新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)教案第6章第1節(jié) 數(shù)列的概念及簡(jiǎn)單表示（含解析）

這是一份新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)教案第6章第1節(jié) 數(shù)列的概念及簡(jiǎn)單表示（含解析），共19頁。
核心素養(yǎng)立意下的命題導(dǎo)向
1.與歸納推理相結(jié)合，考查數(shù)列的概念與通項(xiàng)，凸顯邏輯推理的核心素養(yǎng)．
2．與函數(shù)相結(jié)合，考查數(shù)列的概念性質(zhì)，凸顯數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng)．
3．與遞推公式相結(jié)合，考查對(duì)求通項(xiàng)公式的方法的掌握，凸顯數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)．
[理清主干知識(shí)]
1．?dāng)?shù)列的有關(guān)概念
(1)數(shù)列的定義：按照一定順序排列的一列數(shù)叫做數(shù)列，數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)叫做這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)．
(2)數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系：從函數(shù)觀點(diǎn)看，數(shù)列可以看成以正整數(shù)集N*(或它的有限子集)為定義域的函數(shù)an＝f(n)，當(dāng)自變量按照從小到大的順序依次取值時(shí)所對(duì)應(yīng)的一列函數(shù)值．
(3)數(shù)列的前n項(xiàng)和：數(shù)列{an}中，Sn＝a1＋a2＋…＋an叫做數(shù)列的前n項(xiàng)和．
2．a(chǎn)n與Sn的關(guān)系
若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，則an＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(S1，n＝1，,Sn－Sn－1，n≥2.))
3．?dāng)?shù)列的通項(xiàng)公式與遞推公式
(1)通項(xiàng)公式：如果數(shù)列{an}的第n項(xiàng)an與序號(hào)n之間的關(guān)系可以用一個(gè)式子an＝f(n)來表示，那么這個(gè)公式叫做這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式．
(2)遞推公式：如果已知數(shù)列{an}的第1項(xiàng)(或前幾項(xiàng))，且從第二項(xiàng)(或某一項(xiàng))開始的任一項(xiàng)an與它的前一項(xiàng)an－1(或前幾項(xiàng))間的關(guān)系可以用一個(gè)公式來表示，那么這個(gè)公式就叫做這個(gè)數(shù)列的遞推公式．
4．?dāng)?shù)列的分類
[澄清盲點(diǎn)誤點(diǎn)]
一、關(guān)鍵點(diǎn)練明
1．(觀察數(shù)列求通項(xiàng)公式)數(shù)列1,3,6,10,15，…的一個(gè)通項(xiàng)公式是( )
A．a(chǎn)n＝n2－(n－1) B．a(chǎn)n＝n2－1
C．a(chǎn)n＝eq \f(n?n＋1?,2) D．a(chǎn)n＝eq \f(n?n－1?,2)
解析：選C 觀察數(shù)列1,3,6,10,15，…可以發(fā)現(xiàn)：
1＝1，
3＝1＋2，
6＝1＋2＋3，
10＝1＋2＋3＋4，
…
所以第n項(xiàng)為1＋2＋3＋4＋5＋…＋n＝eq \f(n?n＋1?,2)，
所以數(shù)列1,3,6,10,15，…的一個(gè)通項(xiàng)公式為an＝eq \f(n?n＋1?,2).
2．(觀察圖形求通項(xiàng)公式)根據(jù)下面的圖形及相應(yīng)的點(diǎn)數(shù)，寫出點(diǎn)數(shù)構(gòu)成的數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式an＝________.
解析：由a1＝1＝5×1－4，a2＝6＝5×2－4，a3＝11＝5×3－4，…，歸納得an＝5n－4.
答案：5n－4
3．(利用遞推公式求項(xiàng))數(shù)列{an}中，a1＝2，且an＋1＝eq \f(1,2)an－1，則a4＝________.
解析：由a1＝2，an＋1＝eq \f(1,2)an－1，得a2＝0，a3＝－1，a4＝－eq \f(3,2).
答案：－eq \f(3,2)
4．(由Sn求an)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn＝2n，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是________．
解析：當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝2n－2(n－1)＝2；
當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝2，所以an＝2.
答案：an＝2
二、易錯(cuò)點(diǎn)練清
1．(忽視n為正整數(shù))在數(shù)列－1,0，eq \f(1,9)，eq \f(1,8)，…，eq \f(n－2,n2)中，若an＝0.08，則n＝( )
A.eq \f(5,2) B．8 C.eq \f(5,2)或10 D．10
解析：選D 由題意可得eq \f(n－2,n2)＝0.08，解得n＝10或n＝eq \f(5,2)(舍去)．
2．(忽視數(shù)列是特殊的函數(shù))若an＝n2－5n＋3，則當(dāng)n＝________時(shí)，an取得最小值．
解析：an＝n2－5n＋3＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(n－\f(5,2)))2－eq \f(13,4)，
∵n∈N*，∴當(dāng)n＝2或3時(shí)，an最小，a2＝a3＝－3.
答案：2或3
3．(忽視對(duì)n＝1的驗(yàn)證)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝n2－2，則an＝________.
解析：當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝(n2－2)－[(n－1)2－2]＝2n－1；
當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝1－2＝－1，不滿足上式．
故an＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－1，n＝1，,2n－1，n≥2.))
答案：eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－1，n＝1，,2n－1，n≥2))
考點(diǎn)一 利用an與Sn的關(guān)系求通項(xiàng)
[典例] (1)已知Sn＝3n＋2n＋1，則an＝__________.
(2)設(shè)Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，則Sn＝________.
[解析] (1)因?yàn)楫?dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝6；
當(dāng)n≥2時(shí)，
an＝Sn－Sn－1＝(3n＋2n＋1)－[3n－1＋2(n－1)＋1]
＝2·3n－1＋2，
由于a1不適合此式，
所以an＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(6，n＝1，,2·3n－1＋2，n≥2.))
(2)∵an＋1＝Sn＋1－Sn，an＋1＝SnSn＋1，
∴Sn＋1－Sn＝SnSn＋1，
∵Sn≠0，
∴eq \f(1,Sn)－eq \f(1,Sn＋1)＝1，即eq \f(1,Sn＋1)－eq \f(1,Sn)＝－1.
又eq \f(1,S1)＝－1，
∴eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,Sn)))是首項(xiàng)為－1，公差為－1的等差數(shù)列．
∴eq \f(1,Sn)＝－1＋(n－1)×(－1)＝－n，∴Sn＝－eq \f(1,n).
[答案] (1)eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(6，n＝1，,2·3n－1＋2，n≥2)) (2)－eq \f(1,n)
[方法技巧]
1．已知Sn求an的3步驟
(1)先利用a1＝S1求出a1；
(2)用n－1替換Sn中的n得到Sn－1，利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)便可求出當(dāng)n≥2時(shí)an的表達(dá)式；
(3)注意檢驗(yàn)n＝1時(shí)的表達(dá)式是否可以與n≥2時(shí)的表達(dá)式合并．
2．Sn與an關(guān)系問題的求解思路
根據(jù)所求結(jié)果的不同要求，將問題向兩個(gè)不同的方向轉(zhuǎn)化．
(1)利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)轉(zhuǎn)化為只含Sn，Sn－1的關(guān)系式，再求解．
(2)利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)轉(zhuǎn)化為只含an，an－1的關(guān)系式，再求解．
[針對(duì)訓(xùn)練]
1．(多選)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若a1＝1，an＋1＝2Sn(n∈N*)，則有( )
A．Sn＝3n－1 B．{Sn}為等比數(shù)列
C．a(chǎn)n＝2·3n－1 D．a(chǎn)n＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1，n＝1,2·3n－2，n≥2))
解析：選ABD 由題意，數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和滿足an＋1＝2Sn(n∈N*)，當(dāng)n≥2時(shí)，an＝2Sn－1，兩式相減，可得an＋1－an＝2(Sn－Sn－1)＝2an，
可得an＋1＝3an，即eq \f(an＋1,an)＝3(n≥2)，
又由a1＝1，當(dāng)n＝1時(shí)，a2＝2S1＝2a1＝2，所以eq \f(a2,a1)＝2，
所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為an＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1，n＝1，,2·3n－2，n≥2；))
當(dāng)n≥2時(shí)，Sn＝eq \f(an＋1,2)＝eq \f(2·3n－1,2)＝3n－1，又由n＝1時(shí)，S1＝a1＝1，適合上式，所以數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn＝3n－1；
又由eq \f(Sn＋1,Sn)＝eq \f(3n,3n－1)＝3，所以數(shù)列{Sn}為公比為3的等比數(shù)列，綜上可得選項(xiàng)A、B、D是正確的．
2．若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝eq \f(2,3)an＋eq \f(1,3)，則{an}的通項(xiàng)公式為an＝________.
解析：當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝eq \f(2,3)a1＋eq \f(1,3)，即a1＝1；
當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝eq \f(2,3)an－eq \f(2,3)an－1，即eq \f(an,an－1)＝－2，
故{an}是首項(xiàng)為1，公比為－2的等比數(shù)列．故an＝(－2)n－1.
答案：(－2)n－1
3．設(shè)數(shù)列{an}滿足a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n，則an＝__________.
解析：因?yàn)閍1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n，
故當(dāng)n≥2時(shí)，a1＋3a2＋…＋(2n－3)an－1＝2(n－1)．
兩式相減得(2n－1)an＝2，所以an＝eq \f(2,2n－1)(n≥2)．
又由題設(shè)可得a1＝2，滿足上式，
從而{an}的通項(xiàng)公式為an＝eq \f(2,2n－1)(n∈N*)．
答案：eq \f(2,2n－1)
考點(diǎn)二 利用數(shù)列的遞推關(guān)系求通項(xiàng)
[典題例析]
(1)(2021·湛江模擬)在數(shù)列{an}中，已知a1＝2，an＋1＝eq \f(an,3an＋1)(n∈N*)，則an的表達(dá)式為( )
A．a(chǎn)n＝eq \f(2,4n－3) B．a(chǎn)n＝eq \f(2,6n－5)
C．a(chǎn)n＝eq \f(2,4n＋3) D．a(chǎn)n＝eq \f(2,2n－1)
(2)設(shè)數(shù)列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋n＋1，則an＝________.
(3)在數(shù)列{an}中，a1＝1，an＝eq \f(n－1,n)an－1(n≥2)，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為__________．
(4)若a1＝1，an＋1＝2an－3，則通項(xiàng)公式an＝________.
[解析] (1)數(shù)列{an}中，由a1＝2，an＋1＝eq \f(an,3an＋1)(n∈N*)，
可得eq \f(1,an＋1)＝3＋eq \f(1,an)，
所以數(shù)列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,an)))是首項(xiàng)為eq \f(1,2)，公差為3的等差數(shù)列，
所以eq \f(1,an)＝eq \f(1,2)＋3(n－1)＝eq \f(6n－5,2).
可得an＝eq \f(2,6n－5)(n∈N*)．故選B.
(2)由條件知an＋1－an＝n＋1，
則an＝(a2－a1)＋(a3－a2)＋(a4－a3)＋…＋(an－an－1)＋a1＝(2＋3＋4＋…＋n)＋2＝eq \f(n2＋n＋2,2).
(3)∵an＝eq \f(n－1,n)an－1(n≥2)，
∴an－1＝eq \f(n－2,n－1)an－2，an－2＝eq \f(n－3,n－2)an－3，…，a2＝eq \f(1,2)a1.
以上(n－1)個(gè)式子相乘得
an＝a1·eq \f(1,2)·eq \f(2,3)·…·eq \f(n－1,n)＝eq \f(a1,n)＝eq \f(1,n).
當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝1，上式也成立．
∴an＝eq \f(1,n)(n∈N*)．
(4)由an＋1＝2an－3，得an＋1－3＝2(an－3)．
所以數(shù)列{an－3}是首項(xiàng)為－2，公比為2的等比數(shù)列，
則an－3＝－2×2n－1，即an＝－2n＋3.
[答案] (1)B (2)eq \f(n2＋n＋2,2) (3)an＝eq \f(1,n)(n∈N*) (4)－2n＋3
[方法技巧] 由遞推公式求通項(xiàng)公式的方法
[針對(duì)訓(xùn)練]
1．已知在數(shù)列{an}中，a1＝3，且點(diǎn)Pn(an，an＋1)(n∈N*)在直線4x－y＋1＝0上，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為________．
解析：因?yàn)辄c(diǎn)Pn(an，an＋1)(n∈N*)在直線4x－y＋1＝0上，所以4an－an＋1＋1＝0.
所以an＋1＋eq \f(1,3)＝4eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(an＋\f(1,3))).因?yàn)閍1＝3，所以a1＋eq \f(1,3)＝eq \f(10,3).
故數(shù)列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(an＋\f(1,3)))是首項(xiàng)為eq \f(10,3)，公比為4的等比數(shù)列．
所以an＋eq \f(1,3)＝eq \f(10,3)×4n－1，
故數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝eq \f(10,3)×4n－1－eq \f(1,3).
答案：an＝eq \f(10,3)×4n－1－eq \f(1,3)
2．根據(jù)下列條件，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．
(1)a1＝1，an＋1＝an＋2n(n∈N*)；
(2)a1＝1,2nan＋1＝(n＋1)an(n∈N*)；
(3)a1＝1，an＝3an－1＋4(n≥2)．
解：(1)由題意知an＋1－an＝2n，
an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1
＝2n－1＋2n－2＋…＋2＋1＝eq \f(1－2n,1－2)＝2n－1.
(2)由2nan＋1＝(n＋1)an，得eq \f(an＋1,an)＝eq \f(n＋1,2n).
所以an＝eq \f(an,an－1)·eq \f(an－1,an－2)·eq \f(an－2,an－3)·…·eq \f(a2,a1)·a1＝eq \f(n,2?n－1?)·eq \f(n－1,2?n－2?)·eq \f(n－2,2?n－3?)·…·eq \f(2,2·1)·1＝eq \f(n,2n－1).
(3)因?yàn)閍n＝3an－1＋4(n≥2)，所以an＋2＝3(an－1＋2)．
因?yàn)閍1＋2＝3，所以{an＋2}是首項(xiàng)與公比都為3的等比數(shù)列．
所以an＋2＝3n，即an＝3n－2.
考點(diǎn)三 數(shù)列的性質(zhì)
考法(一) 數(shù)列的周期性
[例1] 在數(shù)列{an}中，a1＝－eq \f(1,4)，an＝1－eq \f(1,an－1)(n≥2，n∈N*)，則a2 021的值為( )
A．－eq \f(1,4) B．5
C.eq \f(4,5) D.eq \f(5,4)
[解析] 因?yàn)樵跀?shù)列{an}中，a1＝－eq \f(1,4)，an＝1－eq \f(1,an－1)(n≥2，n∈N*)，
所以a2＝1－eq \f(1,－\f(1,4))＝5，a3＝1－eq \f(1,5)＝eq \f(4,5)，a4＝1－eq \f(1,\f(4,5))＝－eq \f(1,4)，
所以{an}是以3為周期的周期數(shù)列，
所以a2 021＝a673×3＋2＝a2＝5.
[答案] B
[方法技巧]
1．周期數(shù)列的常見形式
(1)利用三角函數(shù)的周期性，即所給遞推關(guān)系中含有三角函數(shù)；
(2)相鄰多項(xiàng)之間的遞推關(guān)系，如后一項(xiàng)是前兩項(xiàng)的差；
(3)相鄰兩項(xiàng)的遞推關(guān)系，等式中一側(cè)含有分式，又較難變形構(gòu)造出特殊數(shù)列．
2．解決此類題目的一般方法
根據(jù)給出的關(guān)系式求出數(shù)列的若干項(xiàng)，通過觀察歸納出數(shù)列的周期，進(jìn)而求有關(guān)項(xiàng)的值或者前n項(xiàng)的和．
考法(二) 數(shù)列的單調(diào)性
[例2] (2021·廣州模擬)已知數(shù)列{an}滿足a1＝2,2anan＋1＝aeq \\al(2,n)＋1，設(shè)bn＝eq \f(an－1,an＋1)，則數(shù)列{bn}是( )
A．常數(shù)列 B．?dāng)[動(dòng)數(shù)列
C．遞增數(shù)列 D．遞減數(shù)列
[解析] ∵2anan＋1＝aeq \\al(2,n)＋1，∴an＋1＝eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(an＋\f(1,an))).
∵bn＝eq \f(an－1,an＋1)，
∴bn＋1＝eq \f(an＋1－1,an＋1＋1)＝eq \f(\f(1,2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(an＋\f(1,an)))－1,\f(1,2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(an＋\f(1,an)))＋1)＝eq \f(?an－1?2,?an＋1?2)＝beq \\al(2,n)>0.
∵a1＝2，∴b1＝eq \f(2－1,2＋1)＝eq \f(1,3)，b2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))2，b3＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,32)))2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))4，b4＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))4))2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))8，
∴數(shù)列{bn}是遞減數(shù)列，故選D.
[答案] D
[方法技巧]
解決數(shù)列的單調(diào)性問題的3種方法
(1)用作差比較法，根據(jù)an＋1－an的符號(hào)判斷數(shù)列{an}是遞增數(shù)列、遞減數(shù)列或是常數(shù)列．
(2)用作商比較法，根據(jù)eq \f(an＋1,an)(an>0或anan；
當(dāng)n＝8時(shí)，an＋1－an＝0，即an＋1＝an；
當(dāng)n>8時(shí)，an＋1－an1），則an＋1>an，即數(shù)列{an}是遞增數(shù)列，所以數(shù)列{an}的最小項(xiàng)為a1＝f(1)；
②若有an＋1－an＝f(n＋1)－f(n)0時(shí)，eq \f(an＋1,an)0”是“{Sn}是遞增數(shù)列”的( )
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
解析：選A 因?yàn)椤癮n>0”?數(shù)列{Sn}是遞增數(shù)列，所以“an>0”是“數(shù)列{Sn}是遞增數(shù)列”的充分條件；反之，如數(shù)列{an}為－1，1,3,5,7,9，…，顯然{Sn}是遞增數(shù)列，但是an不一定大于零，還有可能小于零，“數(shù)列{Sn}是遞增數(shù)列”?/ “an>0”，“an>0”是“數(shù)列{Sn}是遞增數(shù)列”的不必要條件．因此“an>0”是“數(shù)列{Sn}是遞增數(shù)列”的充分不必要條件．故選A.
4．若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝3n2－2n＋1，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝________.
解析：當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝3×12－2×1＋1＝2；
當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝3n2－2n＋1－[3(n－1)2－2(n－1)＋1]＝6n－5，顯然當(dāng)n＝1時(shí)， 不滿足上式．
故數(shù)列的通項(xiàng)公式為an＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2，n＝1，,6n－5，n≥2.))
答案：eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2，n＝1，,6n－5，n≥2))
5．設(shè)數(shù)列{an}中，a1＝3，an＋1＝an＋eq \f(1,n?n＋1?)，則通項(xiàng)公式an＝________.
解析：由題意知an＋1－an＝eq \f(1,n?n＋1?)＝eq \f(1,n)－eq \f(1,n＋1)，
∴a2－a1＝1－eq \f(1,2)，a3－a2＝eq \f(1,2)－eq \f(1,3)，a4－a3＝eq \f(1,3)－eq \f(1,4)，…，an－an－1＝eq \f(1,n－1)－eq \f(1,n)(n≥2，n∈N*)，逐項(xiàng)相加得an＝a1＋1－eq \f(1,n)＝4－eq \f(1,n).經(jīng)檢驗(yàn)，a1＝3也符合上式．故an＝4－eq \f(1,n).
答案：4－eq \f(1,n)
二、綜合練——練思維敏銳度
1．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝2－2n＋1，則a3＝( )
A．－1 B．－2
C．－4 D．－8
解析：選D ∵數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝2－2n＋1，∴a3＝S3－S2＝(2－24)－(2－23)＝ －8.故選D.
2．(2021·沈陽模擬)已知數(shù)列{an}中a1＝1，an＝n(an＋1－an)(n∈N*)，則an＝( )
A．2n－1 B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(n＋1,n)))n－1
C．n D．n2
解析：選C 由an＝n(an＋1－an)，得(n＋1)an＝nan＋1，即eq \f(an＋1,n＋1)＝eq \f(an,n)，∴eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(an,n)))為常數(shù)列，即eq \f(an,n)＝eq \f(a1,1)＝1，故an＝n.故選C.
3．設(shè)an＝－3n2＋15n－18，則數(shù)列{an}中的最大項(xiàng)的值是( )
A.eq \f(16,3) B.eq \f(13,3)
C．4 D．0
解析：選D 因?yàn)閍n＝－3eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(n－\f(5,2)))2＋eq \f(3,4)，由二次函數(shù)性質(zhì)，得當(dāng)n＝2或3時(shí)，an最大，最大值為0.
4．(多選)對(duì)于數(shù)列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(an))，令bn＝an－eq \f(1,an)，下列說法正確的是( )
A．若數(shù)列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(an))是單調(diào)遞增數(shù)列，則數(shù)列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(bn))也是單調(diào)遞增數(shù)列
B．若數(shù)列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(an))是單調(diào)遞減數(shù)列，則數(shù)列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(bn))也是單調(diào)遞減數(shù)列
C．若an＝3n－1，則數(shù)列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(bn))有最小值
D．若an＝1－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))n，則數(shù)列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(bn))有最大值
解析：選CD 如果a1＝－1，a2＝1，則b1＝b2＝0，從而A不正確；如果a1＝1，a2＝－1，則b1＝b2＝0，從而B不正確；函數(shù)f(x)＝x－eq \f(1,x)在(0，＋∞)上為增函數(shù)，若an＝3n－1，則eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(an))為遞增數(shù)列，當(dāng)n＝1時(shí)，an取最小值，a1＝2>0，所以數(shù)列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(bn))有最小值，從而C正確；若an＝1－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))n，當(dāng)n＝1時(shí)，an取最大值eq \f(3,2)且an>0，所以數(shù)列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(bn))有最大值，從而D正確．
5．設(shè)數(shù)列{an}滿足a1＝1，a2＝2，且2nan＝(n－1)an－1＋(n＋1)an＋1(n≥2且n∈N*)，則a18＝( )
A.eq \f(25,9) B.eq \f(26,9)
C．3 D.eq \f(28,9)
解析：選B 令bn＝nan，
則由2nan＝(n－1)an－1＋(n＋1)an＋1(n≥2且n∈N*)，
得2bn＝bn－1＋bn＋1(n≥2且n∈N*)，
∴數(shù)列{bn}是以1為首項(xiàng)，以2a2－a1＝3為公差的等差數(shù)列，
則bn＝1＋3(n－1)＝3n－2，即nan＝3n－2，∴an＝eq \f(3n－2,n)，∴a18＝eq \f(3×18－2,18)＝eq \f(26,9).故選B.
6．(多選)已知數(shù)列{an}滿足：a1＝3，當(dāng)n≥2時(shí)，an＝(eq \r(an－1＋1)＋1)2－1，則關(guān)于數(shù)列{an}說法正確的是( )
A．a(chǎn)2＝8 B．?dāng)?shù)列{an}為遞增數(shù)列
C．?dāng)?shù)列{an}為周期數(shù)列 D．a(chǎn)n＝n2＋2n
解析：選ABD 由an＝(eq \r(an－1＋1)＋1)2－1得an＋1＝(eq \r(an－1＋1)＋1)2，∴eq \r(an＋1)＝eq \r(an－1＋1)＋1，即數(shù)列{eq \r(an＋1)}是首項(xiàng)為eq \r(a1＋1)＝2，公差為1的等差數(shù)列，∴eq \r(an＋1)＝2＋(n－1)×1＝n＋1，∴an＝n2＋2n，得a2＝8，由二次函數(shù)的性質(zhì)得數(shù)列{an}為遞增數(shù)列，故A、B、D正確．
7．設(shè)數(shù)列{an}中a1＝a2＝1，且滿足a2n＋1＝3a2n－1與a2n＋2－a2n＋1＝a2n，則數(shù)列{an}的前12項(xiàng)的和為( )
A．364 B．728
C．907 D．1 635
解析：選C 數(shù)列{an}中a1＝a2＝1，且滿足a2n＋1＝3a2n－1，則a3＝3a1＝3，a5＝3a3＝9，a7＝3a5＝27，a9＝3a7＝81，a11＝3a9＝243.
由于a2n＋2－a2n＋1＝a2n，所以a2n＋2＝a2n＋1＋a2n，
故a4＝a3＋a2＝4，a6＝a5＋a4＝13，a8＝a7＋a6＝40，a10＝a9＋a8＝121，a12＝a11＋a10＝364，
所以數(shù)列{an}的前12項(xiàng)的和為1＋1＋3＋4＋9＋13＋27＋40＋81＋121＋243＋364＝907.故選C.
8．已知Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，a1＝1,2Sn＝(n＋1)an，若關(guān)于正整數(shù)n的不等式aeq \\al(2,n)－tan≤2t2的解集中的整數(shù)解有兩個(gè)，則正實(shí)數(shù)t的取值范圍為( )
A.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(3,2))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(3,2)))
C.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1)) D.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,12)，1))
解析：選A ∵a1＝1,2Sn＝(n＋1)an，∴當(dāng)n≥2時(shí)，2Sn－1＝nan－1，
∴2an＝2(Sn－Sn－1)＝(n＋1)an－nan－1，整理得eq \f(an,n)＝eq \f(an－1,n－1)(n≥2)，
∴eq \f(an,n)＝eq \f(an－1,n－1)＝…＝eq \f(a2,2)＝eq \f(a1,1)＝1，∴an＝n(n∈N*)．
不等式aeq \\al(2,n)－tan≤2t2可化為(n－2t)(n＋t)≤0，t>0，
∴00，所以an－an－1－2＝0，即an－an－1＝2，
又a1＝1，故數(shù)列{an}是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列，
所以an＝1＋2(n－1)＝2n－1.
答案：an＝2n－1
12．若數(shù)列{an}是正項(xiàng)數(shù)列，且eq \r(a1)＋eq \r(a2)＋eq \r(a3)＋…＋eq \r(an)＝n2＋n，則a1＋eq \f(a2,2)＋…＋eq \f(an,n)＝________.
解析：由題意得當(dāng)n≥2時(shí)，eq \r(an)＝n2＋n－(n－1)2－(n－1)＝2n，∴an＝4n2.又當(dāng)n＝1時(shí)，eq \r(a1)＝2，∴a1＝4，∴eq \f(an,n)＝4n，∴a1＋eq \f(a2,2)＋…＋eq \f(an,n)＝eq \f(1,2)n(4＋4n)＝2n2＋2n.
答案：2n2＋2n
13．在數(shù)列{an}中，a1＝1，a1＋eq \f(a2,22)＋eq \f(a3,32)＋…＋eq \f(an,n2)＝an(n∈N*)，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝________.
解析：由a1＋eq \f(a2,22)＋eq \f(a3,32)＋…＋eq \f(an,n2)＝an(n∈N*)知，當(dāng)n≥2時(shí)，a1＋eq \f(a2,22)＋eq \f(a3,32)＋…＋eq \f(an－1,?n－1?2)＝ an－1，∴eq \f(an,n2)＝an－an－1，即eq \f(n＋1,n)an＝eq \f(n,n－1)an－1，∴eq \f(n＋1,n)an＝…＝2a1＝2，∴an＝eq \f(2n,n＋1).
答案：eq \f(2n,n＋1)
14．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn.滿足a1＝2,3Sn＝(n＋m)an(m∈R)，且anbn＝n，若存在n∈N*，使得λ＋Tn≥T2n成立，則實(shí)數(shù)λ的最小值為________．
解析：∵3Sn＝(n＋m)an，
∴3S1＝3a1＝(1＋m)a1，解得m＝2，
∴3Sn＝(n＋2)an，①
當(dāng)n≥2時(shí)，3Sn－1＝(n＋1)an－1，②
由①－②可得3an＝(n＋2)an－(n＋1)an－1，
即(n－1)an＝(n＋1)an－1，∴eq \f(an,an－1)＝eq \f(n＋1,n－1)，
∴eq \f(a2,a1)＝eq \f(3,1)，eq \f(a3,a2)＝eq \f(4,2)，eq \f(a4,a3)＝eq \f(5,3)，…，eq \f(an－1,an－2)＝eq \f(n,n－2)，eq \f(an,an－1)＝eq \f(n＋1,n－1)，
累乘可得an＝n(n＋1)(n≥2)，經(jīng)檢驗(yàn)，a1＝2符合上式，
∴an＝n(n＋1)，n∈N*.∵anbn＝n，
∴bn＝eq \f(1,n＋1)，令Bn＝T2n－Tn＝eq \f(1,n＋2)＋eq \f(1,n＋3)＋…＋eq \f(1,2n＋1)，則Bn＋1－Bn＝eq \f(3n＋4,?2n＋2??2n＋3??n＋2?)>0，∴數(shù)列{Bn}為遞增數(shù)列，∴Bn≥B1＝eq \f(1,3).
∵存在n∈N*，使得λ＋Tn≥T2n成立，∴λ≥B1＝eq \f(1,3)，
故實(shí)數(shù)λ的最小值為eq \f(1,3).
答案：eq \f(1,3)
15．已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an＝n2＋kn＋4.
(1)若k＝－5，則數(shù)列中有多少項(xiàng)是負(fù)數(shù)？n為何值時(shí)，an有最小值？并求出最小值；
(2)對(duì)于n∈N*，都有an＋1>an，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．
解：(1)由n2－5n＋40.
又c1＝－3，c2＝5，c3＝－3，c4＝－eq \f(1,3)，c5＝eq \f(1,5)，c6＝eq \f(3,7)，
即c1·c2