直線與圓錐曲線的位置關系的常見題型,一是根據直線與圓錐曲線有兩個交點,研究長度、面積、定點、定值等問題,二是判斷直線與圓錐曲線的公共點個數,三是直線與圓錐曲線相切問題,其中第一類問題是高考考查頻率最高的問題.
二、解題秘籍
(一)根據直線與圓錐曲線有兩個交點研究圓錐曲線的性質
1.把直線l： SKIPIF 1 < 0 與橢圓C： SKIPIF 1 < 0 聯立,當 SKIPIF 1 < 0 時直線l與橢圓C有2個交點；
2. 直線l： SKIPIF 1 < 0 與雙曲線C： SKIPIF 1 < 0 聯立得 SKIPIF 1 < 0 ,當 SKIPIF 1 < 0 時直線l與雙曲線C有2個交點；當 SKIPIF 1 < 0 時直線l與雙曲線C的左右支各有一個交點；當 SKIPIF 1 < 0 時直線l與雙曲線C的右支有2個交點；
3.直線l： SKIPIF 1 < 0 與拋物線C： SKIPIF 1 < 0 聯立,得 SKIPIF 1 < 0 ,當 SKIPIF 1 < 0 時直線l與拋物線C有2個交點.
【例1】（2023屆重慶市南開中學校高三上學期9月月考）已知橢圓 SKIPIF 1 < 0 的離心率為 SKIPIF 1 < 0 ,上頂點為D,斜率為k的直線l與橢圓C交于不同的兩點A,B,M為線段AB的中點,當點M的坐標為 SKIPIF 1 < 0 時,直線l恰好經過D點.
(1)求橢圓C的方程：
(2)當l不過點D時,若直線DM與直線l的斜率互為相反數,求k的取值范圍.
【解析】（1）由題意知,離心率 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 ,
設 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 兩式相減得 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 ；
所以直線為 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 ,橢圓方程為 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）設直線為 SKIPIF 1 < 0 ,由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ,
則 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 ,解得 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0
因為l不過D點,則 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0
則 SKIPIF 1 < 0 ,化簡得 SKIPIF 1 < 0 ,
解得 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .
【例2】（2023屆廣東省部分學校高三上學期聯考）設直線 SKIPIF 1 < 0 與雙曲線 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 的兩條漸近線分別交于 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 兩點,且三角形 SKIPIF 1 < 0 的面積為 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求 SKIPIF 1 < 0 的值；
(2)已知直線 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 軸不垂直且斜率不為0, SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 交于兩個不同的點 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 關于 SKIPIF 1 < 0 軸的對稱點為 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 為 SKIPIF 1 < 0 的右焦點,若 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 三點共線,證明：直線 SKIPIF 1 < 0 經過 SKIPIF 1 < 0 軸上的一個定點.
【解析】（1）雙曲線 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 的漸近線方程為 SKIPIF 1 < 0 ,
不妨設 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0
因為三角形 SKIPIF 1 < 0 的面積為 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 ,又 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 .
（2）雙曲線 SKIPIF 1 < 0 的方程為 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 ,所以右焦點 SKIPIF 1 < 0 的坐標為 SKIPIF 1 < 0 ,
若直線 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 軸交于點 SKIPIF 1 < 0 ,故可設直線 SKIPIF 1 < 0 的方程為 SKIPIF 1 < 0 ,
設 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,則 SKIPIF 1 < 0 ,
聯立 SKIPIF 1 < 0 ,得 SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ,
化簡得 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
因為直線 SKIPIF 1 < 0 的斜率存在,所以直線 SKIPIF 1 < 0 的斜率也存在,
因為 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 三點共線,所以 SKIPIF 1 < 0 ,
即 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 ,
因為 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 ,
化簡得 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 經過 SKIPIF 1 < 0 軸上的定點 SKIPIF 1 < 0 .
【例3】（2023屆福建省漳州市高三上學期第一次教學質量檢測）已知拋物線 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 ,直線 SKIPIF 1 < 0 過點 SKIPIF 1 < 0 .
(1)若 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 有且只有一個公共點,求直線 SKIPIF 1 < 0 的方程；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 兩點,點 SKIPIF 1 < 0 在線段 SKIPIF 1 < 0 上,且 SKIPIF 1 < 0 ,求點 SKIPIF 1 < 0 的軌跡方程.
【解析】（1）當直線 SKIPIF 1 < 0 斜率不存在時,其方程為 SKIPIF 1 < 0 ,符合題意；
當直線 SKIPIF 1 < 0 斜率存在時,設直線 SKIPIF 1 < 0 的方程為 SKIPIF 1 < 0 ,
由 SKIPIF 1 < 0 ,得 SKIPIF 1 < 0 .
當 SKIPIF 1 < 0 時,直線 SKIPIF 1 < 0 符合題意；
當 SKIPIF 1 < 0 時,令 SKIPIF 1 < 0 ,解得 SKIPIF 1 < 0 ,
∴直線 SKIPIF 1 < 0 的方程為 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 .
綜上,直線 SKIPIF 1 < 0 的方程為 SKIPIF 1 < 0 ,或 SKIPIF 1 < 0 ,或 SKIPIF 1 < 0 .
（2）設 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,不妨令 SKIPIF 1 < 0 ,
∵直線 SKIPIF 1 < 0 與拋物線 SKIPIF 1 < 0 有兩個交點,∴ SKIPIF 1 < 0 ,
∴ SKIPIF 1 < 0 ,且 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 .
由 SKIPIF 1 < 0 ,得 SKIPIF 1 < 0 ,∴ SKIPIF 1 < 0 ,
∴ SKIPIF 1 < 0 ,∴ SKIPIF 1 < 0 .
∵ SKIPIF 1 < 0 ,且 SKIPIF 1 < 0 ,∴ SKIPIF 1 < 0 ,且 SKIPIF 1 < 0 ,
∴點 SKIPIF 1 < 0 的軌跡方程為 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ,且 SKIPIF 1 < 0 ）.
(二)根據直線與圓錐曲線有一個公共點研究圓錐曲線的性質
1.直線與橢圓有一個公共點,則直線與橢圓相切,可把直線方程與橢圓方程聯立,整理成關于x或y的一元二次方程,由 SKIPIF 1 < 0 求解；
2. 直線l： SKIPIF 1 < 0 與雙曲線C： SKIPIF 1 < 0 聯立得 SKIPIF 1 < 0 ,當 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 時直線l與雙曲線C有1個交點,即直線與雙曲線相切或與漸近線平行時與雙曲線有1個公共點；
3.當直線l： SKIPIF 1 < 0 與拋物線C： SKIPIF 1 < 0 聯立,得 SKIPIF 1 < 0 ,當 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 時直線l與拋物線C有1個交點,即直線與拋物線相切或與拋物線準線垂直時直線與拋物線有1個公共點.
【例4】（2023屆湖北省荊荊宜三校高三上學期9月聯考）設橢圓 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 是橢圓 SKIPIF 1 < 0 的左、右焦點,點 SKIPIF 1 < 0 在橢圓 SKIPIF 1 < 0 上,點 SKIPIF 1 < 0 在橢圓 SKIPIF 1 < 0 外,且 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求橢圓 SKIPIF 1 < 0 的方程；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ,點 SKIPIF 1 < 0 為橢圓 SKIPIF 1 < 0 上橫坐標大于1的一點,過點 SKIPIF 1 < 0 的直線 SKIPIF 1 < 0 與橢圓有且僅有一個交點,并與直線 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 交于M,N兩點, SKIPIF 1 < 0 為坐標原點,記 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 的面積分別為 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,求 SKIPIF 1 < 0 的最小值．
【解析】（1）因為點 SKIPIF 1 < 0 在橢圓 SKIPIF 1 < 0 上,所以 SKIPIF 1 < 0 ,①
因為點 SKIPIF 1 < 0 在橢圓 SKIPIF 1 < 0 外,且 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 ,②
由①②解得 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
故橢圓 SKIPIF 1 < 0 的方程為 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）設點 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,設直線 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 ,
由橢圓性質以及點 SKIPIF 1 < 0 的橫坐標大于1可知, SKIPIF 1 < 0 ,
將直線 SKIPIF 1 < 0 代入方程 SKIPIF 1 < 0 并化簡可得, SKIPIF 1 < 0 ,
即 SKIPIF 1 < 0 ,
因為直線 SKIPIF 1 < 0 與橢圓有且僅有一個交點,
所以 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 ．
直線 SKIPIF 1 < 0 的方程為： SKIPIF 1 < 0 ；直線 SKIPIF 1 < 0 的方程為 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 ,
聯立方程 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ,同理得 SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ,
令 SKIPIF 1 < 0 ,則 SKIPIF 1 < 0 ,
當且僅當 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 時,不等式取等號,
故當 SKIPIF 1 < 0 時, SKIPIF 1 < 0 取得最小值 SKIPIF 1 < 0 ．
【例5】已知雙曲線C： SKIPIF 1 < 0 的焦距為4,且過點 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求雙曲線方程；
(2)若直線 SKIPIF 1 < 0 與雙曲線C有且只有一個公共點,求實數 SKIPIF 1 < 0 的值.
【解析】（1）由題意可知雙曲線的焦點為 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ,
根據定義有 SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 ,又 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 所求雙曲線 SKIPIF 1 < 0 的方程為 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）因為雙曲線 SKIPIF 1 < 0 的方程為 SKIPIF 1 < 0 ,所以漸近線方程為 SKIPIF 1 < 0 ；
由 SKIPIF 1 < 0 ,消去 SKIPIF 1 < 0 整理得 SKIPIF 1 < 0 ．
①當 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 時,此時直線 SKIPIF 1 < 0 與雙曲線的漸近線平行,此時直線與雙曲線相交于一點,符合題意；
②當 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 時,由 SKIPIF 1 < 0 ,解得 SKIPIF 1 < 0 ,
此時直線 SKIPIF 1 < 0 雙曲線相切于一個公共點,符合題意．
綜上所述：符合題意的 SKIPIF 1 < 0 的所有取值為 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ．
【例6】已知頂點在原點,焦點在 SKIPIF 1 < 0 軸上的拋物線過點 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求拋物線的標準方程；
(2)過點P作直線l與拋物線有且只有一個公共點,求直線l的方程；
(3)過點 SKIPIF 1 < 0 作直線交拋物線于A、B兩點,使得Q恰好平分線段AB,求直線AB的方程．
【解析】（1）因為頂點在原點,焦點在y軸上的拋物線過點 SKIPIF 1 < 0 ,
所以拋物線的焦點在y軸正半軸,設其方程為 SKIPIF 1 < 0 ,
將點 SKIPIF 1 < 0 代入可得 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 ,
所以拋物線的標準方程為 SKIPIF 1 < 0 ,
（2）當直線斜率不存在時,過點 SKIPIF 1 < 0 的直線 SKIPIF 1 < 0 與拋物線 SKIPIF 1 < 0 有一個交點；
當直線斜率存在時,設直線斜率為 SKIPIF 1 < 0 ,直線方程為 SKIPIF 1 < 0
由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ,
直線與拋物線只有一個交點,所以 SKIPIF 1 < 0 ,
解得 SKIPIF 1 < 0 ,所以直線方程為 SKIPIF 1 < 0
綜上,過點 SKIPIF 1 < 0 與拋物線 SKIPIF 1 < 0 有且只有一個交點的直線方程為 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ；
（3）設點 SKIPIF 1 < 0 ,直線 SKIPIF 1 < 0 斜率為 SKIPIF 1 < 0
點 SKIPIF 1 < 0 在拋物線上,所以 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 ,
所以直線方程為 SKIPIF 1 < 0
經檢驗,直線 SKIPIF 1 < 0 符合題意.
(三)判斷直線與圓錐曲線公共點個數
判斷直線l：Ax＋By＋C＝0與圓錐曲線C：F(x,y) ＝0公共點個數時,通常將直線l的方程Ax＋By＋C＝0(A、B不同時為0)代入圓錐曲線C的方程F(x,y) ＝0,消去y(也可以消去x)得到一個關于變量x(或變量y)的一元方程．消去y后得ax2＋bx＋c＝0.
(1)當a≠0時,設一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判別式為Δ,則Δ>0?直線與圓錐曲線C有2個公共點；
Δ＝0?直線與圓錐曲線C有1個公共點；Δ

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