CD， ∴∠BAC+∠ACD=180° ∴∠CAE+4x+∠ACE+4y=180° ∴∠CAE+∠ACE=180°-（4x+4y），∠FAC+∠FCA=180°-（3x+3y）， ∴∠AEC=180°-（∠CAE+∠ACE） =180°-[80°-（4x+4y）] =4x+4y =4（x+y） ∠AFC=180°-（∠FAC+∠FCA） =180°-[180°-（3x+3y））] =3x+3y =3（x+y）， ∴∠AFC=34∠AEC． 【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的判定與性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用等知識點(diǎn)，靈活應(yīng)用平行線的判定與性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理正確的表示角成為解答本題的關(guān)鍵． 7．（2017下·湖北武漢·八年級統(tǒng)考期中）如圖1，已知AB∥CD，∠B＝30°，∠D＝120°； (1)若∠E＝60°，則∠F＝ ； (2)請?zhí)剿鳌螮與∠F之間滿足的數(shù)量關(guān)系？說明理由； (3)如圖2，已知EP平分∠BEF，F(xiàn)G平分∠EFD，反向延長FG交EP于點(diǎn)P，求∠P的度數(shù)． 【答案】(1)90° (2)∠F=∠E+30°，理由見解析 (3)15° 【分析】（1）如圖1，分別過點(diǎn)E，F(xiàn)作EM//AB，F(xiàn)N//AB，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠B=∠BEM=30°，∠MEF=∠EFN，∠D+∠DFN=180°，代入數(shù)據(jù)即可得到結(jié)論； （2）如圖1，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠B=∠BEM=30°，∠MEF=∠EFN，由AB//CD，AB//FN，得到CD//FN，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠D+∠DFN=180°，于是得到結(jié)論； （3）如圖2，過點(diǎn)F作FH//EP，設(shè)∠BEF=2x°，則∠EFD=(2x+30)°，根據(jù)角平分線的定義得到∠PEF=12∠BEF=x°，∠EFG=12∠EFD=(x+15)°，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠PEF=∠EFH=x°，∠P=∠HFG，于是得到結(jié)論． 【詳解】（1）解：如圖1，分別過點(diǎn)E，F(xiàn)作EM//AB，F(xiàn)N//AB， ∴EM//AB//FN， ∴∠B=∠BEM=30°，∠MEF=∠EFN， 又∵AB//CD，AB//FN， ∴CD//FN， ∴∠D+∠DFN=180°， 又∵∠D=120°， ∴∠DFN=60°， ∴∠BEF=∠MEF+30°，∠EFD=∠EFN+60°， ∴∠EFD=∠MEF+60° ∴∠EFD=∠BEF+30°=90°； 故答案為：90°； （2）解：如圖1，分別過點(diǎn)E，F(xiàn)作EM//AB，F(xiàn)N//AB， ∴EM//AB//FN， ∴∠B=∠BEM=30°，∠MEF=∠EFN， 又∵AB//CD，AB//FN， ∴CD//FN， ∴∠D+∠DFN=180°， 又∵∠D=120°， ∴∠DFN=60°， ∴∠BEF=∠MEF+30°，∠EFD=∠EFN+60°， ∴∠EFD=∠MEF+60°， ∴∠EFD=∠BEF+30°； （3）解：如圖2，過點(diǎn)F作FH//EP， 由（2）知，∠EFD=∠BEF+30°， 設(shè)∠BEF=2x°，則∠EFD=(2x+30)°， ∵EP平分∠BEF，GF平分∠EFD， ∴∠PEF=12∠BEF=x°，∠EFG=12∠EFD=(x+15)°， ∵FH//EP， ∴∠PEF=∠EFH=x°，∠P=∠HFG， ∵∠HFG=∠EFG?∠EFH=15°， ∴∠P=15°． 【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，熟練掌握平行線的性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵． 8．（2020下·浙江紹興·八年級統(tǒng)考期末）問題情境：如圖1，已知AB∥CD，∠APC=108°．求∠PAB+∠PCD的度數(shù)． ????? 經(jīng)過思考，小敏的思路是：如圖2，過P作PE∥AB，根據(jù)平行線有關(guān)性質(zhì)，可得∠PAB+∠PCD=360°?∠APC=252°． 問題遷移：如圖3，AD∥BC，點(diǎn)P在射線OM上運(yùn)動， ∠ADP=∠α，∠BCP=∠β． (1)當(dāng)點(diǎn)P在A、B兩點(diǎn)之間運(yùn)動時， ∠CPD、∠α、∠β之間有何數(shù)量關(guān)系？請說明理由． (2)如果點(diǎn)P在A、B兩點(diǎn)外側(cè)運(yùn)動時（點(diǎn)P與點(diǎn)A、B、O三點(diǎn)不重合），請你直接寫出∠CPD、∠α、∠β之間的數(shù)量關(guān)系． (3)問題拓展：如圖4，MA1∥NAn，A1?B1?A2???Bn?1?An是一條折線段，依據(jù)此圖所含信息，把你所發(fā)現(xiàn)的結(jié)論，用簡潔的數(shù)學(xué)式子表達(dá)為 ． 【答案】(1)∠CPD=∠α+∠β，理由見解析 (2)∠CPD=∠β-∠α或∠CPD=∠α-∠β (3)∠A1+∠A2+…+∠An=∠B1+∠B2+…+∠Bn?1 【分析】（1）過P作PE∥AD，根據(jù)平行線的判定可得PE∥AD∥BC，再根據(jù)平行線的性質(zhì)即可求解； （2）過P作PE∥AD，根據(jù)平行線的判定可得PE∥AD∥BC，再根據(jù)平行線的性質(zhì)即可求解； （3）問題拓展：分別過A2，A3…，An-1作直線∥A1M，過B1，B2，…，Bn-1作直線∥A1M，根據(jù)平行線的判定和性質(zhì)即可求解． 【詳解】（1）∠CPD=∠α+∠β，理由如下： 如圖，過P作PE∥AD交CD于E， ∵AD∥BC， ∴AD∥PE∥BC， ∴∠α=∠DPE，∠β=∠CPE， ∴∠CPD=∠DPE+∠CPE=∠α+∠β； （2）當(dāng)P在BA延長線時，∠CPD=∠β-∠α；理由： 如圖，過P作PE∥AD交CD于E， ∵AD∥BC， ∴AD∥PE∥BC， ∴∠α=∠DPE，∠β=∠CPE， ∴∠CPD=∠CPE-∠DPE=∠β-∠α； 當(dāng)P在BO之間時，∠CPD=∠α-∠β．理由： 如圖，過P作PE∥AD交CD于E， ∵AD∥BC， ∴AD∥PE∥BC， ∴∠α=∠DPE，∠β=∠CPE， ∴∠CPD=∠DPE-∠CPE=∠α-∠β． （3）問題拓展：分別過A2，A3…，An-1作直線∥A1M，過B1，B2，…，Bn-1作直線∥A1M， 由平行線的性質(zhì)和角的和差關(guān)系得∠A1+∠A2+…+∠An=∠B1+∠B2+…+∠Bn?1． 故答案為：∠A1+∠A2+…+∠An=∠B1+∠B2+…+∠Bn?1． 【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的判定和性質(zhì)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的推理能力，第（2）問在解題時注意分類思想的運(yùn)用． 9．（2020下·重慶九龍坡·八年級統(tǒng)考期末）已知，AB∥CD．點(diǎn)M在AB上，點(diǎn)N在CD上． （1）如圖1中，∠BME、∠E、∠END的數(shù)量關(guān)系為：　 ；（不需要證明） 如圖2中，∠BMF、∠F、∠FND的數(shù)量關(guān)系為：　 ；（不需要證明） （2）如圖3中，NE平分∠FND，MB平分∠FME，且2∠E＋∠F＝180°，求∠FME的度數(shù)； （3）如圖4中，∠BME＝60°，EF平分∠MEN，NP平分∠END，且EQ∥NP，則∠FEQ的大小是否發(fā)生變化，若變化，請說明理由，若不變化，求出∠FEQ的度數(shù)． 【答案】（1）∠BME＝∠MEN﹣∠END；∠BMF＝∠MFN＋∠FND；（2）120°；（3）不變，30° 【分析】（1）過E作EH∥AB，易得EH∥AB∥CD，根據(jù)平行線的性質(zhì)可求解；過F作FH∥AB，易得FH∥AB∥CD，根據(jù)平行線的性質(zhì)可求解； （2）根據(jù)（1）的結(jié)論及角平分線的定義可得2（∠BME+∠END）+∠BMF-∠FND=180°，可求解∠BMF=60°，進(jìn)而可求解； （3）根據(jù)平行線的性質(zhì)及角平分線的定義可推知∠FEQ=12∠BME，進(jìn)而可求解． 【詳解】解：（1）過E作EH∥AB，如圖1， ∴∠BME＝∠MEH， ∵AB∥CD， ∴HE∥CD， ∴∠END＝∠HEN， ∴∠MEN＝∠MEH＋∠HEN＝∠BME＋∠END， 即∠BME＝∠MEN﹣∠END． 如圖2，過F作FH∥AB， ∴∠BMF＝∠MFK， ∵AB∥CD， ∴FH∥CD， ∴∠FND＝∠KFN， ∴∠MFN＝∠MFK﹣∠KFN＝∠BMF﹣∠FND， 即：∠BMF＝∠MFN＋∠FND． 故答案為∠BME＝∠MEN﹣∠END；∠BMF＝∠MFN＋∠FND． （2）由（1）得∠BME＝∠MEN﹣∠END；∠BMF＝∠MFN＋∠FND． ∵NE平分∠FND，MB平分∠FME， ∴∠FME＝∠BME＋∠BMF，∠FND＝∠FNE＋∠END， ∵2∠MEN＋∠MFN＝180°， ∴2（∠BME＋∠END）＋∠BMF﹣∠FND＝180°， ∴2∠BME＋2∠END＋∠BMF﹣∠FND＝180°， 即2∠BMF＋∠FND＋∠BMF﹣∠FND＝180°， 解得∠BMF＝60°， ∴∠FME＝2∠BMF＝120°； （3）∠FEQ的大小沒發(fā)生變化，∠FEQ＝30°． 由（1）知：∠MEN＝∠BME＋∠END， ∵EF平分∠MEN，NP平分∠END， ∴∠FEN＝12∠MEN＝12（∠BME＋∠END），∠ENP＝12∠END， ∵EQ∥NP， ∴∠NEQ＝∠ENP， ∴∠FEQ＝∠FEN﹣∠NEQ＝12（∠BME＋∠END）﹣12∠END＝12∠BME， ∵∠BME＝60°， ∴∠FEQ＝12×60°＝30°． 【點(diǎn)睛】本題主要考查平行線的性質(zhì)及角平分線的定義，作平行線的輔助線是解題的關(guān)鍵． 10．（2023下·遼寧大連·八年級統(tǒng)考期中）如圖，AB//CD，點(diǎn)O在直線CD上，點(diǎn)P在直線AB和CD之間，∠ABP=∠PDQ=α，PD平分∠BPQ． （1）求∠BPD的度數(shù)（用含α的式子表示）； （2）過點(diǎn)D作DE//PQ交PB的延長線于點(diǎn)E，作∠DEP的平分線EF交PD于點(diǎn)F，請?jiān)趥溆脠D中補(bǔ)全圖形，猜想EF與PD的位置關(guān)系，并證明； （3）將（2）中的“作∠DEP的平分線EF交PD于點(diǎn)F”改為“作射線EF將∠DEP分為1:3兩個部分，交PD于點(diǎn)F”，其余條件不變，連接EQ，若EQ恰好平分∠PQD，請直接寫出∠FEQ=__________（用含α的式子表示）． 【答案】（1）∠BPD=2α；（2）畫圖見解析，EF⊥PD，證明見解析；（3）45°?α2或45°?32α 【分析】（1）根據(jù)平行線的傳遞性推出PG//AB//CD，再利用平行線的性質(zhì)進(jìn)行求解； （2）猜測EF⊥PD，根據(jù)PD平分∠BPQ,∠BPD=2α，推導(dǎo)出∠BPD=∠DPQ=2α，再根據(jù)DE//PQ、EF平分∠DEP，通過等量代換求解； （3）分兩種情況進(jìn)行討論，即當(dāng)∠PEF:∠DEF=1:3與∠DEF:∠PEF=1:3，充分利用平行線的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、等量代換的思想進(jìn)行求解． 【詳解】（1）過點(diǎn)P作PG//AB， ∵AB//CD,PG//AB， ∴PG//AB//CD， ∴∠BPG=∠ABP=α,∠DPG=∠PDQ=α， ∴∠BPD=∠BPG+∠DPG=2α． （2）根據(jù)題意，補(bǔ)全圖形如下： 猜測EF⊥PD， 由（1）可知：∠BPD=2α， ∵PD平分∠BPQ,∠BPD=2α， ∴∠BPD=∠DPQ=2α， ∵DE//PQ， ∴∠EDP=∠DPQ=2α， ∴∠DEP=180°?∠BPD?∠EDP=180°?4α， 又EF平分∠DEP， ∠PEF=12∠DEP=90°?2α， ∴∠EFD=180°?∠PEF?∠BPD=90°， ∴EF⊥PD． （3）①如圖1， ∠PEF:∠DEF=1:3， 由（2）可知：∠EPD=∠DPQ=∠EDP=2α,∠DEP=180°?4α， ∵∠PEF:∠DEF=1:3， ∴∠PEF=14∠DEP=45°?α， ∠DEF=34∠DEP=135°?3α， ∵DE//PQ， ∴∠DEQ=∠PQE， ∠EDQ+∠PQD=180°， ∵∠EDP=2α,∠PDQ=α， ∴∠EDQ=∠EDP+∠PDQ=3α， ∠PQD=180°?∠EDQ=180°?3α， 又EQ平分∠PQD， ∴∠PQE=∠DQE=∠DEQ=12∠PQD=90°?32α， ∴∠FEQ=∠DEF?∠DEQ=135°?3α?(90°?32α)=45°?32α； ②如圖2， ∠DEP=180°?4α，∠PQD=180°?3α（同①）； 若∠DEF:∠PEF=1:3， 則有∠DEF=14∠DEP=14×(180°?4α)=45°?α， 又∠PQE=∠DQE=12∠PQD=12×(180°?3α)=90°?32α， ∵DE//PQ， ∴∠DEQ=∠PQE=90°?32α， ∴∠FEQ=∠DEQ?∠DEF=45°?12α， 綜上所述：∠FEQ=45°?32α或45°?α2， 故答案是：45°?α2或45°?32α． 【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)、角平分線、三角形內(nèi)角和定理、垂直等相關(guān)知識點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是掌握相關(guān)知識點(diǎn)，作出適當(dāng)?shù)妮o助線，通過分類討論及等量代換進(jìn)行求解． 【模型2 “鉛筆”型】 1．（2012下·廣東茂名·八年級統(tǒng)考期中）如圖，AB∥ED，∠B+∠C+∠D=（????） ?? A．180° B．360° C．540° D．270° 【答案】B 【分析】過C點(diǎn)作直線CF∥AB，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠B+∠BCF=180°，∠FCD+∠D=180°，然后再計(jì)算∠B+∠C+∠D即可. 【詳解】?? 如圖，過C點(diǎn)作直線CF∥AB， ∵AB∥ED，???? ∴CF∥ED， ∴∠B+∠BCF=180°，∠FCD+∠D=180°， ∴∠B+∠BCF+∠FCD+∠D=360°， 即∠B+∠BCD+∠D=360°. 故選：B 【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵. 2．（2012·江蘇常州·八年級統(tǒng)考期中）一大門的欄桿如圖所示，BA垂直地面AE于點(diǎn)A，CD平行于地面AE，則∠ABC＋∠BCD＝ ． 【答案】270° 【分析】過B作BF∥AE，則CD∥BF∥AE．根據(jù)平行線的性質(zhì)即可求解． 【詳解】過B作BF∥AE， ∵CD∥ AE， 則CD∥BF∥AE， ∴∠BCD+∠1=180°， 又∵AB⊥AE， ∴AB⊥BF， ∴∠ABF=90°， ∴∠ABC+∠BCD=90°+180°=270°． 故答案為：270． 【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)．正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵． 3．（2023下·陜西西安·八年級西安市第八十三中學(xué)校聯(lián)考期中）如圖1所示的是一個由齒輪、軸承、托架等元件構(gòu)成的手動變速箱托架，其主要作用是動力傳輸．如圖2所示的是手動變速箱托架工作時某一時刻的示意圖，已知AB∥CD，CG∥EF，∠BAG=150°，∠DEF=130°，則∠AGC的度數(shù)是 ． 【答案】80° 【分析】過點(diǎn)F作FM∥CD，因?yàn)锳B∥CD，所以AB∥CD∥FM，再根據(jù)平行線的性質(zhì)可以求出∠MFA，∠EFM，進(jìn)而可求出∠EFA，再根據(jù)平行線的性質(zhì)即可求得∠AGC． 【詳解】解：如圖，過點(diǎn)F作FM∥CD， ∵AB∥CD， ∴AB∥CD∥FM， ∴∠DEF+∠EFM=180°，∠MFA+∠BAG=180°， ∵∠BAG=150°，∠DEF=130°， ∴∠MFA=30°，∠EFM=50°， ∴∠EFA=∠EFM+∠AFM=80°， ∵CG∥EF， ∴∠AGC=∠EFA=80°． 故答案為80°． 【點(diǎn)睛】本題考查平行線的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是結(jié)合圖形利用平行線的性質(zhì)進(jìn)行角的轉(zhuǎn)化和計(jì)算． 4．（2023下·廣東東莞·八年級東莞市長安實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谥校┤鐖D，已知AB∥CD． （1）如圖1所示，∠1+∠2＝　 ??； （2）如圖2所示，∠1+∠2+∠3＝　 ?。徊懗銮蠼膺^程． （3）如圖3所示，∠1+∠2+∠3+∠4＝　 　； （4）如圖4所示，試探究∠1+∠2+∠3+∠4+?+∠n＝　 ?。?【答案】（1）180°；（2）360°；（3）540°；（4）（n-1）×180° 【分析】（1）由兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，可得答案； （2）過點(diǎn)E作AB的平行線，轉(zhuǎn)化成兩個圖1，同理可得答案； （3）過點(diǎn)E，點(diǎn)F分別作AB的平行線，轉(zhuǎn)化成3個圖1，可得答案； （4）由（2）（3）類比可得答案． 【詳解】解：（1）如圖1，∵AB∥CD， ∴∠1+∠2=180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）． 故答案為：180°； （2）如圖2，過點(diǎn)E作AB的平行線EF， ∵AB∥CD， ∴AB∥EF，CD∥EF， ∴∠1+∠AEF=180°，∠FEC+∠3=180°， ∴∠1+∠2+∠3=360°； （3）如圖3，過點(diǎn)E，點(diǎn)F分別作AB的平行線， 類比（2）可知∠1+∠2+∠3+∠4=180°×3=540°， 故答案為：540°； （4）如圖4由（2）和（3）的解法可知∠1+∠2+∠3+∠4+…+∠n=（n-1）×180°， 故答案為：（n-1）×180°． 【點(diǎn)睛】此題考查了平行線的性質(zhì)．注意掌握輔助線的作法是解此題的關(guān)鍵． 5．（2020下·江蘇淮安·八年級統(tǒng)考期末）問題情境：如圖1，AB∥CD，∠PAB=130°，∠PCD=120°，求∠APC的度數(shù)． 思路點(diǎn)撥： 小明的思路是：如圖2，過P作PE∥AB，通過平行線性質(zhì)，可分別求出∠APE、∠CPE的度數(shù)，從而可求出∠APC的度數(shù)； 小麗的思路是：如圖3，連接AC，通過平行線性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和的知識可求出∠APC的度數(shù)； 小芳的思路是：如圖4，延長AP交DC的延長線于E，通過平行線性質(zhì)以及三角形外角的相關(guān)知識可求出∠APC的度數(shù)． 問題解決：請從小明、小麗、小芳的思路中任選一種思路進(jìn)行推理計(jì)算，你求得的∠APC的度數(shù)為　 　°； 問題遷移： （1）如圖5，AD∥BC，點(diǎn)P在射線OM上運(yùn)動，當(dāng)點(diǎn)P在A、B兩點(diǎn)之間運(yùn)動時，∠ADP=∠α，∠BCP=∠β．∠CPD、∠α、∠β之間有何數(shù)量關(guān)系？請說明理由； （2）在（1）的條件下，如果點(diǎn)P在A、B兩點(diǎn)外側(cè)運(yùn)動時（點(diǎn)P與點(diǎn)A、B、O三點(diǎn)不重合），請你直接寫出∠CPD、∠α、∠β間的數(shù)量關(guān)系． 【答案】110；（1）∠CPD=∠α+∠β，理由見解析；（2）∠CPD=∠β?∠α或∠CPD=∠a?∠β，理由見解析 【分析】小明的思路是：過P作PE∥AB，構(gòu)造同旁內(nèi)角，利用平行線性質(zhì)，可得∠APC=110°． （1）過P作PE∥AD交CD于E，推出AD∥PE∥BC，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠a=∠DPE，∠β=∠CPE，即可得出答案； （2）畫出圖形（分兩種情況：①點(diǎn)P在BA的延長線上，②點(diǎn)P在AB的延長線上），根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，即可得出答案． 【詳解】解：小明的思路：如圖2，過P作PE∥AB， ∵AB∥CD， ∴PE∥AB∥CD， ∴∠APE=180°?∠A=50°，∠CPE=180°?∠C=60°， ∴∠APC=50°+60°=110°， 故答案為：110； （1）∠CPD=∠α+∠β，理由如下： 如圖5，過P作PE∥AD交CD于E， ∵AD∥BC， ∴AD∥PE∥BC， ∴∠a=∠DPE，∠β=∠CPE， ∴∠CPD=∠DPE+∠CPE=∠a+∠β； （2）當(dāng)P在BA延長線時，∠CPD=∠β?∠α； 理由：如圖6，過P作PE∥AD交CD于E， ∵AD∥BC， ∴AD∥PE∥BC， ∴∠α=∠DPE，∠β=∠CPE， ∴∠CPD=∠CPE?∠DPE=∠β?∠α； 當(dāng)P在BO之間時，∠CPD=∠a?∠β． 理由：如圖7，過P作PE∥AD交CD于E， ∵AD∥BC， ∴AD∥PE∥BC， ∴∠α=∠DPE，∠β=∠CPE， ∴∠CPD=∠DPE?∠CPE=∠α?∠β． 【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，平行線的判定和性質(zhì)，主要考查學(xué)生的推理能力，解決問題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造內(nèi)錯角以及同旁內(nèi)角． 6．（2020下·內(nèi)蒙古·八年級?？计谥校┚C合與探究： （1）問題情境：如圖1，AB∥CD,∠PAB=130°,∠PCD=120°．求∠APC的度數(shù)． 小明想到一種方法，但是沒有解答完： 如圖2，過P作PE∥AB，∴∠APE+∠PAB=180°． ∴∠APE=180°?∠PAB=180°?130°=50°． ∵AB∥CD．∴PE∥CD． ………… 請你幫助小明完成剩余的解答． （2）問題探究：請你依據(jù)小明的思路，解答下面的問題： 如圖3，AD∥BC，點(diǎn)P在射線OM上運(yùn)動，∠ADP=∠α,∠BCP=∠β．當(dāng)點(diǎn)P在A，B兩點(diǎn)之間時，∠CPD,∠α,∠β之間有何數(shù)量關(guān)系？請說明理由． 【答案】（1）110°；（2）∠CPD=∠α+∠β，理由見解析 【分析】（1）過P作PE//AB，構(gòu)造同旁內(nèi)角，通過平行線性質(zhì)，可得∠APC=50°+60°=110°． （2）過P作PE//AD交CD于E，推出AD//PE//BC，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，即可得出答案． 【詳解】解：（1）過P作PE∥AB， ∴∠APE+∠PAB=180°， ∴∠APE=180°?∠PAB=180°?130°=50°． ∵AB∥CD， ∴PE∥CD． ∴∠CPE+∠PCD=180°， ∴∠CPE=180°?120°=60°， ∴∠APC=50°+60°=110°． （2）∠CPD=∠α+∠β， 如圖3，過P作PE//AD交CD于E， ∵AD//BC， ∴AD//PE//BC， ∴∠α=∠DPE，∠β=∠CPE， ∴∠CPD=∠DPE+∠CPE=∠α+∠β； 【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的推理能力，解決問題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造內(nèi)錯角以及同旁內(nèi)角． 7．（2020下·天津?yàn)I海新·八年級統(tǒng)考期末）如圖1，四邊形MNBD為一張長方形紙片． ?? （1）如圖2，將長方形紙片剪兩刀，剪出三個角（∠BAE、∠AEC、∠ECD），則∠BAE+∠AEC+∠ECD=__________°． （2）如圖3，將長方形紙片剪三刀，剪出四個角（∠BAE、∠AEF、∠EFC、∠FCD），則∠BAE+∠AEF+∠EFC+∠FCD=__________°． （3）如圖4，將長方形紙片剪四刀，剪出五個角（∠BAE、∠AEF、∠EFG、∠FGC、∠GCD），則∠BAE+∠AEF+∠EFG+∠FGC+∠GCD=___________°． （4）根據(jù)前面探索出的規(guī)律，將本題按照上述剪法剪n刀，剪出n+1個角，那么這n+1個角的和是____________°． 【答案】（1）360；（2）540；（3）720；（4）180n． 【分析】（1）過點(diǎn)E作EH∥AB，再根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)即可得到三個角的和等于180°的2倍； （2）分別過E、F分別作AB的平行線，根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)即可得到四個角的和等于180°的三倍； （3）分別過E、F、G分別作AB的平行線，根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)即可得到四個角的和等于180°的三倍； （4）根據(jù)前三問個的剪法，剪n刀，剪出n+1個角，那么這n+1個角的和是180n度． 【詳解】（1）過E作EH∥AB（如圖②）． ∵原四邊形是長方形， ∴AB∥CD， 又∵EH∥AB， ∴CD∥EH（平行于同一條直線的兩條直線互相平行）． ∵EH∥AB， ∴∠A+∠1=180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）． ∵CD∥EH， ∴∠2+∠C=180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）． ∴∠A+∠1+∠2+∠C=360°， 又∵∠1+∠2=∠AEC， ∴∠BAE+∠AEC+∠ECD=360°； ?? （2）分別過E、F分別作AB的平行線，如圖③所示， ?? 用上面的方法可得∠BAE+∠AEF+∠EFC+∠FCD=540°； （3）分別過E、F、G分別作AB的平行線，如圖④所示， ?? 用上面的方法可得∠BAE+∠AEF+∠EFG+∠FGC+∠GCD=720°； （4）由此可得一般規(guī)律：剪n刀，剪出n+1個角，那么這n+1個角的和是180n度． 故答案為：（1）360；（2）540；（3）720；（4）180n． 【點(diǎn)睛】本題主要考查了多邊形的內(nèi)角和，作平行線并利用兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)是解本題的關(guān)鍵，總結(jié)規(guī)律求解是本題的難點(diǎn)． 8．（2023下·浙江·八年級期末）已知AB//CD，定點(diǎn)E，F(xiàn)分別在直線AB，CD上，在平行線AB，CD之間有一動點(diǎn)P． （1）如圖1所示時，試問∠AEP，∠EPF，∠PFC滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系?并說明理由． （2）除了（1）的結(jié)論外，試問∠AEP，∠EPF，∠PFC還可能滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系?請畫圖并證明 （3）當(dāng)∠EPF滿足0°

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