專題7.6 三角形中的八大經(jīng)典模型-八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊舉一反三系列（北師大版）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

專題7.6 三角形中的八大經(jīng)典模型【北師大版】 TOC \o "1-3" \h \u HYPERLINK \l "_Toc27912" 【題型1 A字模型】 PAGEREF _Toc27912 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc8458" 【題型2 8字模型】 PAGEREF _Toc8458 \h 4 HYPERLINK \l "_Toc20902" 【題型3 雙垂直模型】 PAGEREF _Toc20902 \h 8 HYPERLINK \l "_Toc2975" 【題型4 飛鏢模型】 PAGEREF _Toc2975 \h 16 HYPERLINK \l "_Toc9529" 【題型5 風(fēng)箏模型】 PAGEREF _Toc9529 \h 21 HYPERLINK \l "_Toc16648" 【題型6 兩內(nèi)角角平分線模型】 PAGEREF _Toc16648 \h 24 HYPERLINK \l "_Toc13875" 【題型7 兩外角角平分線模型】 PAGEREF _Toc13875 \h 30 HYPERLINK \l "_Toc13727" 【題型8 內(nèi)外角角平分線模型】 PAGEREF _Toc13727 \h 38 【知識(shí)點(diǎn)1 A字模型】【條件】△ADE與△ABC. 【結(jié)論】∠AED+∠ADE=∠B+C. 【證明】根據(jù)三角形內(nèi)角和可得，∠AED+∠ADE=180°-∠A，∠B+C=180°-∠A， ∴∠AED+∠ADE=∠B+C，得證. 【題型1 A字模型】【例1】（2023春·湖北荊門·八年級(jí)校聯(lián)考期末）如圖，在△ABC中，∠C＝70o，沿圖中虛線截去∠C，則∠1＋∠2＝（??） A．360o B．250o C．180o D．140o 【答案】B 【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得出∠A+∠B=110°，進(jìn)而利用四邊形內(nèi)角和定理得出答案．【詳解】解：∵△ABC中，∠C=70°， ∴∠A+∠B=180°-∠C， ∴∠1+∠2=360°-110°=250°，故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了多邊形內(nèi)角和定理，根據(jù)題意得出∠A+∠B的度數(shù)是解題關(guān)鍵．【變式1-1】（2023春·八年級(jí)單元測試）如圖所示，∠DAE的兩邊上各有一點(diǎn)B,C，連接BC，求證∠DBC+∠ECB=180°+∠A．【答案】見解析【分析】根據(jù)三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和證明即可．【詳解】解：∵∠DBC和∠ECB是△ABC的外角， ∴∠DBC=∠A+∠ACB,∠ECB=∠A+∠ABC．又∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°， ∴∠DBC+∠ECB=∠A+∠ACB+∠ABC+∠A=180°+∠A．【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形外角的性質(zhì)，熟知三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和是解題的關(guān)鍵．【變式1-2】（2023春?常州期中）如圖，△ABC中，∠B＝68°，∠A比∠C大28°，點(diǎn)D、E分別在AB、BC上．連接DE，∠DEB＝42°．（1）求∠A的度數(shù)；（2）判斷DE與AC之間的位置關(guān)系，并說明理由．【分析】（1）設(shè)∠C的度數(shù)為x，根據(jù)三角形的內(nèi)角和列出方程解答即可；（2）根據(jù)平行線的判定解答即可．【詳解】解：（1）設(shè)∠C的度數(shù)為x°，則∠A的度數(shù)為（x+28）°， △ABC中，∠A+∠B+∠C＝180°，∠B＝68°，可得：x+x+28+68＝180，解得：x＝42，所以∠C＝42°，∠A＝70°，（2）∵∠DEB＝42°，∠C＝42°， ∴∠DEB＝∠C， ∴DE∥AC．【變式1-3】（2023春·江蘇泰州·八年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，已知∠A=40°，則∠1+∠2+∠3+∠4的度數(shù)為．【答案】280° 【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理分別求得∠1+∠2，∠3+∠4，就可求得最后結(jié)果．【詳解】∵∠A=40°， ∴∠1+∠2=∠3+∠4=180°-∠A=140°， ∴∠1+∠2+∠3+∠4=280°，故答案為280°．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理的運(yùn)用，熟練掌握三角形內(nèi)角和為180度是解題的關(guān)鍵．【知識(shí)點(diǎn)2 8字模型】【條件】AD、BC相交于點(diǎn)O. 【結(jié)論】∠A+∠B=∠C+∠D.(上面兩角之和等于下面兩角之和) 【證明】在△ABO中，由內(nèi)角和定理：∠A+∠B+∠BOA=180°，在△CDO中，∠C+∠D+∠COD=180°， ∴∠A+∠B+∠BOA=180°=∠C+∠D+∠COD，由對頂角相等：∠BOA=∠COD ∴∠A+∠B=∠C+∠D，得證. 【題型2 8字模型】【例2】（2015-2016學(xué)年北京市懷柔區(qū)八年級(jí)上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試卷（帶解析））如圖是由線段AB，CD，DF，BF，CA組成的平面圖形，∠D=28°，則∠A+∠B+∠C+∠F的度數(shù)為(　　) A．62° B．152° C．208° D．236° 【答案】C 【詳解】∵如圖可知∠BED=∠F+∠B，∠CGE=∠C+∠A，又∵∠BED=∠D+∠EGD， ∴∠F+∠B=∠D+∠EGD，又∵∠CGE+∠EGD=180°， ∴∠C+∠A+∠F+∠B?∠D=180°，又∵∠D=28°， ∴∠A+∠B+∠C+∠F=180°+28°=208°，故選C．點(diǎn)睛：本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理即三角形外角與內(nèi)角的關(guān)系，解答本題的關(guān)鍵是求出∠C+∠A+∠F+∠B﹣∠D=180°，此題難度不大．【變式2-1】（2013-2014學(xué)年初中數(shù)學(xué)蘇教版八年級(jí)上冊第一章練習(xí)卷（帶解析））如圖，△ABC≌△ADE，且∠CAD=10°，∠B=∠D=25°，∠EAB=120°，求∠DFB和∠DGB的度數(shù)．【答案】90°；65° 【分析】由ΔABC?ΔADE，可得∠DAE=∠BAC=12(∠EAB?∠CAD)，根據(jù)三角形外角性質(zhì)可得∠DFB=∠FAB+∠B，因?yàn)椤螰AB=∠FAC+∠CAB，即可求得∠DFB的度數(shù)；根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得∠DGB=∠DFB?∠D，即可得∠DGB的度數(shù)．【詳解】解：∵ΔABC?ΔADE， ∴∠DAE=∠BAC=12(∠EAB?∠CAD)=12(120°?10°)=55°． ∴∠DFB=∠FAB+∠B=∠FAC+∠CAB+∠B=10°+55°+25°=90° ∠DGB=∠DFB?∠D=90°?25°=65°．綜上所述：∠DFB=90°，∠DGB=65°．【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形全等的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是找到相應(yīng)等量關(guān)系的角，做題時(shí)要結(jié)合圖形進(jìn)行思考．【變式2-2】（2023·河北·統(tǒng)考中考真題）下圖是可調(diào)躺椅示意圖（數(shù)據(jù)如圖），AE與BD的交點(diǎn)為C，且∠A，∠B，∠E保持不變．為了舒適，需調(diào)整∠D的大小，使∠EFD=110°，則圖中∠D應(yīng) （填“增加”或“減少”）度．【答案】減少 10 【分析】先通過作輔助線利用三角形外角的性質(zhì)得到∠EDF與∠D、∠E、∠DCE之間的關(guān)系，進(jìn)行計(jì)算即可判斷．【詳解】解：∵∠A+∠B=50°+60°=110°， ∴∠ACB=180°-110°=70°， ∴∠DCE=70°，如圖，連接CF并延長， ∴∠DFM=∠D+∠DCF=20°+∠DCF， ∠EFM=∠E+∠ECF=30°+∠ECF， ∴∠EFD=∠DFM+∠EFM=20°+∠DCF+30°+∠ECF=50°+∠DCE=50°+70°=120°，要使∠EFD=110°，則∠EFD減少了10°，若只調(diào)整∠D的大小，由∠EFD=∠DFM+∠EFM=∠D+∠DCF+∠E+∠ECF=∠D+∠E+∠ECD=∠D+30°+70°=∠ D+100°，因此應(yīng)將∠D減少10度；故答案為：①減少；②10．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形外角的性質(zhì)，同時(shí)涉及到了三角形的內(nèi)角和與對頂角相等的知識(shí)；解決本題的關(guān)鍵是理解題意，讀懂圖形，找出圖形中各角之間的關(guān)系以及牢記公式建立等式求出所需的角，本題蘊(yùn)含了數(shù)形結(jié)合的思想方法．【變式2-3】（2023春·八年級(jí)期末）（1）如圖①，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度數(shù)；（2）如圖②，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H的度數(shù)；（3）如圖③，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G的度數(shù)．【答案】（1）360°；（2）720°；（3）540° 【分析】（1）連接AD，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理得∠B＋∠C＝∠BAD＋∠CDA，進(jìn)而將問題轉(zhuǎn)化為求四邊形ADEF的內(nèi)角和，（2）與（1）方法相同轉(zhuǎn)化為求六邊形ABCDEF的內(nèi)角和，（3）使用上述方法，轉(zhuǎn)化為求五邊形ABCDE的內(nèi)角和．【詳解】解：（1）如圖①，連接AD，由三角形的內(nèi)角和定理得，∠B＋∠C＝∠BAD＋∠CDA， ∴∠BAF＋∠B＋∠C＋∠CDE＋∠E＋∠F＝∠BAF＋∠BAD＋∠CDA＋∠D＋∠E＋∠F 即四邊形ADEF的內(nèi)角和，四邊形的內(nèi)角和為360°， ∴∠BAF＋∠B＋∠C＋∠CDE＋∠E＋∠F＝360°，（2）如圖②，由（1）方法可得： ∠BAH＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠EFG＋∠G＋∠H的度數(shù)等于六邊形ABCDEF的內(nèi)角和， ∴∠BAH＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠EFG＋∠G＋∠H＝（6－2）×180°＝720°，（3）如圖③，根據(jù)（1）的方法得，∠F＋∠G＝∠GAE＋∠FEA， ∠BAG＋∠B＋∠C＋∠D＋∠DEF＋∠F＋∠G的度數(shù)等于五邊形ABCDE的內(nèi)角和， ∴∠BAG＋∠B＋∠C＋∠D＋∠DEF＋∠F＋∠G＝（5－2）×180°＝540°，【點(diǎn)睛】本題考查三角形的內(nèi)角和、多邊形的內(nèi)角和的計(jì)算方法，適當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)化是解決問題的關(guān)鍵．【知識(shí)點(diǎn)3 雙垂直模型】【條件】∠B=∠D=∠ACE=90°. 【結(jié)論】∠BAC=∠DCE，∠ACB=∠CED. 【證明】∵∠B=∠D=∠ACE=90°；∴∠BAC+∠ACB=90°；又∠ECD+∠ACB=90°；∴∠BAC=∠DCE 同理,∠ACB+∠DCE?=90°，且∠CED+∠DCE?=90°；∴∠ACB=∠CED，得證. 【題型3 雙垂直模型】【例3】（2023春·廣東珠海·八年級(jí)校聯(lián)考期末）如圖1，線段AB⊥BC于點(diǎn)B，CD⊥BC于點(diǎn)C，點(diǎn)E在線段BC上，且AE⊥DE．（1）求證：∠EAB=∠CED；（2）如圖2，AF、DF分別平分∠BAE和∠CDE，EH平分∠DEC交CD于點(diǎn)H，EH的反向延長線交AF于點(diǎn)G． ①求證EG⊥AF； ②求∠F的度數(shù)．【提示：三角形內(nèi)角和等于180度】【答案】（1）證明見解析；（2）①證明見解析；②45°．【分析】（1）利用同角的余角相等即可證明；（2）①想辦法證明∠EAG+∠AEG=90°即可解決問題； ②利用∠DFA=∠DFM+∠AFM=12∠CDE+12∠EAB=12（∠CDE+∠EAB）即可解決問題. 【詳解】（1）∵AB⊥BC， ∴∠EAB+∠AEB=90°， ∵AE⊥ED， ∴∠CED+∠AEB=90°， ∴∠EAB=∠CED．（2）①∵AF平分∠BAE， ∴∠EAG=12∠EAB， ∵EH平分∠DEC， ∴∠HED=12∠CED， ∵∠EAB=∠CED， ∴∠HED=∠EAG， ∴∠HED+∠AEG=90°， ∴∠EAG+∠AEG=90°， ∴∠EGA=90°， ∴EG⊥AF． ②作FM∥CD， ∵AB⊥BC，CD⊥BC， ∴AB∥CD， ∴FM∥AB， ∴∠DFM=∠CDF=12∠CDE，∠AFM=∠FAB=12∠EAB， ∵∠CDE+∠CED=90°， ∴∠CDE+∠EAB=90°， ∴∠DFA=∠DFM+∠AFM=12∠CDE+12∠EAB=12（∠CDE+∠EAB）=45°．【點(diǎn)睛】本題考查三角形內(nèi)角和定理、平行線的性質(zhì)、角平分線的定義等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造平行線解決問題，屬于中考常考題型．【變式3-1】（2023春·江蘇泰州·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在△ABC中，∠ACB=90°，AE是角平分線，CD是高，AE、CD相交于點(diǎn)F，求證：∠CFE=∠CEF??請?jiān)谝韵碌慕忸}過程中的括號(hào)里填推理的理由．證明：∵AE平分∠CAB（已知） ∴∠CAE=∠FAB（_____________________） ∵∠ACE=90°（已知） ∴∠CAE+∠CEF=90°（_____________________） ∵CD是△ABC的高（已知） ∴∠FDA=90°（三角形高的定義） ∴∠FAB+∠AFD=90°（直角三角形的兩銳角互余） ∴∠CEF=∠AFD（____________________________） ∵∠CFE=∠AFD（_____________________） ∴∠CFE=∠CEF（____________________）【答案】角平分線的定義；直角三角形的兩銳角互余；等角的余角相等；對頂角相等；等量代換【分析】根據(jù)角平分線的定義得到∠CAE=∠FAB，根據(jù)直角三角形兩銳角互余得到∠CAE+∠CEF=90°，∠FAB+∠AFD=90°，再利用等角的余角相等得到∠CEF=∠AFD，最后利用等量代換可得結(jié)果．【詳解】解：證明：∵AE平分∠CAB（已知） ∴∠CAE=∠FAB（角平分線的定義） ∵∠ACE=90°（已知） ∴∠CAE+∠CEF=90°（直角三角形的兩銳角互余） ∵CD是△ABC的高（已知） ∴∠FDA=90°（三角形高的定義） ∴∠FAB+∠AFD=90°（直角三角形的兩銳角互余） ∴∠CEF=∠AFD（等角的余角相等） ∵∠CFE=∠AFD（對頂角相等） ∴∠CFE=∠CEF（等量代換）故答案為：角平分線的定義；直角三角形的兩銳角互余；等角的余角相等；對頂角相等；等量代換【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形內(nèi)角和定理，角平分線的定義，余角的性質(zhì)，熟知三角形內(nèi)角和是180°是解答此題的關(guān)鍵，此題難度不大．【變式3-2】（2023春·山東青島·八年級(jí)山東省青島第五十九中學(xué)?？计谥校┤鐖D，在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，D為BC的中點(diǎn)，DE⊥AB，垂足為E，過點(diǎn)B作BF∥AC交DE的延長線于點(diǎn)F，連接CF交AD于點(diǎn)G． (1)判斷△DBF的形狀，并說明理由． (2)求證：AD⊥CF．【答案】(1)△DBF是等腰直角三角形，理由見解析； (2)證明見解析．【分析】（1）利用等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，證明∠CBA=∠CAB=45°，再利用BF∥AC得到∠ABF=∠CAB=45°，進(jìn)一步得∠CBA+∠ABF=90°，利用DE⊥AB證明∠BDF=45°即可證明△DBF是等腰直角三角形；（2）欲求證AD⊥CF，先證明∠CAG+∠ACG＝90°，需證明∠CAG＝∠BCF，只要證明三角形全等，即可．【詳解】（1）解：△DBF是等腰直角三角形，理由如下： ∵等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°， ∴∠CBA=∠CAB=45°， ∵BF∥AC， ∴∠ABF=∠CAB=45°， ∴∠CBA+∠ABF=90°，即∠DBF=90°， ∵DE⊥AB，∠CBA=45°， ∴∠BDF=45°， ∴∠BFD=45°， ∴△DBF是等腰直角三角形．（2）證明：在等腰直角三角形ABC中， ∵∠ACB＝90°， ∴∠CBA＝∠CAB＝45°．又∵DE⊥AB， ∴∠DEB＝90°． ∴∠BDE＝45°．又∵BF∥AC， ∴∠CBF＝90°． ∴∠BFD＝45°＝∠BDE． ∴BF＝DB．又∵D為BC的中點(diǎn)， ∴CD＝DB． ∴BF＝CD．在△CBF和△ACD中， BF=CD∠CBF=∠ACDCB=AC ∴△CBF≌△ACD（SAS）． ∴∠BCF＝∠CAD．又∵∠BCF+∠GCA＝90°， ∴∠CAD+∠GCA＝90°． ∴∠AGC=90°，即AD⊥CF．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的綜合問題，掌握全等三角形的性質(zhì)以及判定定理、垂直的定義、等腰三角形的性質(zhì)以及判定是解題的關(guān)鍵．【變式3-3】（2023春·山東濟(jì)南·八年級(jí)濟(jì)南育英中學(xué)校聯(lián)考期中）如圖，△ABC中，∠B=90°，點(diǎn)D在射線BC上運(yùn)動(dòng)，DE⊥AD交射線AC于點(diǎn)E．（1）如圖1，若∠BAC=60°，當(dāng)AD平分∠BAC時(shí)，求∠EDC的度數(shù)；（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(shí)，①判斷∠EDC與∠BAD的數(shù)量關(guān)系并說明理由； ②作EF⊥BC于F，∠BAD、∠DEF的角平分線相交于點(diǎn)G，隨著點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)，∠G的度數(shù)會(huì)變化嗎？如果不變，求出∠G的度數(shù)；如果變化，說明理由；（3）如圖3，當(dāng)點(diǎn)D在BC的延長線上時(shí)，作EF⊥BD于F，∠BAD的角平分線和∠DEF的角平分線的反向延長線相交于點(diǎn)G，∠G的度數(shù)會(huì)變化嗎？如果不變，求出∠G的度數(shù)；如果變化，說明理由．【答案】（1）30°；（2）①∠EDC=∠BAD，理由見解析；②∠G的度數(shù)不變，理由見解析；（3）不變，45°. 【分析】（1）先求出∠ACB=30°，再利用角平分線得出∠DAC=30°，即可得出∠ADC=120°即可得出結(jié)論；（2）①利用直角三角形的兩銳角互余和等角的余角相等即可得出結(jié)論； ②先利用①的結(jié)論得出∠BAD+∠DEF=90°，進(jìn)而得出∠DAG+∠DEG=45°，最后利用三角形的內(nèi)角和即可得出結(jié)論；（3）利用三角形的外角和三角形的內(nèi)角和即可得出結(jié)論．【詳解】解：（1）在Rt△ABC中，∠BAC=60°， ∴∠ACB=30°， ∵AD平分∠BAC， ∴∠DAC=12∠BAC=30°， ∴∠ADC=120°， ∵DE⊥AD， ∴∠ADE=90°， ∴∠EDC=∠ADC-∠ADE=30°；（2）①相等，在Rt△ABD中，∠BAD+∠ADB=90°， ∵∠ADE=90°， ∴∠EDC+∠ADB=90°， ∴∠EDC=∠BAD； ②∠G的度數(shù)不變，理由：∵EF⊥BC， ∴∠EDF+∠DEF=90°， ∵∠ADB+∠EDF=90°， ∴∠ADB=∠DEF， ∵∠BAD+∠ADB=90°， ∴∠BAD+∠DEF=90°， ∵∠BAD、∠DEF的角平分線相交于點(diǎn)G， ∴∠DAG=12∠BAD，∠DEG=12∠DEF， ∴∠DAG+∠DEG=12（∠BAD+∠DEF）=45°， ∵∠DAE+∠DEA=90°， ∴∠GAE+∠GEA=90°+45°=135°， ∴∠G=45°；（3）∠G的度數(shù)不變化，理由：如圖3， ∵AD⊥DE， ∴∠ADB+∠BDE=90°， ∵EF⊥BD， ∴∠DEF+∠BDE=90°， ∴∠ADB=∠DEF， ∵EM是∠DEF的角平分線， ∴∠DEM=12∠DEF=12∠ADB， ∵AG平分∠BAD， ∴∠DAG=12∠BAD，延長DE交AG于N， ∴∠AEN=∠ADE+∠DAE=90°+∠DAE， ∴∠ENG=∠AEN+∠EAG =90°+∠DAE+∠EAG =90°+∠DAG =90°+12∠BAD， ∴∠G=180°-（∠ENG+∠GEN） =180°-（∠ENG+∠DEM）， =180°-（90°+12∠BAD+ 12∠ADB）， =90°-12（∠BAD+∠ADB） =45°．【點(diǎn)睛】本題主要考查了角平分線的定義，直角三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和和外角的性質(zhì)，解（1）的關(guān)鍵是求出∠ADC=120°，解（2）的關(guān)鍵是求出∠DAG+∠DEG=45°，解（3）的關(guān)鍵是利用三角形的外角的性質(zhì)．【知識(shí)點(diǎn)4 飛鏢模型】【條件】四邊形ABDC如上左圖所示. 【結(jié)論】∠D=∠A+∠B+∠C.(凹四邊形凹外角等于三個(gè)內(nèi)角和) 【證明】如上右圖，連接AD并延長到E，則： ∠BDC=∠BDE+∠CDE=(∠B+∠1)+(∠2+∠C)=∠B+∠BAC+∠C.本質(zhì)為兩個(gè)三角形外角和定理證明. 【題型4 飛鏢模型】【例4】（2023春·江蘇鎮(zhèn)江·八年級(jí)統(tǒng)考期中）在社會(huì)實(shí)踐手工課上，小茗同學(xué)設(shè)計(jì)了一個(gè)形狀如圖所示的零件，如果∠A=52°,∠B=25°，∠C=30°,∠D=35°,∠E=72°，那么∠F的度數(shù)是（????）． A．72° B．70° C．65° D．60° 【答案】B 【分析】延長BE交CF的延長線于O，連接AO，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠BOC,再利用鄰補(bǔ)角的性質(zhì)求出∠DEO，再根據(jù)四邊形的內(nèi)角和求出∠DFO，根據(jù)鄰補(bǔ)角的性質(zhì)即可求出∠DFC的度數(shù)．【詳解】延長BE交CF的延長線于O，連接AO，如圖， ∵∠OAB+∠B+∠AOB=180°, ∴∠AOB=180°?∠B?∠OAB, 同理得∠AOC=180°?∠OAC?∠C, ∵∠AOB+∠AOC+∠BOC=360°, ∴∠BOC=360°?∠AOB?∠AOC =360°?(180°?∠B?∠OAB)?(180°?∠OAC?∠C) =∠B+∠C+∠BAC=107°, ∵∠BED=72°, ∴∠DEO=180°?∠BED=108°, ∴∠DFO=360°?∠D?∠DEO?∠EOF =360°?35°?108°?107°=110°, ∴∠DFC=180°?∠DFO=180°?110°=70°, 故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查三角形內(nèi)角和定理，多邊形內(nèi)角和，三角形的外角的性質(zhì)，鄰補(bǔ)角的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是會(huì)添加輔助線，將已知條件聯(lián)系起來進(jìn)行求解．三角形外角的性質(zhì)：三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和；鄰補(bǔ)角性質(zhì)：鄰補(bǔ)角互補(bǔ)．【變式4-1】（2023春·八年級(jí)期末）如圖，已知在△ABC中，∠A=40°，現(xiàn)將一塊直角三角板放在△ABC上，使三角板的兩條直角邊分別經(jīng)過點(diǎn)B,C，直角頂點(diǎn)D落在△ABC的內(nèi)部，則∠ABD+∠ACD=（????）． A．90° B．60° C．50° D．40° 【答案】C 【分析】由三角形內(nèi)角和定理可得∠ABC+∠ACB+∠A=180°，即∠ABC+∠ACB=180-∠A=140°，再說明∠DBC+∠DCB=90°，進(jìn)而完成解答．【詳解】解：∵在△ABC中，∠A=40° ∴∠ABC+∠ACB=180-∠A=140° ∵在△DBC中，∠BDC=90° ∴∠DBC+∠DCB=180°-90°=90° ∴∠ABD+∠ACD=40°-90°=50° 故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形內(nèi)角和定理，靈活運(yùn)用三角形內(nèi)角和定理成為解答本題的關(guān)鍵．【變式4-2】（2023·全國·八年級(jí)假期作業(yè)）如圖所示，已知四邊形ABDC，求證∠BDC=∠A+∠B+∠C．【答案】見解析【分析】方法1連接BC，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得結(jié)果；方法2 作射線AD，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)得到∠3=∠B+∠1，∠4=∠C+∠2，兩式相加即可得到結(jié)論；方法3延長BD，交AC于點(diǎn)E，兩次運(yùn)用三角形外角的性質(zhì)即可得出結(jié)論．【詳解】方法1如圖所示，連接BC. 在△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，即∠A+∠ABD+∠1+∠ACD+∠2=180°. 在△BCD中，∵∠BDC+∠1+∠2=180°， ∴∠BDC=∠A+∠ABD+∠ACD；方法2如圖所示，連接AD并延長. ∵∠3是△ABD的外角， ∴∠3=∠1+∠ABD. 同理，∠4=∠2+∠ACD. ∴∠3+∠4=∠1+∠2+∠ABD+∠ACD. 即∠BDC=∠A+∠ABD+∠ACD. 方法3如圖所示，延長BD，交AC于點(diǎn)E. ∵∠DEC是△ABE的外角， ∴∠DEC=∠A+∠ABD. ∵∠BDC是△DEC的外角， ∴∠BDC=∠DEC+∠ACD. ∴∠BDC=∠A+∠ABD+∠ACD. 【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的外角性質(zhì)：解題的關(guān)鍵是知道三角形的任一外角等于與之不相鄰的兩內(nèi)角的和．也考查了三角形內(nèi)角和定理．【變式4-3】（2023春·福建南平·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，若∠EOC=115°，則∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F= ．【答案】230° 【分析】根據(jù)三角形外角的性質(zhì)，得到∠EOC=∠E+∠2=115°，∠2=∠D+∠C，∠EOC=∠1+∠F=115°，∠1=∠A+∠B，即可得到結(jié)論．【詳解】解：如圖 ∵∠EOC=∠E+∠2=115°，∠2=∠D+∠C， ∴∠E+∠D+∠C=115°， ∵∠EOC=∠1+∠F=115°，∠1=∠A+∠B， ∴∠A+∠B+∠F=115°， ∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=230°，故答案為：230°．【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形內(nèi)角和定理和三角形外角的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是要熟練掌握三角形外角性質(zhì)．【知識(shí)點(diǎn)5 風(fēng)箏模型】【條件】四邊形ABPC，分別延長AB、AC于點(diǎn)D、E，如上左圖所示. 【結(jié)論】∠PBD+∠PCE=∠A+∠P. 【證明】如上右圖，連接AP，則：∠PBD=∠PAB+∠APB，∠PCE=∠PAC+∠APC， ∴∠PBD+∠PCE=∠PAB+∠APB+∠PAC+∠APC=∠BAC+∠BPC，得證. 【題型5 風(fēng)箏模型】【例5】（2023春·重慶渝北·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D,將△ABC沿著DE翻折,使B點(diǎn)與B'點(diǎn)重合,若∠1+∠2=80°,則∠B的度數(shù)為（??） A．20° B．30° C．40° D．50° 【答案】C 【分析】由折疊的性質(zhì)可知∠BED=∠B'ED,∠BDE=∠B'DE,再利用平角的定義可求出∠BED+∠BDE的度數(shù)，進(jìn)而利用三角形內(nèi)角和可求∠B的度數(shù). 【詳解】由折疊的性質(zhì)可知∠BED=∠B'ED,∠BDE=∠B'DE ∵∠1+∠BED+∠B'ED=180°,∠2+∠BDE+∠B'DE=180° ∴∠BED+∠BDE=12(360°?∠1?∠2)=12×(360°?80°)=140° ∴∠B=180°?(∠BED+∠BDE)=180°?140°=40° 故選C 【點(diǎn)睛】本題主要考查折疊的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理，掌握折疊的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理是解題的關(guān)鍵. 【變式5-1】（2023春·八年級(jí)期末）如圖，把△ABC沿EF對折，疊合后的圖形如圖所示．若∠A＝55°，∠1＝95°，則∠2的度數(shù)為（????）． A．14° B．15° C．28° D．30° 【答案】B 【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和平角定義證得∠FEB＋∠EFC＝360°－125°＝235°，再根據(jù)折疊性質(zhì)得出∠B′EF＋∠EFC′＝∠FEB＋∠EFC＝235°，進(jìn)而求得∠1＋∠2=110°即可求解．【詳解】解：∵∠A＝55°， ∴∠AEF＋∠AFE＝180°－55°＝125°， ∴∠FEB＋∠EFC＝360°－125°＝235°，由折疊可得：∠B′EF＋∠EFC′＝∠FEB＋∠EFC＝235°， ∴∠1＋∠2＝235°－125°＝110°， ∵∠1＝95°， ∴∠2＝110°－95°＝15°，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查折疊性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理、平角定義，熟練掌握折疊性質(zhì)是解答的關(guān)鍵．【變式5-2】（2023春·八年級(jí)期末）如圖，三角形紙片ABC中，∠A=65°,∠B=75°，將∠C沿DE翻折，使點(diǎn)C落在△ABC外的點(diǎn)C′處．若∠1=20°，則∠2的度數(shù)為．【答案】100° 【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠C，根據(jù)折疊的性質(zhì)求出∠C′，根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)計(jì)算，得到答案．【詳解】解：∵∠A=65°，∠B=75°， ∴∠C=180°?65°?75°=40°，由折疊的性質(zhì)可知，∠C′=∠C=40°， ∴∠3=∠1+∠C′=60°， ∴∠2=∠C+∠3=100°，故答案是：100°．【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形內(nèi)角和定理、折疊的性質(zhì)，掌握三角形內(nèi)角和等于180°是解題的關(guān)鍵．【變式5-3】（2023春·全國·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，將△ABC紙片沿DE折疊，使點(diǎn)A落在點(diǎn)A'處，且A'B平分∠ABC，A'C平分∠ACB，若∠BA'C＝120°，則∠1+∠2的度數(shù)為（　?。? A．90° B．100° C．110° D．120° 【答案】D 【分析】連接A'A，先求出∠BAC，再證明∠1+∠2=2∠BAC即可解決問題．【詳解】解：如圖，連接AA'， ∵A'B平分∠ABC，A'C平分∠ACB， ∴∠A'BC=12∠ABC，∠A'CB=12∠ACB， ∵∠BA'C=120°， ∴∠A'BC+∠A'CB=180°-120°=60°， ∴∠ABC+∠ACB=120°， ∴∠BAC=180°-120°=60°， ∵沿DE折疊， ∴∠DAA'=∠DA'A，∠EAA'=∠EA'A， ∵∠1=∠DAA'+∠DA'A=2∠DAA'，∠2=∠EAA'+∠EA'A=2∠EAA'， ∴∠1+∠2=2∠DAA'+2∠EAA'=2∠BAC=2×60°=120°，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理、角平分線定義、三角形外角的性質(zhì)、折疊變換等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確添加輔助線，靈活應(yīng)用所學(xué)知識(shí)，屬于中考?？碱}型．【知識(shí)點(diǎn)6 兩內(nèi)角角平分線模型】【條件】△ABC中，BI、CI分別是∠ABC和∠ACB的角平分線，且相交于點(diǎn)I. 【結(jié)論】【證明】∵BI是∠ABC平分線，∴∵CI是∠ACB平分線，∴ 由A→B→I→C→A的飛鏢模型可知： ∠I=∠A+∠2+∠3=∠A++=∠A+=. 【題型6 兩內(nèi)角角平分線模型】【例6】（2023春·江蘇蘇州·八年級(jí)期中）直線MN與直線PQ垂直相交于點(diǎn)O，點(diǎn)A在直線PQ上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)B在直線MN上運(yùn)動(dòng)．（1）如圖1，已知AE、BE分別是∠BAO和∠ABO角的平分線，點(diǎn)A、B在運(yùn)動(dòng)的過程中，∠AEB的大小是否會(huì)發(fā)生變化？若發(fā)生變化，請說明變化的情況；若不發(fā)生變化，試求出∠AEB的大?。?（2）如圖2，已知AB不平行CD，AD、BC分別是∠BAP和∠ABM的角平分線，又DE、CE分別是∠ADC和∠BCD的角平分線，點(diǎn)A、B在運(yùn)動(dòng)的過程中，∠CED的大小是否會(huì)發(fā)生變化？若發(fā)生變化，請說明理由；若不發(fā)生變化，試求出∠CED的度數(shù)．（3）如圖3，延長BA至G，已知∠BAO、∠OAG的角平分線與∠BOQ的角平分線及反向延長線相交于E、F，在△AEF中，如果有一個(gè)角是另一個(gè)角的3倍，則∠ABO的度數(shù)為____（直接寫答案）【答案】（1）不發(fā)生變化，∠AEB=135°；（2）不發(fā)生變化，∠CED=67.5°；（3）60°或45° 【分析】（1）根據(jù)直線MN與直線PQ垂直相交于O可知∠AOB=90°，再由AE、BE分別是∠BAO和∠ABO的角平分線得出∠BAE=12∠OAB，∠ABE=12∠ABO，由三角形內(nèi)角和定理即可得出結(jié)論；（2）延長AD、BC交于點(diǎn)F，根據(jù)直線MN與直線PQ垂直相交于O可得出∠AOB=90°，進(jìn)而得出∠OAB+∠OBA=90°，故∠PAB+∠MBA=270°，再由AD、BC分別是∠BAP和∠ABM的角平分線，可知∠BAD=12∠BAP，∠ABC=12∠ABM，由三角形內(nèi)角和定理可知∠F=45°，再根據(jù)DE、CE分別是∠ADC和∠BCD的角平分線可知∠CDE+∠DCE=112.5°，進(jìn)而得出結(jié)論；（3）由∠BAO與∠BOQ的角平分線相交于E可知∠EAO=12∠BAO，∠EOQ=12∠BOQ，進(jìn)而得出∠E的度數(shù)，由AE、AF分別是∠BAO和∠OAG的角平分線可知∠EAF=90°，在△AEF中，由一個(gè)角是另一個(gè)角的3倍分四種情況進(jìn)行分類討論．【詳解】解：（1）∠AEB的大小不變， ∵直線MN與直線PQ垂直相交于O， ∴∠AOB=90°， ∴∠OAB+∠OBA=90°， ∵AE、BE分別是∠BAO和∠ABO角的平分線， ∴∠BAE=12∠OAB，∠ABE=12∠ABO， ∴∠BAE+∠ABE=12（∠OAB+∠ABO）=45°， ∴∠AEB=135°；（2）∠CED的大小不變．延長AD、BC交于點(diǎn)F． ∵直線MN與直線PQ垂直相交于O， ∴∠AOB=90°， ∴∠OAB+∠OBA=90°， ∴∠PAB+∠MBA=270°， ∵AD、BC分別是∠BAP和∠ABM的角平分線， ∴∠BAD=12∠BAP，∠ABC=12∠ABM， ∴∠BAD+∠ABC=12（∠PAB+∠ABM）=135°， ∴∠F=45°， ∴∠FDC+∠FCD=135°， ∴∠CDA+∠DCB=225°， ∵DE、CE分別是∠ADC和∠BCD的角平分線， ∴∠CDE+∠DCE=112.5°， ∴∠CED =67.5°；（3）∵∠BAO與∠BOQ的角平分線相交于E， ∴∠EAO=12∠BAO，∠EOQ=12∠BOQ， ∴∠E=∠EOQ-∠EAO=12（∠BOQ-∠BAO）=12∠ABO， ∵AE、AF分別是∠BAO和∠OAG的角平分線， ∴∠EAF=90°．在△AEF中， ∵有一個(gè)角是另一個(gè)角的3倍，故有： ①∠EAF=3∠E，∠E=30°，∠ABO=60°； ②∠EAF=3∠F，∠E=60°，∠ABO=120°（舍棄）； ③∠F=3∠E，∠E=22.5°，∠ABO=45°； ④∠E=3∠F，∠E=67.5°，∠ABO=135°（舍棄）． ∴∠ABO為60°或45°．故答案為：60°或45°．【點(diǎn)睛】本題考查的是平行線的判定和性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，熟知三角形內(nèi)角和是180°是解答此題的關(guān)鍵．【變式6-1】（2023春·全國·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，BE平分∠ABD，CF平分∠ACD，BE與CF交于點(diǎn)G，若∠BDC=140°，∠BGC=100°，則∠A=（????） A．80° B．75° C．60° D．45° 【答案】C 【分析】連接BC,先求解∠DBC+∠DCB, 再求解∠GBC+∠GCB, 可得∠GBD+∠GCD, 再利用角平分線的定義可得：∠ABD+∠ACD, 從而可得：∠ABC+∠ACB, 再利用三角形的內(nèi)角和定理可得∠A的大小. 【詳解】解：連接BC, ∵∠BDC=140°, ∴∠DBC+∠DCB=180°?140°=40°, ∵∠BGC=100°, ∴∠GBC+∠GCB=180°?100°=80°, ∴∠GBD+∠GCD=∠GBC+∠GCB?∠DBC?∠DCB=40°, ∵ BE平分∠ABD，CF平分∠ACD， ∴∠ABD+∠ACD=2(∠GBD+∠GCD)=80°, ∴∠ABC+∠ACB=∠ABD+∠ACD+∠DBC+∠DCB=80°+40°=120°, ∴∠A=180°?(∠ABC+∠ACB)=60°. 故選：C. 【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形的內(nèi)角和定理的應(yīng)用，角平分線的定義，熟練利用三角形的內(nèi)角和定理求解與之相關(guān)的角的大小是解題的關(guān)鍵. 【變式6-2】（2023春·全國·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的角平分線交于點(diǎn)O，延長BO與∠ACB的外角平分線交于點(diǎn)D，若∠BOC＝130°，則∠D＝【答案】40° 【分析】根據(jù)角平分線的定義結(jié)合三角形外角的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【詳解】解：∵∠ABC和∠ACB的角平分線交于點(diǎn)O， ∴∠ACO=12∠ACB， ∵CD平分∠ACE， ∴∠ACD=12∠ACE， ∵∠ACB+∠ACE=180°， ∴∠OCD=∠ACO+∠ACD=12（∠ACB+∠ACE）=12×180°=90°， ∵∠BOC＝130°， ∴∠D=∠BOC-∠OCD=130°-90°=40°，故答案為：40°．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的外角性質(zhì)，角平分線的定義，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)和概念正確推理計(jì)算是解題的關(guān)鍵．【變式6-3】（2023春·黑龍江哈爾濱·八年級(jí)校聯(lián)考期末）如圖1，點(diǎn)A、B分別在射線OM、ON上運(yùn)動(dòng)（不與點(diǎn)O重合），AC、BC分別是∠BAO和∠ABO的角平分線，BC延長線交OM于點(diǎn)G．（1）若∠MON=60°，則∠ACG= ；（直接寫出答案）（2）若∠MON=n°，求出∠ACG的度數(shù)；（用含n的代數(shù)式表示）（3）如圖2，若∠MON=80°，過點(diǎn)C作CF∥OA交AB于點(diǎn)F，求∠BGO與∠ACF的數(shù)量關(guān)系．【答案】（1）60°；（2）90°-12n°；（3）∠BGO-∠ACF=50° 【分析】（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠BAO+∠ABO，根據(jù)角平分線的定義、三角形的外角性質(zhì)計(jì)算，得到答案；（2）仿照（1）的解法解答；（3）根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠ACF=∠CAG，根據(jù)（2）的結(jié)論解答．【詳解】解：（1）∵∠MON=60°， ∴∠BAO+∠ABO=120°， ∵AC、BC分別是∠BAO和∠ABO的角平分線， ∴∠CBA=12∠ABO，∠CAB=12∠BAO， ∴∠CBA+∠CAB=12（∠ABO+∠BAO）=60°， ∴∠ACG=∠CBA+∠CAB=60°，故答案為：60°；（2）∵∠MON=n°， ∴∠BAO+∠ABO=180°-n°， ∵AC、BC分別是∠BAO和∠ABO的角平分線， ∴∠CBA=12∠ABO，∠CAB=12∠BAO， ∴∠CBA+∠CAB=12（∠ABO+∠BAO）=90°-12n°， ∴∠ACG=∠CBA+∠CAB=90°-12n°；（3）∵CF∥OA， ∴∠ACF=∠CAG， ∴∠BGO-∠ACF=∠BGO-∠CAG=∠ACG，由（2）得：∠ACG=90°-12×80°=50°． ∴∠BGO-∠ACF=50°．【點(diǎn)睛】本題考查的是角平分線的定義、平行線的性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)，掌握兩直線平行、內(nèi)錯(cuò)角相等是解題的關(guān)鍵．【知識(shí)點(diǎn)7 兩外角角平分線模型】【條件】△ABC中，BI、CI分別是△ABC的外角的角平分線，且相交于點(diǎn)O. 【結(jié)論】. 【證明】∵BO是∠EBC平分線，∴，∵CO是∠FCB平分線，∴ 由△BCO中內(nèi)角和定理可知： ∠O=180°-∠2-∠5=180°--=180°--=== 【題型7 兩外角角平分線模型】【例7】（2023春·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）【問題背景】（1）如圖1的圖形我們把它稱為“8字形”，請說明∠A+∠B=∠C+∠D；【簡單應(yīng)用】（2）如圖2， AP、CP分別平分∠BAD． ∠BCD，若∠ABC=46°，∠ADC=26°，求∠P的度數(shù)；【問題探究】（3）如圖3，直線AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，若∠ABC=36°，∠ADC=16°，請猜想∠P的度數(shù)，并說明理由．【拓展延伸】（4） ①在圖4中，若設(shè)∠C=α，∠B=β，∠CAP=13∠CAB，∠CDP=13∠CDB，試問∠P與∠C、∠B之間的數(shù)量關(guān)系為：（用α、β表示∠P）； ②在圖5中，AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，猜想∠P與∠B、∠D的關(guān)系，直接寫出結(jié)論．?????????????????? 【答案】（1）見解析；（2）36°；（3）26°，理由見解析；（4）①∠P=2α+β3②∠P=180°+∠B+∠D2 【分析】（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可證明；（2）直接利用（1）中的結(jié)論兩次，兩式相加，然后根據(jù)角平分線的性質(zhì)求解即可；（3）由AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，推出∠1=∠2，∠3=∠4，推出∠PAD=180°﹣∠2，∠PCD=180°﹣∠3，由∠P+（180°﹣∠1）=∠D+（180°﹣∠3），∠P+∠1=∠B+∠4，推出2∠P=∠B+∠D，即可解決問題．（4）①同法利用（1）種的結(jié)論列出方程即可解決問題． ②同法利用（1）種的結(jié)論列出方程即可解決問題．【詳解】（1）在△AEB中，∠A+∠B+∠AEB=180°．在△CED中，∠C+∠D+∠CED=180°． ∵∠AEB=∠CED， ∴∠A+∠B=∠C+∠D；（2）由（1）得：∠1+∠B=∠3+∠P，∠4+∠D=∠2+∠P， ∴∠1+∠B+∠4+∠D =∠3+∠P+∠2+∠P． ∵∠1=∠2，∠3=∠4， ∴2∠P=∠B+∠D=46°+26°=72°， ∴∠P=36°．（3）∠P=26°，理由是：如圖3： ∵AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE， ∴∠1=∠2，∠3=∠4， ∴∠PAD=180°﹣∠2，∠PCD=180°﹣∠3． ∵∠PAB=∠1，∠P+∠PAB =∠B+∠4， ∴∠P+∠1=∠B+∠4． ∵∠P+（180°﹣∠2）=∠D+（180°﹣∠3）， ∴2∠P=∠B+∠D， ∴∠P=12（∠B+∠D）=12×（36°+16°）=26°．（4）①設(shè)∠CAP=m，∠CDP=n，則∠CAB=3m，，∠CDB=3n， ∴∠PAB=2m，∠PDB=2n． ∵∠C+∠CAP=∠P+∠PDC，∠P+∠PAB=∠B+∠PDB， ∵∠C=α，∠B=β， ∴α+m=∠P+n，∠P+2m=β+2n， ∴α－∠P = n－m，∠P－β=2n－2m=2（n－m）， ∴2α+β=3∠P ∴∠P=2α+β3．故答案為：∠P=2α+β3． ②設(shè)∠BAP=x，∠PCE=y，則∠PAO=x，∠PCB=y． ∵∠PAO+∠P=∠PCD+∠D，∠B+∠BAO=∠OCD+∠D， ∴x+∠P=180°－y+∠D，∠B+2x=180°－2y+∠D， ∴∠P=180°+∠B+∠D2．故答案為：∠P=180°+∠B+∠D2．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形內(nèi)角和，三角形的外角的性質(zhì)、多邊形的內(nèi)角和等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)用方程的思想思考幾何問題，屬于中考?？碱}型．【變式7-1】（2023春·全國·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，五邊形ABCDE在∠BCD,∠EDC處的外角分別是∠FCD,∠GDC,CP,DP分別平分∠FCD和∠GDC且相交于點(diǎn)P．若∠A=160°,∠B=80°,∠E=90°，則∠CPD= ．【答案】105° 【分析】根據(jù)多邊形內(nèi)角和公式求出五邊形的內(nèi)角和，根據(jù)題意求出∠BCD＋∠CDE的度數(shù)，從而求出∠PCD＋∠PDC的度數(shù)，運(yùn)用三角形內(nèi)角和定理即可求出∠CPD的度數(shù)．【詳解】解：∵∠A＝160°，∠B＝80°，∠E＝90°， ∴∠BCD＋∠CDE＝（5?2）×180°?160°?80°?90°＝210°， ∴∠PCD＋∠PDC＝12（180°×2?210°）＝75°，在△CPD中，∠CPD＝180°?（∠PCD＋∠PDC）＝180°?75°＝105°，故答案為：105°．【點(diǎn)睛】本題主要考查多邊形內(nèi)角和公式，三角形內(nèi)角和定理，以及外角的平分線，根據(jù)已知條件求出∠BCD＋∠CDE的度數(shù)是解題的關(guān)鍵．【變式7-2】（2023春·全國·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，點(diǎn)P是ΔABC的外角∠BCE和∠CBF的角平分線交點(diǎn)，延長BP交AC于G，請寫出∠A和∠CPG的數(shù)量關(guān)系. 【答案】∠CPG=90°+12∠A 【分析】先根據(jù)三角形外角的性質(zhì)及角平分線的性質(zhì)即可用含∠A的式子表示出∠CBP和∠BCP的和，再利用三角形外角的性質(zhì)即可得到∠A和∠CPG的數(shù)量關(guān)系. 【詳解】解：∵∠ACB+∠ABC=180°?∠A, ∴∠ECB+∠FBC=180°×2?(180°?∠A)=180°+∠A, ∵點(diǎn)P是ΔABC的外角∠BCE和∠CBF的角平分線交點(diǎn)， ∴∠CBP+∠BCP＝12(180°+∠A)=90°+12∠A，又∵∠CPG＝∠CBP+∠BCP， ∴∠CPG=90°+12∠A. 【點(diǎn)睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理、三角形外角和的性質(zhì)及角平分線的性質(zhì).熟練應(yīng)用三角形外角的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵. 【變式7-3】（2023春·八年級(jí)期末）如圖1，△ABC的外角平分線交于點(diǎn)F．（1）若∠A＝40°，則∠F的度數(shù)為　 ??；（2）如圖2，過點(diǎn)F作直線MN∥BC，交AB，AC延長線于點(diǎn)M，N，若設(shè)∠MFB＝α，∠NFC＝β，則∠A與α+β的數(shù)量關(guān)系是　 ??；（3）在（2）的條件下，將直線MN繞點(diǎn)F轉(zhuǎn)動(dòng)． ①如圖3，當(dāng)直線MN與線段BC沒有交點(diǎn)時(shí)，試探索∠A與α，β之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由； ②當(dāng)直線MN與線段BC有交點(diǎn)時(shí)，試問①中∠A與α，β之間的數(shù)量關(guān)系是否仍然成立？若成立，請說明理由；若不成立，請給出三者之間的數(shù)量關(guān)系．【答案】（1）70°（2）α+β?12∠A=90°????（3）①見解析??②不成立；β?α?12∠A=90°或α?β?12∠A=90° 【分析】（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理以及角平分線的定義，即可得到∠F的度數(shù)；（2）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理以及角平分線的定義，即可得到∠BFC的度數(shù)，再根據(jù)平行線的性質(zhì)，即可得到∠A與α+β的數(shù)量關(guān)系；（3）①根據(jù)（2）中的結(jié)論∠BFC＝90°﹣12∠A，以及平角的定義，即可得到∠A與α，β之間的數(shù)量關(guān)系； ②分兩種情況進(jìn)行討論，根據(jù)（2）中的結(jié)論∠BFC＝90°﹣12∠A，以及平角的定義，即可得到∠A與α，β之間的數(shù)量關(guān)系．【詳解】解：（1）如圖1，∵∠A＝40°， ∴∠ABC+∠ACB＝140°， ∴∠DBC+∠ECB＝360°﹣140°＝220°，又∵△ABC的外角平分線交于點(diǎn)F， ∴∠FBC+∠FCB＝12（∠DBC+∠ECB）＝12×220°＝110°， ∴△BCF中，∠F＝180°﹣110°＝70°，故答案為：70°；（2）如圖2，∵∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A， ∴∠DBC+∠ECB＝360°﹣（180°﹣∠A）＝180°+∠A，又∵△ABC的外角平分線交于點(diǎn)F， ∴∠FBC+∠FCB＝12（∠DBC+∠ECB）＝12×（180°+∠A）＝90°+12∠A ， ∴△BCF中，∠BFC＝180°﹣（90°+12∠A ）＝90°﹣12∠A，又∵∠MFB＝α，∠NFC＝β，MN∥BC， ∴∠FBC＝α，∠FCB＝β， ∵△BCF中，∠FBC+∠FCB+∠BFC＝180°， ∴α+β+90°﹣12∠A＝180°，即α+β﹣12∠A＝90°，故答案為：α+β﹣12∠A＝90°；（3）①α+β﹣12∠A＝90°，理由如下：如圖3，由（2）可得，∠BFC＝90°﹣12∠A， ∵∠MFB+∠NFC+∠BFC＝180°， ∴α+β+90°﹣12∠A＝180°，即α+β﹣12∠A＝90°， ②當(dāng)直線MN與線段BC有交點(diǎn)時(shí)，①中∠A與α，β之間的數(shù)量關(guān)系不成立．分兩種情況：如圖4，當(dāng)M在線段AB上，N在AC延長線上時(shí)，由（2）可得，∠BFC＝90°﹣12∠A， ∵∠BFC﹣∠MFB+∠NFC＝180°， ∴90°﹣12∠A﹣α+β＝180°，即β﹣α﹣12∠A＝90°；如圖5，當(dāng)M在AB的延長線上，N在線段AC上時(shí)，由（2）可得，∠BFC＝90°﹣12∠A， ∵∠BFC﹣∠NFC+∠MFB＝180°， ∴90°﹣12∠A﹣β+α＝180°，即α﹣β﹣12∠A＝90°；綜上所述，∠A與α，β之間的數(shù)量關(guān)系為β﹣α﹣12∠A＝90°或α﹣β﹣12∠A＝90°．【點(diǎn)睛】此題主要考查三角形的角度求解與證明，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意分情況作圖．【知識(shí)點(diǎn)8 內(nèi)外角角平分線模型】【條件】△ABC中，BP、CP分別是△ABC的內(nèi)角和外角的角平分線，且相交于點(diǎn)P. 【結(jié)論】【證明】 ∵BP是∠ABC平分線，∴ ∵CP是∠ACE平分線，∴ 由△ABC外角定理可知：∠ACE=∠ABC+∠A即：2∠1=2∠3+∠A ……① 對①式兩邊同時(shí)除以2，得：∠1=∠3+ ……②又在△BPC中由外角定理可知：∠1=∠3+∠P ……③ 比較②③式子可知：.==. 【題型8 內(nèi)外角角平分線模型】【例8】（2023春·八年級(jí)期末）如圖，BA1和CA1分別是△ABC的內(nèi)角平分線和外角平分線，BA2是∠A1BD的平分線，CA2是∠A1CD的平分線，BA3是∠A2BD的平分線，CA3是∠A2CD的平分線，……以此類推，若∠A=α，則∠A2020= ．【答案】α22020 【分析】根據(jù)角平分線的定義可得∠A1BC=12∠ABC，∠A1CD=12∠ACD，再根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和可得∠ACD=∠A+∠ABC，∠A1CD=∠A1BC+∠A1，整理即可得解∠A1=12∠A，同理求出∠A2，∠A3，可以發(fā)現(xiàn)后一個(gè)角等于前一個(gè)角的12，根據(jù)此規(guī)律即可得解．【詳解】∵A1B是∠ABC的平分線，A1C是∠ACD的平分線， ∴∠A1BC=12∠ABC，∠A1CD=12∠ACD，又∵∠ACD=∠A+∠ABC，∠A1CD=∠A1BC+∠A1， ∴12（∠A+∠ABC）=12∠ABC+∠A1， ∴∠A1=12∠A， ∵∠A=α． ∠A1=12∠A=12α，同理可得∠A2=12∠A1=122α，根據(jù)規(guī)律推導(dǎo)， ∴∠A2020= α22020，故答案為α22020．【點(diǎn)睛】本題主要考查的是三角形外角性質(zhì)，角平分線定理，熟知三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和的性質(zhì)，角平分線的定義是解題的關(guān)鍵．【變式8-1】（2023春·八年級(jí)期末）如圖，已知△ABC的兩條高BD、CE交于點(diǎn)F，∠ABC的平分線與△ABC外角∠ACM的平分線交于點(diǎn)G，若∠BFC=8∠G，則∠A= °．【答案】36 【分析】首先根據(jù)三角形的外交性質(zhì)求出∠A=2∠G，結(jié)合三角形的高的知識(shí)得到∠G和∠A之間的關(guān)系，進(jìn)而可得結(jié)果；【詳解】由圖知：∠ACM=∠A+∠ABC， ∵CG是∠ACM的角平分線， ∴∠ACM=2∠GCM， ∴∠A+∠ABC=2∠GCM， ∵BG是∠ABC的角平分線， ∴∠GBC=12∠ABC， ∴∠GBC+∠G=∠GCM，即12∠ABC+∠G=∠GCM， ∴∠ABC+2∠G=2∠GCM， ∴∠ABC+2∠G=∠A+∠ABC， ∴∠A=2∠G， ∵△ABC的兩條高BD、CE交于點(diǎn)F， ∴CE⊥AB，BD⊥AC， ∴∠AEF=∠ADF=90°， ∴在四邊形AEFD中有：∠A+∠DFE=180°， ∵∠DFE=∠BFC， ∴∠A+∠BFC=180°， ∵∠BFC=8∠G=8×12∠A=4∠A， ∴∠A+∠BFC=∠A+4∠A=5∠A=180°， ∴∠A=180°÷5=36°．故答案為：36．【點(diǎn)睛】本題主要考查了與角平分線有關(guān)的三角形的內(nèi)角和與外角性質(zhì)，準(zhǔn)確分析計(jì)算是解題的關(guān)鍵．【變式8-2】（2023春·八年級(jí)期末）如圖，在△ABC中，∠A=60°，BD、CD分別平分∠ABC、∠ACB，M、N、Q分別在DB、DC、BC的延長線上，BE、CE分別平分∠MBC、∠BCN，BF、CF分別平分∠EBC、∠ECQ，則∠F= ．【答案】15° 【分析】先由BD、CD分別平分∠ABC、∠ACB得到∠DBC=12∠ABC，∠DCB=12∠ACB，在△ABC中根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得∠DBC+∠DCB=12（∠ABC+∠ACB）=12（180°-∠A）=60°，則根據(jù)平角定理得到∠MBC+∠NCB=300°；再由BE、CE分別平分∠MBC、∠BCN得∠5+∠6=12∠MBC，∠1=12∠NCB，兩式相加得到∠5+∠6+∠1=12（∠NCB+∠NCB）=150°，在△BCE中，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可計(jì)算出∠E=30°；再由BF、CF分別平分∠EBC、∠ECQ得到∠5=∠6，∠2=∠3+∠4，根據(jù)三角形外角性質(zhì)得到∠3+∠4=∠5+∠F，∠2+∠3+∠4=∠5+∠6+∠E，利用等量代換得到∠2=∠5+∠F，2∠2=2∠5+∠E，再進(jìn)行等量代換可得到∠F=12∠E．【詳解】解：如圖： ∵BD、CD分別平分∠ABC、∠ACB，∠A=60°， ∴∠DBC=12∠ABC，∠DCB=12∠ACB， ∴∠DBC+∠DCB=12（∠ABC+∠ACB）=12（180°-∠A）=12×（180°-60°）=60°， ∴∠MBC+∠NCB=360°-60°=300°， ∵BE、CE分別平分∠MBC、∠BCN， ∴∠5+∠6=12∠MBC，∠1=12∠NCB， ∴∠5+∠6+∠1=12（∠NCB+∠NCB）=150°， ∴∠E=180°-（∠5+∠6+∠1）=180°-150°=30°， ∵BF、CF分別平分∠EBC、∠ECQ， ∴∠5=∠6，∠2=∠3+∠4， ∵∠3+∠4=∠5+∠F，∠2+∠3+∠4=∠5+∠6+∠E，即∠2=∠5+∠F，2∠2=2∠5+∠E， ∴2∠F=∠E， ∴∠F=12∠E=12×30°=15°．故答案為：15°．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理、角平分線、三角形外角性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握三角形內(nèi)角和是180°．【變式8-3】（2023春·江蘇南通·八年級(jí)南通田家炳中學(xué)校考期末）在△ABC中，若存在一個(gè)內(nèi)角角度是另外一個(gè)內(nèi)角角度的n倍（n為大于1的正整數(shù)），則稱△ABC為n倍角三角形．例如，在△ABC中，∠A＝80°，∠B＝75°，∠C＝25°，可知∠B＝3∠C，所以△ABC為3倍角三角形．（1）在△ABC中，∠A＝80°，∠B＝60°，則△ABC為　　倍角三角形；（2）若銳角三角形MNP是3倍角三角形，且最小內(nèi)角為α，請直接寫出α的取值范圍為　　．（3）如圖，直線MN與直線PQ垂直相交于點(diǎn)O，點(diǎn)A在射線OP上運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)A不與點(diǎn)O重合），點(diǎn)B在射線OM上運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)B不與點(diǎn)O重合）．延長BA至G，已知∠BAO、∠OAG的角平分線與∠BOQ的角平分線所在的直線分別相交于E、F，若△AEF為4倍角三角形，求∠ABO的度數(shù)．【答案】（1）2；（2）22.5°＜α＜30°；（3）45°或36° 【分析】（1）由∠A＝80°，∠B＝60°，可求∠C的度數(shù)，發(fā)現(xiàn)內(nèi)角之間的倍數(shù)關(guān)系，得出答案，（2）△DEF是3倍角三角形，必定有一個(gè)內(nèi)角是另一個(gè)內(nèi)角的3倍，然后根據(jù)這兩個(gè)角之間的關(guān)系，分情況進(jìn)行解答，（3）首先證明∠EAF＝90°，分兩種情形分別求出即可．【詳解】解：（1）∵∠A＝80°，∠B＝60°， ∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝40°， ∴∠A＝2∠C， ∴△ABC為2倍角三角形，故答案為：2；（2）∵最小內(nèi)角為α， ∴3倍角為3α，由題意可得： 3α＜90°，且180°﹣4α＜90°， ∴最小內(nèi)角的取值范圍是22.5°＜α＜30°．故答案為22.5°＜α＜30°．（3）∵AE平分∠BAO，AF平分∠AOG， ∴∠EAB＝∠EAO，∠OAF＝∠FAG， ∴∠EAF＝∠EAO+∠OAF＝12（∠BAO+∠OAG）＝90°， ∵△EAF是4倍角三角形， ∴∠E＝14×90°或15×90°， ∵AE平分∠BAO，OE平分∠BOQ， ∴∠E＝12∠ABO， ∴∠ABO＝2∠E， ∴∠ABO＝45°或36°．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，余角的意義，不等式組的解法和應(yīng)用等知識(shí)，讀懂新定義n倍角三角形的意義和分類討論是解題的基礎(chǔ)和關(guān)鍵．

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