專(zhuān)題1.6 勾股定理章末八大題型總結(jié)（培優(yōu)篇） 【北師大版】 TOC \o "1-3" \h \u   HYPERLINK \l "_Toc6731" 【題型1 勾股數(shù)的運(yùn)用】  PAGEREF _Toc6731 \h 1  HYPERLINK \l "_Toc9474" 【題型2 勾股樹(shù)的探究】  PAGEREF _Toc9474 \h 2  HYPERLINK \l "_Toc14186" 【題型3 由勾股定理在坐標(biāo)系中求距離】  PAGEREF _Toc14186 \h 3  HYPERLINK \l "_Toc1653" 【題型4 由勾股定理探究圖形面積】  PAGEREF _Toc1653 \h 5  HYPERLINK \l "_Toc27833" 【題型5 由勾股定理求線段長(zhǎng)度】  PAGEREF _Toc27833 \h 6  HYPERLINK \l "_Toc19760" 【題型6 由勾股定理證明線段之間的關(guān)系】  PAGEREF _Toc19760 \h 8  HYPERLINK \l "_Toc2484" 【題型7 勾股定理中的規(guī)律探究】  PAGEREF _Toc2484 \h 9  HYPERLINK \l "_Toc13147" 【題型8 由勾股定理求最值】  PAGEREF _Toc13147 \h 11  【題型1 勾股數(shù)的運(yùn)用】 【例1】（2023春·江蘇南通·八年級(jí)統(tǒng)考期末）勾股定理最早出現(xiàn)在《周解算經(jīng)》：“勾廣三，股修四，弦隅五”．觀察下列勾股數(shù)：3，4，5；5，12，13；7，24，25；…，這類(lèi)勾股數(shù)的特點(diǎn)如下：勾為奇數(shù)，弦與股相差1，柏拉圖研究了勾為偶數(shù)，弦與股相差2的一類(lèi)勾股數(shù)，如：6，8，10；8，15，17；…若此類(lèi)勾股數(shù)的勾為2m（m≥3，m為正整數(shù)），則其弦是（結(jié)果用含m的式子表示）（????） A．m2?1 B．2m+2 C．m2+1 D．2m+3 【變式1-1】（2023春·安徽合肥·八年級(jí)統(tǒng)考期末）下列各組a，b，c是勾股數(shù)的是（　?。?A．a(chǎn)=30，b=40，c=50 B． a=1，b=1，c= 2 C．a(chǎn)=3，b=4，c＝5 D．a(chǎn)=7，b=14，c=15 【變式1-2】（2023春·廣西河池·八年級(jí)統(tǒng)考期末）當(dāng)直角三角形的三邊長(zhǎng)都是正整數(shù)時(shí)，我們稱(chēng)這三個(gè)數(shù)為勾股數(shù)，如：3，4，5都是正整數(shù)，且32+42=52，所以3，4，5是勾股數(shù)．觀察下列各勾股數(shù)有哪些規(guī)律； (1)當(dāng)a=11時(shí)，求b，c的值 (2)判斷10，24，26是否為一組勾股數(shù)？若是，請(qǐng)說(shuō)明理由． 【變式1-3】（2023春·重慶九龍坡·八年級(jí)統(tǒng)考期末）我們知道，如果直角三角形的三邊的長(zhǎng)都是正整數(shù)，這樣的三個(gè)正整數(shù)就叫做一組勾股數(shù)．如果一個(gè)正整數(shù)c能表示為兩個(gè)正整數(shù)a，b的平方和，即c=a2+b2，那么稱(chēng)a，b，c為一組廣義勾股數(shù)，c為廣義斜邊數(shù)，則下面的結(jié)論：①m為正整數(shù)，則3m，4m，5m為一組勾股數(shù)；②1，2，3是一組廣義勾股數(shù)；③13是廣義斜邊數(shù)；④兩個(gè)廣義斜邊數(shù)的和是廣義斜邊數(shù)；⑤若a=2k2+2k,b=1+2k,c=2k2+2k+1，其中k為正整數(shù)，則a，b，c為一組勾股數(shù)；⑥兩個(gè)廣義斜邊數(shù)的積是廣義斜邊數(shù)．依次正確的是（????） A．①②③ B．①②④⑤ C．③④⑤ D．①③⑤ 【題型2 勾股樹(shù)的探究】 【例2】（2023春·全國(guó)·八年級(jí)期中）“勾股樹(shù)”是以正方形－邊為斜邊向外作直角三角形 ，再以該直角三角形的兩直角邊分別向外作正方形，重復(fù)這－過(guò)程所畫(huà)出來(lái)的圖形，因?yàn)橹貜?fù)數(shù)次后的形狀好似－－棵樹(shù)而得名．假設(shè)下圖分別是第一代勾股樹(shù)、第二代勾股樹(shù)、第三代勾股樹(shù)，按照勾股樹(shù)的作圖原理作圖，則第五代勾股樹(shù)中正方形的個(gè)數(shù)為（???????） A．31 B．63 C．65 D．67 【變式2-1】（2023春·河北石家莊·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖是一株美麗的勾股樹(shù)，其作法為：從正方形①開(kāi)始，以它的一邊為斜邊，向外作等腰直角三角形，然后再以其直角邊為邊，分別向外作兩個(gè)正方形，計(jì)為②．依此類(lèi)推…若正方形①的面積為16，則正方形③的面積是 ． 【變式2-2】（2023春·湖南長(zhǎng)沙·八年級(jí)長(zhǎng)郡中學(xué)?？计谀┕垂啥ɡ斫沂玖酥苯侨切稳呏g的關(guān)系，其中蘊(yùn)含著豐富的科學(xué)知識(shí)和人文價(jià)值．如圖所示，是一棵由正方形和含30°角的直角三角形按一定規(guī)律長(zhǎng)成的勾股樹(shù)，樹(shù)的主干自下而上第一個(gè)正方形和第一個(gè)直角三角形的面積之和為S1，第二個(gè)正方形和第二個(gè)直角三角形的面積之和為S2，…，第n個(gè)正方形和第n個(gè)直角三角形的面積之和為Sn． 設(shè)第一個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為1． 請(qǐng)解答下列問(wèn)題： （1）S1= ． （2）通過(guò)探究，用含n的代數(shù)式表示Sn，則Sn= ． 【變式2-3】（2023春·山東煙臺(tái)·八年級(jí)統(tǒng)考期中）有一個(gè)面積為1的正方形，經(jīng)過(guò)一次“生長(zhǎng)”后，在他的左右肩上生出兩個(gè)小正方形（如圖1），三個(gè)正方形圍成的三角形是直角三角形，再經(jīng)過(guò)一次“生長(zhǎng)”后，生出了4個(gè)正方形（如圖2），如果按此規(guī)律繼續(xù)“生長(zhǎng)”下去，它將變得“枝繁葉茂”．在“生長(zhǎng)”了2022次后形成的圖形中所有正方形的面積和是 ． 【題型3 由勾股定理在坐標(biāo)系中求距離】 【例3】（2023春·安徽安慶·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，點(diǎn)P是平面坐標(biāo)系內(nèi)一點(diǎn)，則點(diǎn)P到原點(diǎn)的距離是（????） ?? A．3 B．2 C．22 D．7 【變式3-1】（2023春·湖北武漢·八年級(jí)統(tǒng)考期末）在平面直面坐標(biāo)系中有兩點(diǎn)A3,0和B0,4，則這兩點(diǎn)之間的距離是（　?。?A．3 B．4 C．5 D．7 【變式3-2】（2023春·湖北鄂州·八年級(jí)統(tǒng)考期中）【復(fù)習(xí)舊知】結(jié)合數(shù)軸與絕對(duì)值的知識(shí)回答下列問(wèn)題：數(shù)軸上表示4和1的兩點(diǎn)之間的距離是3：而|4?1|=3；表示－3和2兩點(diǎn)之間的距離是5：而|?3?2|=5；表示?4和?7兩點(diǎn)之間的距離是3，而|?4?(?7)|=3，一般地，數(shù)軸上表示數(shù)m和數(shù)n的兩點(diǎn)之間的距離公式為|m?n|． （1）數(shù)軸上表示數(shù)?5的點(diǎn)與表示?2的點(diǎn)之間的距離為_(kāi)__； 【探索新知】如圖1，我們?cè)凇案顸c(diǎn)”直角坐標(biāo)系上可以清楚看到：要找AB或DE的長(zhǎng)度，顯然是化為求Rt△ABC或Rt△DEF的斜邊長(zhǎng)．下面我們以求DE為例來(lái)說(shuō)明如何解決： 從坐標(biāo)系中發(fā)現(xiàn)：D(?7,5)，E(4,?3)，所以DF=5??3=8，EF=4??7=11，所以由勾殿定理可得：DE=82+112=185． （2）在圖2中：設(shè)Ax1,y1,Bx2,y2，試用x1,y1,x2,y2表示AB的長(zhǎng)：AB=___． 得出的結(jié)論被稱(chēng)為“平面直角坐標(biāo)系中兩點(diǎn)間距離公式”； 【學(xué)以致用】請(qǐng)用此公式解決如下問(wèn)題： （3）如圖3，已知：A(2,1)，B(4,3)，C為坐標(biāo)軸上的點(diǎn)，且使得△ABC是以AB為底邊的等腰三角形．請(qǐng)求出C點(diǎn)的坐標(biāo)． 【變式3-3】（2023春·湖南·八年級(jí)期末）閱讀材料，在平面直角坐標(biāo)系中，已知x軸上兩點(diǎn)Ax1,0、Bx2,0的距離記作AB=x1?x2，如果Ax1,y1、Bx2,y2是平面上任意兩點(diǎn)，我們可以通過(guò)構(gòu)造直角三角形來(lái)求AB間的距離．如下左圖，過(guò)A、B分別向x軸、y軸作垂線AM1、AN1和BM2、BN2，垂足分別是M1、N1、M2、N2，直線AN1交BM2于點(diǎn)Q，在Rt△ABQ中，AQ=x1?x2，BQ=y1?y2，∴AB2=AQ2+BQ2=x1?x22+y1?y22=x1?x22+y1?y22． (1)由此得到平面直角坐標(biāo)系內(nèi)任意兩點(diǎn)Ax1,y1、Bx2,y2間的距離公式為：AB= ______． (2)直接應(yīng)用平面內(nèi)兩點(diǎn)間距離公式計(jì)算點(diǎn)A(1,?3)，B(?2,1)之間的距離為_(kāi)_____． 利用上面公式解決下列問(wèn)題： (3)在平面直角坐標(biāo)系中的兩點(diǎn)A(0,3)，B(4,1)，P為x軸上任一點(diǎn)，求PA+PB的最小值和此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)； (4)應(yīng)用平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式，求代數(shù)式x2+y?22+x?32+y?12的最小值（直接寫(xiě)出答案）． 【題型4 由勾股定理探究圖形面積】 【例4】（2023春·河南新鄉(xiāng)·八年級(jí)河南師大附中?？计谀┤鐖D，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=8，若以AC邊和BC邊向外作等腰直角三角形ACE和等腰直角三角形BCD．記△ACE的面積是S1，△BCD的面積是S2，則S1+S2=（????） ?? A．16 B．32 C．48 D．64 【變式4-1】（2023春·吉林四平·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如果一個(gè)三角形，三條邊的長(zhǎng)度之比為3:4:5，且周長(zhǎng)為48cm，那么這個(gè)三角形的面積是（????） A．48cm2 B．96cm2 C．192cm2 D．220cm2 【變式4-2】（2023春·廣西南寧·八年級(jí)校聯(lián)考期中）現(xiàn)有如圖1的8張大小形狀相同的直角三角形紙片，三邊長(zhǎng)分別是a、b、c．用其中4張紙片拼成如圖2的大正方形（空白部分是邊長(zhǎng)分別為a和b的正方形）；用另外4張紙片拼成如圖3的大正方形（中間的空白部分是邊長(zhǎng)為c的正方形）． ???? (1)觀察：從整體看，整個(gè)圖形的面積等于各部分面積的和．所以圖2和圖3的大正方形的面積都可以表示為a+b2，結(jié)論①；圖2中的大正方形的面積又可以用含字母a、b的代數(shù)式表示為：　 　，結(jié)論②；圖3中的大正方形的面積又可以用含字母a、b、c的代數(shù)式表示為：　 　，結(jié)論③； (2)思考：結(jié)合結(jié)論①和結(jié)論②，可以得到一個(gè)等式　 ??；結(jié)合結(jié)論②和結(jié)論③，可以得到一個(gè)等式　 ?。?(3)應(yīng)用：若分別以直角三角形三邊為直徑，向外作半圓（如圖4），三個(gè)半圓的面積分別記作S1、S2、S3，且S1+S2+S3=20，求S2的值． (4)延伸：若分別以直角三角形三邊為直徑，向上作三個(gè)半圓（如圖5），直角邊a=5，b=12，斜邊c=13，求圖中陰影部分面積和． 【變式4-3】（2023春·湖南衡陽(yáng)·八年級(jí)校考期中）在△ABC中，AB=10，BC= 27，∠A=30°，則△ABC的面積是 ． 【題型5 由勾股定理求線段長(zhǎng)度】 【例5】（2023春·廣東佛山·八年級(jí)佛山市華英學(xué)校校考期中）如圖，△ABC的周長(zhǎng)為4+25，其中AB=4，BC=5?3． ?? (1)AC=______； (2)判斷△ABC是否為直角三角形，并說(shuō)明理由． (3)過(guò)點(diǎn)A作AE⊥AB，AE=22，在AB上取一點(diǎn)D，使得DB=DE，求AD的長(zhǎng)度． 【變式5-1】（2023春·山西太原·八年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，∠ACB=∠BDC=90°，且AB=13，AC=12，BD=4，則DC的長(zhǎng)度為（　?。??? A．3 B．8 C．4 D．9 【變式5-2】（2023春·山東濟(jì)南·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，線段AB，AC的垂直平分線交于點(diǎn)O，則OA的長(zhǎng)度為 ． ?? 【變式5-3】（2023春·重慶合川·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在等腰三角形ABC中，底邊BC=29，D是AC上一點(diǎn)，連接BD，BD＝5，CD＝2． ?? (1)求證：ΔBDC是直角三角形； (2)求AB邊的長(zhǎng)度． 【題型6 由勾股定理證明線段之間的關(guān)系】 【例6】（2023春·四川成都·八年級(jí)校聯(lián)考期中）已知△ABC是等邊三角形． ?? (1)如圖1，△BDE也是等邊三角形．點(diǎn)A、B、E三點(diǎn)不共線，求證：AD=CE； (2)如圖2，點(diǎn)D是△ABC外一點(diǎn)，且∠BDC=30°，請(qǐng)證明結(jié)論DA2=DC2+DB2； (3)如圖3，點(diǎn)D是等邊三角形△ABC外一點(diǎn)，若DA=13，DB=52，DC=7．試求∠BDC的度數(shù)． 【變式6-1】（2023春·湖北十堰·八年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A在x軸上，且A4,0，點(diǎn)B在y軸上，且B0,4． ?? (1)求線段AB的長(zhǎng)； (2)若點(diǎn)E在線段AB上，OE⊥OF，且OE=OF，求AE+AF的值； (3)在（2）的條件下，過(guò)點(diǎn)O作OM⊥EF，交AB于點(diǎn)M，試證明：AM2+BE2=EM2 【變式6-2】（2023春·河南鶴壁·八年級(jí)統(tǒng)考期末）親愛(ài)的同學(xué)們，在全等三角形中，我們見(jiàn)識(shí)了很多線段關(guān)系的論證題，下面請(qǐng)你用本階段所學(xué)知識(shí)，分別完成下列題目． (1)如圖1，已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直線m經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，BD⊥直線m，CE⊥直線m，垂足分別為點(diǎn)D、E．證明：DE=BD+CE； (2)如圖2，△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，點(diǎn)A、D、E在同一直線上，CM為△DCE中DE邊上的高，連接BE．容易證明△ACD≌△BCE，則： ①∠AEB的度數(shù)為_(kāi)_____； ②直接寫(xiě)出AE、BE、CM之間的數(shù)量關(guān)系． (3)如圖3，△ABC中，若∠A=90°，D為BC的中點(diǎn)，DE⊥DF交AB、AC于E、F，求證：BE2+CF2=EF2． 【變式6-3】（2023春·廣東廣州·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，點(diǎn)A為x軸負(fù)半軸上一點(diǎn)，點(diǎn)B為y軸正半軸上一點(diǎn)，點(diǎn)C為x軸正半軸上一點(diǎn)，AO=a，BO=b，CO=c,且a、b、c滿足a=a?b+b?a+c有意義． ?? (1)若c=3，求AB=__________________； (2)如圖1，點(diǎn)P在x軸上（點(diǎn)P在點(diǎn)A左邊），以PB為直角邊在PB的上方作等腰直角三角形PDB，求證：PA2+PC2=PD2； (3)如圖2，點(diǎn)M為AB中點(diǎn)，點(diǎn)E為射線OA上一點(diǎn)，點(diǎn)F為射線BO上一點(diǎn)，且∠EMF=90°，設(shè)AE=m，BF=n，請(qǐng)求出EF的長(zhǎng)度（用含m、n的代數(shù)式表示）． 【題型7 勾股定理中的規(guī)律探究】 【例7】（2023春·四川眉山·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，△OA1A2為等腰直角三角形，OA1=1，以斜邊OA2為直角邊作等腰直角三角形OA2A3，再以O(shè)A3為直角邊作等腰直角三角形OA3A4，…，按此規(guī)律作下去，則OAn的長(zhǎng)度為 ． 【變式7-1】（2023春·云南昆明·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如果正整數(shù)a、b、c滿足等式a2+b2=c2，那么正整數(shù)a、b、c叫做勾股數(shù)．某同學(xué)將自探究勾股數(shù)的過(guò)程列成下表，觀察表中每列數(shù)的規(guī)律，可知x+y的值為（????） A．67 B．34 C．98 D．73 【變式7-2】（2023春·湖北咸寧·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖是第七屆國(guó)際數(shù)學(xué)教育大會(huì)的會(huì)徽?qǐng)D案，它是由一串有公共頂點(diǎn)O的直角三角形組成的，圖中的OA1=A1A2=A2A3=?=A7A8=1，按此規(guī)律，在線段OA1，OA2，OA3，?，OA10中，長(zhǎng)度為整數(shù)的線段有 條． 【變式7-3】（2023春·江西南昌·八年級(jí)?？计谥校┰谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系中，將若干個(gè)邊長(zhǎng)為2個(gè)單位長(zhǎng)度的等邊三角形按如圖所示的規(guī)律擺放，點(diǎn)P從原點(diǎn)O出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿著等邊三角形的邊OA1→A1A2→A2A3→A3A4→A4A5…的路線運(yùn)動(dòng)，設(shè)第n秒運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)Pn（n為正整數(shù)），則點(diǎn)P2023的坐標(biāo)是（????????） A．2022,0 B．2022,?3 C．2023,3 D．2023,?3 【題型8 由勾股定理求最值】 【例8】（2023春·安徽六安·八年級(jí)校考期中）如圖，已知∠MON=60°，點(diǎn)P,Q為∠MON內(nèi)的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且∠POQ=30°，OP=3，OQ=4，點(diǎn)A,B分別是OM,ON上的動(dòng)點(diǎn)，則PA+AB+BQ的最小值是（????） ?? A．5 B．7 C．8 D．10 【變式8-1】（2023春·貴州貴陽(yáng)·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE的腰長(zhǎng)分別為4和2，其中∠BAC=∠DAE=90°，M為邊DE的中點(diǎn)．若等腰Rt△ADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，則點(diǎn)B到點(diǎn)M的距離的最大值為 ． 【變式8-2】（2023春·江蘇淮安·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為6，線段EF在邊BC上左右滑動(dòng)，若EF=1，則AE+DF的最小值為 ． ?? 【變式8-3】（2023春·廣東梅州·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=8，BC=22，點(diǎn)D在AC上，將△ABD沿BD折疊，點(diǎn)A落在點(diǎn)A1處，A1B與AC相交于點(diǎn)E，則A1E的最大值為 ． 3，4，5；9，40，41；5，12，13；……；7，24，25；a，b，c．abc345861015817241026………x14y

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