新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)圓錐曲線重難點(diǎn)提升專題1 圓錐曲線的方程與軌跡方程（2份打包，原卷版+解析版）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

求圓錐曲線的方程,一般出現(xiàn)在圓錐曲線解答題的第（1）問,多用待定系數(shù)法,通過解方程確定待定系數(shù),考查頻率非常高,也比較容易得分；求圓錐曲線的軌跡方程一般用定義法,有時(shí)可用到直接法、相關(guān)點(diǎn)法、交軌法等,難度一般中等或中等以下.
二、解題秘籍
(一)用待定系數(shù)法求圓錐曲線的方程
1.求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的基本方法是待定系數(shù)法,具體過程是先定形,再定量,即首先確定焦點(diǎn)所在位置,然后再根據(jù)條件建立關(guān)于a,b的方程組．如果焦點(diǎn)位置不確定,要考慮是否有兩解,有時(shí)為了解題方便,也可把橢圓方程設(shè)為mx2＋ny2＝1(m>0,n>0,m≠n)的形式．
2.雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的形式,注意焦點(diǎn)F1,F2的位置是雙曲線定位的條件,它決定了雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的類型.“焦點(diǎn)跟著正項(xiàng)走”,若x2項(xiàng)的系數(shù)為正,則焦點(diǎn)在x軸上;若y2項(xiàng)的系數(shù)為正,那么焦點(diǎn)在y軸上.確定方程的形式后,然后再根據(jù)a,b,c,e及漸近線之間的關(guān)系,求出a,b的值, 當(dāng)雙曲線焦點(diǎn)的位置不確定時(shí),為了避免討論焦點(diǎn)的位置,常設(shè)雙曲線方程為Ax2＋By2＝1(A·B＜0),這樣可以簡化運(yùn)算.
3. 如果已知雙曲線的漸近線方程 SKIPIF 1 < 0 ,求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程,可設(shè)雙曲線方程為eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝λ(λ≠0),再由條件求出λ的值即可．與雙曲線eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0,b>0)有共同漸近線的方程可表示eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝λ(λ≠0)．
4. 利用待定系數(shù)法求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的步驟
(1)依據(jù)條件設(shè)出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的類型.
(2)求參數(shù)p的值.
(3)確定拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.
【例1】（2023屆山西省長治市高三上學(xué)期質(zhì)量檢測）已知點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 在橢圓 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ）上,且點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 到橢圓右頂點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 的距離為 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求橢圓 SKIPIF 1 < 0 的方程；
(2)若點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 是橢圓 SKIPIF 1 < 0 上不同的兩點(diǎn)（均異于 SKIPIF 1 < 0 ）且滿足直線 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 斜率之積為 SKIPIF 1 < 0 ．試判斷直線 SKIPIF 1 < 0 是否過定點(diǎn),若是,求出定點(diǎn)坐標(biāo),若不是,說明理由．
【解析】（1）點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ,在橢圓 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ）上代入得： SKIPIF 1 < 0 ,
點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 到橢圓右頂點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 的距離為 SKIPIF 1 < 0 ,則 SKIPIF 1 < 0 ,
解得 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
故橢圓 SKIPIF 1 < 0 的方程為 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）由題意,直線 SKIPIF 1 < 0 的斜率存在,可設(shè)直線 SKIPIF 1 < 0 的方程為 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ）, SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ．
聯(lián)立 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 ．
∴ SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
∵直線 SKIPIF 1 < 0 與直線 SKIPIF 1 < 0 斜率之積為 SKIPIF 1 < 0 ．
∴ SKIPIF 1 < 0 ,
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
化簡得 SKIPIF 1 < 0 ,
∴ SKIPIF 1 < 0 ,
化簡得 SKIPIF 1 < 0 ,解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ．
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí),直線 SKIPIF 1 < 0 方程為 SKIPIF 1 < 0 ,過定點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 代入判別式大于零中,解得 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ）．
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí),直線 SKIPIF 1 < 0 的方程為 SKIPIF 1 < 0 ,過定點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ,不符合題意．
綜上所述：直線 SKIPIF 1 < 0 過定點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ．
【點(diǎn)評(píng)】利用待定系數(shù)法求橢圓的方程,一般需要兩個(gè)獨(dú)立的條件確定關(guān)于 SKIPIF 1 < 0 的等式.
【例2】（2023屆廣東省開平市忠源紀(jì)念中學(xué)高三階段性檢測）已知雙曲線 SKIPIF 1 < 0 的離心率為 SKIPIF 1 < 0 ,點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上.
(1)求雙曲線 SKIPIF 1 < 0 的方程.
(2)設(shè)過點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 的直線 SKIPIF 1 < 0 與雙曲線 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 兩點(diǎn),問在 SKIPIF 1 < 0 軸上是否存在定點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ,使得 SKIPIF 1 < 0 為常數(shù)？若存在,求出點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 的坐標(biāo)以及該常數(shù)的值；若不存在,請(qǐng)說明理由.
【解析】（1）因?yàn)殡p曲線 SKIPIF 1 < 0 的離心率為 SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 ,化簡得 SKIPIF 1 < 0 .
將點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 的坐標(biāo)代入 SKIPIF 1 < 0 ,可得 SKIPIF 1 < 0 ,
解得 SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 的方程為 SKIPIF 1 < 0 .
（2）設(shè) SKIPIF 1 < 0 ,直線 SKIPIF 1 < 0 的方程為 SKIPIF 1 < 0 ,聯(lián)立方程組 SKIPIF 1 < 0 消去 SKIPIF 1 < 0 得（1- SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ,
由題可知 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 .
設(shè)存在符合條件的定點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ,則 SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 .
所以 SKIPIF 1 < 0 ,
化簡得 SKIPIF 1 < 0 .
因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 為常數(shù),所以 SKIPIF 1 < 0 ,解得 SKIPIF 1 < 0 .
此時(shí)該常數(shù)的值為 SKIPIF 1 < 0 ,
所以,在 SKIPIF 1 < 0 軸上存在點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ,使得 SKIPIF 1 < 0 為常數(shù),該常數(shù)為 SKIPIF 1 < 0 .
【點(diǎn)評(píng)】求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的基本方法是待定系數(shù)法．具體過程是先定形,再定量,即先確定雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的形式,然后再根據(jù)a,b,c,e及漸近線之間的關(guān)系,求出a,b的值．注意用待定系數(shù)法確定雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程要注意方程的個(gè)數(shù)要與未知數(shù)的個(gè)數(shù)相等.
【例3】（2023屆甘肅省張掖市高三上學(xué)期診斷）已知拋物線 SKIPIF 1 < 0 上的點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 到其焦點(diǎn)F的距離為 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求拋物線C的方程；
(2)點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 在拋物線C上,過點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 的直線l與拋物線C交于 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 兩點(diǎn),點(diǎn)H與點(diǎn)A關(guān)于x軸對(duì)稱,直線AH分別與直線OE,OB交于點(diǎn)M,N(O為坐標(biāo)原點(diǎn)),求證： SKIPIF 1 < 0 .
【解析】（1）由點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 在拋物線上可得, SKIPIF 1 < 0 ,解得 SKIPIF 1 < 0 .
由拋物線的定義可得 SKIPIF 1 < 0 ,整理得 SKIPIF 1 < 0 ,解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 (舍去).
故拋物線C的方程為 SKIPIF 1 < 0 .
（2）由 SKIPIF 1 < 0 在拋物線C上可得 SKIPIF 1 < 0 ,解得 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 ,
直線OE的方程為 SKIPIF 1 < 0 ,
因?yàn)辄c(diǎn) SKIPIF 1 < 0 和點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 關(guān)于 SKIPIF 1 < 0 軸對(duì)稱,所以 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 均不為0.
由題意知直線l的斜率存在且大于0,
設(shè)直線l的方程為 SKIPIF 1 < 0 ,
聯(lián)立 SKIPIF 1 < 0 消去y,得 SKIPIF 1 < 0 .
則 SKIPIF 1 < 0 ,得 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 .
由直線OE的方程為 SKIPIF 1 < 0 ,得 SKIPIF 1 < 0 .
易知直線OB的方程為 SKIPIF 1 < 0 ,故 SKIPIF 1 < 0 .
要證 SKIPIF 1 < 0 ,即證 SKIPIF 1 < 0 ,
即證 SKIPIF 1 < 0 ,即證 SKIPIF 1 < 0 ,
即證 SKIPIF 1 < 0 ,則 SKIPIF 1 < 0 ,此等式顯然成立,
所以 SKIPIF 1 < 0 .
【點(diǎn)評(píng)】用待定系數(shù)法求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程,只需要確定p的值,因此只需要由已知條件整理出一個(gè)關(guān)于p的等式.
(二)直接法求曲線軌跡方程
1.直接法求曲線方程的關(guān)鍵就是把幾何條件或等量關(guān)系翻譯為代數(shù)方程,要注意翻譯的等價(jià)性．通常將步驟簡記為建系、設(shè)點(diǎn)、列式、代換、化簡、證明這幾個(gè)步驟,但最后的證明可以省略．
2.求出曲線的方程后還需注意檢驗(yàn)方程的純粹性和完備性．
3.對(duì)方程化簡時(shí),要保證前后方程解集相同,必要時(shí)可說明x,y的取值范圍．
【例4】設(shè)動(dòng)點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 在直線 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 上的射影分別為點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ,已知 SKIPIF 1 < 0 ,其中 SKIPIF 1 < 0 為坐標(biāo)原點(diǎn).
（1）求動(dòng)點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 的軌跡 SKIPIF 1 < 0 的方程；
（2）過直線 SKIPIF 1 < 0 上的一點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 作軌跡 SKIPIF 1 < 0 的兩條切線 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ( SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 為切點(diǎn)),求證：直線 SKIPIF 1 < 0 經(jīng)過定點(diǎn).
【分析】（1）利用直接法求軌跡方程,設(shè) SKIPIF 1 < 0 ,把 SKIPIF 1 < 0 坐標(biāo)化,即可得到動(dòng)點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 的軌跡 SKIPIF 1 < 0 的方程；
（2）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義,求得切線斜率,設(shè) SKIPIF 1 < 0 ,可得切線 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的方程,聯(lián)立可得切點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 的坐標(biāo)為 SKIPIF 1 < 0 ,又點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 在直線 SKIPIF 1 < 0 上,代入可得 SKIPIF 1 < 0 ,再代入到直線 SKIPIF 1 < 0 的方程即可得解.
【解析】（1）設(shè) SKIPIF 1 < 0 ,則 SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 ,
由條件可得 SKIPIF 1 < 0 ,
整理可得點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 的軌方程為 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）由（1）知, SKIPIF 1 < 0 ,求導(dǎo)可得 SKIPIF 1 < 0 ,
設(shè) SKIPIF 1 < 0 ,
則切線 SKIPIF 1 < 0 的方程為 SKIPIF 1 < 0 ,
即 SKIPIF 1 < 0 ①,
同理可得切線 SKIPIF 1 < 0 的方程為 SKIPIF 1 < 0 ②,
聯(lián)立①②,解得點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 的坐標(biāo)為 SKIPIF 1 < 0 ,
因?yàn)辄c(diǎn) SKIPIF 1 < 0 在直線 SKIPIF 1 < 0 上,
所以 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 ,
又直線 SKIPIF 1 < 0 的斜率 SKIPIF 1 < 0 ,
所以直線 SKIPIF 1 < 0 的方程為： SKIPIF 1 < 0 ,
即 SKIPIF 1 < 0 ,又 SKIPIF 1 < 0 ,
代入可得 SKIPIF 1 < 0 ,
所以直線 SKIPIF 1 < 0 過定點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 .
【點(diǎn)評(píng)】利用直接法求曲線的軌跡方程一般是根據(jù)題中的一個(gè)等量關(guān)系式,將其坐標(biāo)化,即可得到曲線的軌跡方程.
(三)定義法求曲線軌跡方程
1.運(yùn)用圓錐曲線的定義求軌跡方程,可從曲線定義出發(fā)直接寫出方程,或從曲線定義出發(fā)建立關(guān)系式,從而求出方程．
2.定義法和待定系數(shù)法適用于已知曲線的軌跡類型,利用條件把待定系數(shù)求出來,使問題得解．
3. 平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1,F2的距離之和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓．這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn),兩焦點(diǎn)間的距離叫做橢圓的焦距．
集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a},|F1F2|＝2c,其中a>0,c>0,且a,c為常數(shù)：
(1)若a>c,則集合P為橢圓；
(2)若a＝c,則集合P為線段；
(3)若a0,c>0.
(1)當(dāng)2a|F1F2|時(shí),P點(diǎn)不存在．
5. 平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線l(l不經(jīng)過點(diǎn)F)的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線．點(diǎn)F叫做拋物線的焦點(diǎn),直線l叫做拋物線的準(zhǔn)線．
注意：
(1)定直線l不經(jīng)過定點(diǎn)F.
(2)定義中包含三個(gè)定值,分別為一個(gè)定點(diǎn),一條定直線及一個(gè)確定的比值.
【例5】（2023屆河北省示范性高中高三上學(xué)期調(diào)研）已知圓A： SKIPIF 1 < 0 ,直線l（與x軸不重合）過點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 交圓A于C、D兩點(diǎn),過點(diǎn)B作直線 SKIPIF 1 < 0 的平行線交直線 SKIPIF 1 < 0 于點(diǎn)E.
(1)證明 SKIPIF 1 < 0 為定值,并求點(diǎn)E的軌跡方程；
(2)設(shè)點(diǎn)E的軌跡方程為 SKIPIF 1 < 0 ,直線l與曲線 SKIPIF 1 < 0 交于M、N兩點(diǎn),線段 SKIPIF 1 < 0 的垂直平分線交x軸于點(diǎn)P,是否存在實(shí)常數(shù)入,使得 SKIPIF 1 < 0 ,若存在,求出 SKIPIF 1 < 0 的值；若不存在,請(qǐng)說明理由.
【解析】（1） SKIPIF 1 < 0 ,得 SKIPIF 1 < 0 ,
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí),如圖1所示,
因?yàn)镈,C都在圓A上
所以 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0
又因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 ,∴ SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí),如圖2所示,
同理可得, SKIPIF 1 < 0
因此 SKIPIF 1 < 0 ,所以點(diǎn)E的軌跡是以A,B為焦點(diǎn)的雙曲線,
故 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 ,
∴ SKIPIF 1 < 0 為定值2,且點(diǎn)E的軌跡方程為 SKIPIF 1 < 0 .
（2）由題知,直線l的斜率不為0,設(shè)l： SKIPIF 1 < 0 ,
聯(lián)立 SKIPIF 1 < 0 消去x得, SKIPIF 1 < 0 ,
于是 SKIPIF 1 < 0 ,
設(shè) SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,則有 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
故 SKIPIF 1 < 0 ,
所以線段 SKIPIF 1 < 0 的中點(diǎn)為 SKIPIF 1 < 0 ,
從而線段 SKIPIF 1 < 0 的中垂線的方程為 SKIPIF 1 < 0
令 SKIPIF 1 < 0 得, SKIPIF 1 < 0 ,∴ SKIPIF 1 < 0
又 SKIPIF 1 < 0
故 SKIPIF 1 < 0 ,于是 SKIPIF 1 < 0
即存在 SKIPIF 1 < 0 使得 SKIPIF 1 < 0 .
【點(diǎn)評(píng)】利用雙曲線定義求軌跡方程,關(guān)鍵是利用題中條件,確定動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)距離之差的絕對(duì)值為定值.
【例6】已知一定點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ,及一定直線l： SKIPIF 1 < 0 ,以動(dòng)點(diǎn)M為圓心的圓M過點(diǎn)F,且與直線l相切．
（1）求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡C的方程；
（2）設(shè)P在直線l上,直線PA,PB分別與曲線C相切于A,B,N為線段AB的中點(diǎn)．求證： SKIPIF 1 < 0 ,且直線AB恒過定點(diǎn)．
【解析】（1）動(dòng)點(diǎn)M為圓心的圓M過點(diǎn)F,且與直線l相切,
動(dòng)圓圓心到定點(diǎn)F（0,1）與定直線y=-1的距離相等,
∴動(dòng)圓圓心的軌跡為拋物線,其中F（0,1）為焦點(diǎn),y=-1為準(zhǔn)線,
SKIPIF 1 < 0 ,∴動(dòng)圓圓心軌跡方程為x2=4y．
（2）依題意可設(shè) SKIPIF 1 < 0 ,
又 SKIPIF 1 < 0
故切線 SKIPIF 1 < 0 的斜率為 SKIPIF 1 < 0 ,
故切線 SKIPIF 1 < 0
同理可得到切線 SKIPIF 1 < 0
又 SKIPIF 1 < 0 ,∴ SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ,
故方程 SKIPIF 1 < 0 有兩根 SKIPIF 1 < 0 ∴ SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
又 SKIPIF 1 < 0 為線段 SKIPIF 1 < 0 的中點(diǎn), SKIPIF 1 < 0
又由 SKIPIF 1 < 0 得到： SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0
同理可得到 SKIPIF 1 < 0 ,
故直線AB方程為： SKIPIF 1 < 0 ,故直線過定點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 .
【點(diǎn)評(píng)】利用拋物線定義求軌跡方程關(guān)鍵是確定動(dòng)點(diǎn)到一定點(diǎn)與定直線距離相等.
(四)相關(guān)點(diǎn)法求曲線軌跡方程
“相關(guān)點(diǎn)法”求軌跡方程的基本步驟
(1)設(shè)點(diǎn)：設(shè)被動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)為(x,y),主動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)為(x1,y1)；
(2)求關(guān)系式：求出兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系式eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x1＝f?x，y?，,y1＝g?x，y?；))
(3)代換：將上述關(guān)系式代入已知曲線方程,便可得到所求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程．
【例7】（2023屆廣東省揭陽市高三上學(xué)期調(diào)研）已知 SKIPIF 1 < 0 ? SKIPIF 1 < 0 是橢圓 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 的左?右焦點(diǎn),點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)．
(1)求 SKIPIF 1 < 0 的重心 SKIPIF 1 < 0 的軌跡方程；
(2)設(shè)點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的內(nèi)切圓圓心,求證： SKIPIF 1 < 0 ．
【解析】（1）連接 SKIPIF 1 < 0 ,由三角形重心性質(zhì)知 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 的三等分點(diǎn)處（靠近原點(diǎn)）
設(shè) SKIPIF 1 < 0 ,則有 SKIPIF 1 < 0
又 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 的重心 SKIPIF 1 < 0 的軌跡方程為 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）根據(jù)對(duì)稱性,不妨設(shè)點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 在第一象限內(nèi),易知圓 SKIPIF 1 < 0 的半徑為等于 SKIPIF 1 < 0 ,
利用等面積法有： SKIPIF 1 < 0
結(jié)合橢圓定義： SKIPIF 1 < 0
有 SKIPIF 1 < 0 ,解得 SKIPIF 1 < 0
由 SKIPIF 1 < 0 ? SKIPIF 1 < 0 兩點(diǎn)的坐標(biāo)可知直線 SKIPIF 1 < 0 的方程為 SKIPIF 1 < 0
根據(jù)圓心 SKIPIF 1 < 0 到直線 SKIPIF 1 < 0 的距離等于半徑,有 SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ,∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ,又 SKIPIF 1 < 0
化簡得 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0
由已知得 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,則 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 ．
(五)交軌法求曲線軌跡方程
求兩曲線的交點(diǎn)軌跡時(shí),可由方程直接消去參數(shù),或者先引入?yún)?shù)來建立這些動(dòng)曲線的聯(lián)系,然后消去參數(shù)來得到軌跡方程,稱之交軌法.若動(dòng)點(diǎn)是兩曲線的交點(diǎn),可以通過這兩曲線的方程直接求出交點(diǎn)的軌跡方程,也可以解方程組先求出交點(diǎn)坐標(biāo)的參數(shù)方程,再化為普通方程.
【例8】（2022屆重慶市第八中學(xué)高三上學(xué)期月考）已知拋物線 SKIPIF 1 < 0 ,過點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 的直線交拋物線 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 兩點(diǎn),以 SKIPIF 1 < 0 為切點(diǎn)分別作拋物線 SKIPIF 1 < 0 的兩條切線交于點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 .
（1）若線段 SKIPIF 1 < 0 的中點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 的縱坐標(biāo)為 SKIPIF 1 < 0 ,求直線 SKIPIF 1 < 0 的方程；
（2）求動(dòng)點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 的軌跡.
【分析】（1）聯(lián)立直線與拋物線,根據(jù)韋達(dá)定理及中點(diǎn)求出k即可；
（2）寫出圓的切線方程,根據(jù)P是交點(diǎn)可得 SKIPIF 1 < 0 是方程 SKIPIF 1 < 0 的兩根,由（1）中 SKIPIF 1 < 0 代入化簡即可求出.
【解析】（1）依題意有：直線 SKIPIF 1 < 0 的斜率必存在,故可設(shè)直線 SKIPIF 1 < 0 的方程為 SKIPIF 1 < 0
由 SKIPIF 1 < 0 可得： SKIPIF 1 < 0 .
設(shè) SKIPIF 1 < 0 ,則有 SKIPIF 1 < 0
于是： SKIPIF 1 < 0 ,解得 SKIPIF 1 < 0 ,
故直線 SKIPIF 1 < 0 的方程為 SKIPIF 1 < 0
（2）設(shè) SKIPIF 1 < 0 ,對(duì)于拋物線 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0
于是： SKIPIF 1 < 0 點(diǎn)處切線方程為 SKIPIF 1 < 0 ,
點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 在該切線上,故 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 .
同理： SKIPIF 1 < 0 點(diǎn)坐標(biāo)也滿足 SKIPIF 1 < 0
于是： SKIPIF 1 < 0 是方程 SKIPIF 1 < 0 的兩根,
所以 SKIPIF 1 < 0
又由（1）可知： SKIPIF 1 < 0 ,
于是 SKIPIF 1 < 0 ,消k得 SKIPIF 1 < 0 ,于是 SKIPIF 1 < 0 的軌跡方程為 SKIPIF 1 < 0 ,點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 的軌跡是一條直線.
【點(diǎn)評(píng)】求兩條動(dòng)直線交點(diǎn)軌跡方程一般用交軌法
三、跟蹤檢測
1．（2023屆廣東省廣東廣雅中學(xué)高三上學(xué)期9月階段測試）已知橢圓 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ）的離心率為 SKIPIF 1 < 0 ．圓 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 為坐標(biāo)原點(diǎn)）在橢圓 SKIPIF 1 < 0 的內(nèi)部,半徑為 SKIPIF 1 < 0 ． SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 分別為橢圓 SKIPIF 1 < 0 和圓 SKIPIF 1 < 0 上的動(dòng)點(diǎn),且 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 兩點(diǎn)的最小距離為 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求橢圓 SKIPIF 1 < 0 的方程；
(2) SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 是橢圓 SKIPIF 1 < 0 上不同的兩點(diǎn),且直線 SKIPIF 1 < 0 與以 SKIPIF 1 < 0 為直徑的圓的一個(gè)交點(diǎn)在圓 SKIPIF 1 < 0 上．求證：以 SKIPIF 1 < 0 為直徑的圓過定點(diǎn)．
2．（2023屆山西省忻州市高三上學(xué)期聯(lián)考）已知雙曲線 SKIPIF 1 < 0 的離心率是 SKIPIF 1 < 0 ,點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 是雙曲線 SKIPIF 1 < 0 的一個(gè)焦點(diǎn),且點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 到雙曲線 SKIPIF 1 < 0 的一條漸近線的距離是2.
(1)求雙曲線 SKIPIF 1 < 0 的標(biāo)準(zhǔn)方程.
(2)設(shè)點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 在直線 SKIPIF 1 < 0 上,過點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 作兩條直線 SKIPIF 1 < 0 ,直線 SKIPIF 1 < 0 與雙曲線 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 兩點(diǎn),直線 SKIPIF 1 < 0 與雙曲線 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 兩點(diǎn).若直線 SKIPIF 1 < 0 與直線 SKIPIF 1 < 0 的傾斜角互補(bǔ),證明： SKIPIF 1 < 0 .
3．（2023屆廣東省茂名市高三上學(xué)期9月大聯(lián)考）如圖,平面直角坐標(biāo)系 SKIPIF 1 < 0 中,點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 為 SKIPIF 1 < 0 軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),動(dòng)點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 滿足 SKIPIF 1 < 0 ,又點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 滿足 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求動(dòng)點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 的軌跡 SKIPIF 1 < 0 的方程；
(2)過曲線 SKIPIF 1 < 0 上的點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ）的直線 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 軸的交點(diǎn)分別為 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ,且 SKIPIF 1 < 0 ,過原點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 的直線與 SKIPIF 1 < 0 平行,且與曲線 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 兩點(diǎn),求 SKIPIF 1 < 0 面積的最大值.
4．（2023屆湖南省永州市高三上學(xué)期適應(yīng)性考試）點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 在雙曲線 SKIPIF 1 < 0 上,離心率 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求雙曲線 SKIPIF 1 < 0 的方程；
(2) SKIPIF 1 < 0 是雙曲線 SKIPIF 1 < 0 上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)（異于點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ）, SKIPIF 1 < 0 分別表示直線 SKIPIF 1 < 0 的斜率,滿足 SKIPIF 1 < 0 ,求證：直線 SKIPIF 1 < 0 恒過一個(gè)定點(diǎn),并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).
5．（2023屆福建師范大學(xué)附屬中學(xué)高三上學(xué)期月考）在平面直角坐標(biāo)系 SKIPIF 1 < 0 中, 設(shè)點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 , 點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 兩點(diǎn)的距離之和為 SKIPIF 1 < 0 為一動(dòng)點(diǎn), 點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 滿足向量關(guān)系式： SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 的軌跡方程 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)設(shè) SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 軸交于點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ( SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 的左側(cè)), 點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 為 SKIPIF 1 < 0 上一動(dòng)點(diǎn) (且不與 SKIPIF 1 < 0 重合)．設(shè)直線 SKIPIF 1 < 0 軸與直線 SKIPIF 1 < 0 分別交于點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ,取 SKIPIF 1 < 0 ,連接 SKIPIF 1 < 0 ,證明： SKIPIF 1 < 0 為 SKIPIF 1 < 0 的角平分線．
6．（2023屆云南省大理市轄區(qū)高三統(tǒng)一檢測）已知 SKIPIF 1 < 0 為橢圓C的左、右焦點(diǎn),點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 為其上一點(diǎn),且 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)過點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 的直線l與橢圓C相交于P,Q兩點(diǎn),點(diǎn)P關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)R,試問 SKIPIF 1 < 0 的面積是否存在最大值？若存在,求出這個(gè)最大值；若不存在,請(qǐng)說明理由．
7．（2022屆福建省福州第十八中學(xué)高三上學(xué)期考試）已知拋物線 SKIPIF 1 < 0 的焦點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 到準(zhǔn)線的距離為2．
(1)求 SKIPIF 1 < 0 的方程；
(2)已知 SKIPIF 1 < 0 為坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上,點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 滿足 SKIPIF 1 < 0 ,求直線 SKIPIF 1 < 0 斜率的最大值．
8．（2023屆陜西師范大學(xué)附屬中學(xué)、渭北中學(xué)等高三上學(xué)期聯(lián)考）已知拋物線 SKIPIF 1 < 0 ,O是坐標(biāo)原點(diǎn),F是C的焦點(diǎn),M是C上一點(diǎn), SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)設(shè)點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 在C上,過Q作兩條互相垂直的直線 SKIPIF 1 < 0 ,分別交C于A,B兩點(diǎn)（異于Q點(diǎn)）．證明：直線 SKIPIF 1 < 0 恒過定點(diǎn)．
9．（2023屆廣東省潮陽實(shí)驗(yàn)、湛江一中、深圳實(shí)驗(yàn)三校高三上學(xué)期9月聯(lián)考）已知橢圓 SKIPIF 1 < 0 的離心率為 SKIPIF 1 < 0 ,橢圓上一動(dòng)點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 與左?右焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形面積最大值為 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求橢圓 SKIPIF 1 < 0 的方程；
(2)設(shè)橢圓 SKIPIF 1 < 0 的左?右頂點(diǎn)分別為 SKIPIF 1 < 0 ,直線 SKIPIF 1 < 0 交橢圓 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 兩點(diǎn),記直線 SKIPIF 1 < 0 的斜率為 SKIPIF 1 < 0 ,直線 SKIPIF 1 < 0 的斜率為 SKIPIF 1 < 0 ,已知 SKIPIF 1 < 0 .
①求證：直線 SKIPIF 1 < 0 恒過定點(diǎn)；
②設(shè) SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的面積分別為 SKIPIF 1 < 0 ,求 SKIPIF 1 < 0 的最大值.
10．（2022屆云南省紅河州高三檢測）在平面直角坐標(biāo)系 SKIPIF 1 < 0 中,點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 是以原點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 為圓心,半徑為 SKIPIF 1 < 0 的圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).以原點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 為圓心,半徑為 SKIPIF 1 < 0 的圓與線段 SKIPIF 1 < 0 交于點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ,作 SKIPIF 1 < 0 軸于點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ,作 SKIPIF 1 < 0 于點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 .
（1）令 SKIPIF 1 < 0 ,若 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,求點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 的坐標(biāo)；
（2）若點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 的軌跡為曲線 SKIPIF 1 < 0 ,求曲線 SKIPIF 1 < 0 的方程；
（3）設(shè)（2）中的曲線 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 軸的正半軸交于點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ,與 SKIPIF 1 < 0 軸的正負(fù)半軸分別交于點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,若點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ? SKIPIF 1 < 0 分別滿足 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,證明直線 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的交點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 在曲線 SKIPIF 1 < 0 上.
11.（2022屆廣東省六校高三上學(xué)期聯(lián)考）在平面直角坐標(biāo)系 SKIPIF 1 < 0 中,已知圓 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,動(dòng)圓 SKIPIF 1 < 0 經(jīng)過點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 且與圓 SKIPIF 1 < 0 相外切,記動(dòng)圓的圓點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 的軌跡為 SKIPIF 1 < 0 .
（1）求 SKIPIF 1 < 0 的方程；
（2）試問,在 SKIPIF 1 < 0 軸上是否存在點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ,使得過點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 的動(dòng)直線 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 兩點(diǎn)時(shí),恒有 SKIPIF 1 < 0 ？若存在,求出點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 的坐標(biāo)；若不存在,請(qǐng)說明理由.
12.（2022屆廣東省高三上學(xué)期12月大聯(lián)考）已知圓 SKIPIF 1 < 0 的圓心為 SKIPIF 1 < 0 ,點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 是圓 SKIPIF 1 < 0 上的動(dòng)點(diǎn),點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 是拋物線 SKIPIF 1 < 0 的焦點(diǎn),點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 在線段 SKIPIF 1 < 0 上,且滿足 SKIPIF 1 < 0 .
（1）求點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 的軌跡 SKIPIF 1 < 0 的方程；
（2）不過原點(diǎn)的直線 SKIPIF 1 < 0 與（1）中軌跡 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 兩點(diǎn),若線段 SKIPIF 1 < 0 的中點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 在拋物線 SKIPIF 1 < 0 上,求直線 SKIPIF 1 < 0 的斜率 SKIPIF 1 < 0 的取值范圍.

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