?專題1 圓錐曲線的方程與軌跡方程
一、考情分析
求圓錐曲線的方程,一般出現(xiàn)在圓錐曲線解答題的第（1）問,多用待定系數(shù)法,通過解方程確定待定系數(shù),考查頻率非常高,也比較容易得分；求圓錐曲線的軌跡方程一般用定義法,有時可用到直接法、相關點法、交軌法等,難度一般中等或中等以下.
二、解題秘籍
(一)用待定系數(shù)法求圓錐曲線的方程
1.求橢圓標準方程的基本方法是待定系數(shù)法,具體過程是先定形,再定量,即首先確定焦點所在位置,然后再根據(jù)條件建立關于a,b的方程組．如果焦點位置不確定,要考慮是否有兩解,有時為了解題方便,也可把橢圓方程設為mx2＋ny2＝1(m>0,n>0,m≠n)的形式．
2.雙曲線標準方程的形式,注意焦點F1,F2的位置是雙曲線定位的條件,它決定了雙曲線標準方程的類型.“焦點跟著正項走”,若x2項的系數(shù)為正,則焦點在x軸上;若y2項的系數(shù)為正,那么焦點在y軸上.確定方程的形式后,然后再根據(jù)a,b,c,e及漸近線之間的關系,求出a,b的值, 當雙曲線焦點的位置不確定時,為了避免討論焦點的位置,常設雙曲線方程為Ax2＋By2＝1(A·B＜0),這樣可以簡化運算.
3. 如果已知雙曲線的漸近線方程,求雙曲線的標準方程,可設雙曲線方程為－＝λ(λ≠0),再由條件求出λ的值即可．與雙曲線－＝1(a>0,b>0)有共同漸近線的方程可表示－＝λ(λ≠0)．
4. 利用待定系數(shù)法求拋物線的標準方程的步驟
(1)依據(jù)條件設出拋物線的標準方程的類型.
(2)求參數(shù)p的值.
(3)確定拋物線的標準方程.
【例1】（2023屆山西省長治市高三上學期質(zhì)量檢測）已知點在橢圓：（）上,且點到橢圓右頂點的距離為．
(1)求橢圓的方程；
(2)若點,是橢圓上不同的兩點（均異于）且滿足直線與斜率之積為．試判斷直線是否過定點,若是,求出定點坐標,若不是,說明理由．
【解析】（1）點,在橢圓：（）上代入得：,
點到橢圓右頂點的距離為,則,
解得,,
故橢圓的方程為．
（2）由題意,直線的斜率存在,可設直線的方程為（）,,,．
聯(lián)立得．
．
∴,,
∵直線與直線斜率之積為．
∴,
∴．
化簡得,
∴,
化簡得,解得或．
當時,直線方程為,過定點．
代入判別式大于零中,解得（）．
當時,直線的方程為,過定點,不符合題意．
綜上所述：直線過定點．
【點評】利用待定系數(shù)法求橢圓的方程,一般需要兩個獨立的條件確定關于的等式.
【例2】（2023屆廣東省開平市忠源紀念中學高三階段性檢測）已知雙曲線的離心率為,點在上.
(1)求雙曲線的方程.
(2)設過點的直線與雙曲線交于兩點,問在軸上是否存在定點,使得為常數(shù)？若存在,求出點的坐標以及該常數(shù)的值；若不存在,請說明理由.
【解析】（1）因為雙曲線的離心率為,
所以,化簡得.
將點的坐標代入,可得,
解得,
所以的方程為.
（2）設,直線的方程為,聯(lián)立方程組消去得（1-,
由題可知且,即且,
所以.
設存在符合條件的定點,則,
所以.
所以,
化簡得.
因為為常數(shù),所以,解得.
此時該常數(shù)的值為,
所以,在軸上存在點,使得為常數(shù),該常數(shù)為.
【點評】求雙曲線的標準方程的基本方法是待定系數(shù)法．具體過程是先定形,再定量,即先確定雙曲線標準方程的形式,然后再根據(jù)a,b,c,e及漸近線之間的關系,求出a,b的值．注意用待定系數(shù)法確定雙曲線的標準方程要注意方程的個數(shù)要與未知數(shù)的個數(shù)相等.
【例3】（2023屆甘肅省張掖市高三上學期診斷）已知拋物線上的點到其焦點F的距離為.
(1)求拋物線C的方程；
(2)點在拋物線C上,過點的直線l與拋物線C交于,兩點,點H與點A關于x軸對稱,直線AH分別與直線OE,OB交于點M,N(O為坐標原點),求證：.
【解析】（1）由點在拋物線上可得,,解得.
由拋物線的定義可得,整理得,解得或(舍去).
故拋物線C的方程為.
（2）由在拋物線C上可得,解得,所以,
直線OE的方程為,
因為點和點關于軸對稱,所以,均不為0.
由題意知直線l的斜率存在且大于0,
設直線l的方程為,
聯(lián)立消去y,得.
則,得,所以,.
由直線OE的方程為,得.
易知直線OB的方程為,故.
要證,即證,
即證,即證,
即證,則,此等式顯然成立,
所以.
【點評】用待定系數(shù)法求拋物線的標準方程,只需要確定p的值,因此只需要由已知條件整理出一個關于p的等式.
(二)直接法求曲線軌跡方程
1.直接法求曲線方程的關鍵就是把幾何條件或等量關系翻譯為代數(shù)方程,要注意翻譯的等價性．通常將步驟簡記為建系、設點、列式、代換、化簡、證明這幾個步驟,但最后的證明可以省略．
2.求出曲線的方程后還需注意檢驗方程的純粹性和完備性．
3.對方程化簡時,要保證前后方程解集相同,必要時可說明x,y的取值范圍．
【例4】設動點在直線和上的射影分別為點和,已知,其中為坐標原點.
（1）求動點的軌跡的方程；
（2）過直線上的一點作軌跡的兩條切線和(,為切點),求證：直線經(jīng)過定點.
【分析】（1）利用直接法求軌跡方程,設,把坐標化,即可得到動點的軌跡的方程；
（2）利用導數(shù)的幾何意義,求得切線斜率,設,可得切線、的方程,聯(lián)立可得切點的坐標為,又點在直線上,代入可得,再代入到直線的方程即可得解.
【解析】（1）設,則,
所以,
由條件可得,
整理可得點的軌方程為；
（2）由（1）知,,求導可得,
設,
則切線的方程為,
即①,
同理可得切線的方程為②,
聯(lián)立①②,解得點的坐標為,
因為點在直線上,
所以,即,
又直線的斜率,
所以直線的方程為：,
即,又,
代入可得,
所以直線過定點.
【點評】利用直接法求曲線的軌跡方程一般是根據(jù)題中的一個等量關系式,將其坐標化,即可得到曲線的軌跡方程.
(三)定義法求曲線軌跡方程
1.運用圓錐曲線的定義求軌跡方程,可從曲線定義出發(fā)直接寫出方程,或從曲線定義出發(fā)建立關系式,從而求出方程．
2.定義法和待定系數(shù)法適用于已知曲線的軌跡類型,利用條件把待定系數(shù)求出來,使問題得解．
3. 平面內(nèi)與兩個定點F1,F2的距離之和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的點的軌跡叫做橢圓．這兩個定點叫做橢圓的焦點,兩焦點間的距離叫做橢圓的焦距．
集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a},|F1F2|＝2c,其中a>0,c>0,且a,c為常數(shù)：
(1)若a>c,則集合P為橢圓；
(2)若a＝c,則集合P為線段；
(3)若a0,c>0.
(1)當2a|F1F2|時,P點不存在．
5. 平面內(nèi)與一個定點F和一條定直線l(l不經(jīng)過點F)的距離相等的點的軌跡叫做拋物線．點F叫做拋物線的焦點,直線l叫做拋物線的準線．
注意：
(1)定直線l不經(jīng)過定點F.
(2)定義中包含三個定值,分別為一個定點,一條定直線及一個確定的比值.
【例5】（2023屆河北省示范性高中高三上學期調(diào)研）已知圓A：,直線l（與x軸不重合）過點交圓A于C、D兩點,過點B作直線的平行線交直線于點E.
(1)證明為定值,并求點E的軌跡方程；
(2)設點E的軌跡方程為,直線l與曲線交于M、N兩點,線段的垂直平分線交x軸于點P,是否存在實常數(shù)入,使得,若存在,求出的值；若不存在,請說明理由.
【解析】（1）,得,
當時,如圖1所示,

因為D,C都在圓A上
所以,即
又因為,所以,
所以,∴,
所以
當時,如圖2所示,

同理可得,
因此,所以點E的軌跡是以A,B為焦點的雙曲線,
故,,即,,所以,
∴為定值2,且點E的軌跡方程為.
（2）由題知,直線l的斜率不為0,設l：,
聯(lián)立消去x得,,
于是,
設,,則有,,
故,
所以線段的中點為,
從而線段的中垂線的方程為
令得,,∴
又
故,于是
即存在使得.
【點評】利用雙曲線定義求軌跡方程,關鍵是利用題中條件,確定動點到兩定點距離之差的絕對值為定值.
【例6】已知一定點,及一定直線l：,以動點M為圓心的圓M過點F,且與直線l相切．
（1）求動點M的軌跡C的方程；
（2）設P在直線l上,直線PA,PB分別與曲線C相切于A,B,N為線段AB的中點．求證：,且直線AB恒過定點．
【解析】（1）動點M為圓心的圓M過點F,且與直線l相切,
動圓圓心到定點F（0,1）與定直線y=-1的距離相等,
∴動圓圓心的軌跡為拋物線,其中F（0,1）為焦點,y=-1為準線,
,∴動圓圓心軌跡方程為x2=4y．
（2）依題意可設,
又
故切線的斜率為,
故切線
同理可得到切線
又,∴且,
故方程有兩根 ∴,

又為線段的中點,
又由得到：即
同理可得到,
故直線AB方程為：,故直線過定點.
【點評】利用拋物線定義求軌跡方程關鍵是確定動點到一定點與定直線距離相等.
(四)相關點法求曲線軌跡方程
“相關點法”求軌跡方程的基本步驟
(1)設點：設被動點坐標為(x,y),主動點坐標為(x1,y1)；
(2)求關系式：求出兩個動點坐標之間的關系式
(3)代換：將上述關系式代入已知曲線方程,便可得到所求動點的軌跡方程．
【例7】（2023屆廣東省揭陽市高三上學期調(diào)研）已知?是橢圓：的左?右焦點,點是橢圓上的動點．
(1)求的重心的軌跡方程；
(2)設點是的內(nèi)切圓圓心,求證：．

【解析】（1）連接,由三角形重心性質(zhì)知在的三等分點處（靠近原點）
設,則有
又,所以,即
的重心的軌跡方程為；
（2）根據(jù)對稱性,不妨設點在第一象限內(nèi),易知圓的半徑為等于,
利用等面積法有：
結(jié)合橢圓定義：
有,解得
由?兩點的坐標可知直線的方程為
根據(jù)圓心到直線的距離等于半徑,有
∴,∴
∴,又
化簡得,即
∴,即
由已知得,,則
所以,即．
(五)交軌法求曲線軌跡方程
求兩曲線的交點軌跡時,可由方程直接消去參數(shù),或者先引入?yún)?shù)來建立這些動曲線的聯(lián)系,然后消去參數(shù)來得到軌跡方程,稱之交軌法.若動點是兩曲線的交點,可以通過這兩曲線的方程直接求出交點的軌跡方程,也可以解方程組先求出交點坐標的參數(shù)方程,再化為普通方程.
【例8】（2022屆重慶市第八中學高三上學期月考）已知拋物線,過點的直線交拋物線于兩點,以為切點分別作拋物線的兩條切線交于點.
（1）若線段的中點的縱坐標為,求直線的方程；
（2）求動點的軌跡.
【分析】（1）聯(lián)立直線與拋物線,根據(jù)韋達定理及中點求出k即可；
（2）寫出圓的切線方程,根據(jù)P是交點可得是方程的兩根,由（1）中代入化簡即可求出.
【解析】（1）依題意有：直線的斜率必存在,故可設直線的方程為
由可得：.
設,則有
于是：,解得,
故直線的方程為
（2）設,對于拋物線,
于是：點處切線方程為,
點在該切線上,故,即.
同理：點坐標也滿足
于是：是方程的兩根,
所以
又由（1）可知：,
于是,消k得,于是的軌跡方程為,點的軌跡是一條直線.
【點評】求兩條動直線交點軌跡方程一般用交軌法
三、跟蹤檢測
1．（2023屆廣東省廣東廣雅中學高三上學期9月階段測試）已知橢圓：（）的離心率為．圓（為坐標原點）在橢圓的內(nèi)部,半徑為．,分別為橢圓和圓上的動點,且,兩點的最小距離為．
(1)求橢圓的方程；
(2),是橢圓上不同的兩點,且直線與以為直徑的圓的一個交點在圓上．求證：以為直徑的圓過定點．
【解析】（1）設橢圓的長半軸為,短半軸為,半焦距為,
由圓的性質(zhì),
當點在橢圓上運動時,當處于上下頂點時最小,故,即
依題意得,
解得,
所以的方程為.
（2）因為直線與以為直徑的圓的一個交點在圓上,
所以直線與圓相切.
（i）當直線垂直于軸時,不妨設,,
此時,所以,故以為直徑的圓過點.
（ii）當直線不垂直于軸時,設直線的方程為,,.
因為與圓相切,所以到直線的距離,
即.
由得,
所以,
,
,
,
,
所以,故以為直徑的圓過點.
綜上,以為直徑的圓過點.
2．（2023屆山西省忻州市高三上學期聯(lián)考）已知雙曲線的離心率是,點是雙曲線的一個焦點,且點到雙曲線的一條漸近線的距離是2.
(1)求雙曲線的標準方程.
(2)設點在直線上,過點作兩條直線,直線與雙曲線交于兩點,直線與雙曲線交于兩點.若直線與直線的傾斜角互補,證明：.
【解析】（1）根據(jù)雙曲線的對稱性,不妨設,其漸近線方程為,
因為焦點到雙曲線的一條漸近線的距離是2.
所以,
因為雙曲線的離心率是,
所以,,解得
所以,雙曲線的標準方程為.
（2）證明：由題意可知直線的斜率存在,設,
直線.
聯(lián)立整理得,
所以,.
故.
設直線的斜率為,同理可得.
因為直線與直線的傾斜角互補,
所以,所以,
則,即,
所以.
3．（2023屆廣東省茂名市高三上學期9月大聯(lián)考）如圖,平面直角坐標系中,點為軸上的一個動點,動點滿足,又點滿足.

(1)求動點的軌跡的方程；
(2)過曲線上的點（）的直線與,軸的交點分別為和,且,過原點的直線與平行,且與曲線交于、兩點,求面積的最大值.
【解析】（1）法一：由題意,設,,
由得,且,
由得,則,得,
代入整理得,故動點的軌跡的方程為.
法二：設,,,
設,則由得,
消去得,故動點的軌跡的方程為.
（2）如圖,設（）,又直線的斜率存在且,
設直線為：,
可得：,,
由,則,故,,
聯(lián)立,可得：,即,
又,故直線的方程為,聯(lián)立,得：,
即、的橫坐標為,
,
點到直線的距離,
,
當且僅當,即時等號成立,
面積的最大值為2.
.
4．（2023屆湖南省永州市高三上學期適應性考試）點在雙曲線上,離心率.
(1)求雙曲線的方程；
(2)是雙曲線上的兩個動點（異于點）,分別表示直線的斜率,滿足,求證：直線恒過一個定點,并求出該定點的坐標.
【解析】（1）由題意點在雙曲線上,離心率
可得； ,解出,,
所以,雙曲線的方程是
（2）①當直線的斜率不存在時,則可設,
代入,得,
則,
即,解得或,
當時,,其中一個與點重合,不合題意；
當時,直線的方程為,它與雙曲線不相交,故直線的斜率存在；
②當直線的斜率存在時,設直線的方程代入,
整理得,,設,
則,
由,
所以

所以,,
即,
整理得,
即,
所以或,
若,則,直線化為,過定點；
若,則,直線化為,它過點,舍去
綜上,直線恒過定點
5．（2023屆福建師范大學附屬中學高三上學期月考）在平面直角坐標系中, 設點, 點與兩點的距離之和為為一動點, 點滿足向量關系式：．
(1)求點的軌跡方程；
(2)設與軸交于點(在的左側(cè)), 點為上一動點 (且不與重合)． 設直線軸與直線分別交于點,取,連接,證明：為的角平分線．
【解析】（1）設點,,
則由點與兩點的距離之和為,
可得點G的軌跡是以為焦點且長軸長為的橢圓,
其軌跡方程為,
由,可得,代入點G的軌跡方程,
可得：,
所以點的軌跡方程；
（2）設點,則,即,
,令,得,
,
則點到直線的距離為：
,
要證ER為的角平分線,只需證,
又,
,
所以,當且僅當,即時,
又在上,則,即,
代入上式可得恒成立,
為的角平分線．
6．（2023屆云南省大理市轄區(qū)高三統(tǒng)一檢測）已知為橢圓C的左、右焦點,點為其上一點,且．
(1)求橢圓C的標準方程；
(2)過點的直線l與橢圓C相交于P,Q兩點,點P關于坐標原點O的對稱點R,試問的面積是否存在最大值？若存在,求出這個最大值；若不存在,請說明理由．
【解析】（1）設橢圓的標準方程為,
則解之得：
所以橢圓的標準方程為．
（2）如圖所示,設直線,

則消去x整理得,
設的面積為S,

又,
則,
令,則,
又設,則,
∴在上為增函數(shù),,∴,
所以,存在當時,即直線l的方程為的面積有最大值,其最大值為3
7．（2022屆福建省福州第十八中學高三上學期考試）已知拋物線的焦點到準線的距離為2．
(1)求的方程；
(2)已知為坐標原點,點在上,點滿足,求直線斜率的最大值．
【解析】（1）拋物線的焦點,準線方程為,
由題意,該拋物線焦點到準線的距離為,
所以該拋物線的方程為；
（2）設,則,
所以,
由在拋物線上可得,即,
據(jù)此整理可得點的軌跡方程為,
所以直線的斜率,
當時,；
當時,,
當時,因為,
此時,當且僅當,即時,等號成立；
當時,；
綜上,直線的斜率的最大值為.
8．（2023屆陜西師范大學附屬中學、渭北中學等高三上學期聯(lián)考）已知拋物線,O是坐標原點,F是C的焦點,M是C上一點,,．
(1)求拋物線C的標準方程；
(2)設點在C上,過Q作兩條互相垂直的直線,分別交C于A,B兩點（異于Q點）．證明：直線恒過定點．
【解析】（1）由,可得,
代入．
解得或（舍）,
所以拋物線的方程為：．
（2）由題意可得,直線的斜率不為0,
設直線的方程為,設,
由,得,從而,
則．
所以,
,
∵,
∴,
故,
整理得．即,
從而或,
即或．
若,則,過定點,與Q點重合,不符合；
若,則,過定點．
綜上,直線過異于Q點的定點．
9．（2023屆廣東省潮陽實驗、湛江一中、深圳實驗三校高三上學期9月聯(lián)考）已知橢圓的離心率為,橢圓上一動點與左?右焦點構(gòu)成的三角形面積最大值為.
(1)求橢圓的方程；
(2)設橢圓的左?右頂點分別為,直線交橢圓于兩點,記直線的斜率為,直線的斜率為,已知.
①求證：直線恒過定點；
②設和的面積分別為,求的最大值.
【解析】（1）由題意,解得,所以橢圓C的方程為．
（2）①依題意,設,
若直線的斜率為0則P,Q關于y軸對稱,必有,不合題意．
所以直線斜率必不為0,設其方程為,
與橢圓C聯(lián)立,整理得：,
所以,且
因為是橢圓上一點,即,
所以,則,即
因為
,
所以,此時,
故直線恒過x軸上一定點．
②由①得：,
所以
,
而,當時的最大值為．
10．（2022屆云南省紅河州高三檢測）在平面直角坐標系中,點是以原點為圓心,半徑為的圓上的一個動點.以原點為圓心,半徑為的圓與線段交于點,作軸于點,作于點.
（1）令,若,,,求點的坐標；
（2）若點的軌跡為曲線,求曲線的方程；
（3）設（2）中的曲線與軸的正半軸交于點,與軸的正負半軸分別交于點,,若點?分別滿足,,證明直線和的交點在曲線上.
【解析】（1）設,則由題知,因此；
（2）設及,則由題知,則點Q的軌跡C為橢圓,方程為：；
（3）設,由知,,,,,
,即,
,即,
聯(lián)列上述直線方程,解得
,因此交點K在橢圓C上.
11.（2022屆廣東省六校高三上學期聯(lián)考）在平面直角坐標系中,已知圓：,,動圓經(jīng)過點且與圓相外切,記動圓的圓點的軌跡為.
（1）求的方程；
（2）試問,在軸上是否存在點,使得過點的動直線交于,兩點時,恒有？若存在,求出點的坐標；若不存在,請說明理由.
【解析】（1）設動圓的半徑長為,則,,
.因此,圓心的軌跡為以、為焦點,實軸長為的雙曲線的右支,
設的方程為（）,
則根據(jù)雙曲線定義,,
,
因此的方程為（）.
（說明：沒寫的范圍扣1分）
（2）不存在滿足條件的點,理由如下：
假設存在滿足條件的點,設點的坐標為,直線的斜率為,
則直線的方程為,
由消去并整理,得,
設、,則,,（*）
由,得,即,
將,代入上式并化簡,
得.
將（*）式代入上式,有,
解得.
而當直線交于,兩點時,必須有且.
當時,,,
由無解,
則當時,不符合條件.
因此,不存在滿足條件的點.
12.（2022屆廣東省高三上學期12月大聯(lián)考）已知圓的圓心為,點是圓上的動點,點是拋物線的焦點,點在線段上,且滿足.
（1）求點的軌跡的方程；
（2）不過原點的直線與（1）中軌跡交于兩點,若線段的中點在拋物線上,求直線的斜率的取值范圍.
【解析】（1）

易知點是拋物線的焦點,,
依題意,
所以點軌跡是一個橢圓,其焦點分別為,長軸長為4,
設該橢圓的方程為,
則,
,
故點的軌跡的方程為.
（2）易知直線1的斜率存在,
設直線1：,
由得：,
,
即①又,
故,將,代,
得,
將②代入①,得：,
即,
即,即,
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