新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)教案第7章第5節(jié) 第1課時(shí) 系統(tǒng)知識(shí)牢基礎(chǔ)—

知識(shí)點(diǎn)一空間向量的概念及有關(guān)定理
1．空間向量的有關(guān)概念
2.空間向量的有關(guān)定理
(1)共線向量定理：對(duì)空間任意兩個(gè)向量a，b(b≠0)，a∥b的充要條件是存在實(shí)數(shù)λ，使得a＝λb.
(2)共面向量定理：如果兩個(gè)向量a，b不共線，那么向量p與向量a，b共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(duì)(x，y)，使p＝xa＋yb.
(3)空間向量基本定理：如果三個(gè)向量a，b，c不共面，那么對(duì)空間任一向量p，存在有序?qū)崝?shù)組{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc，其中，{a，b，c}叫做空間的一個(gè)基底．
[重溫經(jīng)典]
1．(教材改編題)若O，A，B，C為空間四點(diǎn)，且向量eq \(OA,\s\up7(―→))，eq \(OB,\s\up7(―→))，eq \(OC,\s\up7(―→))不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則( )
A．eq \(OA,\s\up7(―→))，eq \(OB,\s\up7(―→))，eq \(OC,\s\up7(―→)) 共線 B．eq \(OA,\s\up7(―→))，eq \(OB,\s\up7(―→)) 共線
C．eq \(OB,\s\up7(―→))，eq \(OC,\s\up7(―→)) 共線 D．O，A，B，C四點(diǎn)共面
解析：選D ∵向量eq \(OA,\s\up7(―→))，eq \(OB,\s\up7(―→))，eq \(OC,\s\up7(―→)) 不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，∴向量eq \(OA,\s\up7(―→))，eq \(OB,\s\up7(―→))，eq \(OC,\s\up7(―→))共面，因此O，A，B，C四點(diǎn)共面，故選D.
2．已知正方體ABCD-A1B1C1D1中，點(diǎn)E為上底面A1C1的中心，若eq \(AE,\s\up7(―→))＝eq \(AA1,\s\up7(―→))＋xeq \(AB,\s\up7(―→))＋yeq \(AD,\s\up7(―→))，則x，y的值分別為( )
A．1,1 B．1，eq \f(1,2)
C.eq \f(1,2)，eq \f(1,2) `D.eq \f(1,2)，1
解析：選C eq \(AE,\s\up7(―→))＝eq \(AA1,\s\up7(―→))＋eq \(A1E,\s\up7(―→))＝eq \(AA1,\s\up7(―→))＋eq \f(1,2)eq \(A1C1,\s\up7(――→))＝eq \(AA1,\s\up7(―→))＋eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up7(―→))＋eq \(AD,\s\up7(―→)))，故x＝eq \f(1,2)，y＝eq \f(1,2).
3．(多選)如圖所示，M是四面體OABC的棱BC的中點(diǎn)，點(diǎn)N在線段OM上，點(diǎn)P在線段AN上，且AP＝3PN，eq \(ON,\s\up7(―→))＝eq \f(2,3)eq \(OM,\s\up7(―→))，設(shè)eq \(OA,\s\up7(―→))＝a，eq \(OB,\s\up7(―→))＝b，eq \(OC,\s\up7(―→))＝c，則下列等式成立的是( )
A．eq \(OM,\s\up7(―→))＝eq \f(1,2)b－eq \f(1,2)c B．eq \(AN,\s\up7(―→))＝eq \f(1,3)b＋eq \f(1,3)c－a
C．eq \(AP,\s\up7(―→))＝eq \f(1,4)b－eq \f(1,4)c－eq \f(3,4)a D．eq \(OP,\s\up7(―→))＝eq \f(1,4)a＋eq \f(1,4)b＋eq \f(1,4)c
解析：選BD 對(duì)于A，利用向量的四邊形法則，
eq \(OM,\s\up7(―→))＝eq \f(1,2)eq \(OB,\s\up7(―→))＋eq \f(1,2)eq \(OC,\s\up7(―→))＝eq \f(1,2)b＋eq \f(1,2)c，A錯(cuò)；
對(duì)于B，利用向量的四邊形法則和三角形法則，得
eq \(AN,\s\up7(―→))＝eq \(ON,\s\up7(―→))－eq \(OA,\s\up7(―→))＝eq \f(2,3)eq \(OM,\s\up7(―→))－eq \(OA,\s\up7(―→))＝eq \f(2,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2) eq \(OB,\s\up7(―→))＋\f(1,2) eq \(OC,\s\up7(―→))))－eq \(OA,\s\up7(―→))
＝eq \f(1,3)eq \(OB,\s\up7(―→))＋eq \f(1,3)eq \(OC,\s\up7(―→))－eq \(OA,\s\up7(―→))＝eq \f(1,3)b＋eq \f(1,3)c－a，B對(duì)；
對(duì)于C，因?yàn)辄c(diǎn)P在線段AN上，且AP＝3PN，
所以eq \(AN,\s\up7(―→))＝eq \f(4,3)eq \(AP,\s\up7(―→))＝eq \f(1,3)b＋eq \f(1,3)c－a，
所以eq \(AP,\s\up7(―→))＝eq \f(3,4)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)b＋\f(1,3)c－a))＝eq \f(1,4)b＋eq \f(1,4)c－eq \f(3,4)a，C錯(cuò)；
對(duì)于D，eq \(OP,\s\up7(―→))＝eq \(OA,\s\up7(―→))＋eq \(AP,\s\up7(―→))＝a＋eq \f(1,4)b＋eq \f(1,4)c－eq \f(3,4)a＝eq \f(1,4)a＋eq \f(1,4)b＋eq \f(1,4)c，D對(duì)，故選B、D.
4.如圖所示，在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，O為AC的中點(diǎn)，用eq \(AB,\s\up7(―→))，eq \(AD,\s\up7(―→))，eq \(AA1,\s\up7(―→))表示eq \(OC1,\s\up7(―→))，則eq \(OC1,\s\up7(―→))＝________________.
解析：∵eq \(OC,\s\up7(―→))＝eq \f(1,2)eq \(AC,\s\up7(―→))＝eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up7(―→))＋eq \(AD,\s\up7(―→)))，∴eq \(OC1,\s\up7(―→))＝eq \(OC,\s\up7(―→))＋eq \(CC1,\s\up7(―→))＝eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up7(―→))＋eq \(AD,\s\up7(―→)))＋eq \(AA1,\s\up7(―→))＝eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up7(―→))＋eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up7(―→))＋eq \(AA1,\s\up7(―→)).
答案：eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up7(―→))＋eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up7(―→))＋eq \(AA1,\s\up7(―→))
5.如圖所示，在四面體OABC中，eq \(OA,\s\up7(―→))＝a，eq \(OB,\s\up7(―→))＝b，eq \(OC,\s\up7(―→))＝c，D為BC的中點(diǎn)，E為AD的中點(diǎn)，則eq \(OE,\s\up7(―→))＝________(用a，b，c表示)．
解析：eq \(OE,\s\up7(―→))＝eq \(OA,\s\up7(―→))＋eq \(AE,\s\up7(―→))＝a＋eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up7(―→))
＝a＋eq \f(1,2)(eq \(OD,\s\up7(―→))－eq \(OA,\s\up7(―→)))＝eq \f(1,2)a＋eq \f(1,2)eq \(OD,\s\up7(―→))
＝eq \f(1,2)a＋eq \f(1,2)×eq \f(1,2)(eq \(OB,\s\up7(―→))＋eq \(OC,\s\up7(―→)))＝eq \f(1,2)a＋eq \f(1,4)b＋eq \f(1,4)c.
答案：eq \f(1,2)a＋eq \f(1,4)b＋eq \f(1,4)c
6．設(shè)a＝(2x,1,3)，b＝(1,3,9)，若a∥b，則x＝________.
解析：∵a∥b，∴eq \f(2x,1)＝eq \f(1,3)＝eq \f(3,9)，∴x＝eq \f(1,6).
答案：eq \f(1,6)
7．(易錯(cuò)題)給出下列命題：
①若向量a，b共線，則向量a，b所在的直線平行；
②若三個(gè)向量a，b，c兩兩共面，則向量a，b，c共面；
③已知空間的三個(gè)向量a，b，c，則對(duì)于空間的任意一個(gè)向量p，總存在實(shí)數(shù)x，y，z使得p＝xa＋yb＋zc；
④若A，B，C，D是空間任意四點(diǎn)，則有eq \(AB,\s\up7(―→))＋eq \(BC,\s\up7(―→))＋eq \(CD,\s\up7(―→))＋eq \(DA,\s\up7(―→))＝0.
其中為真命題的是________(填序號(hào))．
解析：若a與b共線，則a，b所在的直線可能平行也可能重合，故①不正確；三個(gè)向量a，b，c中任兩個(gè)一定共面，但它們?nèi)齻€(gè)卻不一定共面，故②不正確；只有當(dāng)a，b，c不共面時(shí)，空間任意一個(gè)向量p才一定能表示為p＝xa＋yb＋zc，故③不正確；據(jù)向量運(yùn)算法則可知④正確．
答案：④
知識(shí)點(diǎn)二兩個(gè)向量的數(shù)量積及其運(yùn)算
1．空間向量的數(shù)量積及運(yùn)算律
(1)數(shù)量積及相關(guān)概念
①兩向量的夾角：已知兩個(gè)非零向量a，b，在空間任取一點(diǎn)O，作eq \(OA,\s\up7(―→))＝a，eq \(OB,\s\up7(―→))＝b，則∠AOB叫做向量a與b的夾角，記作a，b，其范圍是[0，π]，若a，b＝eq \f(π,2)，則稱(chēng)a與b互相垂直，記作a⊥b.
②非零向量a，b的數(shù)量積a·b＝|a||b|csa，b．
(2)空間向量數(shù)量積的運(yùn)算律
①結(jié)合律：(λa)·b＝λ(a·b)；
②交換律：a·b＝b·a；
③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.
2．空間向量的坐標(biāo)表示及其應(yīng)用
設(shè)a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3).
[重溫經(jīng)典]
1．在空間四邊形ABCD中，eq \(AB,\s\up7(―→))·eq \(CD,\s\up7(―→))＋eq \(AC,\s\up7(―→))·eq \(DB,\s\up7(―→))＋eq \(AD,\s\up7(―→))·eq \(BC,\s\up7(―→))的值為( )
A．－1 B．0
C．1 D．2
解析：選B 如圖，令eq \(AB,\s\up7(―→))＝a，eq \(AC,\s\up7(―→))＝b，eq \(AD,\s\up7(―→))＝c，
則eq \(AB,\s\up7(―→))·eq \(CD,\s\up7(―→))＋eq \(AC,\s\up7(―→))·eq \(DB,\s\up7(―→))＋eq \(AD,\s\up7(―→))·eq \(BC,\s\up7(―→))
＝eq \(AB,\s\up7(―→))·(eq \(AD,\s\up7(―→))－eq \(AC,\s\up7(―→)))＋eq \(AC,\s\up7(―→))·(eq \(AB,\s\up7(―→))－eq \(AD,\s\up7(―→)))＋eq \(AD,\s\up7(―→))·(eq \(AC,\s\up7(―→))－eq \(AB,\s\up7(―→)))
＝a·(c－b)＋b·(a－c)＋c·(b－a)
＝a·c－a·b＋b·a－b·c＋c·b－c·a
＝0.
2.如圖所示，已知PA⊥平面ABC，∠ABC＝120°，PA＝AB＝BC＝6，則|eq \(PC,\s\up7(―→))|等于( )
A．6eq \r(2) B．6
C．12 D．144
解析：選C ∵eq \(PC,\s\up7(―→))＝eq \(PA,\s\up7(―→))＋eq \(AB,\s\up7(―→))＋eq \(BC,\s\up7(―→))，
∴eq \(PC,\s\up7(―→)) 2＝eq \(PA,\s\up7(―→))2＋eq \(AB,\s\up7(―→))2＋eq \(BC,\s\up7(―→))2＋2eq \(AB,\s\up7(―→))·eq \(BC,\s\up7(―→))＝36＋36＋36＋2×36cs 60°＝144，∴|eq \(PC,\s\up7(―→))|＝12，故選C.
3．(教材改編題)已知a＝(1,2，－2)，b＝(0,2,4)，則a，b夾角的余弦值為_(kāi)_______．
解析：csa，b＝eq \f(a·b,|a||b|)＝－eq \f(2\r(5),15).
答案：－eq \f(2\r(5),15)
4．已知a＝(2,3,1)，b＝(－4,2，x)，且a⊥b，則|b|＝________.
解析：∵a⊥b，∴－8＋6＋x＝0，解得x＝2，
故|b|＝eq \r(?－4?2＋22＋22)＝2eq \r(6).
答案：2eq \r(6)
5．已知a＝(cs θ，1，sin θ)，b＝(sin θ，1，cs θ)，則向量a＋b與a－b的夾角是________．
解析：∵a＋b＝(cs θ＋sin θ，2，cs θ＋sin θ)，a－b＝(cs θ－sin θ，0，sin θ－cs θ)，
∴(a＋b)·(a－b)＝(cs2θ－sin2θ)＋(sin2θ－cs2θ)＝0，
∴(a＋b)⊥(a－b)，則a＋b與a－b的夾角是eq \f(π,2).
答案：eq \f(π,2)
6．(易錯(cuò)題)如圖所示，在大小為45°的二面角A-EF-D中，四邊形ABFE，CDEF都是邊長(zhǎng)為1的正方形，則B，D兩點(diǎn)間的距離是________．
解析：∵eq \(BD,\s\up7(―→))＝eq \(BF,\s\up7(―→))＋eq \(FE,\s\up7(―→))＋eq \(ED,\s\up7(―→))，
∴|eq \(BD,\s\up7(―→))|2＝|eq \(BF,\s\up7(―→))|2＋|eq \(FE,\s\up7(―→))|2＋|eq \(ED,\s\up7(―→))|2＋2eq \(BF,\s\up7(―→))·eq \(FE,\s\up7(―→))＋2eq \(FE,\s\up7(―→))·eq \(ED,\s\up7(―→))＋2eq \(BF,\s\up7(―→))·eq \(ED,\s\up7(―→))＝1＋1＋1－eq \r(2)＝3－eq \r(2)，故|eq \(BD,\s\up7(―→))|＝eq \r(3－\r(2)).
答案：eq \r(3－\r(2))
知識(shí)點(diǎn)三空間中的平行與垂直的向量表示
1．直線的方向向量和平面的法向量
(1)直線的方向向量：如果表示非零向量a的有向線段所在直線與直線l平行或重合，則稱(chēng)此向量a為直線l的方向向量．
(2)平面的法向量：直線l⊥α，取直線l的方向向量a，則向量a叫做平面α的法向量．
2．空間位置關(guān)系的向量表示
[重溫經(jīng)典]
1．已知A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，則下列向量是平面ABC法向量的是( )
A．(－1,1,1) B．(1，－1,1)
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),3)，－\f(\r(3),3)，－\f(\r(3),3))) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),3)，\f(\r(3),3)，－\f(\r(3),3)))
解析：選C 設(shè)n＝(x，y，z)為平面ABC的法向量，
則eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n·eq \(AB,\s\up7(―→))＝0，,n·eq \(AC,\s\up7(―→))＝0))，化簡(jiǎn)得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－x＋y＝0，,－x＋z＝0，))∴x＝y(tǒng)＝z，故選C.
2．已知直線l與平面α垂直，直線l的一個(gè)方向向量為u＝(1，－3，z)，向量v＝(3，－2,1)與平面α平行，則z等于( )
A．3 B．6
C．－9 D．9
解析：選C ∵l⊥α，v與平面α平行，
∴u⊥v，即u·v＝0，
∴1×3＋(－3)×(－2)＋z×1＝0，
∴z＝－9.
3．平面α的一個(gè)法向量為(1,2，－2)，平面β的一個(gè)法向量為(－2，－4，k)．若α∥β，則k等于( )
A．2 B．－4
C．4 D．－2
解析：選C ∵α∥β，∴兩平面的法向量平行，
∴－eq \f(2,1)＝－eq \f(4,2)＝eq \f(k,－2)，∴k＝4.
4．(教材改編題)已知平面α，β的法向量分別為n1＝(2,3,5)，n2＝(－3,1，－4)，則( )
A．α∥β B．α⊥β
C．α，β相交但不垂直 D．以上均不對(duì)
解析：選C ∵n1≠λn2，且n1·n2＝－23≠0，∴α，β相交但不垂直．
5.如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心，M是D1D的中點(diǎn)，N是A1B1的中點(diǎn)，則直線ON，AM的位置關(guān)系是________．
解析：以A為原點(diǎn)，分別以eq \(AB,\s\up7(―→))，eq \(AD,\s\up7(―→))，eq \(AA1,\s\up7(―→))所在直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系(圖略)，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，
則A(0,0,0)，Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，1，\f(1,2)))，Oeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(1,2)，0))，Neq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，0，1)).
∵eq \(AM,\s\up7(―→))·eq \(ON,\s\up7(―→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，1，\f(1,2)))·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－\f(1,2)，1))＝0，
∴ON與AM垂直．
答案：垂直
6．(易錯(cuò)題)如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥BP交BP于點(diǎn)F.
(1)證明：PA∥平面EDB；
(2)證明：PB⊥平面EFD.
證明：如圖所示，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線DA，DC，DP分別為x軸、y軸、z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系．設(shè)DC＝a.
(1)連接AC交BD于點(diǎn)G，連接EG.
依題意得A(a,0,0)，P(0,0，a)，Eeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(a,2)，\f(a,2))).
因?yàn)榈酌鍭BCD是正方形，
所以G是此正方形的中心，
故點(diǎn)G的坐標(biāo)為eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,2)，\f(a,2)，0))，所以eq \(PA,\s\up7(―→))＝(a,0，－a)，eq \(EG,\s\up7(―→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,2)，0，－\f(a,2))).
則eq \(PA,\s\up7(―→))＝2eq \(EG,\s\up7(―→))，故PA∥EG.
而EG?平面EDB，PA?平面EDB，所以PA∥平面EDB.
(2)依題意得B(a，a,0)，所以eq \(PB,\s\up7(―→))＝(a，a，－a)．
又eq \(DE,\s\up7(―→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(a,2)，\f(a,2)))，故eq \(PB,\s\up7(―→))·eq \(DE,\s\up7(―→))＝0＋eq \f(a2,2)－eq \f(a2,2)＝0，所以PB⊥DE.由題可知EF⊥PB，且EF∩DE＝E，所以PB⊥平面EFD.
知識(shí)點(diǎn)四利用空間向量求空間角
1．異面直線所成角
設(shè)異面直線a，b所成的角為θ，則cs θ＝eq \f(|a·b|,| a ||b|)，其中a，b分別是直線a，b的方向向量．
2．直線與平面所成角
如圖所示，設(shè)l為平面α的斜線，l∩α＝A，a為l的方向向量，n為平面α的法向量，φ為l與α所成的角，則sin φ＝|csa，n|＝eq \f(|a·n|,|a||n|).
3．二面角
(1)若AB，CD分別是二面角α-l-β的兩個(gè)平面內(nèi)與棱l垂直的異面直線，則二面角(或其補(bǔ)角)的大小就是向量eq \(AB,\s\up7(―→))與eq \(CD,\s\up7(―→))的夾角，如圖a.
(2)平面α與β相交于直線l，平面α的法向量為n1，平面β的法向量為n2，n1，n2＝θ，則二面角α-l-β為θ或π－θ.設(shè)二面角大小為φ，則|cs φ|＝|cs θ|＝eq \f(|n1·n2|,|n1||n2|)，如圖b，c.
[重溫經(jīng)典]
1．(易錯(cuò)題)已知兩平面的法向量分別為m＝(0,1,0)，n＝(0,1，1)，則兩平面所成的二面角為( )
A．45° B．135°
C．45°或135° D．90°
解析：選C csm，n＝eq \f(m·n,|m||n|)＝eq \f(1,1×\r(2))＝eq \f(\r(2),2)，即m，n＝45°，∴兩平面所成的二面角為45°或135°.
2．(教材改編題)已知向量m，n分別是直線l和平面α的方向向量和法向量，若csm，n＝－eq \f(1,2)，則l與α所成的角為( )
A．30° B．60°
C．120° D．150°
解析：選A 由于csm，n＝－eq \f(1,2)，所以m，n＝120°，所以直線l與α所成的角為30°.
3．在正方體ABCD-A1B1C1D1中，BB1與平面ACD1所成角的正弦值為( )
A.eq \f(\r(3),2) B.eq \f(\r(3),3)
C.eq \f(3,5) D.eq \f(2,5)
解析：選B 設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA，DC，DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示．則B(1,1,0)，B1(1，1,1)，A(1,0,0)，C(0,1,0)，D1(0，0,1)．
所以eq \(BB1,\s\up7(―→))＝(0,0,1)，eq \(AC,\s\up7(―→))＝(－1,1,0)，eq \(AD1,\s\up7(―→))＝(－1,0,1)．
令平面ACD1的法向量為n＝(x，y，z)，則n·eq \(AC,\s\up7(―→))＝－x＋y＝0，n·eq \(AD1,\s\up7(―→))＝－x＋z＝0，令x＝1，可得n＝(1,1,1)，
所以sin θ＝|csn，eq \(BB1,\s\up7(―→))|＝eq \f(1,\r(3)×1)＝eq \f(\r(3),3).
4．在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝3，BC＝2，AA1＝1，則異面直線AB1與BC1所成角的余弦值為_(kāi)_______．
解析：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．
易得A(2,0,0)，B(2,3,0)，B1(2,3,1)，C1(0,3,1)，
則eq \(AB1,\s\up7(―→))＝(0,3,1)，eq \(BC1,\s\up7(―→))＝(－2,0,1)．
設(shè)異面直線AB1與BC1所成的角為θ，
則cs θ＝|cseq \(AB1,\s\up7(―→))，eq \(BC1,\s\up7(―→))|＝eq \f(1,\r(10)×\r(5))＝eq \f(\r(2),10).
答案：eq \f(\r(2),10)
5．過(guò)正方形ABCD的頂點(diǎn)A作線段PA⊥平面ABCD，若AB＝PA，則平面ABP與平面CDP所成的二面角為_(kāi)_______．
解析：如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AB＝PA＝1，則A(0,0,0)，D(0,1,0)，P(0,0,1)，由題意，AD⊥平面PAB，設(shè)E為PD的中點(diǎn)，連接AE，則AE⊥PD，又CD⊥平面PAD，
所以CD⊥AE，從而AE⊥平面PCD.所以eq \(AD,\s\up7(―→))＝(0,1,0)，
eq \(AE,\s\up7(―→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)，\f(1,2)))分別是平面PAB，平面PCD的法向量，且eq \(AD,\s\up7(―→))，eq \(AE,\s\up7(―→))＝45°.
故平面PAB與平面PCD所成的二面角為45°.
答案：45°名稱(chēng)
定義
空間向量
在空間中，具有大小和方向的量
相等向量
方向相同且模相等的向量
相反向量
方向相反且模相等的向量
共線向量
(或平行向量)
表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合的向量
共面向量
平行于同一個(gè)平面的向量
向量表示
坐標(biāo)表示
數(shù)量積
a·b
a1b1＋a2b2＋a3b3
共線
a＝λb(b≠0，λ∈R)
a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3
垂直
a·b＝0(a≠0，b≠0)
a1b1＋a2b2＋a3b3＝0
模
|a|
eq \r(a\\al(2,1)＋a\\al(2,2)＋a\\al(2,3))
夾角
a，b(a≠0，b≠0)
csa，b＝
eq \f(a1b1＋a2b2＋a3b3,\r(a\\al(2,1)＋a\\al(2,2)＋a\\al(2,3))·\r(b\\al(2,1)＋b\\al(2,2)＋b\\al(2,3)))
位置關(guān)系
向量表示
直線l1，l2的方向向量分別為n1，n2
l1∥l2
n1∥n2?n1＝λn2
l1⊥l2
n1⊥n2?n1·n2＝0
直線l的方向向量為n，平面α的法向量為m
l∥α
n⊥m?n·m＝0
l⊥α
n∥m?n＝λm
平面α，β的法向量分別為n，m
α∥β
n∥m?n＝λm
α⊥β
n⊥m?n·m＝0

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