專題1.2 勾股定理的逆定理【八大題型】 【北師大版】 TOC \o "1-3" \h \u   HYPERLINK \l "_Toc2652" 【題型1 判斷三邊能否構(gòu)成直角三角形】  PAGEREF _Toc2652 \h 1  HYPERLINK \l "_Toc7249" 【題型2 圖形上與已知兩點構(gòu)成直角三角形的點】  PAGEREF _Toc7249 \h 3  HYPERLINK \l "_Toc32186" 【題型3 在網(wǎng)格中判斷直角三角形】  PAGEREF _Toc32186 \h 6  HYPERLINK \l "_Toc9878" 【題型4 勾股數(shù)的探究】  PAGEREF _Toc9878 \h 9  HYPERLINK \l "_Toc19434" 【題型5 利用勾股定理的逆定理證明】  PAGEREF _Toc19434 \h 13  HYPERLINK \l "_Toc9893" 【題型6 利用勾股定理的逆定理求解】  PAGEREF _Toc9893 \h 17  HYPERLINK \l "_Toc30460" 【題型7 勾股逆定理的應(yīng)用】  PAGEREF _Toc30460 \h 20  HYPERLINK \l "_Toc25171" 【題型8 勾股定理及其逆定理的綜合】  PAGEREF _Toc25171 \h 23  【知識點 勾股定理的逆定理】 如果三角形的三邊長a，b，c滿足a2+b2=c2，那么這個三角形就是直角三角形． 【題型1 判斷三邊能否構(gòu)成直角三角形】 【例1】（2023春·黑龍江哈爾濱·八年級哈爾濱德強學(xué)校?？计谥校┯删€段a、b、c組成的三角形是直角三角形的是（????） A．a(chǎn)=5,b=3,c=3 B．a(chǎn)=13,b=15,c=14 C．a(chǎn)=6,b=4,c=5 D．a(chǎn)=7,b=24,c=25 【答案】D 【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理，進(jìn)行計算即可解答． 【詳解】解：A、32+32=18≠52，故不能組成直角三角形，故不合題意； B、152+142=41400≠132，故不能組成直角三角形，故不合題意； C、42+52=41≠62，故不能組成直角三角形，故不合題意； D、72+242=625=252，故不能組成直角三角形，故不合題意； 故選：D． 【點睛】本題考查了勾股定理的逆定理，熟練掌握勾股定理的逆定理是解題的關(guān)鍵． 【變式1-1】（2023春·湖北孝感·八年級統(tǒng)考期中）一個三角形的三邊長分別為a，b，c，且滿足a+ba?b=c2，則這個三角形是（????） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．銳角三角形 D．不確定 【答案】B 【分析】將原式整理為a2=b2+c2，即可判斷. 【詳解】解：∵a+ba?b=c2， ∴a2?b2=c2， ∴a2=b2+c2， ∴這個三角形是直角三角形； 故選：B. 【點睛】本題考查了勾股定理的逆定理和平方差公式，熟練掌握勾股定理逆定理、得出a2=b2+c2是解題的關(guān)鍵. 【變式1-2】（2023春·八年級單元測試）如圖，以△ABC的兩邊BC、AC分別向外作正方形，它們的面積分別是S1，S2，若S1=2，S2=3，AB2=5，則△ABC的形狀是________三角形． 【答案】直角 【分析】根據(jù)正方形的面積公式結(jié)合勾股定理的逆定理即可得出答案． 【詳解】解：∵S1=2，S2=3， ∴BC2=2，AC2=3， ∵AB2=5， ∴AC2+BC2=AB2， ∴△ABC是直角三角形， 故答案為：直角． 【點睛】本題考查了勾股定理的逆定理和正方形面積的應(yīng)用，理解勾股定理的逆定理的內(nèi)容是解題的關(guān)鍵． 【變式1-3】（2023春·廣東惠州·八年級校考期中）有四種說法：①三個內(nèi)角之比為5:6:1； ②三邊形長分別為：2,7,5；③三邊之長為9、40、41；④三邊之比為1.5∶2∶3．其中是直角三角形的有___________（填序號）． 【答案】①②③ 【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和勾股定理進(jìn)行求解即可． 【詳解】解：∵三角形三個內(nèi)角之比為5:6:1， ∴三角形最大的內(nèi)角為180°×65+6+1=90°， ∴該三角形為直角三角形，故①正確； ∵22+52=72， ∴該三角形為直角三角形，故②正確； ∵92+402=412， ∴該三角形為直角三角形，故③正確； ∵1.52+22≠32， ∴該三角形不是直角三角形，故④錯誤； 故答案為：①②③． 【點睛】本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理，勾股定理得逆定理，熟知三角形內(nèi)角和為180度和勾股定理的逆定理是解題的關(guān)鍵． 【題型2 圖形上與已知兩點構(gòu)成直角三角形的點】 【例2】（2023春·全國·八年級專題練習(xí)）同一平面內(nèi)有A，B，C三點，A，B兩點之間的距離為5cm，點C到直線AB的距離為2cm，且△ABC為直角三角形，則滿足上述條件的點C有______個． 【答案】8 【分析】該題存在兩種情況；（1）AB為斜邊，則∠C=90°；（2）AB為直角邊，AC=2cm或BC=2cm； 【詳解】（1）當(dāng)AB為斜邊時，點C到直線AB的距離為2cm，即AB邊上的高為2cm，符合要求的C點有4個，如圖： （2）當(dāng)AB為直角邊時，AC=2cm或BC=2cm，符合條件的點有4個，如圖； 符合要求的C點有8個； 故答案是8． 【點睛】本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，準(zhǔn)確分析判斷是解題的關(guān)鍵． 【變式2-1】（2023春·八年級單元測試）在如圖所示的5×5的方格圖中，點A和點B均為圖中格點．點C也在格點上，滿足△ABC為以AB為斜邊的直角三角形．這樣的點C有（???? ） A．1個 B．2個 C．3個 D．4個 【答案】D 【分析】結(jié)合網(wǎng)格的性質(zhì)和直角三角形的判定找到對應(yīng)點即可． 【詳解】解：如圖，滿足條件的點C共有4個， 故選D． 【點睛】此題主要考查了勾股定理逆定理，正確進(jìn)行討論，把每種情況考慮全，是解決本題的關(guān)鍵． 【變式2-2】（2023春·全國·八年級專題練習(xí)）點 A（2，m），B（2，m-5）在平面直角坐標(biāo)系中，點O為坐標(biāo)原點．若△ABO是直角三角形，則m的值不可能是（??） A．4 B．2 C．1 D．0 【答案】B 【分析】分∠OAB＝90°，∠OBA＝90°，∠AOB＝90°三種情況考慮：當(dāng)∠OAB＝90°時，點A在x軸上，進(jìn)而可得出m＝0；當(dāng)∠OBA＝90°時，點B在x軸上，進(jìn)而可得出m＝5；當(dāng)∠AOB＝90°時，利用勾股定理可得出關(guān)于m的一元二次方程，解之即可得出m的值．綜上，對照四個選項即可得出結(jié)論． 【詳解】 解：分三種情況考慮（如圖所示）： 當(dāng)∠OAB＝90°時，m＝0； 當(dāng)∠OBA＝90°時，m?5＝0，解得：m＝5； 當(dāng)∠AOB＝90°時，AB2＝OA2＋OB2，即25＝4＋m2＋4＋m2?10m＋25， 解得：m1＝1，m2＝4． 綜上所述：m的值可以為0，5，1，4． 故選B． 【點睛】本題考查了坐標(biāo)與圖形性質(zhì)以及勾股定理，分∠OAB＝90°，∠OBA＝90°，∠AOB＝90°三種情況求出m的值是解題的關(guān)鍵． 【變式2-3】（2023春·全國·八年級專題練習(xí)）如圖，方格紙中的每個小正方形的邊長均為1，點A，B在小正方形的頂點上，在圖中畫ΔABC（點C在小正方形的頂點上），使ΔABC為直角三角形，并說明理由.（要求畫出兩個，且兩個三角形不全等） 【答案】ΔABC為直角三角形，理由詳見解析. 【分析】根據(jù)勾股定理逆定理和勾股定理進(jìn)行判斷即可. 【詳解】解：如圖所示. 圖1????????????????圖2 如圖1，在ΔABC中， AC=5，BC=3， AB2=32+52=34 因為AC2+BC2=52+32=34=AB2， 所以∠ACB=90°， 即ΔABC為直角三角形. 如圖2，在RtΔACD中， AC2=CD2+AD2=12+12=2. 在RtΔBCE中，CB2=CE2+BE2=42+42=32. 在RtΔABF中，AB2=AF2+BF2=32+52=34. 所以AC2+CB2=AB2， 所以∠ACB=90°，即ΔABC為直角三角形. 【點睛】考核知識點：根據(jù)勾股定理逆定理畫直角三角形.掌握勾股定理逆定理并會運用是關(guān)鍵. 【題型3 在網(wǎng)格中判斷直角三角形】 【例3】（2023春·北京西城·八年級?？计谥校┤鐖D，在正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長為1，△ABC的三個頂點A，B，C都在格點上，AD是BC邊上的中線，那么AD的長為（????） ?? A．2.5 B．3 C．22 D．5 【答案】A 【分析】由勾股定理可得AC2=5,BC2=25,AB2=20,則AC2+AB2=BC2，即△ABC是直角三角形，然后由直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半即可解答． 【詳解】解：由勾股定理可得AC2=5,BC2=25,AB2=20, ∴AC2+AB2=BC2，即△ABC是直角三角形， ∵AD是BC邊上的中線， ∴AD=12BC=2.5． 故選：A． 【點睛】本題主要考查了勾股定理、直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)等知識點，根據(jù)勾股定理逆定理判定△ABC是直角三角形是基礎(chǔ)，掌握斜邊上的中線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵． 【變式3-1】（2023春·廣東湛江·八年級校考階段練習(xí)）如圖，每個小正方形的邊長為1，A、B、C是小正方形的頂點，則∠ABC的度數(shù)為_________． ?? 【答案】45° 【分析】根據(jù)勾股定理得到AB，BC，AC的長度，再判斷△ABC是等腰直角三角形，進(jìn)而得出結(jié)論． 【詳解】解：如圖，連接AC， ?? 由題意，AC=22+12=5 ，BC=22+12=5，AB=12+32=10， ∴AC=BC，AB2=AC2+BC2， ∴△ABC是等腰直角三角形，且∠ACB=90°， ∴∠ABC=∠CAB=45°． 故答案為：45°． 【點睛】本題主要考查了勾股定理及其逆定理，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，判斷出△ABC是等腰直角三角形是解決本題的關(guān)鍵． 【變式3-2】（2023春·廣東惠州·八年級?？茧A段練習(xí)）如圖，每個小正方形的邊長為 1． ?? (1)求四邊形 ABCD的面積與周長； (2)求證： ∠BCD=90°． 【答案】(1)周長為：82+234；面積為：32 (2)見解析 【分析】（1）借助正方形的小格，根據(jù)勾股定理分別計算四邊形的各邊的長，從而求得四邊形的周長； （2）在△ABC中，根據(jù)勾股定理的逆定理進(jìn)行判定． 【詳解】（1）解：根據(jù)勾股定理可知AB=3 2，BC= 34，CD= 34，AD=5 2， ∴四邊形ABCD的周長為32+52+34+34=82+234； 面積為：8×8?12×3×3?12×5×5?12×5×3?12×3×5=32． （2）證明：連接BD， ???? ∵BC= 34，CD= 34，DB= 68， ∴BC2+CD2=BD2． ∴△BCD是直角三角形，即∠BCD=90°． 【點睛】本題主要考查了勾股定理的運用以及勾股定理逆定理的運用，掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵． 【變式3-3】（2023春·八年級單元測試）如圖所示的是2×5的正方形網(wǎng)格，點A，B，P都在網(wǎng)格點上，則∠APB=________． ?? 【答案】135° 【分析】根據(jù)勾股定理和勾股定理的逆定理可得△PCB是等腰直角三角形，可得∠BPC=45°，即可求解． 【詳解】解：延長AP至C，連接BC， CP=CB=22+12=5， BP=32+12=10， ∵(5)2+(5)2=(10)2，即CP2+CB2=BP2， ∴△PCB是等腰直角三角形， ∴∠BPC=45°， ∴∠APB=180°?45°=135°， 故答案為：135°． ???? 【點睛】本題考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，關(guān)鍵是得到△PCB是等腰直角三角形． 【題型4 勾股數(shù)的探究】 【例4】（2023春·安徽阜陽·八年級統(tǒng)考期末）法國數(shù)學(xué)家費爾馬早在17世紀(jì)就研究過形如x2+y2=z2的方程，顯然，這個方程有無數(shù)組解．我們把滿足該方程的正整數(shù)的解x,y,z叫做勾股數(shù)．如3,4,5就是一組勾股數(shù)． (1)請你再寫出兩組勾股數(shù)：（___________），（___________）； (2)在研究直角三角形的勾股數(shù)時，古希臘的哲學(xué)家柏拉圖曾指出：如果n表示大于1的整數(shù)，x=2n，y=n2?1，z=n2+1，那么，以x，y，z為三邊的三角形為直角三角形（即x，y，z為勾股數(shù)），請你加以證明． 【答案】(1)5，12，13；7，24，25 (2)證明見解析 【分析】（1）根據(jù)x2+y2=z2，即可得出5，12，13、7，24，25是勾股數(shù)； （2）根據(jù)勾股定理的逆定理，可得答案． 【詳解】（1）∵52+122=169,132=169， ∴52+122=132， ∴5，12，13是勾股數(shù)； ∵72+242=625,252=625， ∴72+242=252， ∴7，24，25是勾股數(shù)； 故答案為：5，12，13；7，24，25； （2）證明：∵x=2n，y=n2?1， ∴x2+y2 =2n2+n2?12 =4n2+n4?2n2+1 =n4+2n2+1 =n2+12 =z2， 即x，y，z為勾股數(shù)． ∴以x，y，z為三邊的三角形為直角三角形． 【點睛】此題考查勾股逆定理的證明，勾股數(shù)的規(guī)律探究，掌握勾股逆定理的證明，根據(jù)勾股定理得出勾股數(shù)是解題的關(guān)鍵． 【變式4-1】（2023春·四川達(dá)州·八年級?？计谥校┮韵铝懈鹘M數(shù)據(jù)中的三個數(shù)，其中是勾股數(shù)的是（????） A． 3,4,5 B．6，8，10 C．1,2,3 D．2，3，4 【答案】B 【分析】根據(jù)勾股數(shù)的定義進(jìn)行分析，從而得到答案． 【詳解】解：A、32+42=7，52=5，7≠5，故此選項錯誤； B、62+82=100，102=100，且100=100，故此選項正確； C、12+22=3，32=3，3=3，2，3不是整數(shù)，故此選項錯誤； D、22+32=13，42=16，13≠16，故此選項錯誤． 故答案為：B． 【點睛】此題考查了勾股數(shù)，解答此題要用到勾股定理的逆定理和勾股數(shù)的定義，滿足a2+b2=c2． 【變式4-2】（2023春·全國·八年級專題練習(xí)）一個直角三角形三邊長都是正整數(shù)，這樣的直角三角形叫做“整數(shù)直角三角形”，這三個整數(shù)叫做一組“勾股數(shù)”老師給出了下表（其中m，n為正整數(shù)，且m>n）： (1)探究a，b，c與m，n之間的關(guān)系并用含m，n的代數(shù)式表示：a=______，b=______，c=______． (2)以a，b，c為邊長的三角形是否一定為直角三角形？請說明理由． 【答案】(1)m2+n2，2mn，m2?n2 (2)以a，b，c為邊長的三角形一定為直角三角形，理由見解析 【分析】（1）根據(jù)給出的數(shù)據(jù)總結(jié)即可； （2）分別計算出a2、b2、c2，根據(jù)勾股定理逆定理進(jìn)行判斷． 【詳解】（1）解：觀察可得a=m2+n2，b=2mn，c=m2?n2， 故答案為：m2+n2，2mn，m2?n2； （2）以a，b，c為邊長的三角形一定為直角三角形，理由如下： a2=(m2+n2)2=m4+2m2n2+n4， b2+c2=m4?2m2n2+n4+4m2n2=m4+2m2n2+n4， ∴a2=b2+c2， ∴以a，b，c為邊長的三角形一定為直角三角形． 【點睛】本題考查了勾股數(shù)，勾股定理的逆定理，熟練掌握：如果三角形的三邊長a,b,c滿足a2+b2=c2，那么這個三角形就是直角三角形是解題的關(guān)鍵． 【變式4-3】（2023春·重慶北碚·八年級西南大學(xué)附中?？计谥校┕垂啥ɡ硎且粋€基本的幾何定理，早在我國西漢時期算書《周髀算經(jīng)》就有“勾三股四弦五”的記載．如果一個直角三角形三邊長都是正整數(shù)，這樣的直角三角形叫“整數(shù)直角三角形”；這三個整數(shù)叫做一組“勾股數(shù)”，如：3，4，5；5，12，13；7，24，25；8，15，17；9，40，41等等都是勾股數(shù)． （1）小李在研究勾股數(shù)時發(fā)現(xiàn)，某些整數(shù)直角三角形的斜邊能寫成兩個整數(shù)的平方和，有一條直角邊能寫成這兩個整數(shù)的平方差．如3，4，5中，5＝22+12，3＝22﹣12；5，12，13中，13＝32+22，5＝32﹣22；請證明：m，n為正整數(shù)，且m＞n，若有一個直角三角形斜邊長為m2+n2，有一條直角長為m2﹣n2，則該直角三角形一定為“整數(shù)直角三角形”； （2）有一個直角三角形兩直角邊長分別為7a?7和150?30b，斜邊長415，且a和b均為正整數(shù)，用含b的代數(shù)式表示a，并求出a和b的值； （3）若c1＝a12+b12，c2＝a22+b22，其中，a1、a2、b1、b2均為正整數(shù)．證明：存在一個整數(shù)直角三角形，其斜邊長為c1?c2． 【答案】（1）見解析；（2）a=97+30b7，a＝31，b＝4；（3）見解析 【分析】（1）根據(jù)勾股定理：利用（m2+n2）2﹣（m2﹣n2）2，解得另一條直角邊長為2mn，因為m，n為正整數(shù)，所以2mn也為正整數(shù)，即可得證； （2）首先根據(jù)勾股定理求出a關(guān)于b的代數(shù)式，再根據(jù)被開方數(shù)需大于等于0，即可求得a、b的范圍，且a、b均為正整數(shù)，將b的可能值：1，2，3，4分別代入，即可求得符合條件的正整數(shù)a、b； （3）觀察發(fā)現(xiàn)，當(dāng)a1＝b1＝1，a2＝b2＝2時，c1?c2＝5×5＝25，而252=152+202，故存在． 【詳解】（1）證明：∵（m2+n2）2﹣（m2﹣n2）2 ＝（m2+n2+m2﹣n2）?（m2+n2﹣m2+n2） ＝2m2?2n2 ＝（2mn）2， ∴（2mn）2+（m2﹣n2）2＝（m2+n2）2， ∵m，n為正整數(shù)，且m＞n， ∴2mn，m2﹣n2，m2+n2均為正整數(shù)， ∴該直角三角形一定為“整數(shù)直角三角形”； （2）由勾股定理得： 7a﹣7+（150﹣30b）＝16×15， ∴a=97+30b7， 由題意可知：7a﹣7＞0，150﹣30b＞0， ∴a＞1，0＜b＜5， ∵a和b均為正整數(shù)， ∴b的可能值為：1，2，3，4， 當(dāng)b＝1時，a=97+307=1277 ，不是正整數(shù)，故b＝1不符合題意； 當(dāng)b＝2時，a=97+607=1577，不是正整數(shù)，故b＝2不符合題意； 當(dāng)b＝3時，a=97+907=1877，不是正整數(shù)，故b＝3不符合題意； 當(dāng)b＝4時，a=97+1207=2177=31，是正整數(shù)，此時7a?7=210 150?30b=30， ∵2102+302=240，4152=240， ∴2102+302=4152， ∴b＝4符合題意， ∴a=97+30b7，a＝31，b＝4； （3）證明：觀察發(fā)現(xiàn)，當(dāng)a1＝b1＝1，a2＝b2＝2時，c1?c2＝5×5＝25， 152+202＝225+400＝625，252＝625， ∴152+202＝252． ∴存在一個整數(shù)直角三角形，其斜邊長為c1?c2． 【點睛】本題目考查勾股定理，難度一般，也是中考的?？贾R點，熟練掌握勾股定理的應(yīng)用以及二次根式的相關(guān)性質(zhì)是順利解答此題的關(guān)鍵． 【題型5 利用勾股定理的逆定理證明】 【例5】（2023·江蘇·八年級假期作業(yè)）如圖，已知CD⊥AB，垂足為D，BD=1，CD=2，AD=4．求證：∠ACB=90°． 【答案】見解析 【分析】根據(jù)勾股定理得出BC2，AC2，進(jìn)而利用勾股定理的逆定理解答即可． 【詳解】證明：∵CD⊥AB，垂足為D，BD=1，CD=2，AD=4， ∴BC2=BD2+CD2=12+22=5，AC2=AD2+CD2=42+22=20， ∵AB=AD+BD=4+1=5， ∴AB2=25=AC2+BC2=20+5， ∴△ABC是直角三角形， ∴∠ACB=90°． 【點睛】此題考查勾股定理及其逆定理，掌握勾股定理與其逆定理的區(qū)別是解題的關(guān)鍵． 【變式5-1】（2023·江蘇·八年級假期作業(yè)）在△ABC的三邊分別是a、b、c，且a=n2?1,b=2n,c=n2+1，判斷△ABC的形狀，證明你的結(jié)論． 【答案】直角三角形，理由見解析 【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理判斷即可． 【詳解】解：∵a=n2?1,b=2n,c=n2+1 ∴a2=n2?12=n4?2n2+1， b2=2n2=4n2， c2=n2+12=n4+2n2+1， ∴a2+b2=c2， 故△ABC是直角三角形． 【點睛】本題考查了勾股定理的逆定理、完全平方公式，會利用勾股定理的逆定理判定三角形是否為直角三角形是解答的關(guān)鍵． 【變式5-2】（2023春·八年級課時練習(xí)）如圖，以△ABC的每一條邊為邊作三個正方形．已知這三個正方形構(gòu)成的圖形中，綠色部分的面積與藍(lán)色部分的面積相等，則△ABC是直角三角形嗎？請證明你的判斷． 【答案】△ABC是直角三角形，證明見解析 【分析】設(shè)坐標(biāo)綠色部分的面積和為a，右邊綠色部分的面積為b，藍(lán)色部分的面積和為c，坐標(biāo)空白部分的面積為d，右邊空白部分的面積為e， 【詳解】設(shè)坐標(biāo)綠色部分的面積和為a，右邊綠色部分的面積為b，藍(lán)色部分的面積和為c，坐標(biāo)空白部分的面積為d，右邊空白部分的面積為e，然后根據(jù)綠色部分的面積與藍(lán)色部分的面積相等列式得到(a+d)+(b+e)=c+d+e，然后由a+d=AC2,b+e=BC2求解即可．． ∵綠色部分的面積與藍(lán)色部分的面積相等 ∴a+b=c ∴a+b+d+e=c+d+e ∴(a+d)+(b+e)=c+d+e ∵a+d=AC2,b+e=BC2 ∴c+d+e=AB2 ∴AC2+BC2=AB2 ∴△ABC是直角三角形． 【點睛】此題考查了勾股定理的逆定理的運用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握勾股定理的逆定理． 【變式5-3】（2023春·江蘇鹽城·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在△ABC中，AB=7，AC=25，AD是中線，點E在AD的延長線上，且AD=ED=12． (1)求證：△CDE≌△BDA； (2)證明：CE⊥AE； (3)求△ABC的面積． 【答案】(1)見解析 (2)見解析 (3)84 【分析】（1）根據(jù)SAS證明△CDE≌△BDA即可； （2）結(jié)論：△ACE是直角三角形；首先根據(jù)△CDE≌△BDA，推出CE=AB=7，最后根據(jù)勾股定理的逆定理即可證明； （3）由全等三角形的性質(zhì)得出S△ABC=S△ACE，所以計算△ACE的面積，即可得出△ABC的面積． 【詳解】（1）證明：∵AD是邊BC上的中線， ∴BD=CD， 在△BDA和△CDE中， AD=BD∠ADB=∠EDCBD=CD， ∴△CDE≌△BDA（SAS）， （2）結(jié)論：△ACE是直角三角形； 理由：由（1）知：△CDE≌△BDA, ∴CE=AB=7， ∵AD=ED=12， ∴AE=24， ∵AE2+CE2=242+72=625，AC2=252=625， ∴AE2+CE2=AC2， ∴∠E=90°， ∴△ACE是直角三角形； （3）∵△CDE≌△BDA， ∴S△CDE+S△ADC=S△ADC+S△BDA， ∴S△ABC=S△ACE， ∵S△ACE=12AE·CE =12×24×7=84， ∴S△ABC=84． 【點睛】此題是三角形的綜合題，考查三角形全等的判定與性質(zhì)，勾股定理的逆定理的運用，三角形的面積計算方法，掌握三角形全等的判定方法與勾股定理逆定理是解決問題的關(guān)鍵． 【題型6 利用勾股定理的逆定理求解】 【例6】（2023春·山西呂梁·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，AB=5，BC=4，AC=3，將三角形紙片沿AD折疊，使點C落在AB邊上的點E處，則△BDE的周長為（????） ?? A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】利用勾股定理的逆定理判斷出∠C=90°，利用翻折不變性可得AE=AC=3，推出BE=2，即可解決問題． 【詳解】解：在△ABC中，∵AB=5，BC=4，AC=3， ∴AB2=BC2+AC2， ∴△ABC是直角三角形，且∠C=90°， 由翻折的性質(zhì)可知：AE=AC=3，CD=DE， ∴BE=2， ∴△BDE的周長=DE+BD+BE=CD+BD+BE=BC+BE=4+2=6， 故選：D． 【點睛】本題考查翻折變換，勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考?？碱}型． 【變式6-1】（2023春·湖北襄陽·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在△ABC中，點D在AB上，AB=AC，BC=5，BD=3，CD=4．求AC的長． 【答案】AC=256 【分析】由勾股定理的逆定理判定∠BDC=90°，再在Rt△ADC中利用勾股定理列方程即可解答． 【詳解】解： ∵BC=5，BD=3，CD=4， ∴BD2＋CD2=32＋42=25=BC2． ∴∠BDC=90°． ∴∠ADC=180°?∠BDC=90°． ∴AD2＋CD2＝AC2． 設(shè)AC=x． ∵AB=AC，BD=3， ∴AD=x?3． ∴(x?3)2＋42＝x2． 解得x=256． ∴AC=256． 【點睛】本題主要考查了勾股定理及其逆定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵在于熟練掌握定理，靈活運用． 【變式6-2】（2023春·河南開封·八年級統(tǒng)考期末）已知△ABC的三邊分別為a、b、c，且滿足a+2b?112+2a?b?2=10c?25?c2，請你判斷△ABC的形狀，并求出其周長與面積． 【答案】△ABC是直角三角形，它的周長是12，面積是6 【分析】首先把原等式變形為a+2b?112+2a?b?2+c?52=0，利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，建立三元一次方程組，求得a、b、c的數(shù)值，利用勾股定理的逆定理判定三角形的形狀，進(jìn)一步求得周長和面積即可． 【詳解】解：由題意得a+2b?112+2a?b?2+c2?10c+25=0， ∴a+2b?112+2a?b?2+c?52=0， ∴a+2b?11=02a?b?2=0c?5=0， ∴a=3，b=4，c=5， ∵a2+b2=c2， ∴△ABC是直角三角形，它的周長是3+4+5=12， 面積是12×3×4=6． 【點睛】此題考查了完全平方公式，非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，解三元一次方程組，勾股定理逆定理以及三角形的周長和面積的計算方法；注意解題的思路與方法的靈活性． 【變式6-3】（2023春·陜西榆林·八年級?？计谀┮阎凇鰽CB中，AC=12,BC=5,AB=13，點E為邊AC上的動點，點F為邊AB上的動點，則FE+EB的最小值是_________． 【答案】12013 【分析】先根據(jù)勾股定理的逆定理可得∠ACB=90°，再作點B關(guān)于AC的對稱點B′，連接B′E,B′F,AB′，然后根據(jù)兩點之間線段最短、垂線段最短可得當(dāng)B′F⊥AB時，線段FE+EB的值最小，最小值為B′F，最后利用三角形的面積公式即可得． 【詳解】解：∵在△ACB中，AC=12,BC=5,AB=13， ∴AC2+BC2=AB2， ∴△ABC是直角三角形，且∠ACB=90°， 如圖，作點B關(guān)于AC的對稱點B′，連接B′E,B′F,AB′， ∴B′C=BC=5,BB′=2BC=10,B′E=BE， ∴FE+EB=FE+B′E， 由兩點之間線段最短可知，當(dāng)點B′,E,F共線時，F(xiàn)E+B′E最小，最小值為B′F， 由垂線段最短可知，當(dāng)B′F⊥AB時，B′F的值最小， 又∵S△ABB′=12AB?B′F=12AC?BB′， ∴12×13B′F=12×12×10， 解得B′F=12013， 即FE+EB的最小值為12013， 故答案為：12013． 【點睛】本題考查了勾股定理的逆定理、兩點之間線段最短、垂線段最短、軸對稱的性質(zhì)等知識點，熟練掌握軸對稱的性質(zhì)和勾股定理的逆定理是解題關(guān)鍵． 【題型7 勾股逆定理的應(yīng)用】 【例7】（2023春·廣東廣州·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在筆直的公路AB旁有一座山，從山另一邊的C處到公路上的?？空続的距離為AC=15km，與公路上另一?？空綛的距離為BC=20km，?？空続、B之間的距離為AB=25km，為方便運輸貨物現(xiàn)要從公路AB上的D處開鑿隧道修通一條公路到C處，且CD⊥AB． (1)請判斷△ABC的形狀？ (2)求修建的公路CD的長． 【答案】(1)直角三角形 (2)12km 【分析】（1）根據(jù)勾股定理的逆定理，由AC2+BC2=AB2得到△ABC是直角三角形． （2）利用△ABC的面積公式可得，CD?AB=AC?BC，從而求出CD的長． 【詳解】（1）解：△ABC是直角三角形． 理由：∵AC=15km，BC=20km，AB=25km， ∴ 152+202=252， ∴AC2+BC2=AB2， ∴∠ACB=90°， ∴△ABC是直角三角形． （2）解：∵CD⊥AB， ∴S△ABC=12AB?CD=12AC?BC， ∴CD=AC?BCAB=15×2025=12km． 答：修建的公路CD的長是12km． 【點睛】本題考查了勾股定理，勾股定理逆定理的應(yīng)用，以及三角形的面積公式等知識，熟練掌握勾股定理及其逆定理是解題的關(guān)鍵． 【變式7-1】（2023春·廣西南寧·八年級南寧市天桃實驗學(xué)校?？茧A段練習(xí)）森林火災(zāi)是一種常見的自然災(zāi)害，危害很大．隨著中國科技、經(jīng)濟(jì)的不斷發(fā)展，開始應(yīng)用飛機灑水的方式撲滅火源．如圖，△ABC區(qū)域內(nèi)是一片森林，有一臺救火飛機沿東西方向AB，由點A飛向點B，已知點C為其中一個著火點，且點C與點A，B的距離分別為600m和800m，又AB=1000m，飛機中心周圍500m以內(nèi)可以受到灑水影響． (1)求△ABC的面積． (2)著火點C能否受到灑水影響？為什么？ 【答案】(1)240000m2 (2)受影響 【分析】（1）利用勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形，再利用面積公式計算即可； （2）過點C作CD⊥AB于D，利用三角形面積得出CD的長，進(jìn)而得出海港C是否受臺風(fēng)影響． 【詳解】（1）解：∵AC=600m，BC=800m，AB=1000m， ∴AC2+BC2=AB2， ∴△ABC是直角三角形， ∴S△ABC=12×AC×BC=240000m2； （2）如圖，過點C作CD⊥AB于D， ∴S△ΔABC=12AC?BC=12CD?AB， ∴600×800=1000CD， ∴CD=480， ∵飛機中心周圍500m以內(nèi)可以受到灑水影響， ∴著火點C受灑水影響． 【點睛】本題考查的是勾股定理在實際生活中的運用，解答此類題目的關(guān)鍵是構(gòu)造出直角三角形，再利用勾股定理解答． 【變式7-2】（2023春·廣西桂林·八年級統(tǒng)考期中）一根12米的電線桿AB，用鐵絲AC、AD固定，現(xiàn)已知用去鐵絲AC＝15米，AD＝13米，又測得地面上B、C兩點之間距離是9米，B、D兩點之間距離是5米，則電線桿和地面是否垂直，為什么？ 【答案】電線桿和地面垂直，理由見解析 【分析】由勾股定理的逆定理判斷△ABD是直角三角形，△ABC是直角三角形，即可解答． 【詳解】解：電線桿和地面垂直，理由如下： 連接BD 在△ABD中，∵BD2+AB2＝52+122＝169＝132＝AD2， ∴△ABD是直角三角形，且∠ABD＝90°， ∴AB⊥BD， 在△ABC中，∵BC2+AB2＝92+122＝225＝152＝AC2， ∴△ABC是直角三角形，且∠ABC＝90°， ∴AB⊥BC， ∴電線桿和地面垂直． 【點睛】本題考查勾股定理的逆定理，是重要考點，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵． 【變式7-3】（2023春·八年級課時練習(xí)）海面上有兩個疑似漂浮目標(biāo)．A艦艇以12海里/時的速度離開港口O，向北偏西50°方向航行；同時，B艦艇在同地以16海里/時的速度向北偏東一定角度的航向行駛，如圖所示，離開港口5小時后兩船相距100海里，則B艦艇的航行方向是______． 【答案】北偏東40° 【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理判斷△AOB是直角三角形，求出∠BOD的度數(shù)即可． 【詳解】由題意得，OA=12×5=60（海里），OB=16×5=80（海里）， 又∵AB=100海里， ∵602+802=1002， 即OB2+OA2=AB2 ∴∠AOB=90°， ∵∠DOA=50°， ∴∠BOD=40°， 則B艦艇的航行方向是北偏東40°， 故答案為：北偏東40°． 【點睛】本題考查的是勾股定理的逆定理的應(yīng)用和方位角的知識，根據(jù)題意判斷出△AOB是直角三角形是解決問題的關(guān)鍵． 【題型8 勾股定理及其逆定理的綜合】 【例8】（2023春·全國·八年級期末）如圖，在△ABC中，D是△ABC內(nèi)一點，連接AD、BD，且AD⊥BD．已知AD=4，BD=3，AC=13，BC=12．則圖中陰影部分的面積為________． ?? 【答案】24 【分析】先根據(jù)勾股定理求出AB，然后根據(jù)勾股定理的逆定理，得△ABC是直角三角形，根據(jù)陰影部分的面積S等于S△ABC?S△ABD，即可． 【詳解】∵AD⊥BD， ∴AB2=AD2+BD2， ∵AD=4，BD=3， ∴AB=5， ∵AC=13，BC=12， ∴AC2=169，BC2=144，AB2=25， ∴AC2=BC2+AB2， ∴△ABC是直角三角形， 設(shè)陰影部分的面積S， ∴S=S△ABC?S△ABD=12×AB×BC?12×AD×BD， ∴S=24， ∴設(shè)陰影部分的面積為：24． 故答案為：24． 【點睛】本題考查勾股定理的知識，解題的關(guān)鍵是掌握勾股定理的運用和勾股定理的逆定理． 【變式8-1】（2023春·江西贛州·八年級期中）如圖，已知正方形ABCD的邊長為4，E為AB中點，F(xiàn)為AD上的一點，且AF=14AB，求證：∠FEC=90°． 【答案】見解析 【分析】由正方形的性質(zhì)和已知求得AF=1，F(xiàn)D=3，由中點的性質(zhì)得AE=EB=2，利用勾股定理求得EF，EC，F(xiàn)C，再根據(jù)勾股定理的逆定理，即可得出結(jié)論． 【詳解】證明：∵正方形ABCD的邊長為4，且AF=14AB， ∴AF=1，F(xiàn)D=3，DC=BC=4， ∵E為AB的中點， ∴AE=EB=2， 在Rt△AEF中，EF=AF2+AE2=12+22=5， 在Rt△DFC中，F(xiàn)C=DF2+DC2=32+42=5， 在Rt△EBC中，EC=EB2+BC2=22+42=25． ∴EC2+EF2=FC2， ∴△EFC是以EC、EF為直角邊的直角三角形， ∴∠FEC=90°． 【點睛】本題考查了勾股定理和勾股定理的逆定理及正方形的性質(zhì)，利用勾股定理求出三角形三邊長，再利用勾股定理逆定理解答是證明此題的關(guān)鍵． 【變式8-2】（2023春·重慶九龍坡·八年級重慶實驗外國語學(xué)校?？茧A段練習(xí)）為迎接六十周年校慶，重慶外國語學(xué)校準(zhǔn)備將一塊三角形空地ABC進(jìn)行新的規(guī)劃，如圖，點D是BC邊上的一點，過點D作垂直于AC的小路DE，點E在AC邊上．經(jīng)測量，AB=26米，AD=24米，BD=10米，AC比DC長12米． (1)求△ABD的面積； (2)求小路DE的長． 【答案】(1)120平方米 (2)14.4米 【分析】（1）根據(jù)勾股定理逆定理得出△ABD是直角三角形，再根據(jù)三角形面積公式求解即可； （2）設(shè)DC=x米，利用勾股定理求解出DC=18米，AC=30米，再利用等積法求解即可． 【詳解】（1）∵BD2=102=100，AD2=242=576，AB2=262=676， ∴BD2+AD2=AB2， ∴△ABD是直角三角形，∠ADB=90°， ∴S△ABD=12BD?AD=12×10×24=120（平方米）； （2）設(shè)DC=x米，則AC=x+12米， 由（1）知∠ADB=90°， 由勾股定理得x2+242=x+122， 解得x=18， ∴DC=18米，AC=30米， ∵DE⊥AC， ∴S△ACD=12AC?DE=12DC?AD， ∴30DE=18×24， ∴DE=14.4（米）． 【點睛】本題考查了勾股定理和勾股定理逆定理，熟練運用勾股定理逆定理證明是解題的關(guān)鍵． 【變式8-3】（2023春·江蘇宿遷·八年級?？计谀┤鐖D，已知正方形OABC的邊長為8，邊OA在x軸上，邊OC在y軸上，點D是x軸上一點，坐標(biāo)為(2，0)，點E為OC的中點，連接BD、BE、ED． (1)求點B的坐標(biāo)； (2)判斷△BED的形狀，并證明你的結(jié)論． 【答案】(1)(8，8) (2)△BED是直角三角形 【分析】（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)可得OA=OC=8，進(jìn)而求出點B的坐標(biāo)； （2）求出BD、BE、ED的平方，根據(jù)勾股定理逆定理判斷即可． 【詳解】（1）解：正方形OABC的邊長為8，邊OA在x軸上，邊OC在y軸上， 所以O(shè)A=OC=8， 因此，點B的坐標(biāo)為(8，8)． （2）解：△BED是直角三角形； 點D是x軸上一點，坐標(biāo)為(2，0)，點E為OC的中點， ∴OD=2，OE=CE=4，DA=6， ∴ED2=OD2+OE2=20，EB2=BC2+CE2=80，DB2=BA2+AD2=100， ∴ED2+EB2=DB2， ∴△BED是直角三角形． 【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)和勾股定理及逆定理，解題關(guān)鍵是根據(jù)正方形性質(zhì)寫出點的坐標(biāo)，利用坐標(biāo)求出線段的平方． m23344…n11212…a22+1232+1232+2242+1242+22…b4612816…c22?1232?1232?2242?1242?22…

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初中數(shù)學(xué)北師大版（2024）八年級上冊電子課本

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版本： 北師大版（2024）

年級： 八年級上冊

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