知識點一 平面向量的數量積
1．向量的夾角
(1)定義：已知兩個非零向量a和b，作eq \(OA,\s\up7(―→))＝a，eq \(OB,\s\up7(―→))＝b，則∠AOB就是向量a與b的夾角．
(2)范圍：設θ是向量a與b的夾角，則0°≤θ≤180°.
(3)共線與垂直：若θ＝0°，則a與b同向；若θ＝180°，則a與b反向；若θ＝90°，則a與b垂直．
2．平面向量的數量積
(1)定義：已知兩個非零向量a與b，它們的夾角為θ，則數量|a||b|cs θ叫做a與b的數量積(或內積)，記作a·b，即a·b＝|a||b|cs θ，規(guī)定零向量與任一向量的數量積為0，即0·a＝0.
(2)幾何意義：數量積a·b等于a的長度|a|與b在a的方向上的投影|b|cs θ的乘積．
[提醒] (1)數量積a·b也等于b的長度|b|與a在b方向上的投影|a|cs θ的乘積，這兩個投影是不同的．
(2)a在b方向上的投影也可以寫成eq \f(a·b,|b|)，投影是一個數量，可正可負也可為0，它的符號取決于θ角的范圍．
3．向量數量積的性質
設a，b是兩個非零向量，e是單位向量，α是a與e的夾角，于是我們就有下列數量積的性質：
(1)e·a＝a·e＝|a||e|cs α＝|a|cs α.
(2)a⊥b?a·b＝0.
(3)a，b同向?a·b＝|a||b|；
a，b反向?a·b＝－|a||b|.
特別地a·a＝|a|2＝a2或|a|＝eq \r(a·a).
(4)若θ為a，b的夾角，則cs θ＝eq \f(a·b,|a||b|).
(5) |a·b|≤|a|·|b|.
4．謹記常用結論
(a±b)2＝|a±b|2＝|a|2±2a·b＋|b|2＝a2±2a·b＋b2；
a2－b2＝(a＋b)(a－b)．
以上結論可作為公式使用．
5．平面向量數量積的運算律
(1)a·b＝b·a(交換律)．
(2)λa·b＝λ(a·b)＝a·λ(b)(結合律)．
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)．
[提醒] 對于實數a，b，c有(a·b)·c＝a·(b·c)，但對于向量a，b，c而言，(a·b)·c＝a·(b·c)不一定成立，即不滿足向量結合律．這是因為(a·b)·c表示一個與c共線的向量，而a·(b·c)表示一個與a共線的向量，而a與c不一定共線，所以(a·b)·c＝a·(b·c)不一定成立．
[重溫經典]
1．(教材改編題)設a，b是非零向量．“a·b＝|a||b|”是“a∥b”的( )
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
解析：選A 設a與b的夾角為θ.因為a·b＝|a|·|b|cs θ＝|a|·|b|，所以cs θ＝1，即a與b的夾角為0°，故a∥b.
當a∥b時，a與b的夾角為0°或180°，
所以a·b＝|a|·|b|cs θ＝±|a|·|b|，
所以“a·b＝|a|·|b|”是“a∥b”的充分不必要條件．
2．已知向量a，b滿足|a|＝1，|b|＝2eq \r(3)，a與b的夾角的余弦值為sineq \f(17π,3)，則b·(2a－b)等于( )
A．2 B．－1
C．－6 D．－18
解析：選D ∵a與b的夾角的余弦值為sineq \f(17π,3)＝－eq \f(\r(3),2)，
∴a·b＝－3，b·(2a－b)＝2a·b－b2＝－18.
3．已知a·b＝－12eq \r(2)，|a|＝4，a和b的夾角為135°，則|b|的值為( )
A．12 B．6
C．3eq \r(3) D．3
解析：選B 因為a·b＝|a||b|cs 135°＝－12eq \r(2)，
所以|b|＝eq \f(－12\r(2),4×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(2),2))))＝6.
4．(易錯題)已知|a|＝5，|b|＝4，a與b的夾角θ＝120°，則向量b在向量a方向上的投影為________．
解析：由數量積的定義知，b在a方向上的投影為|b|cs θ＝4×cs 120°＝－2.
答案：－2
5．已知兩個單位向量e1，e2的夾角為eq \f(π,3)，若向量b1＝e1－2e2，b2＝3e1＋4e2，則b1·b2＝________.
解析：b1·b2＝(e1－2e2)·(3e1＋4e2)＝3|e1|2－2e1·e2－8|e2|2.其中|e1|2＝|e2|2＝1，e1·e2＝|e1|·|e2|·cs eq \f(π,3)＝1×1×eq \f(1,2)＝eq \f(1,2)，所以b1·b2＝－6.
答案：－6
6.如圖，在△ABC中，AB＝3，AC＝2，D是邊BC的中點，則eq \(AD,\s\up7(―→))·eq \(BC,\s\up7(―→))＝________.
解析：eq \(AD,\s\up7(―→))·eq \(BC,\s\up7(―→))＝eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up7(―→))＋eq \(AC,\s\up7(―→)))·(－eq \(AB,\s\up7(―→))＋eq \(AC,\s\up7(―→)))＝eq \f(1,2)(－eq \(AB,\s\up7(―→))2＋eq \(AC,\s\up7(―→))2)＝－eq \f(5,2).
答案：－eq \f(5,2)
知識點二 平面向量數量積的坐標表示
已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a與b的夾角為θ.
[重溫經典]
1．(多選)設向量a＝(2,0)，b＝(1,1)，則( )
A．|a|＝|b| B．(a－b)∥b
C．(a－b)⊥b D．a與b的夾角為eq \f(π,4)
解析：選CD 因為a＝(2,0)，b＝(1,1)，所以|a|＝2，|b|＝eq \r(2)，所以|a|≠|b|，故A錯誤；因為a＝(2,0)，b＝(1,1)，所以a－b＝(1，－1)，所以(a－b)與b不平行，故B錯誤；又(a－b)·b＝1－1＝0，故C正確；又cs〈a，b〉＝eq \f(a·b,|a|·|b|)＝eq \f(2,2\r(2))＝eq \f(\r(2),2)，所以a與b的夾角為eq \f(π,4)，故D正確．
2．已知向量a＝(2,1)，b＝(－1，k)，a·(2a－b)＝0，則k＝________.
解析：∵2a－b＝(4,2)－(－1，k)＝(5,2－k)，
由a·(2a－b)＝0，得(2,1)·(5,2－k)＝0，
∴10＋2－k＝0，解得k＝12.
答案：12
3．已知向量a與b的夾角為60°，且a＝(－2，－6)，|b|＝eq \r(10)，則a·b＝________.
解析：因為a＝(－2，－6)，所以|a|＝eq \r(?－2?2＋?－6?2)＝2eq \r(10)，又|b|＝eq \r(10)，向量a與b的夾角為60°，所以a·b＝|a||b|cs 60°＝2eq \r(10)×eq \r(10)×eq \f(1,2)＝10.
答案：10
4．(易錯題)向量a＝(3,4)在b＝(1，－1)方向上的投影為________．
解析：a在b方向上的投影為eq \f(a·b,|b|)＝－eq \f(\r(2),2).
答案：－eq \f(\r(2),2)
5．(教材改編題)a，b為平面向量，已知a＝(4,3)，2a＋b＝(3,18)，則a，b夾角的余弦值等于________．
解析：設b＝(x，y)，則2a＋b＝(8＋x,6＋y)＝(3,18)，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(8＋x＝3，,6＋y＝18，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－5，,y＝12，))故b＝(－5,12)，所以csa，b＝eq \f(a·b,|a||b|)＝eq \f(16,65).
答案：eq \f(16,65)
6．(易錯題)已知向量a＝(2,7)，b＝(x，－3)，且a與b的夾角為鈍角，則實數x的取值范圍為____________________．
解析：由a·b＝2x－21

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