核心素養(yǎng)立意下的命題導(dǎo)向
1.結(jié)合平面向量的有關(guān)概念，考查對(duì)向量特性的理解，凸顯數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng)．
2．結(jié)合向量的線性運(yùn)算，考查用向量刻畫(huà)平面圖形的能力，凸顯邏輯推理的核心素養(yǎng)．
3．結(jié)合向量的線性運(yùn)算的幾何意義，考查數(shù)形結(jié)合的思想，凸顯直觀想象的核心素養(yǎng)．
[理清主干知識(shí)]
1．向量的有關(guān)概念
2．向量的線性運(yùn)算
3.共線向量定理
向量a(a≠0)與b共線，當(dāng)且僅當(dāng)有唯一一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使得b＝λa.
[澄清盲點(diǎn)誤點(diǎn)]
一、關(guān)鍵點(diǎn)練明
1．(向量的有關(guān)概念)下列說(shuō)法正確的是( )
A．方向相同的向量叫做相等向量
B．共線向量是在同一條直線上的向量
C．零向量的長(zhǎng)度等于0
D．eq \(AB,\s\up7(―→))∥eq \(CD,\s\up7(―→))就是eq \(AB,\s\up7(―→))所在的直線平行于eq \(CD,\s\up7(―→))所在的直線
解析：選C 長(zhǎng)度相等且方向相同的向量叫做相等向量，故A不正確；方向相同或相反的非零向量叫做共線向量，但共線向量不一定在同一條直線上，故B不正確；顯然C正確；當(dāng)eq \(AB,\s\up7(―→))∥eq \(CD,\s\up7(―→))時(shí)，eq \(AB,\s\up7(―→))所在的直線與eq \(CD,\s\up7(―→))所在的直線可能重合，故D不正確．
2．(多選·向量線性運(yùn)算)下列各式中結(jié)果為零向量的為( )
A．eq \(AB,\s\up7(―→))＋eq \(BC,\s\up7(―→))＋eq \(CA,\s\up7(―→))
B．eq \(AB,\s\up7(―→))＋eq \(MB,\s\up7(―→))＋eq \(BO,\s\up7(―→))＋eq \(OM,\s\up7(―→))
C．eq \(OA,\s\up7(―→))＋eq \(OB,\s\up7(―→))＋eq \(BO,\s\up7(―→))＋eq \(CO,\s\up7(―→))
D．eq \(AB,\s\up7(―→))－eq \(AC,\s\up7(―→))＋eq \(BD,\s\up7(―→))－eq \(CD,\s\up7(―→))
答案：AD
3．(共線向量定理)設(shè)a與b是兩個(gè)不共線向量，且向量a＋xb與－(b－2a)共線，則x＝________.
答案：－eq \f(1,2)
二、易錯(cuò)點(diǎn)練清
1．(多選·忽視零向量)下列命題中，正確的是( )
A．向量eq \(AB,\s\up7(―→))的長(zhǎng)度與向量eq \(BA,\s\up7(―→))的長(zhǎng)度相等
B．向量a與b平行，則a與b的方向相同或相反
C．兩個(gè)有共同起點(diǎn)且相等的向量，其終點(diǎn)必相同
D．零向量與任意數(shù)的乘積都為零
答案：AC
2．(忽視向量相等的條件)若四邊形ABCD滿足eq \(AD,\s\up7(―→))∥eq \(BC,\s\up7(―→))且|eq \(AB,\s\up7(―→))|＝|eq \(DC,\s\up7(―→))|，則四邊形ABCD的形狀是______________．
解析：當(dāng)|eq \(AD,\s\up7(―→))|＝|eq \(BC,\s\up7(―→))|時(shí)，四邊形ABCD是平行四邊形；
當(dāng)|eq \(AD,\s\up7(―→))|≠|(zhì)eq \(BC,\s\up7(―→))|時(shí)，四邊形ABCD是等腰梯形．
答案：平行四邊形或等腰梯形
考點(diǎn)一 平面向量的基本概念
[典例] (1)已知a，b是兩個(gè)非零向量，且|a＋b|＝|a|＋|b|，則下列說(shuō)法正確的是( )
A．a(chǎn)＋b＝0 B．a(chǎn)⊥b
C．a(chǎn)與b共線反向 D．存在正實(shí)數(shù)λ，使a＝λb
(2)下列說(shuō)法中，正確的是( )
A．a(chǎn)與b共線，b與c共線，則a與c共線
B．任意兩個(gè)相等的非零向量的始點(diǎn)與終點(diǎn)總是一平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)
C．向量a與b不共線，則a與b都是非零向量
D．有相同起點(diǎn)的兩個(gè)非零向量不平行
[解析] (1)∵a，b是兩個(gè)非零向量，且|a＋b|＝|a|＋|b|，∴向量a與b的方向相同，即存在正實(shí)數(shù)λ，使a＝λb，故選D.
(2)A錯(cuò)，當(dāng)b＝0時(shí)，由a與b共線，b與c共線推不出a與c共線；B錯(cuò)，任意兩個(gè)相等的非零向量的始點(diǎn)與終點(diǎn)也可以在一條直線上；C正確，當(dāng)a與b中有零向量時(shí)，它們一定共線；D錯(cuò)，有相同起點(diǎn)的兩個(gè)非零向量也可以平行，即可以共線．故選C.
[答案] (1)D (2)C
[方法技巧] 解決向量問(wèn)題的關(guān)鍵點(diǎn)
(1)相等向量具有傳遞性，非零向量的平行也具有傳遞性．
(2)共線向量即平行向量，它們均與起點(diǎn)無(wú)關(guān)．
(3)相等向量不僅模相等，而且方向也相同，所以相等向量一定是平行向量，但平行向量未必是相等向量．
(4)向量可以平移，平移后的向量與原向量是相等向量．解題時(shí)，不要把它與函數(shù)圖象的平移混為一談．
(5)非零向量a與eq \f(a,|a|)的關(guān)系：eq \f(a,|a|)是a方向上的單位向量，因此單位向量eq \f(a,|a|)與a方向相同．
(6)向量與數(shù)量不同，數(shù)量可以比較大小，向量則不能．但向量的模是非負(fù)實(shí)數(shù)，可以比較大?。?br>(7)在解決向量的概念問(wèn)題時(shí)，要注意兩點(diǎn)：①不僅要考慮向量的大小，還要考慮向量的方向；②考慮零向量是否也滿足條件．
[針對(duì)訓(xùn)練]
1．設(shè)a，b都是非零向量，下列四個(gè)條件中，一定能使eq \f(a,|a|)＋eq \f(b,|b|)＝0成立的是( )
A．a(chǎn)＝2b B．a(chǎn)∥b
C．a(chǎn)＝－eq \f(1,3)b D．a(chǎn)⊥b
解析：選C 由eq \f(a,|a|)＋eq \f(b,|b|)＝0得eq \f(a,|a|)＝－eq \f(b,|b|)≠0，即a＝－eq \f(b,|b|)·|a|≠0，則a與b共線且方向相反，因此當(dāng)向量a與向量b共線且方向相反時(shí)，能使eq \f(a,|a|)＋eq \f(b,|b|)＝0成立．對(duì)照各個(gè)選項(xiàng)可知，選項(xiàng)A中a與b的方向相同；選項(xiàng)B中a與b共線，方向相同或相反；選項(xiàng)C中a與b的方向相反；選項(xiàng)D中a與b互相垂直．
2．設(shè)a0為單位向量，下列命題中：①若a為平面內(nèi)的某個(gè)向量，則a＝|a|a0；②若a與a0平行，則a＝|a|a0；③若a與a0平行且|a|＝1，則a＝a0，假命題的個(gè)數(shù)是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：選D 向量是既有大小又有方向的量，a與|a|a0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命題；若a與a0平行，則a與a0的方向有兩種情況：一是同向，二是反向，反向時(shí)a＝－|a|a0，故②③也是假命題．綜上所述，假命題的個(gè)數(shù)是3.
考點(diǎn)二 平面向量的線性運(yùn)算
考法(一) 平面向量的線性運(yùn)算
[例1] (1)(2020·新高考全國(guó)卷Ⅱ)若D為△ABC的邊AB的中點(diǎn)，則eq \(CB,\s\up7(―→))＝( )
A．2eq \(CD,\s\up7(―→))－eq \(CA,\s\up7(―→)) B．2eq \(CA,\s\up7(―→))－eq \(CD,\s\up7(―→))
C．2eq \(CD,\s\up7(―→))＋eq \(CA,\s\up7(―→)) D．2eq \(CA,\s\up7(―→))＋eq \(CD,\s\up7(―→))
(2)如圖所示，在△ABC中，點(diǎn)M是AB的中點(diǎn)，且eq \(AN,\s\up7(―→))＝eq \f(1,2)eq \(NC,\s\up7(―→))，BN與CM相交于點(diǎn)E，設(shè)eq \(AB,\s\up7(―→))＝a，eq \(AC,\s\up7(―→))＝b，則eq \(AE,\s\up7(―→))等于( )
A.eq \f(2,5)a＋eq \f(1,5)b B．eq \f(1,5)a＋eq \f(2,5)b
C.eq \f(1,3)a＋eq \f(1,3)b D．eq \f(2,5)a＋eq \f(4,5)b
[解析] (1)∵D為△ABC的邊AB的中點(diǎn)，
∴eq \(CD,\s\up7(―→))＝eq \f(1,2)(eq \(CA,\s\up7(―→))＋eq \(CB,\s\up7(―→)))，∴eq \(CB,\s\up7(―→))＝2eq \(CD,\s\up7(―→))－eq \(CA,\s\up7(―→))，故選A.
(2)由題意得eq \(AN,\s\up7(―→))＝eq \f(1,3)eq \(AC,\s\up7(―→))＝eq \f(1,3)b，eq \(AM,\s\up7(―→))＝eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up7(―→))＝eq \f(1,2)a，
由N，E，B三點(diǎn)共線可知，存在實(shí)數(shù)m，滿足
eq \(AE,\s\up7(―→))＝meq \(AN,\s\up7(―→))＋(1－m)eq \(AB,\s\up7(―→))＝eq \f(1,3)mb＋(1－m)a.
由C，E，M三點(diǎn)共線可知，存在實(shí)數(shù)n，滿足
eq \(AE,\s\up7(―→))＝neq \(AM,\s\up7(―→))＋(1－n)eq \(AC,\s\up7(―→))＝eq \f(1,2)na＋(1－n)b，
所以eq \f(1,3)mb＋(1－m)a＝eq \f(1,2)na＋(1－n)b.
因?yàn)閍，b為基底，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1－m＝\f(1,2)n，,\f(1,3)m＝1－n，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＝\f(3,5)，,n＝\f(4,5).))
所以eq \(AE,\s\up7(―→))＝eq \f(2,5)a＋eq \f(1,5)b，故選A.
[答案] (1)A (2)A
[方法技巧]
向量線性運(yùn)算的解題策略
(1)常用的法則是平行四邊形法則和三角形法則，一般共起點(diǎn)的向量求和用平行四邊形法則，求差用三角形法則，求首尾相連的向量的和用三角形法則．
(2)找出圖形中的相等向量、共線向量，將所求向量與已知向量轉(zhuǎn)化到同一個(gè)平行四邊形或三角形中求解．
(3)用基本向量表示某個(gè)向量問(wèn)題的基本技巧：①觀察各向量的位置；②尋找相應(yīng)的三角形或多邊形；③運(yùn)用法則找關(guān)系；④化簡(jiǎn)結(jié)果．
考法(二) 利用向量的線性運(yùn)算求參數(shù)
[例2] 如圖，一直線EF與平行四邊形ABCD的兩邊AB，AD分別交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，且交其對(duì)角線AC于K，其中，eq \(AE,\s\up7(―→))＝eq \f(2,5)eq \(AB,\s\up7(―→))，eq \(AF,\s\up7(―→))＝eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up7(―→))，eq \(AK,\s\up7(―→))＝λeq \(AC,\s\up7(―→))，則λ的值為( )
A.eq \f(2,9) B．eq \f(2,7)
C.eq \f(2,5) D．eq \f(2,3)
[解析] ∵eq \(AE,\s\up7(―→))＝eq \f(2,5)eq \(AB,\s\up7(―→))，eq \(AF,\s\up7(―→))＝eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up7(―→))，
∴eq \(AB,\s\up7(―→))＝eq \f(5,2)eq \(AE,\s\up7(―→))，eq \(AD,\s\up7(―→))＝2eq \(AF,\s\up7(―→)).
∵eq \(AC,\s\up7(―→))＝eq \(AB,\s\up7(―→))＋eq \(AD,\s\up7(―→))，∴eq \(AK,\s\up7(―→))＝λeq \(AC,\s\up7(―→))＝λ(eq \(AB,\s\up7(―→))＋eq \(AD,\s\up7(―→)))＝λeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)eq \(AE,\s\up7(―→))＋2eq \(AF,\s\up7(―→))))＝eq \f(5,2)λeq \(AE,\s\up7(―→))＋2λeq \(AF,\s\up7(―→)).由E，F(xiàn)，K三點(diǎn)共線可得，eq \f(5,2)λ＋2λ＝1，解得λ＝eq \f(2,9)，故選A.
[答案] A
[方法技巧]
利用向量的線性運(yùn)算求參數(shù)的方法
與向量的線性運(yùn)算有關(guān)的參數(shù)問(wèn)題，一般是構(gòu)造三角形，利用向量線性運(yùn)算的三角形法則進(jìn)行加法或減法運(yùn)算，然后通過(guò)建立方程組即可求得相關(guān)參數(shù)．
[針對(duì)訓(xùn)練]
1．(2021·菏澤模擬)設(shè)M是△ABC所在平面上的一點(diǎn)，eq \(MB,\s\up7(―→))＋eq \f(3,2)eq \(MA,\s\up7(―→))＋eq \f(3,2)eq \(MC,\s\up7(―→))＝0，D是AC的中點(diǎn)，teq \(MB,\s\up7(―→))＝eq \(DM,\s\up7(―→))，則實(shí)數(shù)t的值為( )
A.eq \f(1,2) B．eq \f(1,3)
C．2 D．1
解析：選B 因?yàn)镈是AC的中點(diǎn)，所以eq \(MA,\s\up7(―→))＋eq \(MC,\s\up7(―→))＝2eq \(MD,\s\up7(―→))，又因?yàn)閑q \(MB,\s\up7(―→))＋eq \f(3,2)eq \(MA,\s\up7(―→))＋eq \f(3,2)eq \(MC,\s\up7(―→))＝0，所以eq \f(1,3)eq \(MB,\s\up7(―→))＋eq \f(1,2)(eq \(MA,\s\up7(―→))＋eq \(MC,\s\up7(―→)))＝eq \f(1,3)eq \(MB,\s\up7(―→))＋eq \(MD,\s\up7(―→))＝0，所以eq \f(1,3)eq \(MB,\s\up7(―→))＝eq \(DM,\s\up7(―→))，因?yàn)閠eq \(MB,\s\up7(―→))＝eq \(DM,\s\up7(―→))，所以t＝eq \f(1,3).
2.(多選)如圖所示，在△ABC中，D是AB的中點(diǎn)，下列關(guān)于向量eq \(CD,\s\up7(―→))表示不正確的是( )
A．eq \(CD,\s\up7(―→))＝eq \(CA,\s\up7(―→))＋eq \(DB,\s\up7(―→)) B．eq \(CD,\s\up7(―→))＝eq \(BC,\s\up7(―→))＋eq \(DA,\s\up7(―→))
C．eq \(CD,\s\up7(―→))＝eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up7(―→))＋eq \(AC,\s\up7(―→)) D．eq \(CD,\s\up7(―→))＝eq \f(1,2)eq \(CA,\s\up7(―→))＋eq \f(1,2)eq \(CB,\s\up7(―→))
解析：選BC 對(duì)于A，因?yàn)镈是AB的中點(diǎn)，所以eq \(AD,\s\up7(―→))＝eq \(DB,\s\up7(―→))，
因?yàn)閑q \(CD,\s\up7(―→))＝eq \(CA,\s\up7(―→))＋eq \(AD,\s\up7(―→))，所以eq \(CD,\s\up7(―→))＝eq \(CA,\s\up7(―→))＋eq \(DB,\s\up7(―→))，所以A正確；
對(duì)于B，由三角形法則得，eq \(CD,\s\up7(―→))＝eq \(CB,\s\up7(―→))＋eq \(BD,\s\up7(―→))＝eq \(CB,\s\up7(―→))＋eq \(DA,\s\up7(―→))＝－eq \(BC,\s\up7(―→))＋eq \(DA,\s\up7(―→))，所以B不正確；
對(duì)于C，eq \(CD,\s\up7(―→))＝eq \(CA,\s\up7(―→))＋eq \(AD,\s\up7(―→))＝eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up7(―→))－eq \(AC,\s\up7(―→))，所以C不正確；
對(duì)于D，因?yàn)镈是AB的中點(diǎn)，所以eq \(CD,\s\up7(―→))＝eq \f(1,2)eq \(CA,\s\up7(―→))＋eq \f(1,2)eq \(CB,\s\up7(―→))，
所以D正確．
3．在正六邊形ABCDEF中，對(duì)角線BD，CF相交于點(diǎn)P，若eq \(AP,\s\up7(―→))＝xeq \(AB,\s\up7(―→))＋yeq \(AF,\s\up7(―→))，則x＋y＝________.
解析：如圖，記正六邊形ABCDEF的中心為點(diǎn)O，連接OB，OD，易證四邊形OBCD為菱形且P恰為其中心．
∴eq \(FP,\s\up7(―→))＝eq \f(3,2)eq \(FO,\s\up7(―→))＝eq \f(3,2)eq \(AB,\s\up7(―→))，
∴eq \(AP,\s\up7(―→))＝eq \(AF,\s\up7(―→))＋eq \(FP,\s\up7(―→))＝eq \(AF,\s\up7(―→))＋eq \f(3,2)eq \(AB,\s\up7(―→))，
∵eq \(AP,\s\up7(―→))＝xeq \(AB,\s\up7(―→))＋yeq \(AF,\s\up7(―→))，∴x＝eq \f(3,2)，y＝1，∴x＋y＝eq \f(5,2).
答案：eq \f(5,2)
考點(diǎn)三 共線向量定理的應(yīng)用
[典例] (1)已知a，b是不共線的向量，eq \(AB,\s\up7(―→))＝λa＋b，eq \(AC,\s\up7(―→))＝a＋μb(λ，μ∈R)，若A，B，C三點(diǎn)共線，則λ，μ的關(guān)系一定成立的是( )
A．λμ＝1 B．λμ＝－1
C．λ－μ＝－1 D．λ＋μ＝2
(2)(2021·石家莊模擬)設(shè)e1與e2是兩個(gè)不共線向量，eq \(AB,\s\up7(―→))＝3e1＋2e2，eq \(CB,\s\up7(―→))＝ke1＋e2，eq \(CD,\s\up7(―→))＝3e1－2ke2，若A，B，D三點(diǎn)共線，則k的值為_(kāi)_______．
[解析] (1)∵eq \(AB,\s\up7(―→))與eq \(AC,\s\up7(―→))有公共點(diǎn)A，∴若A，B，C三點(diǎn)共線，則存在一個(gè)實(shí)數(shù)t使eq \(AB,\s\up7(―→))＝teq \(AC,\s\up7(―→))，即λa＋b＝ta＋μtb，則eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(λ＝t，,μt＝1，))消去參數(shù)t得λμ＝1；反之，當(dāng)λμ＝1時(shí)，eq \(AB,\s\up7(―→))＝eq \f(1,μ)a＋b，此時(shí)存在實(shí)數(shù)eq \f(1,μ)使eq \(AB,\s\up7(―→))＝eq \f(1,μ)eq \(AC,\s\up7(―→))，故eq \(AB,\s\up7(―→))和eq \(AC,\s\up7(―→))共線．∵eq \(AB,\s\up7(―→))與eq \(AC,\s\up7(―→))有公共點(diǎn)A，∴A，B，C三點(diǎn)共線．故選A.
(2)由題意，A，B，D三點(diǎn)共線，故必存在一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使得eq \(AB,\s\up7(―→))＝λeq \(BD,\s\up7(―→)).
又eq \(AB,\s\up7(―→))＝3e1＋2e2，eq \(CB,\s\up7(―→))＝ke1＋e2，eq \(CD,\s\up7(―→))＝3e1－2ke2，
所以eq \(BD,\s\up7(―→))＝eq \(CD,\s\up7(―→))－eq \(CB,\s\up7(―→))＝3e1－2ke2－(ke1＋e2)
＝(3－k)e1－(2k＋1)e2，
所以3e1＋2e2＝λ(3－k)e1－λ(2k＋1)e2，
又e1與e2不共線，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3＝λ?3－k?，,2＝－λ?2k＋1?，))解得k＝－eq \f(9,4).
[答案] (1)A (2)－eq \f(9,4)
[方法技巧] 平面向量共線定理的3個(gè)應(yīng)用
[針對(duì)訓(xùn)練]
1．(2021·南京、鹽城模擬)已知向量a＝(1,3)，b＝(m,6)，若a∥b，則m＝________.
解析：因?yàn)閍∥b，所以3×m＝6×1，解得m＝2.
答案：2
2．設(shè)兩個(gè)非零向量a與b不共線．
(1)若eq \(AB,\s\up7(―→))＝a＋b，eq \(BC,\s\up7(―→))＝2a＋8b，eq \(CD,\s\up7(―→))＝3(a－b)，求證：A，B，D三點(diǎn)共線；
(2)試確定實(shí)數(shù)k，使ka＋b和a＋kb共線．
解：(1)證明：∵eq \(AB,\s\up7(―→))＝a＋b，eq \(BC,\s\up7(―→))＝2a＋8b，eq \(CD,\s\up7(―→))＝3(a－b)，
∴eq \(BD,\s\up7(―→))＝eq \(BC,\s\up7(―→))＋eq \(CD,\s\up7(―→))＝2a＋8b＋3(a－b)＝5(a＋b)＝5eq \(AB,\s\up7(―→))，
∴eq \(AB,\s\up7(―→))，eq \(BD,\s\up7(―→))共線，又它們有公共點(diǎn)B，
∴A，B，D三點(diǎn)共線．
(2)∵ka＋b與a＋kb共線，
∴存在實(shí)數(shù)λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)，即(k－λ)a＝(λk－1)b.
又a，b是兩個(gè)不共線的非零向量，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(k－λ＝0，,λk－1＝0.))∴k2－1＝0.∴k＝±1.
一、創(chuàng)新思維角度——融會(huì)貫通學(xué)妙法
結(jié)論“eq \(OP,\s\up7(―→))＝meq \(OA,\s\up7(―→))＋neq \(OB,\s\up7(―→)) (m，n∈R)，m＋n＝1?A，P，B三點(diǎn)共線”的妙用．
1.如圖，在△ABC中，eq \(AN,\s\up7(―→))＝eq \f(1,3)eq \(AC,\s\up7(―→))，P是BN上的一點(diǎn)，若eq \(AP,\s\up7(―→))＝meq \(AB,\s\up7(―→))＋eq \f(2,11)eq \(AC,\s\up7(―→))，則實(shí)數(shù)m的值為( )
A.eq \f(9,11) B．eq \f(5,11)
C.eq \f(3,11) D．eq \f(2,11)
解析：選B 注意到N，P，B三點(diǎn)共線，
因此eq \(AP,\s\up7(―→))＝meq \(AB,\s\up7(―→))＋eq \f(2,11)eq \(AC,\s\up7(―→))＝meq \(AB,\s\up7(―→))＋eq \f(6,11)eq \(AN,\s\up7(―→))，
從而m＋eq \f(6,11)＝1，所以m＝eq \f(5,11).
2．A，B，C是圓O上不同的三點(diǎn)，線段CO與線段AB交于點(diǎn)D(點(diǎn)O與點(diǎn)D不重合)，若eq \(OC,\s\up7(―→))＝λeq \(OA,\s\up7(―→))＋μeq \(OB,\s\up7(―→)) (λ，μ∈R)，則λ＋μ的取值范圍是( )
A．(0,1) B．(1，＋∞)
C．(1，eq \r(2)] D．(－1,0)
解析：選B 設(shè)eq \(OC,\s\up7(―→))＝meq \(OD,\s\up7(―→))，則m>1，
因?yàn)閑q \(OC,\s\up7(―→))＝λeq \(OA,\s\up7(―→))＋μeq \(OB,\s\up7(―→))，
所以meq \(OD,\s\up7(―→))＝λeq \(OA,\s\up7(―→))＋μeq \(OB,\s\up7(―→))，
即eq \(OD,\s\up7(―→))＝eq \f(λ,m)eq \(OA,\s\up7(―→))＋eq \f(μ,m)eq \(OB,\s\up7(―→)).
又知A，B，D三點(diǎn)共線，
所以eq \f(λ,m)＋eq \f(μ,m)＝1，即λ＋μ＝m，
所以λ＋μ>1，故選B.
二、創(chuàng)新考查方式——領(lǐng)悟高考新動(dòng)向
1．已知平面上點(diǎn)O與線段AB，若線段AB上有n(n＞1)個(gè)異于端點(diǎn)A，B的互異動(dòng)點(diǎn)P1，P2，…，Pn，且滿足eq \(OPK,\s\up7(――→))＝λKeq \(OA,\s\up7(―→))＋μKeq \(OB,\s\up7(―→))，λK，μK∈R,1≤K≤n，K∈Z，則(λ1λ2…λn)·(μ1μ2…μn)的取值范圍是( )
A．(0，eq \f(1,2n)) B．(0，eq \f(1,4n))
C．(0，eq \f(1,4n)] D．[eq \f(1,4n)，＋∞)
解析：選B 因?yàn)?eq \f(a＋b,2))2－ab＝eq \f(a2－2ab＋b2,4)＝eq \f(?a－b?2,4)≥0，
所以ab≤(eq \f(a＋b,2))2對(duì)任意a，b∈R均成立，并且當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)等號(hào)成立．
由于PK，A，B共線，所以λK＋μK＝1，
由于PK在線段AB上且異于端點(diǎn)A，B，結(jié)合eq \(OPK,\s\up7(――→))＝λKeq \(OA,\s\up7(―→))＋μKeq \(OB,\s\up7(―→))以及平行四邊形法則可知λK＞0，μK＞0.若λK＝μK＝eq \f(1,2)，此時(shí)PK為線段AB的中點(diǎn)，僅有1點(diǎn)，但n＞1，所以0＜(λ1λ2…λn)(μ1μ2…μn)＝(λ1μ1)·(λ2μ2)……(λnμn)＜(eq \f(λ1＋μ1,2))2·(eq \f(λ2＋μ2,2))2·…·(eq \f(λn＋μn,2))2＝eq \f(1,4n)，故選B.
2.趙爽是我國(guó)古代數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家，大約在公元222年，趙爽為《周髀算經(jīng)》一書(shū)作序時(shí)，介紹了“勾股圓方圖”，亦稱“趙爽弦圖”(以弦為邊長(zhǎng)得到的正方形由4個(gè)全等的直角三角形再加上中間的一個(gè)小正方形組成的)．類比“趙爽弦圖”，可構(gòu)造如圖所示的圖形，它是由3個(gè)全等的三角形與中間的一個(gè)小等邊三角形拼成的一個(gè)大等邊三角形，設(shè)DF＝2AF，則( )
A．eq \(AD,\s\up7(―→))＝eq \f(2,13)eq \(AC,\s\up7(―→))＋eq \f(9,13)eq \(AB,\s\up7(―→)) B．eq \(AD,\s\up7(―→))＝eq \f(2,9)eq \(AC,\s\up7(―→))＋eq \f(1,27)eq \(AB,\s\up7(―→))
C．eq \(AD,\s\up7(―→))＝eq \f(3,13)eq \(AC,\s\up7(―→))＋eq \f(9,13)eq \(AB,\s\up7(―→)) D．eq \(AD,\s\up7(―→))＝eq \f(2,13)eq \(AC,\s\up7(―→))＋eq \f(6,13)eq \(AB,\s\up7(―→))
解析：選C 由題意知eq \(AD,\s\up7(―→))＝3eq \(AF,\s\up7(―→))，eq \(CF,\s\up7(―→))＝3eq \(CE,\s\up7(―→))，eq \(BE,\s\up7(―→))＝3eq \(BD,\s\up7(―→))，
則eq \(AD,\s\up7(―→))＝3eq \(AF,\s\up7(―→))＝3(eq \(AC,\s\up7(―→))＋eq \(CF,\s\up7(―→)))＝3eq \(AC,\s\up7(―→))＋9eq \(CE,\s\up7(―→))＝3eq \(AC,\s\up7(―→))＋9eq \(CB,\s\up7(―→))＋9eq \(BE,\s\up7(―→))
＝3eq \(AC,\s\up7(―→))＋9(eq \(AB,\s\up7(―→))－eq \(AC,\s\up7(―→)))＋27eq \(BD,\s\up7(―→))
＝－6eq \(AC,\s\up7(―→))＋9eq \(AB,\s\up7(―→))＋27(eq \(AD,\s\up7(―→))－eq \(AB,\s\up7(―→)))
＝－6eq \(AC,\s\up7(―→))－18eq \(AB,\s\up7(―→))＋27eq \(AD,\s\up7(―→))，
所以eq \(AD,\s\up7(―→))＝eq \f(3,13)eq \(AC,\s\up7(―→))＋eq \f(9,13)eq \(AB,\s\up7(―→)).
3.窗的運(yùn)用是中式園林設(shè)計(jì)的重要組成部分，常常運(yùn)用象征、隱喻、借景等手法，將民族文化與哲理融入其中，營(yíng)造出廣闊的審美意境．從窗的外形看，常見(jiàn)的有圓形、菱形、正六邊形、正八邊形等．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，O為正八邊形P1P2…P8的中心，P1P8⊥x軸，現(xiàn)用如下方法等可能地確定點(diǎn)M：點(diǎn)M滿足2eq \(OM,\s\up7(―→))＋eq \(OPi,\s\up7(―→))＋eq \(OPj,\s\up7(―→))＝0(其中1≤i，j≤8且i，j∈N*，i≠j)，則點(diǎn)M(異于點(diǎn)O)落在坐標(biāo)軸上的概率為( )
A.eq \f(3,5) B．eq \f(3,7)
C.eq \f(3,8) D．eq \f(2,7)
解析：選D 由題意可知eq \(OPi,\s\up7(―→))＋eq \(OPj,\s\up7(―→))所有可能結(jié)果有：
eq \(OP1,\s\up7(―→))＋eq \(OP2,\s\up7(―→))，eq \(OP1,\s\up7(―→))＋eq \(OP3,\s\up7(―→))，eq \(OP1,\s\up7(―→))＋eq \(OP4,\s\up7(―→))，eq \(OP1,\s\up7(―→))＋eq \(OP5,\s\up7(―→))，eq \(OP1,\s\up7(―→))＋eq \(OP6,\s\up7(―→))，eq \(OP1,\s\up7(―→))＋eq \(OP7,\s\up7(―→))，eq \(OP1,\s\up7(―→))＋eq \(OP8,\s\up7(―→))，eq \(OP2,\s\up7(―→))＋eq \(OP3,\s\up7(―→))，eq \(OP2,\s\up7(―→))＋eq \(OP4,\s\up7(―→))，eq \(OP2,\s\up7(―→))＋eq \(OP5,\s\up7(―→))，eq \(OP2,\s\up7(―→))＋eq \(OP6,\s\up7(―→))，eq \(OP2,\s\up7(―→))＋eq \(OP7,\s\up7(―→))，eq \(OP2,\s\up7(―→))＋eq \(OP8,\s\up7(―→))，eq \(OP3,\s\up7(―→))＋eq \(OP4,\s\up7(―→))，eq \(OP3,\s\up7(―→))＋eq \(OP5,\s\up7(―→))，eq \(OP3,\s\up7(―→))＋eq \(OP6,\s\up7(―→))，eq \(OP3,\s\up7(―→))＋eq \(OP7,\s\up7(―→))，eq \(OP3,\s\up7(―→))＋eq \(OP8,\s\up7(―→))，eq \(OP4,\s\up7(―→))＋eq \(OP5,\s\up7(―→))，eq \(OP4,\s\up7(―→))＋eq \(OP6,\s\up7(―→))，eq \(OP4,\s\up7(―→))＋eq \(OP7,\s\up7(―→))，eq \(OP4,\s\up7(―→))＋eq \(OP8,\s\up7(―→))，eq \(OP5,\s\up7(―→))＋eq \(OP6,\s\up7(―→))，eq \(OP5,\s\up7(―→))＋eq \(OP7,\s\up7(―→))，eq \(OP5,\s\up7(―→))＋eq \(OP8,\s\up7(―→))，eq \(OP6,\s\up7(―→))＋eq \(OP7,\s\up7(―→))，eq \(OP6,\s\up7(―→))＋eq \(OP8,\s\up7(―→))，eq \(OP7,\s\up7(―→))＋eq \(OP8,\s\up7(―→))，共有28種．
點(diǎn)M(異于點(diǎn)O)落在坐標(biāo)軸上的結(jié)果有：eq \(OP1,\s\up7(―→))＋eq \(OP4,\s\up7(―→))，eq \(OP1,\s\up7(―→))＋eq \(OP8,\s\up7(―→))，eq \(OP2,\s\up7(―→))＋eq \(OP3,\s\up7(―→))，eq \(OP2,\s\up7(―→))＋eq \(OP7,\s\up7(―→))，eq \(OP3,\s\up7(―→))＋eq \(OP6,\s\up7(―→))，eq \(OP4,\s\up7(―→))＋eq \(OP5,\s\up7(―→))，eq \(OP5,\s\up7(―→))＋eq \(OP8,\s\up7(―→))，eq \(OP6,\s\up7(―→))＋eq \(OP7,\s\up7(―→))，共有8種，
所以點(diǎn)M(異于點(diǎn)O)落在坐標(biāo)軸上的概率為P＝eq \f(8,28)＝eq \f(2,7).故選D.
eq \a\vs4\al([課時(shí)跟蹤檢測(cè)])
一、基礎(chǔ)練——練手感熟練度
1．(多選)設(shè)a，b是非零向量，記a與b所成的角為θ，下列四個(gè)條件中，使eq \f(a,|a|)＝eq \f(b,|b|)成立的充要條件是( )
A．a(chǎn)∥b B．θ＝0
C．a(chǎn)＝2b D．θ＝π
解析：選BC eq \f(a,|a|)＝eq \f(b,|b|)等價(jià)于非零向量a與b同向共線，即θ＝0，故B正確．對(duì)于選項(xiàng)C，a＝2b，則a與b同向共線，故C正確．
2．設(shè)D，E，F(xiàn)分別為△ABC的三邊BC，CA，AB的中點(diǎn)，則eq \(EB,\s\up7(―→))＋eq \(FC,\s\up7(―→))＝( )
A．eq \(AD,\s\up7(―→)) B．eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up7(―→))
C.eq \f(1,2)eq \(BC,\s\up7(―→)) D．eq \(BC,\s\up7(―→))
解析：選A 由題意得eq \(EB,\s\up7(―→))＋eq \(FC,\s\up7(―→))＝eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up7(―→))＋eq \(CB,\s\up7(―→)))＋eq \f(1,2)(eq \(AC,\s\up7(―→))＋eq \(BC,\s\up7(―→)))＝eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up7(―→))＋eq \(AC,\s\up7(―→)))＝eq \(AD,\s\up7(―→)).
3．設(shè)a是非零向量，λ是非零實(shí)數(shù)，下列結(jié)論中正確的是( )
A．a(chǎn)與λa的方向相反 B．a(chǎn)與λ2a的方向相同
C．|－λa|≥|a| D．|－λa|≥|λ|·a
解析：選B 對(duì)于A，當(dāng)λ>0時(shí)，a與λa的方向相同，當(dāng)λ

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