新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)教案第8章第4節(jié) 橢圓（含解析）-教案下載-教習(xí)網(wǎng)

1.結(jié)合橢圓的定義，考查應(yīng)用能力，凸顯邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)．
2．結(jié)合橢圓的定義、簡單的幾何性質(zhì)、幾何圖形，會(huì)求橢圓方程及解與幾何性質(zhì)有關(guān)的問題，凸顯數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象的核心素養(yǎng)．
[理清主干知識(shí)]
1．橢圓的定義
平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離的和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓．這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫做橢圓的焦距．
集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a>0，c>0，且a，c為常數(shù)．
(1)若a>c，則集合P為橢圓．
(2)若a＝c，則集合P為線段．
(3)若ab>0)，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(c＝1，,\f(c,a)＝\f(1,3)，,c2＝a2－b2，))解得a2＝9，b2＝8.
故橢圓C的方程為eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,8)＝1.
4．(求參數(shù))橢圓x2＋my2＝1的焦點(diǎn)在y軸上，長軸長是短軸長的2倍，則m＝________.
解析：橢圓x2＋my2＝1可化為x2＋eq \f(y2,\f(1,m))＝1，因?yàn)槠浣裹c(diǎn)在y軸上，所以a2＝eq \f(1,m)，b2＝1，依題意知 eq \r(\f(1,m))＝2，解得m＝eq \f(1,4).
答案：eq \f(1,4)
二、易錯(cuò)點(diǎn)練清
1．(忽視橢圓定義中2a>|F1F2|) 到兩定點(diǎn)F1(－2,0)和F2(2，0)的距離之和為4的點(diǎn)的軌跡是( )
A．橢圓 B．線段
C．圓 D．以上都不對(duì)
答案：B
2．(忽視對(duì)焦點(diǎn)位置的討論)若橢圓的方程為eq \f(x2,10－a)＋eq \f(y2,a－2)＝1，且此橢圓的焦距為4，則實(shí)數(shù)a＝________.
解析：①當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，10－a－(a－2)＝22，解得a＝4；②當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，a－2－(10－a)＝22，解得a＝8.
答案：4或8
3．(忽視橢圓上點(diǎn)的坐標(biāo)滿足的條件)已知點(diǎn)P是橢圓eq \f(x2,5)＋eq \f(y2,4)＝1上y軸右側(cè)的一點(diǎn)，且以點(diǎn)P及焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2為頂點(diǎn)的三角形的面積等于1，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為______________．
解析：設(shè)P(x，y)，由題意知c2＝a2－b2＝5－4＝1，所以c＝1，則F1(－1,0)，F(xiàn)2(1,0)．由題意可得點(diǎn)P到x軸的距離為1，所以y＝±1，把y＝±1代入eq \f(x2,5)＋eq \f(y2,4)＝1，得x＝±eq \f(\r(15),2)，又x>0，所以x＝eq \f(\r(15),2)，所以P點(diǎn)坐標(biāo)為eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(15),2)，1))或eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(15),2)，－1)).
答案：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(15),2)，1))或eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(15),2)，－1))
考點(diǎn)一橢圓定義的應(yīng)用
考法(一) 利用定義求軌跡方程
[例1] (2021·濟(jì)南調(diào)研)已知兩圓C1：(x－4)2＋y2＝169，C2：(x＋4)2＋y2＝9，動(dòng)圓M在圓C1內(nèi)部且和圓C1相內(nèi)切，和圓C2相外切，則動(dòng)圓圓心M的軌跡方程為( )
A.eq \f(x2,64)－eq \f(y2,48)＝1 B.eq \f(y2,64)＋eq \f(x2,48)＝1
C.eq \f(x2,48)－eq \f(y2,64)＝1 D．eq \f(x2,64)＋eq \f(y2,48)＝1
[解析] 設(shè)圓M的半徑為r，則|MC1|＋|MC2|＝(13－r)＋(3＋r)＝16＞8＝|C1C2|，
所以M的軌跡是以C1，C2為焦點(diǎn)的橢圓，且2a＝16,2c＝8，故所求的軌跡方程為eq \f(x2,64)＋eq \f(y2,48)＝1.
[答案] D
考法(二) 求解“焦點(diǎn)三角形”問題
[例2] 橢圓C：eq \f(x2,a2)＋y2＝1(a>1)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，P為橢圓上異于端點(diǎn)的任意一點(diǎn)，PF1，PF2的中點(diǎn)分別為M，N，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，四邊形OMPN的周長為2eq \r(3)，則△PF1F2的周長是( )
A．2(eq \r(2)＋eq \r(3)) B．4＋2eq \r(3)
C.eq \r(2)＋eq \r(3) D．eq \r(2)＋2eq \r(3)
[解析] 如圖，由于O，M，N分別為F1F2，PF1，PF2的中點(diǎn)，
所以O(shè)M∥PF2，ON∥PF1，且
|OM|＝eq \f(1,2)|PF2|，|ON|＝eq \f(1,2)|PF1|，
所以四邊形OMPN為平行四邊形，
所以?OMPN的周長為
2(|OM|＋|ON|)＝|PF1|＋|PF2|＝2a＝2eq \r(3)，
所以a＝eq \r(3)，又知a2＝b2＋c2，b2＝1，
所以c2＝a2－1＝2，所以|F1F2|＝2c＝2eq \r(2)，
所以△PF1F2的周長為2a＋2c＝2eq \r(3)＋2eq \r(2)＝2(eq \r(2)＋eq \r(3))，故選A.
[答案] A
考法(三) 利用定義求最值
[例3] 設(shè)點(diǎn)P是橢圓C：eq \f(x2,8)＋eq \f(y2,4)＝1上的動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)為橢圓C的右焦點(diǎn)，定點(diǎn)A(2,1)，則|PA|＋|PF|的取值范圍是______________．
[解析] 如圖所示，設(shè)F′是橢圓的左焦點(diǎn)，連接AF′，PF′，則F′(－2,0)，
∴|AF′|＝eq \r(42＋12)＝eq \r(17).
∵|PF|＋|PF′|＝2a＝4eq \r(2)，
∴|PA|＋|PF|＝|PA|＋2a－|PF′|≤2a＋|AF′|＝4eq \r(2)＋eq \r(17)，
|PA|＋|PF|＝|PA|＋2a－|PF′|
＝2a－(|PF′|－|PA|)≥2a－|AF′|＝4eq \r(2)－eq \r(17).
∴|PA|＋|PF|的取值范圍是[4eq \r(2)－eq \r(17)，4eq \r(2)＋eq \r(17) ]．
[答案] [4eq \r(2)－eq \r(17)，4eq \r(2)＋eq \r(17) ]
[方法技巧] 橢圓定義應(yīng)用的類型及方法
[針對(duì)訓(xùn)練]
1．(多選)(2021·日照模擬)已知P是橢圓eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,4)＝1上一點(diǎn)，橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，且cs∠F1PF2＝eq \f(1,3)，則( )
A．△PF1F2的周長為12 B．S△PF1F2＝2eq \r(2)
C．點(diǎn)P到x軸的距離為eq \f(2\r(10),5) D．eq \(PF1,\s\up7(―→))·eq \(PF2,\s\up7(―→))＝2
解析：選BCD 由橢圓方程知a＝3，b＝2，所以c＝eq \r(5)，所以|PF1|＋|PF2|＝6，于是△PF1F2的周長為2a＋2c＝6＋2eq \r(5)，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；
在△PF1F2中，由余弦定理可得|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cs∠F1PF2＝(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1||PF2|－2|PF1|·|PF2|cs∠F1PF2，
所以20＝36－2|PF1|·|PF2|－eq \f(2,3)|PF1||PF2|，解得|PF1||PF2|＝6，
故S△PF1F2＝eq \f(1,2)|PF1||PF2|sin∠F1PF2＝eq \f(1,2)×6×eq \f(2\r(2),3)＝2eq \r(2)，故B選項(xiàng)正確；
設(shè)點(diǎn)P到x軸的距離為d，則S△PF1F2＝eq \f(1,2)|F1F2|·d＝eq \f(1,2)×2eq \r(5)d＝2eq \r(2)，解得d＝eq \f(2\r(10),5)，故C選項(xiàng)正確；
eq \(PF1,\s\up7(―→))·eq \(PF2,\s\up7(―→))＝|eq \(PF1,\s\up7(―→))|·|eq \(PF2,\s\up7(―→))|cs∠F1PF2＝6×eq \f(1,3)＝2，故D選項(xiàng)正確．
2．(2021·惠州調(diào)研)已知橢圓eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的短軸長為2，上頂點(diǎn)為A，左頂點(diǎn)為B，左、右焦點(diǎn)分別是F1，F(xiàn)2，且△F1AB的面積為eq \f(2－\r(3),2)，點(diǎn)P為橢圓上的任意一點(diǎn)，則eq \f(1,|PF1|)＋eq \f(1,|PF2|)的取值范圍是________．
解析：由已知得2b＝2，故b＝1，
∴a2－c2＝b2＝1. ①
∵△F1AB的面積為eq \f(2－\r(3),2)，∴eq \f(1,2)(a－c)b＝eq \f(2－\r(3),2)，
∴a－c＝2－eq \r(3). ②
由①②聯(lián)立解得，a＝2，c＝eq \r(3).
由橢圓的定義知|PF1|＋|PF2|＝2a＝4，
∴eq \f(1,|PF1|)＋eq \f(1,|PF2|)＝eq \f(|PF1|＋|PF2|,|PF1||PF2|)＝eq \f(4,|PF1|?4－|PF1|?)＝eq \f(4,－|PF1|2＋4|PF1|)，
又2－eq \r(3)≤|PF1|≤2＋eq \r(3)，
∴1≤－|PF1|2＋4|PF1|≤4，∴1≤eq \f(1,|PF1|)＋eq \f(1,|PF2|)≤4，
即eq \f(1,|PF1|)＋eq \f(1,|PF2|)的取值范圍是[1,4]．
答案：[1,4]
考點(diǎn)二橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程
[例1] 過點(diǎn)(eq \r(3)，－eq \r(5))，且與橢圓eq \f(y2,25)＋eq \f(x2,9)＝1有相同焦點(diǎn)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為( )
A.eq \f(x2,20)＋eq \f(y2,4)＝1 B．eq \f(x2,2\r(5))＋eq \f(y2,4)＝1
C.eq \f(y2,20)＋eq \f(x2,4)＝1 D．eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,2\r(5))＝1
[解析] 法一：定義法
橢圓eq \f(y2,25)＋eq \f(x2,9)＝1的焦點(diǎn)為(0，－4)，(0,4)，即c＝4.
由橢圓的定義知，2a＝eq \r(?\r(3)－0?2＋?－\r(5)＋4?2)＋eq \r(?\r(3)－0?2＋?－\r(5)－4?2)，
解得a＝2eq \r(5).
由c2＝a2－b2，可得b2＝4.
所以所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq \f(y2,20)＋eq \f(x2,4)＝1.故選C.
法二：待定系數(shù)法
設(shè)所求橢圓方程為eq \f(y2,25＋k)＋eq \f(x2,9＋k)＝1(k>－9)，將點(diǎn)(eq \r(3)，－eq \r(5))的坐標(biāo)代入，可得eq \f(?－\r(5)?2,25＋k)＋eq \f(?\r(3)?2,9＋k)＝1，
解得k＝－5，
所以所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq \f(y2,20)＋eq \f(x2,4)＝1.故選C.
[答案] C
[例2] 如圖，已知橢圓C的中心為原點(diǎn)O，F(xiàn)(－5,0)為C的左焦點(diǎn)，P為C上一點(diǎn)，滿足|OP|＝|OF|且|PF|＝6，則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為( )
A.eq \f(x2,36)＋eq \f(y2,16)＝1 B.eq \f(x2,40)＋eq \f(y2,15)＝1
C.eq \f(x2,49)＋eq \f(y2,24)＝1 D．eq \f(x2,45)＋eq \f(y2,20)＝1
[解析] 由題意可得c＝5，設(shè)右焦點(diǎn)為F′，
連接PF′(圖略)，由|OP|＝|OF|＝|OF′|知，
∠PFF′＝∠FPO，∠OF′P＝∠OPF′，
∴∠PFF′＋∠OF′P＝∠FPO＋∠OPF′，
∴∠FPO＋∠OPF′＝90°，即PF⊥PF′.
在Rt△PFF′中，由勾股定理，
得|PF′|＝eq \r(|FF′|2－|PF|2)＝eq \r(102－62)＝8，
由橢圓的定義，得|PF|＋|PF′|＝2a＝6＋8＝14，
從而a＝7，a2＝49，
于是b2＝a2－c2＝49－25＝24，
∴橢圓C的方程為eq \f(x2,49)＋eq \f(y2,24)＝1，故選C.
[答案] C
[方法技巧] 求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的2種常用方法
[針對(duì)訓(xùn)練]
1．若直線x－2y＋2＝0經(jīng)過橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)和一個(gè)頂點(diǎn)，則該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為( )
A.eq \f(x2,5)＋y2＝1 B.eq \f(x2,4)＋y2＝1
C.eq \f(x2,5)＋y2＝1或eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,5)＝1 D．以上答案都不正確
解析：選C 直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為(0,1)，(－2,0)，由題意知當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，c＝2，b＝1，所以a2＝5，所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq \f(x2,5)＋y2＝1；當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，b＝2，c＝1，所以a2＝5，所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq \f(y2,5)＋eq \f(x2,4)＝1.
2．一個(gè)橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2在x軸上，P(2，eq \r(3))是橢圓上一點(diǎn)，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差數(shù)列，則橢圓的方程為( )
A.eq \f(x2,8)＋eq \f(y2,6)＝1 B．eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,6)＝1
C.eq \f(x2,8)＋eq \f(y2,4)＝1 D．eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,4)＝1
解析：選A 設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)．由點(diǎn)P(2，eq \r(3))在橢圓上知eq \f(4,a2)＋eq \f(3,b2)＝1.又|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差數(shù)列，則|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|，即2a＝2·2c，eq \f(c,a)＝eq \f(1,2)，又c2＝a2－b2，聯(lián)立得a2＝8，b2＝6.所以橢圓方程為eq \f(x2,8)＋eq \f(y2,6)＝1.
考點(diǎn)三橢圓的幾何性質(zhì)
考法(一) 求橢圓的離心率
[例1] (1)(2021·武漢模擬)已知橢圓方程為eq \f(x2,a)＋eq \f(y2,b)＝1，且a，b，a＋b成等差數(shù)列，a，b，ab成等比數(shù)列，則此橢圓的離心率為( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(\r(3),3)
C.eq \f(\r(2),2) D．eq \f(\r(3),2)
(2)過橢圓C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a>b>0))的左焦點(diǎn)F的直線過C的上端點(diǎn)B，且與橢圓相交于點(diǎn)A，若eq \(BF,\s\up7(―→))＝3eq \(FA,\s\up7(―→))，則C的離心率為( )
A.eq \f(1,3) B．eq \f(\r(3),3)
C.eq \f(\r(3),2) D．eq \f(\r(2),2)
[解析] (1)因?yàn)閍，b，a＋b成等差數(shù)列，所以2b＝a＋a＋b，即b＝2a，又因?yàn)閍，b，ab成等比數(shù)列，b≠0，a≠0，所以b2＝a·ab，即b＝a2，所以a＝2，b＝4，橢圓方程為eq \f(x2,2)＋eq \f(y2,4)＝1，c＝eq \r(4－2)＝eq \r(2)，所以離心率e＝eq \f(\r(2),2).故選C.
(2)由題意可得B(0，b)，F(xiàn)(－c,0)，
由eq \(BF,\s\up7(―→))＝3eq \(FA,\s\up7(―→))，得Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,3)c，－\f(b,3)))，
又點(diǎn)A在橢圓上，則eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,3)c))2,a2)＋eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(b,3)))2,b2)＝1，
整理可得eq \f(16,9)·eq \f(c2,a2)＝eq \f(8,9)，
∴e2＝eq \f(c2,a2)＝eq \f(1,2)，e＝eq \f(\r(2),2).故選D.
[答案] (1)C (2)D
[方法技巧]
求橢圓離心率的3種方法
(1)直接求出a，c來求解e.通過已知條件列方程組，解出a，c的值．
(2)構(gòu)造a，c的齊次式，解出e.由已知條件得出關(guān)于a，c的二元齊次方程，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于離心率e的一元二次方程求解．
(3)通過取特殊值或特殊位置，求出離心率．
[提醒] 在解關(guān)于離心率e的二次方程時(shí)，要注意利用橢圓的離心率e∈(0,1)進(jìn)行根的取舍，否則將產(chǎn)生增根.
考法(二) 求橢圓的離心率的范圍
[例2] (1)(2021·湛江模擬)已知橢圓C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1 (a>b>0)，直線y＝x與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)，若橢圓上存在異于A，B兩點(diǎn)的點(diǎn)P使得kPA·kPB∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)，0))，則離心率e的取值范圍為( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(6),3))) B．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(6),3)，1))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(2,3))) D．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)，1))
(2)已知橢圓C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的右焦點(diǎn)為F，短軸的一個(gè)端點(diǎn)為P，直線l：4x－3y＝0與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)．若eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(AF))＋eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(BF))＝6，點(diǎn)P到直線l的距離不小于eq \f(6,5)，則橢圓離心率的取值范圍是( )
A.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(5,9))) B．eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(3),2)))
C.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(5),3))) D．eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，\f(\r(3),2)))
[解析] (1)設(shè)P(x0，y0)，直線y＝x過原點(diǎn)，由橢圓的對(duì)稱性設(shè)A(x1，y1)，B(－x1，－y1)，
kPAkPB＝eq \f(y0－y1,x0－x1)×eq \f(y0＋y1,x0＋x1)＝eq \f(y\\al(2,0)－y\\al(2,1),x\\al(2,0)－x\\al(2,1)).
又eq \f(x\\al(2,0),a2)＋eq \f(y\\al(2,0),b2)＝1，eq \f(x\\al(2,1),a2)＋eq \f(y\\al(2,1),b2)＝1，兩式做差，代入上式得kPAkPB＝－eq \f(b2,a2)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)，0))，故0b>0)的左、右焦點(diǎn)，若橢圓C上存在點(diǎn)P使∠F1PF2為鈍角，則橢圓C的離心率的取值范圍是( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)，1)) B．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(2),2))) D．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))
解析：選A 設(shè)P(x0，y0)，由題易知|x0|(xeq \\al(2,0)＋yeq \\al(2,0))min，又yeq \\al(2,0)＝b2－eq \f(b2,a2)xeq \\al(2,0)，xeq \\al(2,0)b2，又b2＝a2－c2，所以e2＝eq \f(c2,a2)>eq \f(1,2)，解得e>eq \f(\r(2),2)，又00，m≠n)，A(x1，y1)，B(x2，y2)是橢圓上的兩點(diǎn)，
把點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)代入橢圓方程，
得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(x\\al(2,1),m)＋\f(y\\al(2,1),n)＝1，,\f(x\\al(2,2),m)＋\f(y\\al(2,2),n)＝1，))將兩式作差并整理得
eq \f(?x1－x2??x1＋x2?,m)＋eq \f(?y1－y2??y1＋y2?,n)＝0，
記弦AB的中點(diǎn)為M(x0，y0)，
若x1≠x2，則eq \f(?y1－y2??y1＋y2?,?x1－x2??x1＋x2?)＝－eq \f(n,m)，
即eq \f(y1－y2,x1－x2)·eq \f(y0,x0)＝－eq \f(n,m)，
從而kAB·eq \f(y0,x0)＝－eq \f(n,m)，即kAB·kOM＝－eq \f(n,m).
[應(yīng)用體驗(yàn)]
1．已知橢圓E：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的右焦點(diǎn)F(3，0)，過點(diǎn)F的直線交E于A，B兩點(diǎn)，若AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(1，－1)，則E的方程為( )
A.eq \f(x2,45)＋eq \f(y2,36)＝1 B.eq \f(x2,36)＋eq \f(y2,27)＝1
C.eq \f(x2,27)＋eq \f(y2,18)＝1 D．eq \f(x2,18)＋eq \f(y2,9)＝1
解析：選D 設(shè)AB的中點(diǎn)為M(1，－1)，
則kAB·kOM＝－eq \f(b2,a2)，
而kAB＝kMF＝eq \f(0－?－1?,3－1)＝eq \f(1,2)，kOM＝－1，
故eq \f(1,2)×(－1)＝－eq \f(b2,a2)，故a2＝2b2，①
又a2＝b2＋9，②
由①②解得a2＝18，b2＝9，
故橢圓E的方程為eq \f(x2,18)＋eq \f(y2,9)＝1.
2．如果AB是橢圓eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1的任意一條與x軸不垂直的弦，O為橢圓的中心，e為橢圓的離心率，M為AB的中點(diǎn)，則kAB·kOM的值為( )
A．e－1 B．1－e
C．e2－1 D．1－e2
解析：選C 易知kAB·kOM＝－eq \f(b2,a2)＝eq \f(c2,a2)－1＝e2－1.
二、創(chuàng)新考查方式——領(lǐng)悟高考新動(dòng)向
1．阿基米德(公元前287年—公元前212年)不僅是著名的物理學(xué)家，也是著名的數(shù)學(xué)家，他利用“逼近法”得到橢圓的面積除以圓周率等于橢圓的長半軸長與短半軸長的乘積．若橢圓C的對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，焦點(diǎn)在y軸上，且橢圓C的離心率為eq \f(\r(7),4)，面積為12π，則橢圓C的方程為( )
A.eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,16)＝1 B．eq \f(x2,3)＋eq \f(y2,4)＝1
C.eq \f(x2,18)＋eq \f(y2,32)＝1 D．eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,36)＝1
解析：選A 由題意可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(abπ＝12π，,\f(c,a)＝\f(\r(7),4)，,a2＝b2＋c2，))解得a＝4，b＝3，
因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)在y軸上，
所以橢圓方程為eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,16)＝1.
2．(2021·宜昌夷陵中學(xué)模擬)“嫦娥四號(hào)”探測(cè)器于2019年1月在月球背面成功著陸．如圖所示，假設(shè)“嫦娥四號(hào)”衛(wèi)星沿地月轉(zhuǎn)移軌道飛向月球后，在月球附近一點(diǎn)P變軌進(jìn)入以月球球心F為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓軌道Ⅰ繞月飛行，之后衛(wèi)星在P點(diǎn)第二次變軌進(jìn)入仍以F為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓軌道Ⅱ繞月飛行，若用e1和e2分別表示橢圓軌道Ⅰ和Ⅱ的離心率，則( )
A．e1>e2
B．e1a2>0，c1>c2>0，且a1－c1＝a2－c2.
令a1－c1＝a2－c2＝t，t>0，則a1＝t＋c1，a2＝t＋c2.
所以eq \f(1,e1)＝eq \f(a1,c1)＝eq \f(c1＋t,c1)＝1＋eq \f(t,c1)，
eq \f(1,e2)＝eq \f(a2,c2)＝eq \f(c2＋t,c2)＝1＋eq \f(t,c2).
因?yàn)閏1>c2>0，t>0，所以eq \f(t,c1)b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，離心率為eq \f(\r(3),3)，過F2的直線l交C于A，B兩點(diǎn)，若△AF1B的周長為4eq \r(3)，則C的方程為( )
A.eq \f(x2,3)＋eq \f(y2,2)＝1 B．eq \f(x2,3)＋y2＝1
C.eq \f(x2,12)＋eq \f(y2,8)＝1 D．eq \f(x2,12)＋eq \f(y2,4)＝1
解析：選A ∵△AF1B的周長為4eq \r(3)，
∴由橢圓的定義可知4a＝4eq \r(3)，
∴a＝eq \r(3)，∵e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(3),3)，∴c＝1，
∴b2＝a2－c2＝2，∴C的方程為eq \f(x2,3)＋eq \f(y2,2)＝1，故選A.
5．(2021年1月新高考八省聯(lián)考卷)橢圓eq \f(x2,m2＋1)＋eq \f(y2,m2)＝1(m＞0)的焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，上頂點(diǎn)為A，若∠F1AF2＝eq \f(π,3)，則m＝( )
A．1 B．eq \r(2)
C.eq \r(3) D．2
解析：選C ∵c＝eq \r(m2＋1－m2)＝1，b＝m，由∠F1AF2＝eq \f(π,3)，得∠F1AO＝eq \f(π,6)，
∴tan∠F1AO＝eq \f(1,m)＝eq \f(\r(3),3)，解得m＝eq \r(3)，故選C.
6．已知F1，F(xiàn)2是橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)，P是C上的一點(diǎn)．若PF1⊥PF2，且∠PF2F1＝60°，則C的離心率為( )
A．1－eq \f(\r(3),2) B．2－eq \r(3)
C.eq \f(\r(3)－1,2) D．eq \r(3)－1
解析：選D 由題設(shè)知∠F1PF2＝90°，∠PF2F1＝60°，|F1F2|＝2c，所以|PF2|＝c，|PF1|＝eq \r(3)c.由橢圓的定義得|PF1|＋|PF2|＝2a，即eq \r(3)c＋c＝2a，所以(eq \r(3)＋1)c＝2a，故橢圓C的離心率e＝eq \f(c,a)＝eq \f(2,\r(3)＋1)＝eq \r(3)－1.故選D.
二、綜合練——練思維敏銳度
1．橢圓以x軸和y軸為對(duì)稱軸，經(jīng)過點(diǎn)(2,0)，長軸長是短軸長的2倍，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為( )
A.eq \f(x2,4)＋y2＝1 B．eq \f(y2,16)＋eq \f(x2,4)＝1
C.eq \f(x2,4)＋y2＝1或eq \f(y2,16)＋eq \f(x2,4)＝1 D．eq \f(x2,4)＋y2＝1或eq \f(y2,4)＋x2＝1
解析：選C 由題意知，橢圓的長軸長是短軸長的2倍，即a＝2b.因?yàn)闄E圓經(jīng)過點(diǎn)(2,0)，所以若焦點(diǎn)在x軸上，則a＝2，b＝1，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq \f(x2,4)＋y2＝1；若焦點(diǎn)在y軸上，則a＝4，b＝2，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq \f(y2,16)＋eq \f(x2,4)＝1，故選C.
2．設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,16)＝1的左、右焦點(diǎn)，P為橢圓上一點(diǎn)，M是F1P的中點(diǎn)，|OM|＝3，則P點(diǎn)到橢圓左焦點(diǎn)的距離為( )
A．4 B．3
C．2 D．5
解析：選A 連接PF2，由題意知，a＝5，在△PF1F2中，|OM|＝eq \f(1,2)|PF2|＝3，∴|PF2|＝6，∴|PF1|＝2a－|PF2|＝10－6＝4.故選A.
3．與橢圓9x2＋4y2＝36有相同焦點(diǎn)，且短軸長為2的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為( )
A.eq \f(x2,2)＋eq \f(y2,4)＝1 B．x2＋eq \f(y2,6)＝1
C.eq \f(x2,6)＋y2＝1 D．eq \f(x2,8)＋eq \f(y2,5)＝1
解析：選B 橢圓9x2＋4y2＝36可化為eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,9)＝1，可知焦點(diǎn)在y軸上，焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0，±eq \r(5))，
故可設(shè)所求橢圓方程為eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a>b>0)，則c＝eq \r(5).
又2b＝2，即b＝1，所以a2＝b2＋c2＝6，
則所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＋eq \f(y2,6)＝1.
4．直線l經(jīng)過橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)和一個(gè)焦點(diǎn)，若橢圓中心到l的距離為其短軸長的eq \f(1,4)，則該橢圓的離心率為( )
A.eq \f(1,3) B．eq \f(1,2)
C.eq \f(2,3) D．eq \f(3,4)
解析：選B 不妨設(shè)直線l經(jīng)過橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)B(0，b)和一個(gè)焦點(diǎn)F(c,0)，則直線l的方程為eq \f(x,c)＋eq \f(y,b)＝1，即bx＋cy－bc＝0.由題意知eq \f(|－bc|,\r(b2＋c2))＝eq \f(1,4)×2b，解得eq \f(c,a)＝eq \f(1,2)，即e＝eq \f(1,2).故選B.
5．(多選)設(shè)橢圓eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,3)＝1的右焦點(diǎn)為F，直線y＝m(00)的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為橢圓C上的一個(gè)點(diǎn)，且PF1⊥PF2，若△PF1F2的面積為9，周長為18，則橢圓C的方程為________．
解析：∵PF1⊥PF2，∴△PF1F2為直角三角形，
又知△PF1F2的面積為9，∴eq \f(1,2)|PF1|·|PF2|＝9，
得|PF1|·|PF2|＝18.
在Rt△PF1F2中，由勾股定理得|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，由橢圓定義知|PF1|＋|PF2|＝2a，
∴(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1||PF2|＝|F1F2|2，即4a2－36＝4c2，∴a2－c2＝9，即b2＝9，又知b>0，∴b＝3，
∵△PF1F2的周長為18，∴2a＋2c＝18，即a＋c＝9，①
又知a2－c2＝9，∴a－c＝1.②
由①②得a＝5，c＝4，∴所求的橢圓方程為eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,9)＝1.
答案：eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,9)＝1
11．已知橢圓eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)，點(diǎn)P是橢圓在第一象限上的點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，過F2作∠F1PF2的外角的平分線的垂線，垂足為A，若|OA|＝2b，則橢圓的離心率為________．
解析：如圖，延長F2A交F1P于點(diǎn)M，由題意可知|PM|＝|PF2|，
由橢圓定義可知
|PF1|＋|PF2|＝2a，
故有|PF1|＋|PM|＝|MF1|＝2a.連接OA，知OA是△F1F2M的中位線，∴|OA|＝eq \f(1,2)|MF1|＝a，
由|OA|＝2b，得2b＝a，則a2＝4b2＝4(a2－c2)，
即c2＝eq \f(3,4)a2，∴e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(3),2).
答案：eq \f(\r(3),2)
12．設(shè)橢圓eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，上、下頂點(diǎn)分別為A，B，直線AF2與該橢圓交于A，M兩點(diǎn)．若∠F1AF2＝90°，則直線BM的斜率為________．
解析：∵∠F1AF2＝90°，
∴a＝eq \r(2)b，即橢圓方程為eq \f(x2,2b2)＋eq \f(y2,b2)＝1.
設(shè)Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(m，n))，Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，b))，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－b))，且eq \f(m2,2b2)＋eq \f(n2,b2)＝1，
即n2－b2＝－eq \f(m2,2)，
kAMkBM＝eq \f(n－b,m)·eq \f(n＋b,m)＝eq \f(n2－b2,m2)＝eq \f(－\f(m2,2),m2)＝－eq \f(1,2)，
又kAM＝－1，∴kBM＝eq \f(1,2).
答案：eq \f(1,2)
13．(2020·全國卷Ⅲ)已知橢圓C：eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,m2)＝1(00.
由已知可得B(5,0)，直線BP的方程為y＝－eq \f(1,yQ)(x－5)，
所以|BP|＝y(tǒng)Peq \r(1＋y\\al(2,Q))，|BQ|＝eq \r(1＋y\\al(2,Q)).
因?yàn)閨BP|＝|BQ|，所以yP＝1，
將yP＝1代入C的方程，解得xP＝3或－3.
由直線BP的方程得yQ＝2或8.
所以點(diǎn)P，Q的坐標(biāo)分別為P1(3,1)，Q1(6,2)；P2(－3,1)，Q2(6，8)．
|P1Q1|＝eq \r(10)，直線P1Q1的方程為y＝eq \f(1,3)x，點(diǎn)A(－5,0)到直線P1Q1的距離為eq \f(\r(10),2)，
故△AP1Q1的面積為eq \f(1,2)×eq \f(\r(10),2)×eq \r(10)＝eq \f(5,2)；
|P2Q2|＝eq \r(130)，直線P2Q2的方程為y＝eq \f(7,9)x＋eq \f(10,3)，點(diǎn)A到直線P2Q2的距離為eq \f(\r(130),26)，
故△AP2Q2的面積為eq \f(1,2)×eq \f(\r(130),26)×eq \r(130)＝eq \f(5,2).
綜上，△APQ的面積為eq \f(5,2).
14．已知橢圓eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，A為橢圓的上頂點(diǎn)，直線AF2交橢圓于另一點(diǎn)B.
(1)若∠F1AB＝90°，求橢圓的離心率；
(2)若eq \(AF2,\s\up7(―→))＝2eq \(F2B,\s\up7(―→))，eq \(AF1,\s\up7(―→))·eq \(AB,\s\up7(―→))＝eq \f(3,2)，求橢圓的方程．
解：(1)若∠F1AB＝90°，則△AOF2為等腰直角三角形，所以有|OA|＝|OF2|，即b＝c.
所以a＝eq \r(2)c，e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(2),2).
(2)由題知A(0，b)，F(xiàn)1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0)，
其中c＝eq \r(a2－b2)，設(shè)B(x，y)．
由eq \(AF2,\s\up7(―→))＝2eq \(F2B,\s\up7(―→))，得(c，－b)＝2(x－c，y)，
解得x＝eq \f(3c,2)，y＝－eq \f(b,2)，即Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3c,2)，－\f(b,2))).
將B點(diǎn)坐標(biāo)代入eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1，得eq \f(\f(9,4)c2,a2)＋eq \f(\f(b2,4),b2)＝1，
即eq \f(9c2,4a2)＋eq \f(1,4)＝1，解得a2＝3c2.①
又由eq \(AF1,\s\up7(―→))·eq \(AB,\s\up7(―→))＝(－c，－b)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3c,2)，－\f(3b,2)))＝eq \f(3,2)，
得b2－c2＝1，即有a2－2c2＝1.②
由①②解得c2＝1，a2＝3，從而有b2＝2.
所以橢圓的方程為eq \f(x2,3)＋eq \f(y2,2)＝1.
三、自選練——練高考區(qū)分度
1．已知橢圓C的焦點(diǎn)為F1(－1,0)，F(xiàn)2(1,0)，過F2的直線與C交于A，B兩點(diǎn)，若|AF2|＝3|BF2|，|BF1|＝5|BF2|，則C的方程為( )
A.eq \f(x2,2)＋y2＝1 B．eq \f(x2,3)＋eq \f(y2,2)＝1
C.eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1 D．eq \f(x2,5)＋eq \f(y2,4)＝1
解析：選A 設(shè)橢圓的長軸長為2a，短軸長為2b.
∵|AF2|＝3|BF2|，∴|AB|＝4|BF2|.
又|BF1|＝5|BF2|，|BF1|＋|BF2|＝2a，
∴|BF2|＝eq \f(a,3)，∴|AF2|＝a，|BF1|＝eq \f(5,3)a.
∵|AF1|＋|AF2|＝2a，∴|AF1|＝a，
∴|AF1|＝|AF2|，∴A在y軸上．
如圖所示，在Rt△AF2O中，
cs∠AF2O＝eq \f(1,a).
在△BF1F2中，由余弦定理可得
cs∠BF2F1＝eq \f(4＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,3)))2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,3)a))2,2×2×\f(a,3))＝eq \f(3－2a2,a)，
根據(jù)cs∠AF2O＋cs∠BF2F1＝0，可得eq \f(1,a)＋eq \f(3－2a2,a)＝0，解得a2＝2，∴b2＝a2－c2＝2－1＝1.
∴橢圓C的方程為eq \f(x2,2)＋y2＝1.故選A.
2．已知橢圓eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)上有一點(diǎn)A，它關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為B，點(diǎn)F為橢圓的右焦點(diǎn)，且AF⊥BF，設(shè)∠ABF＝α，且α∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,12)，\f(π,6)))，則該橢圓的離心率e的取值范圍為( )
A.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\r(3)－1，\f(\r(6),3))) B．(eq \r(3)－1,1)
C.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(\r(6),4)，\f(\r(6),3))) D．eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(6),3)))
解析：選A 如圖所示，設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為F′，連接AF′，BF′，則四邊形AFBF′為矩形，因此|AB|＝|FF′|＝2c，|AF|＋|BF|＝2a，|AF|＝2csin α，|BF|＝2ccs α，
∴2csin α＋2ccs α＝2a，
∴e＝eq \f(1,sin α＋cs α)＝eq \f(1,\r(2)sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))).
∵α∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,12)，\f(π,6)))，∴α＋eq \f(π,4)∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，\f(5π,12)))，
∴sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)，\f(\r(2)＋\r(6),4)))，
∴eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(\r(6),2)，\f(1＋\r(3),2)))，
∴e∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\r(3)－1，\f(\r(6),3))).故選A.
3.如圖所示，A1，A2是橢圓C：eq \f(x2,18)＋eq \f(y2,9)＝1的短軸端點(diǎn)，點(diǎn)M在橢圓上運(yùn)動(dòng)，且點(diǎn)M不與A1，A2重合，點(diǎn)N滿足NA1⊥MA1，NA2⊥MA2，則eq \f(S△MA1A2,S△NA1A2)＝( )
A．2 B．3
C．4 D．eq \f(5,2)
解析：選A 由題意知A1(0,3)，A2(0，－3)．
設(shè)M(x0，y0)，N(x1，y1)，則直線MA1的斜率為kMA1＝eq \f(y0－3,x0).
由NA1⊥MA1，可得NA1的斜率為k NA1＝－eq \f(x0,y0－3).
于是直線NA1的方程為y＝－eq \f(x0,y0－3)x＋3. ①
同理，NA2的方程為y＝－eq \f(x0,y0＋3)x－3. ②
聯(lián)立①②消去y，得x＝x1＝eq \f(y\\al(2,0)－9,x0).
因?yàn)镸(x0，y0)在橢圓eq \f(x2,18)＋eq \f(y2,9)＝1上，所以eq \f(x\\al(2,0),18)＋eq \f(y\\al(2,0),9)＝1，從而yeq \\al(2,0)－9＝－eq \f(x\\al(2,0),2)，所以x1＝－eq \f(x0,2)，所以eq \f(S△MA1A2,S△NA1A2)＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(x0,x1)))＝2.故選A.標(biāo)準(zhǔn)方程
eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)
eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a＞b＞0)
圖形
性質(zhì)
范圍
－a≤x≤a，－b≤y≤b
－b≤x≤b，－a≤y≤a
對(duì)稱性
對(duì)稱軸：坐標(biāo)軸；對(duì)稱中心：(0,0)
頂點(diǎn)
A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b,0)，B2(b,0)
離心率
e＝eq \f(c,a)，且e∈(0,1)
a，b，c的關(guān)系
c2＝a2－b2
求方程
通過對(duì)題設(shè)條件分析、轉(zhuǎn)化后，能夠明確動(dòng)點(diǎn)滿足橢圓的定義，便可直接求解其軌跡方程
焦點(diǎn)三角形問題
利用定義求焦點(diǎn)三角形的周長和面積．解決焦點(diǎn)三角形問題常利用橢圓的定義、正弦定理或余弦定理，其中|PF1|＋|PF2|＝2a兩邊平方是常用技巧
求最值
抓住|PF1|與|PF2|之和為定值，可聯(lián)系到利用基本不等式求|PF1|·|PF2|的最值；利用定義|PF1|＋|PF2|＝2a轉(zhuǎn)化或變形，借助三角形性質(zhì)求最值
定義法
根據(jù)橢圓的定義，確定a2，b2的值，結(jié)合焦點(diǎn)位置可寫出橢圓方程
待定系
數(shù)法
若焦點(diǎn)位置明確，則可設(shè)出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，結(jié)合已知條件求出a，b；若焦點(diǎn)位置不明確，則需要分焦點(diǎn)在x軸上和y軸上兩種情況討論，也可設(shè)橢圓的方程為Ax2＋By2＝1(A＞0，B＞0，A≠B)
方法
解讀
適合題型
幾何法
利用橢圓的幾何性質(zhì)，設(shè)P(x0，y0)為橢圓eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)上一點(diǎn)，則|x0|≤a，a－c≤|PF1|≤a＋c等，建立不等關(guān)系，或者根據(jù)幾何圖形的臨界情況建立不等關(guān)系
題設(shè)條件有明顯的幾何關(guān)系
直接法
根據(jù)題目中給出的條件或根據(jù)已知條件得出不等關(guān)系，直接轉(zhuǎn)化為含有a，b，c的不等關(guān)系式
題設(shè)條件直接有不等關(guān)系

相關(guān)教案

相關(guān)教案更多

相關(guān)教案

相關(guān)教案 更多

相關(guān)教案更多