新高考數(shù)學二輪復習圓錐曲線重難點提升專題10 圓錐曲線與向量的交匯（2份打包，原卷版+解析版）-試卷下載-教習網(wǎng)

平面向量與圓錐曲線的交匯是高考命題的一個顯著特征,這類試題的常規(guī)形式是用向量形式給出某些條件或結論,其難點往往不在向量上,對向量部分只需運用向量基礎知識即可實現(xiàn)相應轉(zhuǎn)化.平面向量作為工具可以處理圓錐曲線中的長度、角度、共線、垂直、射影等許多問題,使得這類問題成為高考命題的一個熱點,且時常出現(xiàn)在解答題中.
二、解題秘籍
(一) 圓錐曲線中常見的向量條件及求解圓錐曲線與向量問題的策略
1.設 SKIPIF 1 < 0 為直線l的方向向量,若 SKIPIF 1 < 0 ,則l斜率為k；若 SKIPIF 1 < 0 （m≠0）,則l斜率為 SKIPIF 1 < 0 ；
2.A、B、C是平面內(nèi)不重合的三點,若有下列條件之一,則A、B、C共線: SKIPIF 1 < 0 = 1 \* GB3 ① SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ; = 2 \* GB3 ② SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 + SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 + SKIPIF 1 < 0 =1; = 3 \* GB3 ③ SKIPIF 1 < 0 =( SKIPIF 1 < 0 + SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 )/(1+ SKIPIF 1 < 0 )； = 4 \* GB3 ④ SKIPIF 1 < 0 ∥ SKIPIF 1 < 0 .
3.A、B、C是平面內(nèi)不重合的三點,若有下列條件之一,則C為線段AB的中點: = 1 \* GB3 ① SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 ; = 2 \* GB3 ② SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 ( SKIPIF 1 < 0 + SKIPIF 1 < 0 ).
4.在四邊形ABCD中,若 SKIPIF 1 < 0 ? SKIPIF 1 < 0 =0,則AB?AC;若∣ SKIPIF 1 < 0 + SKIPIF 1 < 0 ∣=∣ SKIPIF 1 < 0 - SKIPIF 1 < 0 ∣,則AB?AD;若 SKIPIF 1 < 0 ? SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 ? SKIPIF 1 < 0 ,則AC?BD.
5.圓錐曲線中涉及向量相等,通常利用橫坐標或縱坐標相等進行轉(zhuǎn)化,涉及向量共線問題,通項利用非零向量 SKIPIF 1 < 0 共線 SKIPIF 1 < 0 轉(zhuǎn)化,涉及向量的數(shù)量積,通常利用數(shù)量積的坐標運算進行轉(zhuǎn)化.
6.圓錐曲線中兩直線垂直問題,通常轉(zhuǎn)化為兩直線的方向向量的數(shù)量積為零,這樣做可避免討論直線的斜率是否存在.
7.圓錐曲線中涉及數(shù)量積問題,通常利用數(shù)量積的坐標運算把所給條件轉(zhuǎn)化為關于橫（縱）坐標的表達式.
【例1】（2023屆黑龍江省雞西市雞東縣高三上學期月考）已知兩點 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,動點 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 軸的投影為 SKIPIF 1 < 0 ,且 SKIPIF 1 < 0 ,記動點 SKIPIF 1 < 0 的軌跡為曲線 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求 SKIPIF 1 < 0 的方程.
(2)過點 SKIPIF 1 < 0 的直線與曲線 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 軸右側(cè)相交于 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 兩點,線段 SKIPIF 1 < 0 的垂直平分線與 SKIPIF 1 < 0 軸相交于點 SKIPIF 1 < 0 ,試問 SKIPIF 1 < 0 是否為定值？若是,求出該定值；若不是,請說明理由.
【解析】（1）設 SKIPIF 1 < 0 ,則 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 .
因為 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 ,
故 SKIPIF 1 < 0 的方程為 SKIPIF 1 < 0 .
（2）由題可知直線 SKIPIF 1 < 0 的斜率一定存在,且不為0,
不妨設直線 SKIPIF 1 < 0 的方程為 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 .
聯(lián)立方程組 SKIPIF 1 < 0 ,消去 SKIPIF 1 < 0 整理得 SKIPIF 1 < 0 ,
則 SKIPIF 1 < 0 ,整理得 SKIPIF 1 < 0 .
SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
則線段 SKIPIF 1 < 0 的垂直平分線的方程為 SKIPIF 1 < 0 ,
令 SKIPIF 1 < 0 ,得 SKIPIF 1 < 0 ,則 SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 .
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
則 SKIPIF 1 < 0 .
故 SKIPIF 1 < 0 是定值,該定值為 SKIPIF 1 < 0 .
(二) 把點共線問題轉(zhuǎn)化為向量共線
此類問題通常是把點 SKIPIF 1 < 0 共線轉(zhuǎn)化為 SKIPIF 1 < 0 ,或點C在直線AB上.
【例2】（2022屆新疆昌吉教育體系高三上學期診斷）已知橢圓 SKIPIF 1 < 0 的左?右頂點分別為 SKIPIF 1 < 0 ,右焦點為F（1,0）,且橢圓C的離心率為 SKIPIF 1 < 0 ,M,N為橢圓C上任意兩點,點P的坐標為（4,t）（t≠0）,且滿足 SKIPIF 1 < 0 .
（1）求橢圓C的方程；
（2）證明：M,F,N三點共線.
【解析】（1）橢圓C的右焦點為 SKIPIF 1 < 0 ,且離心率為 SKIPIF 1 < 0 ,
∴a=2,c=1,則b2=a2-c2=3,
∴橢圓C的方程為 SKIPIF 1 < 0 .
（2）由（1）知, SKIPIF 1 < 0 的坐標分別為 SKIPIF 1 < 0 ,設 SKIPIF 1 < 0 ,
∴ SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
∵ SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
∴ SKIPIF 1 < 0 三點共線, SKIPIF 1 < 0 三點共線,即 SKIPIF 1 < 0 ,整理得 SKIPIF 1 < 0 ,兩邊平方得 SKIPIF 1 < 0 ,①又M,N在橢圓上,則 SKIPIF 1 < 0 ,代入①并化簡得 SKIPIF 1 < 0 ,
又 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
∴要證M,F,N三點共線,只需證 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 ,只需證 SKIPIF 1 < 0 ,整理得 SKIPIF 1 < 0 ,
∴M,F,N三點共線.
(三) 利用向量共線求雙變量的關系式
此類問題一般是給出形如 SKIPIF 1 < 0 的條件,確定關于 SKIPIF 1 < 0 的等式,求解思路是利用兩向量相等橫坐標與縱坐標分別相等（注意一般情況下橫坐標相等與縱坐標相等,使用一個即可,解題時哪一個簡單使用哪一個）,把 SKIPIF 1 < 0 用其他變量（若點的橫坐標或縱坐標）表示,再利用題中條件消去其他變量.
【例3】（2023屆甘肅省張掖市高三上學期檢測）橢圓 SKIPIF 1 < 0 的方程為 SKIPIF 1 < 0 ,過橢圓左焦點 SKIPIF 1 < 0 且垂直于 SKIPIF 1 < 0 軸的直線在第二象限與橢圓相交于點 SKIPIF 1 < 0 ,橢圓的右焦點為 SKIPIF 1 < 0 ,已知 SKIPIF 1 < 0 ,橢圓過點 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求橢圓 SKIPIF 1 < 0 的標準方程；
(2)過橢圓 SKIPIF 1 < 0 的右焦點 SKIPIF 1 < 0 作直線 SKIPIF 1 < 0 交橢圓 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 兩點,交 SKIPIF 1 < 0 軸于 SKIPIF 1 < 0 點,若 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,求證： SKIPIF 1 < 0 為定值．
【解析】（1）依題可知： SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 ,
解得 SKIPIF 1 < 0
又∵橢圓 SKIPIF 1 < 0 過點 SKIPIF 1 < 0 ,則 SKIPIF 1 < 0
聯(lián)立 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ,
橢圓 SKIPIF 1 < 0 的標準方程為 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）設點 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
由題意可知,直線 SKIPIF 1 < 0 的斜率存在,可設直線 SKIPIF 1 < 0 的方程為 SKIPIF 1 < 0 ,
聯(lián)立 SKIPIF 1 < 0 ,可得 SKIPIF 1 < 0 ,
由于點 SKIPIF 1 < 0 在橢圓 SKIPIF 1 < 0 的內(nèi)部,直線 SKIPIF 1 < 0 與橢圓 SKIPIF 1 < 0 必有兩個交點,
由韋達定理可得 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
得 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 ．
(四) 利用向量加法的幾何意義構造平行四邊形
若點 SKIPIF 1 < 0 滿足 SKIPIF 1 < 0 ,則四邊形ABCD是平行四邊形,涉及圓錐曲線中的平行四邊形要注意對邊長度相等、斜率相等,兩對角線中點為同一個點等條件的應用.
【例4】（2023屆四川省廣安市岳池縣高三上學期10月月考）已知橢圓 SKIPIF 1 < 0 經(jīng)過點 SKIPIF 1 < 0 ,左焦點 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求橢圓 SKIPIF 1 < 0 的方程；
(2)過點 SKIPIF 1 < 0 作直線 SKIPIF 1 < 0 與橢圓 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 兩點,點 SKIPIF 1 < 0 滿足 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 為原點）,求四邊形 SKIPIF 1 < 0 面積的最大值.
【解析】（1）設橢圓的焦距為 SKIPIF 1 < 0 ,則 SKIPIF 1 < 0 ,
又因為橢圓經(jīng)過點 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 ,
又 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
所以橢圓 SKIPIF 1 < 0 的方程為 SKIPIF 1 < 0 .
（2）因為 SKIPIF 1 < 0 ,所以四邊形 SKIPIF 1 < 0 為平行四邊形,
當直線 SKIPIF 1 < 0 的斜率不存在時,顯然不符合題意；
當直線 SKIPIF 1 < 0 的斜率存在時,設直線 SKIPIF 1 < 0 的方程為 SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 與橢圓交于 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 兩點,
由 SKIPIF 1 < 0 .
由 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ,
令 SKIPIF 1 < 0 ,則 SKIPIF 1 < 0 （由上式知 SKIPIF 1 < 0 ）,
SKIPIF 1 < 0 ,當且僅當 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 時取等號.
∴當 SKIPIF 1 < 0 時,平行四邊形 SKIPIF 1 < 0 的面積最大值為2.
(五) 把向量的數(shù)量積轉(zhuǎn)化為代數(shù)式
若圓錐曲線問題有用向量數(shù)量積給出的條件,通常是利用向量數(shù)量積的坐標運算進行轉(zhuǎn)化.
【例5】（2023屆廣東省荔灣區(qū)高三上學期10月調(diào)研）已知雙曲線 SKIPIF 1 < 0 的右焦點為 SKIPIF 1 < 0 為坐標原點,雙曲線 SKIPIF 1 < 0 的兩條漸近線的夾角為 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求雙曲線 SKIPIF 1 < 0 的方程；
(2)過點 SKIPIF 1 < 0 作直線 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 兩點,在 SKIPIF 1 < 0 軸上是否存在定點 SKIPIF 1 < 0 ,使 SKIPIF 1 < 0 為定值？若存在,求出定點 SKIPIF 1 < 0 的坐標及這個定值；若不存在,說明理由．
【解析】（1）雙曲線 SKIPIF 1 < 0 的漸近線為 SKIPIF 1 < 0 ,
又 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,故其漸近線 SKIPIF 1 < 0 的傾斜角小于 SKIPIF 1 < 0 ,而雙曲線 SKIPIF 1 < 0 的兩條漸近線的夾角為 SKIPIF 1 < 0 ,
則漸近線的 SKIPIF 1 < 0 的傾斜角為 SKIPIF 1 < 0 ,
則 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 ．
又 SKIPIF 1 < 0 ,則 SKIPIF 1 < 0 ．
所以雙曲線 SKIPIF 1 < 0 的方程是 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）當直線 SKIPIF 1 < 0 不與 SKIPIF 1 < 0 軸重合時,設直線 SKIPIF 1 < 0 的方程為 SKIPIF 1 < 0 ,
代入 SKIPIF 1 < 0 ,得 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 ．
設點 SKIPIF 1 < 0 ,則 SKIPIF 1 < 0 ．
設點 SKIPIF 1 < 0 ,則 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
令 SKIPIF 1 < 0 ,得 SKIPIF 1 < 0 ,
此時 SKIPIF 1 < 0 ．
當直線 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 軸重合時,則點 SKIPIF 1 < 0 為雙曲線的兩頂點,不妨設點 SKIPIF 1 < 0 ．
對于點 SKIPIF 1 < 0 ．
所以存在定點 SKIPIF 1 < 0 ,使 SKIPIF 1 < 0 為定值．
(六) 把垂直問題轉(zhuǎn)化為向量的數(shù)量積為零
求解圓錐曲線中的垂直問題,通?？赊D(zhuǎn)化為向量的數(shù)量積為零,然后利用向量數(shù)量積的坐標運算進行轉(zhuǎn)化,這種轉(zhuǎn)化可避免討論直線的斜率是否存在.
【例6】已知橢圓 SKIPIF 1 < 0 的右焦點為 SKIPIF 1 < 0 ,橢圓 SKIPIF 1 < 0 上的點到 SKIPIF 1 < 0 的距離的最大值和最小值分別為 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求橢圓 SKIPIF 1 < 0 的標準方程；
（2）若圓 SKIPIF 1 < 0 的切線 SKIPIF 1 < 0 與橢圓 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 兩點,是否存在正數(shù) SKIPIF 1 < 0 ,使得 SKIPIF 1 < 0 ？若存在,求出 SKIPIF 1 < 0 的值；若不存在,請說明理由．
【解析】（1）由題意可得, SKIPIF 1 < 0 ,解得 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
則 SKIPIF 1 < 0 ,
所以橢圓方程為 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）假設存在正數(shù) SKIPIF 1 < 0 ,使得 SKIPIF 1 < 0 ,即使得 SKIPIF 1 < 0 ,當直線 SKIPIF 1 < 0 的斜率不存在時,設直線 SKIPIF 1 < 0 的方程為 SKIPIF 1 < 0 ,
可得 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,因為 SKIPIF 1 < 0 ,
則有 SKIPIF 1 < 0 ,解得 SKIPIF 1 < 0 ,
又直線 SKIPIF 1 < 0 為圓 SKIPIF 1 < 0 的切線,所以 SKIPIF 1 < 0 ；
當直線 SKIPIF 1 < 0 的斜率存在時,設直線 SKIPIF 1 < 0 的方程為 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
聯(lián)立 SKIPIF 1 < 0 ,可得 SKIPIF 1 < 0 ,
則 SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 ,
且 SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 ,
因為 SKIPIF 1 < 0 ,
則 SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 ,
整理可得 SKIPIF 1 < 0 ,
則 SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 ,
因為直線 SKIPIF 1 < 0 為圓 SKIPIF 1 < 0 的切線,
故原點 SKIPIF 1 < 0 到 SKIPIF 1 < 0 的距離為 SKIPIF 1 < 0 ,
所以存在正數(shù) SKIPIF 1 < 0 ,使得 SKIPIF 1 < 0 ．
三、跟蹤檢測
1.（2023屆重慶市第八中學校高三上學期月考）已知雙曲線E： SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ）一個頂點為 SKIPIF 1 < 0 ,直線l過點 SKIPIF 1 < 0 交雙曲線右支于M,N兩點,記 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 的面積分別為S, SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 .當l與x軸垂直時, SKIPIF 1 < 0 的值為 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求雙曲線E的標準方程；
(2)若l交y軸于點P, SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,求證： SKIPIF 1 < 0 為定值；
(3)在（2）的條件下,若 SKIPIF 1 < 0 ,當 SKIPIF 1 < 0 時,求實數(shù)m的取值范圍.
【解析】（1）由題意得 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
則當l與x軸垂直時,不妨設 SKIPIF 1 < 0 ,
由 SKIPIF 1 < 0 ,得 SKIPIF 1 < 0 ,
將 SKIPIF 1 < 0 代入方程 SKIPIF 1 < 0 ,得 SKIPIF 1 < 0 ,解得 SKIPIF 1 < 0 ,
所以雙曲線E的方程為 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）設 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
由 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 ,得 SKIPIF 1 < 0 ,
即 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,將 SKIPIF 1 < 0 代入E的方程得： SKIPIF 1 < 0 ,
整理得： SKIPIF 1 < 0 ①,
同理由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ②．
由①②知, SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 是方程 SKIPIF 1 < 0 的兩個不等實根．
由韋達定理知 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 為定值．
（3）又 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 ,
整理得： SKIPIF 1 < 0 ,
又 SKIPIF 1 < 0 ,不妨設 SKIPIF 1 < 0 ,則 SKIPIF 1 < 0 ,
整理得 SKIPIF 1 < 0 ,又 SKIPIF 1 < 0 ,故 SKIPIF 1 < 0 ,
而由（2）知 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,故 SKIPIF 1 < 0 ,
代入 SKIPIF 1 < 0 ,
令 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ,得 SKIPIF 1 < 0 ,
由雙勾函數(shù) SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上單調(diào)遞增,得 SKIPIF 1 < 0 ,
所以m的取值范圍為 SKIPIF 1 < 0 ．
.
2.（2023屆江蘇省連云港市高三上學期10月聯(lián)考）已知橢圓中有兩頂點為 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,一個焦點為 SKIPIF 1 < 0 .
(1)若直線 SKIPIF 1 < 0 過點 SKIPIF 1 < 0 且與橢圓交于 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 兩點,當 SKIPIF 1 < 0 時,求直線 SKIPIF 1 < 0 的方程；
(2)若直線 SKIPIF 1 < 0 過點 SKIPIF 1 < 0 且與橢圓交于 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 兩點,并與 SKIPIF 1 < 0 軸交于點 SKIPIF 1 < 0 ,直線 SKIPIF 1 < 0 與直線 SKIPIF 1 < 0 交于點 SKIPIF 1 < 0 ,當點 SKIPIF 1 < 0 異 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 兩點時,試問 SKIPIF 1 < 0 是否是定值？若是,請求出此定值,若不是,請說明理由.
【解析】（1）∵橢圓的焦點在 SKIPIF 1 < 0 軸上,設橢圓的標準方程為 SKIPIF 1 < 0 ,
由已知得 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 ,
橢圓的方程為 SKIPIF 1 < 0 ,
當直線 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 軸垂直時與題意不符,
設直線 SKIPIF 1 < 0 的方程為 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
將直線 SKIPIF 1 < 0 的方程代入橢圓的方程化簡得 SKIPIF 1 < 0 ,
則 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
∴ SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ,解得 SKIPIF 1 < 0 .
∴直線 SKIPIF 1 < 0 的方程為 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）當 SKIPIF 1 < 0 軸時, SKIPIF 1 < 0 ,不符合題意,
當 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 軸不垂直時,設 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 ,則 SKIPIF 1 < 0 ,
設 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,聯(lián)立方程組 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ,
∴ SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
又直線 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 ,直線 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 ,
由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 ,得 SKIPIF 1 < 0 ,
∴ SKIPIF 1 < 0 點坐標為 SKIPIF 1 < 0 ,
∴ SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 為定值.
3.（2023屆四川省成都市郫都區(qū)高三上學期檢測）已知橢圓 SKIPIF 1 < 0 的離心率為 SKIPIF 1 < 0 ,短軸長為4．
(1)求橢圓C的方程；
(2)若過點 SKIPIF 1 < 0 的直線交橢圓C于A,B兩點,求 SKIPIF 1 < 0 的取值范圍．
【解析】（1） SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
∴ SKIPIF 1 < 0 ,
又 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 ,
解得： SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 橢圓的標準方程為 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）當直線AB的斜率不存在時, SKIPIF 1 < 0 ,
不妨設 SKIPIF 1 < 0 ,則 SKIPIF 1 < 0
當直線AB的斜率存在時,設 SKIPIF 1 < 0 ,
由 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 恒成立,
故 SKIPIF 1 < 0 ,
∴ SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ,
綜上： SKIPIF 1 < 0 ,
故 SKIPIF 1 < 0 的取值范圍為 SKIPIF 1 < 0 ．
4.（2023屆江蘇省南通市如皋市高三上學期9月診斷測試）已知點 SKIPIF 1 < 0 分別是橢圓 SKIPIF 1 < 0 的左、右頂點,過 SKIPIF 1 < 0 的右焦點 SKIPIF 1 < 0 作直線 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 兩點,
(1)設直線 SKIPIF 1 < 0 的斜率分別為 SKIPIF 1 < 0 ,求 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的值；
(2)若直線 SKIPIF 1 < 0 分別交橢圓 SKIPIF 1 < 0 的右準線于 SKIPIF 1 < 0 兩點,證明：以 SKIPIF 1 < 0 為直徑的圓經(jīng)過定點.
【解析】（1）由已知 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
直線 SKIPIF 1 < 0 的斜率不存在時,方程為 SKIPIF 1 < 0 ,不妨設 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 ,同理 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
直線 SKIPIF 1 < 0 斜率存在時,設直線方程為 SKIPIF 1 < 0 ,設 SKIPIF 1 < 0 ,
由 SKIPIF 1 < 0 ,得 SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0
因為 SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 ,
綜上, SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ；
（2）由已知 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,右準線方程為 SKIPIF 1 < 0 ,
由（1）知直線 SKIPIF 1 < 0 方程為 SKIPIF 1 < 0 ,令 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ,同理 SKIPIF 1 < 0 ,
由橢圓的對稱性知,以 SKIPIF 1 < 0 為直徑的圓有一個圓心 SKIPIF 1 < 0 軸上方的圓,則必定也有一個與之關于 SKIPIF 1 < 0 軸對稱的圓,這兩個圓的交點在 SKIPIF 1 < 0 軸上,以 SKIPIF 1 < 0 為直徑的圓經(jīng)過定點,這個定點必在 SKIPIF 1 < 0 軸上,設定點為 SKIPIF 1 < 0 ,則 SKIPIF 1 < 0 ,
由（1）得 SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ,
所以以 SKIPIF 1 < 0 為直徑的圓經(jīng)過定點 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ．
5. （2023屆湖南省部分校高三上學期9月月考）已知雙曲線 SKIPIF 1 < 0 的離心率為 SKIPIF 1 < 0 ,點 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上.
(1)求雙曲線 SKIPIF 1 < 0 的方程.
(2)設過點 SKIPIF 1 < 0 的直線 SKIPIF 1 < 0 與雙曲線 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 兩點,問在 SKIPIF 1 < 0 軸上是否存在定點 SKIPIF 1 < 0 ,使得 SKIPIF 1 < 0 為常數(shù)？若存在,求出點 SKIPIF 1 < 0 的坐標以及該常數(shù)的值；若不存在,請說明理由.
【解析】（1）因為雙曲線 SKIPIF 1 < 0 的離心率為 SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 ,化簡得 SKIPIF 1 < 0 .
將點 SKIPIF 1 < 0 的坐標代入 SKIPIF 1 < 0 ,可得 SKIPIF 1 < 0 ,
解得 SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 的方程為 SKIPIF 1 < 0 .
（2）設 SKIPIF 1 < 0 ,直線 SKIPIF 1 < 0 的方程為 SKIPIF 1 < 0 ,聯(lián)立方程組 SKIPIF 1 < 0 消去 SKIPIF 1 < 0 得（1- SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ,
由題可知 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 .
設存在符合條件的定點 SKIPIF 1 < 0 ,則 SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 .
所以 SKIPIF 1 < 0 ,
化簡得 SKIPIF 1 < 0 .
因為 SKIPIF 1 < 0 為常數(shù),所以 SKIPIF 1 < 0 ,解得 SKIPIF 1 < 0 .
此時該常數(shù)的值為 SKIPIF 1 < 0 ,
所以,在 SKIPIF 1 < 0 軸上存在點 SKIPIF 1 < 0 ,使得 SKIPIF 1 < 0 為常數(shù),該常數(shù)為 SKIPIF 1 < 0 .
6.（2023屆廣東省茂名市高三上學期9月聯(lián)考）如圖,平面直角坐標系 SKIPIF 1 < 0 中,點 SKIPIF 1 < 0 為 SKIPIF 1 < 0 軸上的一個動點,動點 SKIPIF 1 < 0 滿足 SKIPIF 1 < 0 ,又點 SKIPIF 1 < 0 滿足 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求動點 SKIPIF 1 < 0 的軌跡 SKIPIF 1 < 0 的方程；
(2)過曲線 SKIPIF 1 < 0 上的點 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ）的直線 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 軸的交點分別為 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ,且 SKIPIF 1 < 0 ,過原點 SKIPIF 1 < 0 的直線與 SKIPIF 1 < 0 平行,且與曲線 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 兩點,求 SKIPIF 1 < 0 面積的最大值.
【解析】（1）由題意,設 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ,且 SKIPIF 1 < 0 ,
由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ,則 SKIPIF 1 < 0 ,得 SKIPIF 1 < 0 ,
代入 SKIPIF 1 < 0 整理得 SKIPIF 1 < 0 ,故動點 SKIPIF 1 < 0 的軌跡 SKIPIF 1 < 0 的方程為 SKIPIF 1 < 0 .
（2）如圖,設 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ）,又直線 SKIPIF 1 < 0 的斜率存在且 SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 設直線 SKIPIF 1 < 0 為： SKIPIF 1 < 0 ,
可得： SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
由 SKIPIF 1 < 0 ,則 SKIPIF 1 < 0 ,故 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
聯(lián)立 SKIPIF 1 < 0 ,可得： SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 ,
又 SKIPIF 1 < 0 ,故直線 SKIPIF 1 < 0 的方程為 SKIPIF 1 < 0 ,聯(lián)立 SKIPIF 1 < 0 ,得： SKIPIF 1 < 0 ,
即 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的橫坐標為 SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 點 SKIPIF 1 < 0 到直線 SKIPIF 1 < 0 的距離 SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ,
當且僅當 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 時等號成立,
SKIPIF 1 < 0 面積的最大值為2.
.
7.（2023屆福建師范大學附屬中學高三上學期月考）在平面直角坐標系 SKIPIF 1 < 0 中, 設點 SKIPIF 1 < 0 , 點 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 兩點的距離之和為 SKIPIF 1 < 0 為一動點, 點 SKIPIF 1 < 0 滿足向量關系式： SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求點 SKIPIF 1 < 0 的軌跡方程 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)設 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 軸交于點 SKIPIF 1 < 0 ( SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 的左側(cè)), 點 SKIPIF 1 < 0 為 SKIPIF 1 < 0 上一動點 (且不與 SKIPIF 1 < 0 重合)．設直線 SKIPIF 1 < 0 軸與直線 SKIPIF 1 < 0 分別交于點 SKIPIF 1 < 0 ,取 SKIPIF 1 < 0 ,連接 SKIPIF 1 < 0 ,證明： SKIPIF 1 < 0 為 SKIPIF 1 < 0 的角平分線．
【解析】（1）設點 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
則由點 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 兩點的距離之和為 SKIPIF 1 < 0 ,
可得點G的軌跡是以 SKIPIF 1 < 0 為焦點且長軸長為 SKIPIF 1 < 0 的橢圓,
其軌跡方程為 SKIPIF 1 < 0 ,
由 SKIPIF 1 < 0 ,可得 SKIPIF 1 < 0 ,代入點G的軌跡方程,
可得： SKIPIF 1 < 0 ,
所以點 SKIPIF 1 < 0 的軌跡方程 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）設點 SKIPIF 1 < 0 ,則 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 ,令 SKIPIF 1 < 0 ,得 SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 ,
則點 SKIPIF 1 < 0 到直線 SKIPIF 1 < 0 的距離為：
SKIPIF 1 < 0 ,
要證ER為 SKIPIF 1 < 0 的角平分線,只需證 SKIPIF 1 < 0 ,
又 SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 ,當且僅當 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 時,
又 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上,則 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 ,
代入上式可得 SKIPIF 1 < 0 恒成立,
SKIPIF 1 < 0 為 SKIPIF 1 < 0 的角平分線．
8.（2023屆山西省山西大學附屬中學校高三上學期9月診斷）如圖,橢圓 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 是橢圓 SKIPIF 1 < 0 的左焦點, SKIPIF 1 < 0 是橢圓 SKIPIF 1 < 0 的左頂點, SKIPIF 1 < 0 是橢圓 SKIPIF 1 < 0 的上頂點,且 SKIPIF 1 < 0 ,點 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 是長軸上的任一定點,過 SKIPIF 1 < 0 點的任一直線 SKIPIF 1 < 0 交橢圓 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 兩點.
(1)求橢圓 SKIPIF 1 < 0 的方程；
(2)是否存在定點 SKIPIF 1 < 0 ,使得 SKIPIF 1 < 0 為定值,若存在,試求出定點 SKIPIF 1 < 0 的坐標,并求出此定值；若不存在,請說明理由.
【解析】（1）由已知知 SKIPIF 1 < 0 ,解得 SKIPIF 1 < 0 ,
所以橢圓方程為 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）假設存在 SKIPIF 1 < 0 滿足題意,
設 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
①當直線 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 軸不垂直時,設 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 ,
代入 SKIPIF 1 < 0 并整理得 SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 （*）
（*）式是與 SKIPIF 1 < 0 無關的常數(shù),則 SKIPIF 1 < 0
解得 SKIPIF 1 < 0 ,此時 SKIPIF 1 < 0 為定值；
②當直線 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 垂直時, SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 也成立,
所以存在定點 SKIPIF 1 < 0 ,使得 SKIPIF 1 < 0 為定值．
9．（2023屆北京市第四中學高三上學期開學測試）已知中心在原點,焦點在 SKIPIF 1 < 0 軸上的橢圓 SKIPIF 1 < 0 過點 SKIPIF 1 < 0 ,離心率為 SKIPIF 1 < 0 ,點 SKIPIF 1 < 0 為其右頂點.過點 SKIPIF 1 < 0 作直線 SKIPIF 1 < 0 與橢圓 SKIPIF 1 < 0 相交于 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 兩點,直線 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 與直線 SKIPIF 1 < 0 分別交于點 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求橢圓 SKIPIF 1 < 0 的方程；
(2)求 SKIPIF 1 < 0 的取值范圍.
【解析】（1）由題意設橢圓的標準方程為 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ）,
由題意,得 SKIPIF 1 < 0 ,解得 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
即橢圓 SKIPIF 1 < 0 的標準方程為 SKIPIF 1 < 0 .
（2）由（1）得 SKIPIF 1 < 0 ,
設 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
聯(lián)立 SKIPIF 1 < 0 ,得 SKIPIF 1 < 0 ,
即 SKIPIF 1 < 0 ,則 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
直線 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 的方程分別為 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
令 SKIPIF 1 < 0 ,則 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
則 SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
因為 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
即 SKIPIF 1 < 0 的取值范圍為 SKIPIF 1 < 0 .
10．（2023屆湖北省“宜荊荊恩”高三上學期考試）已知雙曲線 SKIPIF 1 < 0 與雙曲線 SKIPIF 1 < 0 有相同的漸近線,且過點 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求雙曲線 SKIPIF 1 < 0 的標準方程；
(2)已知 SKIPIF 1 < 0 是雙曲線 SKIPIF 1 < 0 上不同于 SKIPIF 1 < 0 的兩點,且 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ,證明：存在定點 SKIPIF 1 < 0 ,使 SKIPIF 1 < 0 為定值.
【解析】（1）因為雙曲線C與已知雙曲線有相同的漸近線,
設雙曲線 SKIPIF 1 < 0 的標準方程為 SKIPIF 1 < 0
代入點 SKIPIF 1 < 0 坐標,解得 SKIPIF 1 < 0
所以雙曲線 SKIPIF 1 < 0 的標準方程為 SKIPIF 1 < 0
（2）（i）當直線 SKIPIF 1 < 0 斜率存在時,設 SKIPIF 1 < 0 ,
設 SKIPIF 1 < 0 ,聯(lián)立 SKIPIF 1 < 0 與雙曲線 SKIPIF 1 < 0 ,
化簡得 SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 ,
則有 SKIPIF 1 < 0 ,
又 SKIPIF 1 < 0 ,
因為 SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 ,
化簡,得 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 ,
且均滿足 SKIPIF 1 < 0 ,
當 SKIPIF 1 < 0 時,直線 SKIPIF 1 < 0 的方程為 SKIPIF 1 < 0 ,直線過定點 SKIPIF 1 < 0 ,與已知矛盾,
當 SKIPIF 1 < 0 時,直線 SKIPIF 1 < 0 的方程為 SKIPIF 1 < 0 ,過定點 SKIPIF 1 < 0
（ii）當直線 SKIPIF 1 < 0 斜率不存在時,由對稱性不妨設直線DE： SKIPIF 1 < 0 ,
與雙曲線 SKIPIF 1 < 0 方程聯(lián)立解得 SKIPIF 1 < 0 ,此時 SKIPIF 1 < 0 也過點 SKIPIF 1 < 0 ,
綜上,直線 SKIPIF 1 < 0 過定點 SKIPIF 1 < 0 .
由于 SKIPIF 1 < 0 ,所以點 SKIPIF 1 < 0 在以 SKIPIF 1 < 0 為直徑的圓上, SKIPIF 1 < 0 為該圓圓心, SKIPIF 1 < 0 為該圓半徑,所以存在定點 SKIPIF 1 < 0 ,使 SKIPIF 1 < 0 為定值 SKIPIF 1 < 0 .
11．（2023屆四川省達州市開江縣高三上學期考試）已知橢圓 SKIPIF 1 < 0 ?為橢圓 SKIPIF 1 < 0 ?的左、右焦點,過點 SKIPIF 1 < 0 ?的任意直線 SKIPIF 1 < 0 ?交橢圓 SKIPIF 1 < 0 ?于 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ?兩點,且 SKIPIF 1 < 0 的周長為8,橢圓 SKIPIF 1 < 0 ?的離心率為 SKIPIF 1 < 0 ?.
(1)橢圓 SKIPIF 1 < 0 ?的方程；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ?為橢圓 SKIPIF 1 < 0 ?上的任一點, SKIPIF 1 < 0 ?為過焦點 SKIPIF 1 < 0 ?的弦,且 SKIPIF 1 < 0 ?,求 SKIPIF 1 < 0 ?的值.
【解析】（1）由題意可知, ? SKIPIF 1 < 0 的周長為
SKIPIF 1 < 0 ?.
所以 SKIPIF 1 < 0 ?,又 SKIPIF 1 < 0 ?,
所以 SKIPIF 1 < 0 ?,則 SKIPIF 1 < 0 ?,
所以橢圓 SKIPIF 1 < 0 ?的方程為 SKIPIF 1 < 0 ?.
（2）不妨令 SKIPIF 1 < 0 ?.
所以 SKIPIF 1 < 0 ?,即 SKIPIF 1 < 0 .
當 SKIPIF 1 < 0 ?時,不妨設直線 SKIPIF 1 < 0 ?為 SKIPIF 1 < 0 ?,其中 SKIPIF 1 < 0 ?.
直線 SKIPIF 1 < 0 ?為 SKIPIF 1 < 0 ?,其中 SKIPIF 1 < 0 ?.
聯(lián)立方程 SKIPIF 1 < 0 ?,
得 SKIPIF 1 < 0 ?.
所以 SKIPIF 1 < 0 ?,即 SKIPIF 1 < 0 ?.
同理可得： SKIPIF 1 < 0 ?.
又 SKIPIF 1 < 0 ?.
所以 SKIPIF 1 < 0 ?.
則 SKIPIF 1 < 0 ?
SKIPIF 1 < 0 ?
SKIPIF 1 < 0 ?
SKIPIF 1 < 0 ?
SKIPIF 1 < 0 ?
SKIPIF 1 < 0 ?
SKIPIF 1 < 0 ?,
綜上所述, SKIPIF 1 < 0 ?.
12．（2022屆上海市普陀區(qū)高三一模）已知點 SKIPIF 1 < 0 與定點 SKIPIF 1 < 0 的距離是點 SKIPIF 1 < 0 到直線 SKIPIF 1 < 0 距離的 SKIPIF 1 < 0 倍,設點 SKIPIF 1 < 0 的軌跡為曲線 SKIPIF 1 < 0 ,直線 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 兩點,點 SKIPIF 1 < 0 是線段 SKIPIF 1 < 0 的中點, SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 上關于原點 SKIPIF 1 < 0 對稱的兩點,且 SKIPIF 1 < 0 .
（1）求曲線 SKIPIF 1 < 0 的方程；
（2）當 SKIPIF 1 < 0 時,求直線 SKIPIF 1 < 0 的方程；
（3）當四邊形 SKIPIF 1 < 0 的面積 SKIPIF 1 < 0 時,求 SKIPIF 1 < 0 的值.
【解析】（1）由題意可得 SKIPIF 1 < 0 ,化簡可得 SKIPIF 1 < 0 ,
因此,曲線 SKIPIF 1 < 0 的方程為 SKIPIF 1 < 0 .
（2）設點 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ,聯(lián)立 SKIPIF 1 < 0 ,可得 SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 ,
由韋達定理可得 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
則 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
所以點 SKIPIF 1 < 0 的坐標為 SKIPIF 1 < 0 ,
因為 SKIPIF 1 < 0 ,可得點 SKIPIF 1 < 0 ,
將點 SKIPIF 1 < 0 的坐標代入曲線 SKIPIF 1 < 0 的方程得 SKIPIF 1 < 0 ,解得 SKIPIF 1 < 0 ,
因此,直線 SKIPIF 1 < 0 的方程為 SKIPIF 1 < 0 .
（3）由（2）可得 SKIPIF 1 < 0 ,則點 SKIPIF 1 < 0 ,
則點 SKIPIF 1 < 0 ,
因為點 SKIPIF 1 < 0 在曲線 SKIPIF 1 < 0 上,則 SKIPIF 1 < 0 ,可得 SKIPIF 1 < 0 ,因為 SKIPIF 1 < 0 ,則 SKIPIF 1 < 0 ,
點 SKIPIF 1 < 0 到直線 SKIPIF 1 < 0 的距離為 SKIPIF 1 < 0 ,
點 SKIPIF 1 < 0 到直線 SKIPIF 1 < 0 的距離為 SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 ,
所以, SKIPIF 1 < 0 ,
因為 SKIPIF 1 < 0 ,解得 SKIPIF 1 < 0 .
13．(2022屆內(nèi)蒙古赤峰市高三上學期11月聯(lián)考)已知橢圓 SKIPIF 1 < 0 的焦點恰為橢圓 SKIPIF 1 < 0 長軸的端點,且 SKIPIF 1 < 0 的短軸長為2
（1）求橢圓 SKIPIF 1 < 0 的方程．
（2）若直線 SKIPIF 1 < 0 與直線 SKIPIF 1 < 0 平行,且 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 兩點, SKIPIF 1 < 0 ,求 SKIPIF 1 < 0 的最小值．
【解析】（1）由橢圓 SKIPIF 1 < 0 ,可得其長軸的端點分別為 SKIPIF 1 < 0 ,
根據(jù)題意,可得 SKIPIF 1 < 0 ,解得 SKIPIF 1 < 0 ,
故 SKIPIF 1 < 0 的方程為 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）設直線 SKIPIF 1 < 0 的方程為 SKIPIF 1 < 0 ,
聯(lián)立方程組 SKIPIF 1 < 0 ,整理得 SKIPIF 1 < 0 ,
設 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,則 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
且 SKIPIF 1 < 0 ,解得 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
因為 SKIPIF 1 < 0 ,其中 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ,
所以當 SKIPIF 1 < 0 時, SKIPIF 1 < 0 取得最小值,且最小值為 SKIPIF 1 < 0 ,
故 SKIPIF 1 < 0 的最小值為 SKIPIF 1 < 0 ．
14．（2022屆遼寧省大連市高三上學期期中）在平面直角坐標系 SKIPIF 1 < 0 中,點 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 的坐標分別為 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 是動點,且直線 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 的斜率之積等于 SKIPIF 1 < 0 .
（1）求動點 SKIPIF 1 < 0 的軌跡 SKIPIF 1 < 0 的方程；
（2）已知直線 SKIPIF 1 < 0 與橢圓： SKIPIF 1 < 0 相交于 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 兩點,與 SKIPIF 1 < 0 軸交于點 SKIPIF 1 < 0 ,若存在 SKIPIF 1 < 0 使得 SKIPIF 1 < 0 ,求 SKIPIF 1 < 0 的取值范圍.
【解析】（1）設 SKIPIF 1 < 0 ,則 SKIPIF 1 < 0 ,
所以可得動點P的軌跡C的方程為 SKIPIF 1 < 0 .
（2）設 SKIPIF 1 < 0 又 SKIPIF 1 < 0 ,由 SKIPIF 1 < 0 得
SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0
聯(lián)立 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ,
即 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ,且 SKIPIF 1 < 0 ,
又 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ,則 SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 代入 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 ,解得 SKIPIF 1 < 0 .
SKIPIF 1 < 0 的取值范圍是 SKIPIF 1 < 0
15.（2022屆河北省邢臺市“五岳聯(lián)盟”部分重點學校高三上學期12月聯(lián)考）已知點 SKIPIF 1 < 0 是已知橢圓 SKIPIF 1 < 0 的左、右焦點,點 SKIPIF 1 < 0 在橢圓上,當 SKIPIF 1 < 0 時, SKIPIF 1 < 0 面積達到最大,且最大值為 SKIPIF 1 < 0 .
（1）求橢圓 SKIPIF 1 < 0 的標準方程；
（2）過 SKIPIF 1 < 0 的直線與橢圓 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 兩點,且兩點與左右頂點不重合,若 SKIPIF 1 < 0 ,求四邊形 SKIPIF 1 < 0 面積的取值范圍.
【解析】（1）由題可知,當點 SKIPIF 1 < 0 在短軸端點時,△PF1F2的面積最大,且為正三角形,
SKIPIF 1 < 0 ,又 SKIPIF 1 < 0 ,由 SKIPIF 1 < 0 ,解得 SKIPIF 1 < 0 ,
所以橢圓 SKIPIF 1 < 0 的標準方程為 SKIPIF 1 < 0 .
（2）設 SKIPIF 1 < 0 ,則由 SKIPIF 1 < 0 ,
可得 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 ,
又因為 SKIPIF 1 < 0 ,所以四邊形 SKIPIF 1 < 0 是平行四邊形,
設平面四邊形 SKIPIF 1 < 0 的面積為S,
則 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 .
設 SKIPIF 1 < 0 ,則 SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0
因為 SKIPIF 1 < 0 ,而對勾函數(shù) SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上單調(diào)遞增,所以 SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 .
所以四邊形 SKIPIF 1 < 0 面積的取值范圍為 SKIPIF 1 < 0 .
16．（2022屆四川省成都市高三上學期期中）已知橢圓 SKIPIF 1 < 0 的左頂點為 SKIPIF 1 < 0 ,右焦點為 SKIPIF 1 < 0 ,過點 SKIPIF 1 < 0 作斜率為 SKIPIF 1 < 0 的直線與 SKIPIF 1 < 0 相交于 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,且以 SKIPIF 1 < 0 為直徑的圓過點 SKIPIF 1 < 0 ,其中 SKIPIF 1 < 0 為坐標原點.
（1）求橢圓的離心率 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）若 SKIPIF 1 < 0 ,過點 SKIPIF 1 < 0 作與直線 SKIPIF 1 < 0 平行的直線 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 與橢圓 SKIPIF 1 < 0 相交于 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 兩點.
①求 SKIPIF 1 < 0 的值；
②點 SKIPIF 1 < 0 滿足 SKIPIF 1 < 0 ,直線 SKIPIF 1 < 0 與橢圓的另一個交點為 SKIPIF 1 < 0 ,求 SKIPIF 1 < 0 的值.
【解析】（1）依題意,如圖, SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,則 SKIPIF 1 < 0 ,
而點B在橢圓 SKIPIF 1 < 0 上,于是得： SKIPIF 1 < 0 ,整理得 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
所以橢圓的離心率 SKIPIF 1 < 0 .
（2）①由(1)及 SKIPIF 1 < 0 得, SKIPIF 1 < 0 ,橢圓 SKIPIF 1 < 0 的方程為 SKIPIF 1 < 0 ,而直線 SKIPIF 1 < 0 與直線 SKIPIF 1 < 0 平行,
則直線 SKIPIF 1 < 0 的方程為 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,由 SKIPIF 1 < 0 消去x得： SKIPIF 1 < 0 ,顯然 SKIPIF 1 < 0
于是得 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 .
②因 SKIPIF 1 < 0 ,由①得 SKIPIF 1 < 0 ,設 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
則 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 ,解得 SKIPIF 1 < 0 ,
而 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 都在橢圓上,即 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
整理得： SKIPIF 1 < 0 ,
由①可知 SKIPIF 1 < 0 ,則有 SKIPIF 1 < 0 ,解得 SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 的值是 SKIPIF 1 < 0 .
17．（2022屆廣東省江門市高三上學期10月月考）設 SKIPIF 1 < 0 分別是平面直角坐標系中 SKIPIF 1 < 0 軸正方向上的單位向量,若向量 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,且 SKIPIF 1 < 0 ,其中 SKIPIF 1 < 0 .
（1）求動點 SKIPIF 1 < 0 的軌跡 SKIPIF 1 < 0 的方程；
（2）過點 SKIPIF 1 < 0 作直線 SKIPIF 1 < 0 與軌跡 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 兩點,設 SKIPIF 1 < 0 ,是否存在直線 SKIPIF 1 < 0 ,使得四邊形 SKIPIF 1 < 0 是矩形？若存在,求出直線 SKIPIF 1 < 0 的方程；若不存在,試說明理由.
【解析】（1）由題意得 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
設 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,則動點M滿足 SKIPIF 1 < 0 ,
由橢圓的定義可知動點M的軌跡是以 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 為焦點的橢圓,
設橢圓 SKIPIF 1 < 0 的方程為 SKIPIF 1 < 0 ,則 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 ,
故軌跡 SKIPIF 1 < 0 的方程為 SKIPIF 1 < 0
（2）存在滿足條件的直線 SKIPIF 1 < 0 .設直線 SKIPIF 1 < 0 的方程為 SKIPIF 1 < 0 ,
由方程組 SKIPIF 1 < 0 ,消去 SKIPIF 1 < 0 ,整理得： SKIPIF 1 < 0
則 SKIPIF 1 < 0 恒成立,即直線 SKIPIF 1 < 0 與橢圓 SKIPIF 1 < 0 恒有兩個不同的交點,
設交點為 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,則 SKIPIF 1 < 0 ①, SKIPIF 1 < 0 ②
由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 ,∴四邊形OAPB為平行四邊形
若存在直線 SKIPIF 1 < 0 使四邊形OAPB為矩形,則 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0
即 SKIPIF 1 < 0 ③
將①?②代入③式得： SKIPIF 1 < 0 ,解得 SKIPIF 1 < 0 ,
所以直線 SKIPIF 1 < 0 的方程為 SKIPIF 1 < 0 ,此時四邊形OAPB為矩形.
18.過雙曲線Γ： SKIPIF 1 < 0 的左焦點F1的動直線l與Γ的左支交于A,B兩點,設Γ的右焦點為F2.
(1)若 SKIPIF 1 < 0 是邊長為4的正三角形,求此時Γ的標準方程；
(2)若存在直線l,使得 SKIPIF 1 < 0 ,求Γ的離心率的取值范圍.
【解析】（1）依題意,結合雙曲線的對稱性得 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
所以2a＝|AF2|－|AF1|＝2,a＝1, SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,b2＝c2－a2＝2,
此時Γ的標準方程為 SKIPIF 1 < 0 .
（2）依題意知直線l的斜率不為0,設l的方程為x＝my－c,
聯(lián)立 SKIPIF 1 < 0 ,消去 SKIPIF 1 < 0 ,得 SKIPIF 1 < 0 ,
設A(x1,y1),B(x2,y2),則 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
由AF2⊥BF2得 SKIPIF 1 < 0 ,故(x1－c)(x2－c)＋y1y2＝0,即(my1－2c)(my2－2c)＋y1y2＝0,
整理得 SKIPIF 1 < 0 ,即(m2＋1)b4－4m2c2b2＋4c2(b2m2－a2)＝0,
則(m2＋1)b4＝4a2c2,所以 SKIPIF 1 < 0 ,故4a2c2≥(c2－a2)2,
所以c4＋a4－6a2c2≤0,兩邊除以 SKIPIF 1 < 0 ,得e4－6e2＋1≤0,解得 SKIPIF 1 < 0 ,
又因為e>1,所以 SKIPIF 1 < 0 ,故 SKIPIF 1 < 0 ,
又A,B在左支且l過F1,所以y1y2

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