知識(shí)點(diǎn)一 圓的方程
1．圓的定義及方程
2．點(diǎn)與圓的位置關(guān)系
點(diǎn)M(x0，y0)，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
[提醒] 不要把形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的結(jié)構(gòu)都認(rèn)為是圓，一定要先判斷D2＋E2－4F的符號(hào)，只有大于0時(shí)才表示圓．
3．謹(jǐn)記常用結(jié)論
若x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圓，則有：
(1)當(dāng)F＝0時(shí)，圓過(guò)原點(diǎn)．
(2)當(dāng)D＝0，E≠0時(shí)，圓心在y軸上；當(dāng)D≠0，E＝0時(shí)，圓心在x軸上．
(3)當(dāng)D＝F＝0，E≠0時(shí)，圓與x軸相切于原點(diǎn)；E＝F＝0，D≠0時(shí)，圓與y軸相切于原點(diǎn)．
(4)當(dāng)D2＝E2＝4F時(shí)，圓與兩坐標(biāo)軸相切．
[重溫經(jīng)典]
1．(教材改編題)圓x2＋y2－4x＋6y＝0的圓心坐標(biāo)是( )
A．(2,3) B．(－2,3)
C．(－2，－3) D．(2，－3)
答案：D
2．(教材改編題)圓心坐標(biāo)為(1,1)且過(guò)原點(diǎn)的圓的方程是( )
A．(x－1)2＋(y－1)2＝1 B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝1
C．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2 D．(x－1)2＋(y－1)2＝2
答案：D
3．(易錯(cuò)題)方程x2 ＋y2＋mx－2y＋3＝0表示圓，則m的取值范圍是( )
A．(－∞，－eq \r(2))∪(eq \r(2)，＋∞)
B．(－∞，－2eq \r(2))∪(2eq \r(2)，＋∞)
C．(－∞，－eq \r(3))∪(eq \r(3)，＋∞)
D．(－∞，－2eq \r(3))∪(2eq \r(3)，＋∞)
答案：B
4．若點(diǎn)(1,1)在圓(x－a)2＋(y＋a)2＝4的內(nèi)部，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( )
A．(－1,1) B．(0,1)
C．(－∞，－1)∪(1，＋∞) D．a(chǎn)＝±1
答案：A
5．(教材改編題)已知圓C經(jīng)過(guò)A(5,2)，B(－1,4)兩點(diǎn)，圓心在x軸上，則圓C的方程為______________．
解析：設(shè)圓C的方程為(x－a)2＋y2＝r2，
由題意可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(?5－a?2＋4＝r2，,?－1－a?2＋16＝r2，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝1，,r2＝20，))所以圓C的方程為(x－1)2＋y2＝20.
答案：(x－1)2＋y2＝20
6．已知圓C經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(1,3)，B(4,2)，且與直線2x＋y－10＝0相切，則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為________________．
解析：由題意，設(shè)圓C的方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
因?yàn)辄c(diǎn)B(4,2)在直線2x＋y－10＝0上，所以點(diǎn)B(4,2)是圓與直線2x＋y－10＝0的切點(diǎn)，
連接圓心C和切點(diǎn)的直線與切線2x＋y－10＝0垂直，
則kBC＝eq \f(1,2)，則BC的方程為y－2＝eq \f(1,2)(x－4)，
整理得x－2y＝0，
由線段AB的垂直平分線的方程為3x－y－5＝0，
聯(lián)立方程組eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3x－y－5＝0，,x－2y＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2，,y＝1，))
即圓心坐標(biāo)為C(2,1)，
又由r＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(BC))＝eq \r(?4－2?2＋?2－1?2)＝eq \r(5)，
所以圓的方程為(x－2)2＋(y－1)2＝5.
答案：(x－2)2＋(y－1)2＝5
知識(shí)點(diǎn)二 直線與圓的位置關(guān)系
1．直線與圓的位置關(guān)系(半徑r，圓心到直線的距離為d)
2．圓的切線
(1)過(guò)圓上一點(diǎn)的圓的切線
①過(guò)圓x2＋y2＝r2上一點(diǎn)M(x0，y0)的切線方程是x0x＋y0y＝r2.
②過(guò)圓(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一點(diǎn)M(x0，y0)的切線方程是(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.
(2)過(guò)圓外一點(diǎn)的圓的切線
過(guò)圓外一點(diǎn)M(x0，y0)的圓的切線求法：可用點(diǎn)斜式設(shè)出方程，利用圓心到直線的距離等于半徑求出斜率k，從而得切線方程；若求出的k值只有一個(gè)，則說(shuō)明另一條直線的斜率不存在，其方程為x＝x0.
(3)切線長(zhǎng)
①?gòu)膱Ax2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)外一點(diǎn)M(x0，y0)引圓的兩條切線，切線長(zhǎng)為 eq \r(x\\al(2,0)＋y\\al(2,0)＋Dx0＋Ey0＋F).
②兩切點(diǎn)弦長(zhǎng)：利用等面積法，切線長(zhǎng)a與半徑r的積的2倍等于點(diǎn)M與圓心的距離d與兩切點(diǎn)弦長(zhǎng)b的積，即b＝eq \f(2ar,d).
[提醒] 過(guò)一點(diǎn)求圓的切線方程時(shí)，要先判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，以便確定切線的條數(shù)．
3．圓的弦長(zhǎng)
直線和圓相交，求被圓截得的弦長(zhǎng)通常有兩種方法：
(1)幾何法：因?yàn)榘胂议L(zhǎng)eq \f(L,2)、弦心距d、半徑r構(gòu)成直角三角形，所以由勾股定理得L ＝2eq \r(r2－d2).
(2)代數(shù)法：若直線y＝kx＋b與圓有兩交點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則有：|AB|＝ eq \r(1＋k2)|x1－x2|＝ eq \r(1＋\f(1,k2))|y1－y2|.
4．謹(jǐn)記常用結(jié)論
過(guò)直線Ax＋By＋C＝0和圓x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)交點(diǎn)的圓系方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0.
[重溫經(jīng)典]
1．(教材改編題)直線l：x－y＋1＝0與圓C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的位置關(guān)系是( )
A．相離 B．相切
C．相交且過(guò)圓心 D．相交但不過(guò)圓心
解析：選D 圓的方程化為(x－2)2＋(y－1)2＝4，圓心為(2,1)，半徑為2，圓心到直線l的距離為eq \f(|2－1＋1|,\r(2))＝eq \r(2)0，結(jié)合圖形，利用半徑、弦長(zhǎng)的一半及弦心距所構(gòu)成的直角三角形，可知eq \f(1,a)＝ eq \r(22－?\r(3)?2)＝1?a＝1.
答案：1
6．(易錯(cuò)題)若圓x2＋y2＝1與圓(x＋4)2＋(y－a)2＝25相切，則常數(shù)a＝________.
解析：兩圓的圓心距d＝eq \r(?－4?2＋a2)，由兩圓相切，得eq \r(?－4?2＋a2)＝5＋1或eq \r(?－4?2＋a2)＝5－1，解得a＝±2eq \r(5)或a＝0.
答案：±2eq \r(5)或0定義
平面內(nèi)到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡叫做圓
標(biāo)準(zhǔn)方程
(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)
圓心：(a，b)半徑：r
一般方程
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)
圓心：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))
半徑：r＝eq \f(\r(D2＋E2－4F),2)
理論依據(jù)
點(diǎn)到圓心的距離與半徑的大小關(guān)系
三種情況
(x0－a)2＋(y0－b)2eq \a\vs4\al(＝)r2?點(diǎn)在圓上
(x0－a)2＋(y0－b)2eq \a\vs4\al(>)r2?點(diǎn)在圓外
(x0－a)2＋(y0－b)2eq \a\vs4\al(r
deq \a\vs4\al(＝)r
d

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