新高考數(shù)學二輪復習圓錐曲線重難點提升專題3 圓錐曲線中的長度問題（2份打包，原卷版+解析版）-試卷下載-教習網(wǎng)

圓錐曲線中的長度問題是直線與圓錐曲線中最基本的問題,一般出現(xiàn)在解答題第2問,常見的有焦半徑、弦長、兩點間距離、點到直線距離、三角形周長等,求解方法可以用兩點間距離公式、弦長公式、點到直線距離公式、函數(shù)求最值等.
二、解題秘籍
(一) 利用兩點間距離公式求線段長度
若直線與圓錐曲線的交點坐標已知或可求,可直線利用兩點間距離公式求線段長度.
【例1】（2022屆山西省呂梁市高三上學期12月月考）在平面直角坐標系 SKIPIF 1 < 0 中,已知橢圓 SKIPIF 1 < 0 的右準線為 SKIPIF 1 < 0 （定義：橢圓C的右準線方程為 SKIPIF 1 < 0 ,其中 SKIPIF 1 < 0 ）.點P是右準線上的動點,過點P作橢圓C的兩條切線,分別與y軸交于M,N兩點.當P在x軸上時, SKIPIF 1 < 0 .
（1）求橢圓C的方程；
（2）求 SKIPIF 1 < 0 的最小值.
【解析】（1）由題意可知,當P點坐標為 SKIPIF 1 < 0 時, SKIPIF 1 < 0 ,
不妨設點M在點N上方,則 SKIPIF 1 < 0 ,
所以直線 SKIPIF 1 < 0 與橢圓C相切,將直線 SKIPIF 1 < 0 與橢圓方程聯(lián)立, SKIPIF 1 < 0
消去y,整理得 SKIPIF 1 < 0 ,
則 SKIPIF 1 < 0 ,整理得 SKIPIF 1 < 0 ,
又 SKIPIF 1 < 0 ,解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 （舍去）,所以 SKIPIF 1 < 0 ,
即橢圓C的方程為 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）設 SKIPIF 1 < 0 ,切線方程為 SKIPIF 1 < 0 ,
將切線方程與橢圓聯(lián)立, SKIPIF 1 < 0
消去y,整理得 SKIPIF 1 < 0 ,
則 SKIPIF 1 < 0 ,
整理得 SKIPIF 1 < 0 ,
設切線 SKIPIF 1 < 0 斜率為 SKIPIF 1 < 0 ,直線 SKIPIF 1 < 0 斜率為 SKIPIF 1 < 0 ,
則 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,且 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 ,
將 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 代入上式,整理得 SKIPIF 1 < 0 ,
當 SKIPIF 1 < 0 時,上述等號成立,即 SKIPIF 1 < 0 的最小值為4.
(二) 利用 SKIPIF 1 < 0 求距離
設斜率為k(k≠0)的直線l與圓錐曲線C相交于A(x1,y1),B(x2,y2)兩點,則|AB|＝eq \r(1＋k2)|x2－x1|.
其中求|x2－x1|通常使用根與系數(shù)的關系,即作如下變形：|x2－x1|＝ SKIPIF 1 < 0 ,
【例2】(2022屆陜西省安康市高三下學期聯(lián)考)已知橢圓 SKIPIF 1 < 0 長軸的頂點與雙曲線 SKIPIF 1 < 0 實軸的頂點相同,且 SKIPIF 1 < 0 的右焦點 SKIPIF 1 < 0 到 SKIPIF 1 < 0 的漸近線的距離為 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 的方程；
(2)若直線 SKIPIF 1 < 0 的傾斜角是直線 SKIPIF 1 < 0 的傾斜角的 SKIPIF 1 < 0 倍,且 SKIPIF 1 < 0 經(jīng)過點 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 兩點,與 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 兩點,求 SKIPIF 1 < 0 ．
【解析】（1）由題意可得 SKIPIF 1 < 0 ,則 SKIPIF 1 < 0 ．
因為 SKIPIF 1 < 0 的漸近線方程為 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 ,
橢圓 SKIPIF 1 < 0 的右焦點為 SKIPIF 1 < 0 ,由題意可得 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,解得 SKIPIF 1 < 0 ,
故橢圓 SKIPIF 1 < 0 的方程為 SKIPIF 1 < 0 ,雙曲線 SKIPIF 1 < 0 的方程為 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）設直線 SKIPIF 1 < 0 的傾斜角為 SKIPIF 1 < 0 ,
所以,直線 SKIPIF 1 < 0 的斜率為 SKIPIF 1 < 0 ,
所以直線 SKIPIF 1 < 0 的方程為 SKIPIF 1 < 0 ,
聯(lián)立 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ,則 SKIPIF 1 < 0 ,
設 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ,則 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 ,
聯(lián)立 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
設點 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ,則 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
所以, SKIPIF 1 < 0 ,故 SKIPIF 1 < 0 ．
(三) 利用 SKIPIF 1 < 0 求距離
設斜率為k(k≠0)的直線l與圓錐曲線C相交于A(x1,y1),B(x2,y2)兩點,則|AB|＝eq \r(1＋\f(1,k2))|y2－y1|.當消去x整理方程為關于y的一元二次方程常用此結論.其中求|y2－y1|時通常使用根與系數(shù)的關系,即作如下變形：|y2－y1|＝ SKIPIF 1 < 0 .
【例3】（2023屆重慶市巴蜀中學校高三上學期月考）已知橢圓 SKIPIF 1 < 0 的離心率 SKIPIF 1 < 0 ；上頂點為A,右頂點為 SKIPIF 1 < 0 ,直線 SKIPIF 1 < 0 與圓 SKIPIF 1 < 0 相切.
(1)求橢圓 SKIPIF 1 < 0 的標準方程；
(2)設與圓 SKIPIF 1 < 0 相切的直線 SKIPIF 1 < 0 與橢圓相交于 SKIPIF 1 < 0 兩點, SKIPIF 1 < 0 為弦 SKIPIF 1 < 0 的中點, SKIPIF 1 < 0 為坐標原點.求 SKIPIF 1 < 0 的取值范圍.
【解析】（1）由 SKIPIF 1 < 0 知 SKIPIF 1 < 0 ,
原點 SKIPIF 1 < 0 到直線 SKIPIF 1 < 0 的距離為 SKIPIF 1 < 0 ,故 SKIPIF 1 < 0 ,
故橢圓 SKIPIF 1 < 0 的標準方程為 SKIPIF 1 < 0 .
（2） SKIPIF 1 < 0 時： SKIPIF 1 < 0 ,或 SKIPIF 1 < 0 ,故 SKIPIF 1 < 0 ；
直線 SKIPIF 1 < 0 斜率不存在時, SKIPIF 1 < 0 ,或 SKIPIF 1 < 0 ．故 SKIPIF 1 < 0 ；
直線 SKIPIF 1 < 0 斜率存在且不為0時：設直線 SKIPIF 1 < 0 的方程為 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ）,
由直線 SKIPIF 1 < 0 與圓 SKIPIF 1 < 0 相切,所以 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 ,
聯(lián)立 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ,
設 SKIPIF 1 < 0 ,
由韋達定理： SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 中點 SKIPIF 1 < 0 的坐標為 SKIPIF 1 < 0 ,
故 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ,
故 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 ,當且僅當 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 時等號成立,
SKIPIF 1 < 0
綜上： SKIPIF 1 < 0 的取值范圍是 SKIPIF 1 < 0 .
(四) 利用點到直線距離公式求垂線段的長
1.若已知定點P,點Q在動直線上,求 SKIPIF 1 < 0 最小值,常利用點到直線距離公式；
2.若點P在定直線上,點Q為曲線上,求 SKIPIF 1 < 0 最小值,有時可轉換為與定直線平行的切線的切點到定直線的距離.
【例4】（2023屆上海市華東師范大學第二附屬中學高三上學期考試）設有橢圓方程 SKIPIF 1 < 0 ,直線 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 下端點為 SKIPIF 1 < 0 ,左?右焦點分別為 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上.
(1)若 SKIPIF 1 < 0 中點在 SKIPIF 1 < 0 軸上,求點 SKIPIF 1 < 0 的坐標；
(2)直線 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 軸交于 SKIPIF 1 < 0 ,直線 SKIPIF 1 < 0 經(jīng)過右焦點 SKIPIF 1 < 0 ,且 SKIPIF 1 < 0 ,求 SKIPIF 1 < 0 ；
(3)在橢圓 SKIPIF 1 < 0 上存在一點 SKIPIF 1 < 0 到 SKIPIF 1 < 0 距離為 SKIPIF 1 < 0 ,使 SKIPIF 1 < 0 ,當 SKIPIF 1 < 0 變化時,求 SKIPIF 1 < 0 的最小值.
【解析】（1）因為左焦點 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 ,由題知 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
又因為 SKIPIF 1 < 0 中點在 SKIPIF 1 < 0 軸上,所以點 SKIPIF 1 < 0 的縱坐標為1,代入 SKIPIF 1 < 0 中的 SKIPIF 1 < 0 ,
所以點 SKIPIF 1 < 0 坐標為 SKIPIF 1 < 0 .
（2）
如圖,設直線 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 軸交點為 SKIPIF 1 < 0 ,
因為直線 SKIPIF 1 < 0 為 SKIPIF 1 < 0 ,所以直線 SKIPIF 1 < 0 的傾斜角為 SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 ①,
由題意知, SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,所以在 SKIPIF 1 < 0 中, SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 ,整理可得 SKIPIF 1 < 0 ,解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ,
又因為 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 舍去, SKIPIF 1 < 0 .
（3）設直線 SKIPIF 1 < 0 平移后與橢圓相切的直線 SKIPIF 1 < 0 方程為 SKIPIF 1 < 0 ,聯(lián)立 SKIPIF 1 < 0 ,
得 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 ,
因為橢圓上存在點 SKIPIF 1 < 0 到直線 SKIPIF 1 < 0 的距離為 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 ①,同時 SKIPIF 1 < 0 ,
又因為 SKIPIF 1 < 0 ,所以①式右側肯定成立,左側可以整理為 SKIPIF 1 < 0 ,
解得 SKIPIF 1 < 0 ,
因為 SKIPIF 1 < 0 ,所以當 SKIPIF 1 < 0 取得最小值 SKIPIF 1 < 0 時, SKIPIF 1 < 0 有最大值,最大值為 SKIPIF 1 < 0 .
(五) 利用函數(shù)思想求距離最值
求圓錐曲線上的動點到一定點距離的最值,有時可設出動點坐標,利用距離公式把問題轉化為函數(shù)求最值.
【例5】已知橢圓 SKIPIF 1 < 0 的長軸長為 SKIPIF 1 < 0 ,點 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上.
（1）求 SKIPIF 1 < 0 的方程；
（2）設 SKIPIF 1 < 0 的上頂點為A,右頂點為B,直線 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 平行,且與 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 兩點, SKIPIF 1 < 0 ,點 SKIPIF 1 < 0 為 SKIPIF 1 < 0 的右焦點,求 SKIPIF 1 < 0 的最小值.
【解析】（1）因為 SKIPIF 1 < 0 的長軸長為 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 .
又點 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上,所以 SKIPIF 1 < 0 ,代入 SKIPIF 1 < 0 ,解得 SKIPIF 1 < 0 ,
故 SKIPIF 1 < 0 的方程為 SKIPIF 1 < 0 .
（2）由（1）可知,A,B的坐標分別為 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
直線 SKIPIF 1 < 0 的方程為 SKIPIF 1 < 0 ,
設 SKIPIF 1 < 0 ,
聯(lián)立 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ,
由 SKIPIF 1 < 0 ,得 SKIPIF 1 < 0 ,
設 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,因為 SKIPIF 1 < 0 ,所以D為MN的中點,
則 SKIPIF 1 < 0 ,
因為 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 ,
又 SKIPIF 1 < 0 的坐標為 SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ,
因為 SKIPIF 1 < 0 ,所以當 SKIPIF 1 < 0 時, SKIPIF 1 < 0 取得最小值,且最小值為 SKIPIF 1 < 0 .
(六) 利用圓錐曲線定義求長度
與圓錐曲線焦點弦或焦半徑有關的長度計算可利用圓錐曲線定義求解.
【例6】（2022屆湖南省長沙市寧鄉(xiāng)市高三下學期5月模擬）已知拋物線 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 的焦點與橢圓 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 的右焦點 SKIPIF 1 < 0 重合,橢圓 SKIPIF 1 < 0 的長軸長為 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求橢圓 SKIPIF 1 < 0 的方程；
(2)過點 SKIPIF 1 < 0 且斜率為 SKIPIF 1 < 0 的直線 SKIPIF 1 < 0 交橢圓 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 兩點,交拋物線 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 兩點,請問是否存在實常數(shù) SKIPIF 1 < 0 ,使 SKIPIF 1 < 0 為定值？若存在,求出 SKIPIF 1 < 0 的值；若不存在,說明理由.
【解析】（1）因為拋物線 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 的焦點為 SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 ,又 SKIPIF 1 < 0 ,則 SKIPIF 1 < 0 ,
故橢圓 SKIPIF 1 < 0 的方程為： SKIPIF 1 < 0 ；
（2）設 SKIPIF 1 < 0 ? SKIPIF 1 < 0 ? SKIPIF 1 < 0 ? SKIPIF 1 < 0 ,
設直線 SKIPIF 1 < 0 的方程為 SKIPIF 1 < 0 ,與橢圓 SKIPIF 1 < 0 的方程聯(lián)立 SKIPIF 1 < 0 ,
得 SKIPIF 1 < 0 ,
∴ SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
∴ SKIPIF 1 < 0 ,
設直線 SKIPIF 1 < 0 的方程 SKIPIF 1 < 0 ,與拋物線G的方程聯(lián)立 SKIPIF 1 < 0 ,
得 SKIPIF 1 < 0 ,
∴ SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
∴ SKIPIF 1 < 0 ,
∴ SKIPIF 1 < 0 ,
要使 SKIPIF 1 < 0 為常數(shù),則 SKIPIF 1 < 0 ,解得 SKIPIF 1 < 0 ,
故存在 SKIPIF 1 < 0 ,使得 SKIPIF 1 < 0 為定值 SKIPIF 1 < 0 ．
【例7】（2023屆江蘇省南京市高三上學期測試）已知點B是圓C: SKIPIF 1 < 0 上的任意一點,點F（ SKIPIF 1 < 0 ,0）,線段BF的垂直平分線交BC于點P.
(1)求動點Р的軌跡E的方程;
(2)設曲線E與x軸的兩個交點分別為A1,A2,Q為直線x=4上的動點,且Q不在x軸上,QA1與E的另一個交點為M,QA2與E的另一個交點為N,證明: △FMN的周長為定值.
【解析】（1）因為點P在BF垂直平分線上,所以有 SKIPIF 1 < 0 ,
所以： SKIPIF 1 < 0 ,即PF+PC為定值4 SKIPIF 1 < 0 ,
所以軌跡E為橢圓,且 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 ,
所以軌跡E的方程為： SKIPIF 1 < 0 .
（2）由題知： SKIPIF 1 < 0 ,
設 SKIPIF 1 < 0
則 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
所以QA1方程為： SKIPIF 1 < 0 ,QA2方程為： SKIPIF 1 < 0 ,
聯(lián)立方程： SKIPIF 1 < 0 ,可以得出M： SKIPIF 1 < 0
同理可以計算出點N坐標： SKIPIF 1 < 0 ,
當 SKIPIF 1 < 0 存在,即 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 時, SKIPIF 1 < 0
所以直線MN的方程為： SKIPIF 1 < 0
即： SKIPIF 1 < 0 ,所以直線過定點 SKIPIF 1 < 0 ,
即過橢圓的右焦點 SKIPIF 1 < 0 ,所以△FMN的周長為4a=8.
當 SKIPIF 1 < 0 不存在,即 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 時,
可以計算出 SKIPIF 1 < 0 ,周長也等于8.
所以△FMN的周長為定值8.
三、跟蹤檢測
1．（2023屆北京市高三上學期入學定位考試）已知橢圓C： SKIPIF 1 < 0 （其中 SKIPIF 1 < 0 ）的離心率為 SKIPIF 1 < 0 ,左右焦點分別為 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 .
(1)求橢圓C的方程；
(2)過點 SKIPIF 1 < 0 作斜率為k的直線與橢圓C交于不同的A,B兩點,過原點作AB的垂線,垂足為D.若點D恰好是 SKIPIF 1 < 0 與A的中點,求線段AB的長度.
2．（2023屆福建省部分名校高三上學期9月聯(lián)考）已知兩點 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,動點 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 軸的投影為 SKIPIF 1 < 0 ,且 SKIPIF 1 < 0 ,記動點 SKIPIF 1 < 0 的軌跡為曲線 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求 SKIPIF 1 < 0 的方程.
(2)過點 SKIPIF 1 < 0 的直線與曲線 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 軸右側相交于 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 兩點,線段 SKIPIF 1 < 0 的垂直平分線與 SKIPIF 1 < 0 軸相交于點 SKIPIF 1 < 0 ,試問 SKIPIF 1 < 0 是否為定值？若是,求出該定值；若不是,請說明理由.
3．（2023屆四川省巴中市高三上學期考試）已知橢圓 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 的左、右頂點分別為 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ,點 SKIPIF 1 < 0 在橢圓 SKIPIF 1 < 0 上,且直線 SKIPIF 1 < 0 的斜率與直線 SKIPIF 1 < 0 的斜率之積為 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求橢圓 SKIPIF 1 < 0 的方程；
(2)若圓 SKIPIF 1 < 0 的切線 SKIPIF 1 < 0 與橢圓 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 兩點,求 SKIPIF 1 < 0 的最大值及此時直線 SKIPIF 1 < 0 的斜率．
4．（2023屆安徽省部分校高三上學期摸底考）已知 SKIPIF 1 < 0 為坐標原點,橢圓 SKIPIF 1 < 0 過點 SKIPIF 1 < 0 ,記線段 SKIPIF 1 < 0 的中點為 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)若直線 SKIPIF 1 < 0 的斜率為 3 ,求直線 SKIPIF 1 < 0 的斜率;
(2)若四邊形 SKIPIF 1 < 0 為平行四邊形,求 SKIPIF 1 < 0 的取值范圍．
5.（2023屆遼寧省朝陽市高三上學期9月月考）已知雙曲線 SKIPIF 1 < 0 的離心率為 SKIPIF 1 < 0 ,點 SKIPIF 1 < 0 在雙曲線 SKIPIF 1 < 0 上.
(1)求雙曲線 SKIPIF 1 < 0 的方程；
(2)點 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 在雙曲線 SKIPIF 1 < 0 上,直線 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 軸分別相交于 SKIPIF 1 < 0 兩點,點 SKIPIF 1 < 0 在直線 SKIPIF 1 < 0 上,若坐標原點 SKIPIF 1 < 0 為線段 SKIPIF 1 < 0 的中點, SKIPIF 1 < 0 ,證明：存在定點 SKIPIF 1 < 0 ,使得 SKIPIF 1 < 0 為定值.
6.（2023屆北京市房山區(qū)高三上學期考試）已知橢圓 SKIPIF 1 < 0 的長軸的兩個端點分別為 SKIPIF 1 < 0 離心率為 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求橢圓C的標準方程；
(2)M為橢圓C上除A,B外任意一點,直線 SKIPIF 1 < 0 交直線 SKIPIF 1 < 0 于點N,點O為坐標原點,過點O且與直線 SKIPIF 1 < 0 垂直的直線記為l,直線 SKIPIF 1 < 0 交y軸于點P,交直線l于點Q,求證： SKIPIF 1 < 0 為定值．
7．（2022屆浙江省“數(shù)海漫游”高三上學期模擬）已知斜率為k的直線l與拋物線y2=4x交于A?B兩點,y軸上的點P使得△ABP是等邊三角形.
（1）若k>0,證明：點P在y軸正半軸上；
（2）當 SKIPIF 1 < 0 取到最大值時,求實數(shù)k的值.
8．（2022屆上海市建平中學高三上學期考試）設實數(shù) SKIPIF 1 < 0 ,橢圓D： SKIPIF 1 < 0 的右焦點為F,過F且斜率為k的直線交D于P、Q兩點,若線段PQ的中為N,點O是坐標原點,直線ON交直線 SKIPIF 1 < 0 于點M．
（1）若點P的橫坐標為1,求點Q的橫坐標；
（2）求證： SKIPIF 1 < 0 ；
（3）求 SKIPIF 1 < 0 的最大值．
9．（2022屆江蘇省南京高三上學期12月聯(lián)考）已知橢圓C： SKIPIF 1 < 0 0)的離心率為 SKIPIF 1 < 0 ,右頂點為A,過點B(a,1)的直線l與橢圓C交于不同的兩點M,N,其中點M在第一象限當點M,N關于原點對稱時,點M的橫坐標為 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求橢圓C的方程；
（2）過點N作x軸的垂線,與直線AM交于點P,Q為線段NP的中點,求直線AQ的斜率,并求線段AQ長度的最大值．
10．（2022屆廣東省華南師范大學附屬中學高三上學期綜合測試）已知橢圓 SKIPIF 1 < 0 經(jīng)過點 SKIPIF 1 < 0 ,離心率為 SKIPIF 1 < 0 .
（1）求橢圓 SKIPIF 1 < 0 的方程；
（2）直線 SKIPIF 1 < 0 與橢圓 SKIPIF 1 < 0 相交于 SKIPIF 1 < 0 兩點,求 SKIPIF 1 < 0 的最大值.
11．（2022屆百校聯(lián)盟高三上學期11月質監(jiān)）在平面直角坐標系 SKIPIF 1 < 0 中,動點 SKIPIF 1 < 0 ,滿足 SKIPIF 1 < 0 ,記點 SKIPIF 1 < 0 的軌跡為 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）請說明 SKIPIF 1 < 0 是什么曲線,并寫出它的方程；
（2）設不過原點 SKIPIF 1 < 0 且斜率為 SKIPIF 1 < 0 的直線 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 交于不同的兩點 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,線段 SKIPIF 1 < 0 的中點為 SKIPIF 1 < 0 ,直線 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 交于兩點 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,請判斷 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 的關系,并證明你的結論．
12．（2022屆河南省縣級示范性高中高三上學期11月尖子生對抗賽）已知橢圓 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ）與過原點的直線相交于 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 兩點,上頂點 SKIPIF 1 < 0 滿足 SKIPIF 1 < 0 （其中 SKIPIF 1 < 0 表示直線的概率）．
（1）求橢圓 SKIPIF 1 < 0 的標準方程；
（2）若與直線 SKIPIF 1 < 0 平行且過橢圓 SKIPIF 1 < 0 的右焦點 SKIPIF 1 < 0 的直線 SKIPIF 1 < 0 交橢圓 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 兩點,證明： SKIPIF 1 < 0 為定值．
13．（2022屆江蘇省泰州市高三上學期12月階段性測試）已知橢圓 SKIPIF 1 < 0 ,短軸長為 SKIPIF 1 < 0 ,離心率為 SKIPIF 1 < 0 .過右焦點 SKIPIF 1 < 0 且不與坐標軸垂直的直線 SKIPIF 1 < 0 交橢圓于 SKIPIF 1 < 0 ? SKIPIF 1 < 0 兩點, SKIPIF 1 < 0 的中垂線交 SKIPIF 1 < 0 軸于點 SKIPIF 1 < 0 ,交直線 SKIPIF 1 < 0 于點 SKIPIF 1 < 0 .
（1）求 SKIPIF 1 < 0 的方程；
（2）求 SKIPIF 1 < 0 的大?。?br>（3）證明： SKIPIF 1 < 0 ? SKIPIF 1 < 0 ? SKIPIF 1 < 0 ? SKIPIF 1 < 0 四點共圓.
14．（2022屆上海市黃浦區(qū)高三一模）設常數(shù) SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ,橢圓 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 ,點 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 上的動點．
（1）若點 SKIPIF 1 < 0 的坐標為 SKIPIF 1 < 0 ,求 SKIPIF 1 < 0 的焦點坐標；
（2）設 SKIPIF 1 < 0 ,若定點 SKIPIF 1 < 0 的坐標為 SKIPIF 1 < 0 ,求 SKIPIF 1 < 0 的最大值與最小值；
（3）設 SKIPIF 1 < 0 ,若 SKIPIF 1 < 0 上的另一動點 SKIPIF 1 < 0 滿足 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 為坐標原點）,求證： SKIPIF 1 < 0 到直線PQ的距離是定值．
15．（2022屆重慶市巴蜀中學高三上學期月考）已知圓 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 為圓 SKIPIF 1 < 0 上的動點,若線段 SKIPIF 1 < 0 的垂直平分線交 SKIPIF 1 < 0 于點 SKIPIF 1 < 0 .
（1）求動點 SKIPIF 1 < 0 的軌跡 SKIPIF 1 < 0 的方程；
（2）已知 SKIPIF 1 < 0 為 SKIPIF 1 < 0 上一點,過 SKIPIF 1 < 0 作斜率互為相反數(shù)且不為0的兩條直線 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 分別交曲線 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,求 SKIPIF 1 < 0 的取值范圍.

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