斜率問(wèn)題也是高考圓錐曲線考查的熱點(diǎn),主要有以下類型：利用斜率求解三點(diǎn)共線問(wèn)題；與斜率之和或斜率之積為定值有關(guān)的問(wèn)題；與斜率有關(guān)的定值問(wèn)題；與斜率有關(guān)的范圍問(wèn)題.
二、解題秘籍
(一) 利用斜率求解三點(diǎn)共線問(wèn)題
利用斜率判斷或證明點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 共線,通常是利用 SKIPIF 1 < 0 .
【例1】（2023屆廣東省部分學(xué)校高三上學(xué)期聯(lián)考）設(shè)直線 SKIPIF 1 < 0 與雙曲線 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 的兩條漸近線分別交于 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 兩點(diǎn),且三角形 SKIPIF 1 < 0 的面積為 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求 SKIPIF 1 < 0 的值；
(2)已知直線 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 軸不垂直且斜率不為0, SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 交于兩個(gè)不同的點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 關(guān)于 SKIPIF 1 < 0 軸的對(duì)稱點(diǎn)為 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 為 SKIPIF 1 < 0 的右焦點(diǎn),若 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 三點(diǎn)共線,證明：直線 SKIPIF 1 < 0 經(jīng)過(guò) SKIPIF 1 < 0 軸上的一個(gè)定點(diǎn).
【解析】（1）雙曲線 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 的漸近線方程為 SKIPIF 1 < 0 ,
不妨設(shè) SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0
因?yàn)槿切?SKIPIF 1 < 0 的面積為 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 ,又 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 .
（2）雙曲線 SKIPIF 1 < 0 的方程為 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 ,所以右焦點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 的坐標(biāo)為 SKIPIF 1 < 0 ,
若直線 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 軸交于點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ,故可設(shè)直線 SKIPIF 1 < 0 的方程為 SKIPIF 1 < 0 ,
設(shè) SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,則 SKIPIF 1 < 0 ,
聯(lián)立 SKIPIF 1 < 0 ,得 SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ,
化簡(jiǎn)得 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
因?yàn)橹本€ SKIPIF 1 < 0 的斜率存在,所以直線 SKIPIF 1 < 0 的斜率也存在,
因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 三點(diǎn)共線,所以 SKIPIF 1 < 0 ,
即 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 ,
因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 ,
化簡(jiǎn)得 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 經(jīng)過(guò) SKIPIF 1 < 0 軸上的定點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 .
【例2】（2022屆北京市一六一中學(xué)高三上學(xué)期期中）已知橢圓 SKIPIF 1 < 0 的左?右頂點(diǎn)分別為A,B,右焦點(diǎn)為F,直線 SKIPIF 1 < 0 .
（1）若橢圓W的左頂點(diǎn)A關(guān)于直線 SKIPIF 1 < 0 的對(duì)稱點(diǎn)在直線 SKIPIF 1 < 0 上,求m的值；
（2）過(guò)F的直線 SKIPIF 1 < 0 與橢圓W相交于不同的兩點(diǎn)C,D（不與點(diǎn)A,B重合）,直線 SKIPIF 1 < 0 與直線 SKIPIF 1 < 0 相交于點(diǎn)M,求證：A,D,M三點(diǎn)共線.
【解析】（1）由題意知,
直線 SKIPIF 1 < 0 的斜率存在,且斜率為 SKIPIF 1 < 0 ,
設(shè)點(diǎn)A關(guān)于直線 SKIPIF 1 < 0 對(duì)稱的點(diǎn)為 SKIPIF 1 < 0 ,則 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0
所以線段 SKIPIF 1 < 0 的中點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 在直線 SKIPIF 1 < 0 上,又 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
有 SKIPIF 1 < 0 ,解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）已知 SKIPIF 1 < 0 ,
當(dāng)直線 SKIPIF 1 < 0 的斜率不存在時(shí), SKIPIF 1 < 0 ：x=1,此時(shí) SKIPIF 1 < 0 ,
有 SKIPIF 1 < 0 ,所以直線 SKIPIF 1 < 0 ,當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí), SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 ,
即A、D、M三點(diǎn)共線；
當(dāng)直線 SKIPIF 1 < 0 的斜率存在時(shí),設(shè)直線 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 ,
則 SKIPIF 1 < 0 ,得 SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 ,
設(shè) SKIPIF 1 < 0 ,則 SKIPIF 1 < 0 ,
直線BC的方程為 SKIPIF 1 < 0 ,令 SKIPIF 1 < 0 ,得 SKIPIF 1 < 0 ,
所以直線AD、AM的斜率分別為 SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 ,
上式的分子
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 ,即A、D、M三點(diǎn)共線.
綜上,A、D、M三點(diǎn)共線.
(二)根據(jù)兩直線斜率之和為定值研究圓錐曲線性質(zhì)
1.設(shè)點(diǎn)是橢圓C：上一定點(diǎn),點(diǎn)A,B是橢圓C上不同于P的兩點(diǎn),若,則時(shí)直線AB斜率為定值,若,則直線AB過(guò)定點(diǎn),
2. 設(shè)點(diǎn)是雙曲線C：一定點(diǎn),點(diǎn)A,B是雙曲線C上不同于P的兩點(diǎn),若,則時(shí)直線AB斜率為定值,若,則直線AB過(guò)定點(diǎn)；
3. 設(shè)點(diǎn)是拋物線C：一定點(diǎn),點(diǎn)A,B是拋物線C上不同于P的兩點(diǎn),若,則時(shí)直線AB斜率為定值,若,則直線AB過(guò)定點(diǎn)；
【例3】（2023屆山西省山西大附屬中學(xué)高三上學(xué)期診斷）若點(diǎn)P在直線 SKIPIF 1 < 0 上,證明直線 SKIPIF 1 < 0 關(guān)于 SKIPIF 1 < 0 對(duì)稱,或證明直線 SKIPIF 1 < 0 平分 SKIPIF 1 < 0 ,可證明 SKIPIF 1 < 0 .
已知橢圓 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 的左、右焦點(diǎn)分別為 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 是橢圓 SKIPIF 1 < 0 的一個(gè)頂點(diǎn), SKIPIF 1 < 0 是等腰直角三角形．
(1)求橢圓 SKIPIF 1 < 0 的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)過(guò)點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 分別作直線 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 交橢圓于A, SKIPIF 1 < 0 兩點(diǎn),設(shè)兩直線 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 的斜率分別為 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,且 SKIPIF 1 < 0 ,證明：直線 SKIPIF 1 < 0 過(guò)定點(diǎn)．
【解析】（1）由題意點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 是橢圓 SKIPIF 1 < 0 的一個(gè)頂點(diǎn),知 SKIPIF 1 < 0 ,
因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 是等腰直角三角形,所以 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 ,
所以橢圓 SKIPIF 1 < 0 的標(biāo)準(zhǔn)方程為： SKIPIF 1 < 0 ．
（2）若直線 SKIPIF 1 < 0 的斜率存在,設(shè)其方程為 SKIPIF 1 < 0 ,由題意知 SKIPIF 1 < 0 ．
由 SKIPIF 1 < 0 ,得 SKIPIF 1 < 0 ,
由題意知 SKIPIF 1 < 0 ,設(shè) SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 ,整理得 SKIPIF 1 < 0 ,
故直線 SKIPIF 1 < 0 的方程為 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 ,
所以直線 SKIPIF 1 < 0 過(guò)定點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ．
若直線 SKIPIF 1 < 0 的斜率不存在,設(shè)其方程為 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ．
由題意得 SKIPIF 1 < 0 ,解得 SKIPIF 1 < 0 ,
此時(shí)直線 SKIPIF 1 < 0 的方程為 SKIPIF 1 < 0 ,顯然過(guò)點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ．
綜上,直線 SKIPIF 1 < 0 過(guò)定點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ．
【例4】（2023屆江蘇省南通市如皋市高三上學(xué)期教學(xué)質(zhì)量調(diào)研）已知點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 在雙曲線 SKIPIF 1 < 0 上,直線l交C于 SKIPIF 1 < 0 兩點(diǎn),直線 SKIPIF 1 < 0 的斜率之和為 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求l的斜率;
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ,求 SKIPIF 1 < 0 的面積.
【解析】（1）將點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 代入 SKIPIF 1 < 0 中,得 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 ,
解得 SKIPIF 1 < 0 ,故雙曲線方程為 SKIPIF 1 < 0 ；
由題意知直線l的斜率存在,設(shè) SKIPIF 1 < 0 ,設(shè) SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
則聯(lián)立直線與雙曲線 SKIPIF 1 < 0 得： SKIPIF 1 < 0 ,
需滿足 SKIPIF 1 < 0 ,
故 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 ,
化簡(jiǎn)得： SKIPIF 1 < 0 ,
故 SKIPIF 1 < 0 ,
即 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 ,
由題意可知直線l不過(guò)A點(diǎn),即 SKIPIF 1 < 0 ,
故l的斜率 SKIPIF 1 < 0
（2）設(shè)直線AP的傾斜角為 SKIPIF 1 < 0 ,由 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
得 SKIPIF 1 < 0 ,（負(fù)值舍去）,
由直線 SKIPIF 1 < 0 的斜率之和為 SKIPIF 1 < 0 ,可知 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 ,
則 SKIPIF 1 < 0 ,得 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 ,
聯(lián)立 SKIPIF 1 < 0 ,及 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
將 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 代入 SKIPIF 1 < 0 中,得 SKIPIF 1 < 0 ,
故 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
而 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
由 SKIPIF 1 < 0 ,得 SKIPIF 1 < 0 ,
故 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 .
【例5】(2022屆廣東省深圳市高三上學(xué)期月考)已知拋物線 SKIPIF 1 < 0 的焦點(diǎn)為 SKIPIF 1 < 0 ,其中 SKIPIF 1 < 0 為 SKIPIF 1 < 0 的準(zhǔn)線上一點(diǎn), SKIPIF 1 < 0 是坐標(biāo)原點(diǎn),且 SKIPIF 1 < 0 .
（1）求拋物線 SKIPIF 1 < 0 的方程；
（2）過(guò) SKIPIF 1 < 0 的動(dòng)直線與 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 兩點(diǎn),問(wèn)：在 SKIPIF 1 < 0 軸上是否存在定點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ,使得 SKIPIF 1 < 0 軸平分 SKIPIF 1 < 0 若存在,求出點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 的坐標(biāo)；若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
【解析】（1）拋物線 SKIPIF 1 < 0 的焦點(diǎn)為 SKIPIF 1 < 0
設(shè) SKIPIF 1 < 0 ,則 SKIPIF 1 < 0
因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 ,得 SKIPIF 1 < 0 .
所以拋物線 SKIPIF 1 < 0 的方程為 SKIPIF 1 < 0 ;
（2）假設(shè)在 SKIPIF 1 < 0 軸上存在定點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ,使得 SKIPIF 1 < 0 軸平分 SKIPIF 1 < 0 .
設(shè)動(dòng)直線的方程為 SKIPIF 1 < 0 ,點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ,
聯(lián)立 SKIPIF 1 < 0 ,可得 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 恒成立,
SKIPIF 1 < 0
設(shè)直線 SKIPIF 1 < 0 的斜率分別為 SKIPIF 1 < 0 ,則
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
由定點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ,使得 SKIPIF 1 < 0 軸平分 SKIPIF 1 < 0 ,則 SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 .把根與系數(shù)的關(guān)系代入可得 SKIPIF 1 < 0 ,
得 SKIPIF 1 < 0 .
故存在 SKIPIF 1 < 0 滿足題意.
綜上所述,在 SKIPIF 1 < 0 軸上存在定點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ,使得 SKIPIF 1 < 0 軸平分 SKIPIF 1 < 0 .
(三) 根據(jù)兩直線斜率之積為定值研究圓錐曲線性質(zhì)
1.若點(diǎn)A,B是橢圓C： SKIPIF 1 < 0 上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn),點(diǎn)P是橢圓C上與A,B不重合的點(diǎn),則 SKIPIF 1 < 0 ；若點(diǎn)A,B是雙曲線C： SKIPIF 1 < 0 上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn),點(diǎn)P是雙曲線C上與A,B不重合的點(diǎn),則 SKIPIF 1 < 0 .
2.若圓錐曲線上任意一點(diǎn)P作兩條直線與該圓錐曲線分別交于點(diǎn)A,B,若 SKIPIF 1 < 0 為定值,則直線AB過(guò)定點(diǎn).
【例6】(2022屆黑龍江省大慶高三上學(xué)期期中)在平面直角坐標(biāo)系 SKIPIF 1 < 0 中,已知橢圓 SKIPIF 1 < 0 的左、右頂點(diǎn)和右焦點(diǎn)分別為 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ,直線 SKIPIF 1 < 0 與橢圓 SKIPIF 1 < 0 交于不同的兩點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ,記直線 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 的斜率分別為 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 .
（1）求證： SKIPIF 1 < 0 為定值；
（2）若 SKIPIF 1 < 0 ,求 SKIPIF 1 < 0 的周長(zhǎng).
【解析】（1）證明：設(shè) SKIPIF 1 < 0 ,易知 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ,其中 SKIPIF 1 < 0 ,則 SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 為定值.
（2）解： SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 ,
設(shè) SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ,而 SKIPIF 1 < 0 ,
聯(lián)立 SKIPIF 1 < 0 ,
則 SKIPIF 1 < 0 ,
且 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 .
所以, SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
所以, SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
故直線 SKIPIF 1 < 0 恒過(guò)橢圓 SKIPIF 1 < 0 的左焦點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ,所以, SKIPIF 1 < 0 的周長(zhǎng)為 SKIPIF 1 < 0 .
【例7】（2023屆湖南省永州市高三上學(xué)期第一次適應(yīng)性考試）點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 在雙曲線 SKIPIF 1 < 0 上,離心率 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求雙曲線 SKIPIF 1 < 0 的方程；
(2) SKIPIF 1 < 0 是雙曲線 SKIPIF 1 < 0 上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)（異于點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ）, SKIPIF 1 < 0 分別表示直線 SKIPIF 1 < 0 的斜率,滿足 SKIPIF 1 < 0 ,求證：直線 SKIPIF 1 < 0 恒過(guò)一個(gè)定點(diǎn),并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).
【解析】（1）由題意點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 在雙曲線 SKIPIF 1 < 0 上,離心率 SKIPIF 1 < 0
可得； SKIPIF 1 < 0 ,解出, SKIPIF 1 < 0 ,
所以,雙曲線 SKIPIF 1 < 0 的方程是 SKIPIF 1 < 0
（2）①當(dāng)直線 SKIPIF 1 < 0 的斜率不存在時(shí),則可設(shè) SKIPIF 1 < 0 ,
代入 SKIPIF 1 < 0 ,得 SKIPIF 1 < 0 ,
則 SKIPIF 1 < 0 ,
即 SKIPIF 1 < 0 ,解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ,
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí), SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 其中一個(gè)與點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 重合,不合題意；
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí),直線 SKIPIF 1 < 0 的方程為 SKIPIF 1 < 0 ,它與雙曲線 SKIPIF 1 < 0 不相交,故直線 SKIPIF 1 < 0 的斜率存在；
②當(dāng)直線 SKIPIF 1 < 0 的斜率存在時(shí),設(shè)直線 SKIPIF 1 < 0 的方程 SKIPIF 1 < 0 代入 SKIPIF 1 < 0 ,
整理得, SKIPIF 1 < 0 ,設(shè) SKIPIF 1 < 0 ,
則 SKIPIF 1 < 0 ,
由 SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
所以, SKIPIF 1 < 0 ,
即 SKIPIF 1 < 0 ,
整理得 SKIPIF 1 < 0 ,
即 SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ,
若 SKIPIF 1 < 0 ,則 SKIPIF 1 < 0 ,直線 SKIPIF 1 < 0 化為 SKIPIF 1 < 0 ,過(guò)定點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ；
若 SKIPIF 1 < 0 ,則 SKIPIF 1 < 0 ,直線 SKIPIF 1 < 0 化為 SKIPIF 1 < 0 ,它過(guò)點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ,舍去
綜上,直線 SKIPIF 1 < 0 恒過(guò)定點(diǎn) SKIPIF 1 < 0
另解：
設(shè)直線 SKIPIF 1 < 0 的方程為 SKIPIF 1 < 0 ①,
雙曲線 SKIPIF 1 < 0 的方程 SKIPIF 1 < 0 可化為 SKIPIF 1 < 0 ,
即 SKIPIF 1 < 0 ②,
由①②可得 SKIPIF 1 < 0 ,
整理可得 SKIPIF 1 < 0 ,
兩邊同時(shí)除以 SKIPIF 1 < 0 ,
整理得 SKIPIF 1 < 0 ③,
SKIPIF 1 < 0 ,
則 SKIPIF 1 < 0 是方程③的兩個(gè)不同的根,
所以 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 ④,
由①④可得 SKIPIF 1 < 0 ,解得 SKIPIF 1 < 0 ,
故直線 SKIPIF 1 < 0 恒過(guò)定點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 .
(四)判斷或證明與斜率有關(guān)的定值與范圍問(wèn)題
1.判斷或證明與斜率有關(guān)的定值問(wèn)題,通常是把與斜率有關(guān)的式子用某些量來(lái)表示,然后通過(guò)化簡(jiǎn)或賦值得到定值.
2.求斜率有關(guān)的范圍問(wèn)題,通常是把與斜率有關(guān)的式子用其他量來(lái)表示,轉(zhuǎn)化為求函數(shù)值域問(wèn)題,或由已知條件整理出關(guān)于斜率的不等式,通過(guò)解不等式求范圍.
【例8】（2022屆山東省學(xué)情高三上學(xué)期12月質(zhì)量檢測(cè)）已知橢圓 SKIPIF 1 < 0 的左右焦點(diǎn)分別為 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 .過(guò) SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 軸垂直的直線與橢圓 SKIPIF 1 < 0 交于點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ,點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 軸上方,且 SKIPIF 1 < 0 .
（1）求橢圓 SKIPIF 1 < 0 的方程；
（2）過(guò)點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 的直線 SKIPIF 1 < 0 與橢圓 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 兩點(diǎn),是否存在一定點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 使得 SKIPIF 1 < 0 為定值,若存在,求出點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 的坐標(biāo),若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
【解析】（1）由己知得 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0
所以橢圓C的方程為 SKIPIF 1 < 0 .
（2）如果存在點(diǎn)M,由于橢圓的對(duì)稱性可知點(diǎn)M一定在 x軸上,
設(shè)其坐標(biāo)為( SKIPIF 1 < 0 ,0),
因?yàn)闄E圓右焦點(diǎn)F(1,0),直線斜率存在時(shí)設(shè)l的方程為 SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 ,
則 SKIPIF 1 < 0 ,將 SKIPIF 1 < 0 代入 SKIPIF 1 < 0 得：
SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 ,
又 SKIPIF 1 < 0
由 SKIPIF 1 < 0 得：
SKIPIF 1 < 0
則 SKIPIF 1 < 0
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí), SKIPIF 1 < 0 ,
當(dāng)直線斜率不存在時(shí),存在一定點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 使得 SKIPIF 1 < 0 為定值0.
綜上:存在定點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 使得 SKIPIF 1 < 0 為定值0.
【例9】（2022屆廣東省高三上學(xué)期12月大聯(lián)考）已知圓 SKIPIF 1 < 0 的圓心為 SKIPIF 1 < 0 ,點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 是圓 SKIPIF 1 < 0 上的動(dòng)點(diǎn),點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 是拋物線 SKIPIF 1 < 0 的焦點(diǎn),點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 在線段 SKIPIF 1 < 0 上,且滿足 SKIPIF 1 < 0 .
（1）求點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 的軌跡 SKIPIF 1 < 0 的方程；
（2）不過(guò)原點(diǎn)的直線 SKIPIF 1 < 0 與（1）中軌跡 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 兩點(diǎn),若線段 SKIPIF 1 < 0 的中點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 在拋物線 SKIPIF 1 < 0 上,求直線 SKIPIF 1 < 0 的斜率 SKIPIF 1 < 0 的取值范圍.
【分析】（1）依題意 SKIPIF 1 < 0 ,根據(jù)橢圓的定義可得到軌跡為橢圓,再由幾何關(guān)系得到相應(yīng)的參數(shù)值即可得到橢圓方程；（2）設(shè)出直線方程并且和橢圓聯(lián)立,根據(jù)韋達(dá)定理得到中點(diǎn)坐標(biāo) SKIPIF 1 < 0 ,將點(diǎn)Q坐標(biāo)代入拋物線方程得到 SKIPIF 1 < 0 ,將此式代入 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 得到 SKIPIF 1 < 0 ,解不等式即可.
【解析】（1）
易知 SKIPIF 1 < 0 點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 是拋物線 SKIPIF 1 < 0 的焦點(diǎn), SKIPIF 1 < 0 ,
依題意 SKIPIF 1 < 0 ,
所以點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 軌跡是一個(gè)橢圓,其焦點(diǎn)分別為 SKIPIF 1 < 0 ,長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4,
設(shè)該橢圓的方程為 SKIPIF 1 < 0 ,
則 SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 ,
故點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 的軌跡 SKIPIF 1 < 0 的方程為 SKIPIF 1 < 0 .
（2）易知直線1的斜率存在,
設(shè)直線1： SKIPIF 1 < 0 ,
由 SKIPIF 1 < 0 得： SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 ,
即 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ①又 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0
故 SKIPIF 1 < 0 ,將 SKIPIF 1 < 0 ,代 SKIPIF 1 < 0 ,
得： SKIPIF 1 < 0 ,
將②代入①,得： SKIPIF 1 < 0 ,
即 SKIPIF 1 < 0 ,
即 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ,
即 SKIPIF 1 < 0 的取值范圍為 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .
四、跟蹤檢測(cè)
1．（2023屆山西省長(zhǎng)治市高三上學(xué)期9月質(zhì)量檢測(cè)）已知點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 在橢圓 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ）上,且點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 到橢圓右頂點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 的距離為 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求橢圓 SKIPIF 1 < 0 的方程；
(2)若點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 是橢圓 SKIPIF 1 < 0 上不同的兩點(diǎn)（均異于 SKIPIF 1 < 0 ）且滿足直線 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 斜率之積為 SKIPIF 1 < 0 ．試判斷直線 SKIPIF 1 < 0 是否過(guò)定點(diǎn),若是,求出定點(diǎn)坐標(biāo),若不是,說(shuō)明理由．
2．（2023屆重慶市第八中學(xué)校高三上學(xué)期月考）已知橢圓 SKIPIF 1 < 0 的中心為坐標(biāo)原點(diǎn),對(duì)稱軸為 SKIPIF 1 < 0 軸, SKIPIF 1 < 0 軸,且過(guò) SKIPIF 1 < 0 兩點(diǎn).
(1)求橢圓 SKIPIF 1 < 0 的方程；
(2) SKIPIF 1 < 0 為橢圓 SKIPIF 1 < 0 的右焦點(diǎn),直線 SKIPIF 1 < 0 交橢圓 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 （不與點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 重合）兩點(diǎn),記直線 SKIPIF 1 < 0 的斜率分別為 SKIPIF 1 < 0 ,若 SKIPIF 1 < 0 ,證明： SKIPIF 1 < 0 的周長(zhǎng)為定值,并求出定值.
3．（2023屆重慶市南開中學(xué)校高三上學(xué)期9月月考）已知橢圓 SKIPIF 1 < 0 的離心率為 SKIPIF 1 < 0 ,上頂點(diǎn)為D,斜率為k的直線l與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)A,B,M為線段AB的中點(diǎn),當(dāng)點(diǎn)M的坐標(biāo)為 SKIPIF 1 < 0 時(shí),直線l恰好經(jīng)過(guò)D點(diǎn).
(1)求橢圓C的方程：
(2)當(dāng)l不過(guò)點(diǎn)D時(shí),若直線DM與直線l的斜率互為相反數(shù),求k的取值范圍.
4．（2023屆江蘇省南通市高三上學(xué)期第一次質(zhì)量監(jiān)測(cè)）已知 SKIPIF 1 < 0 分別是橢圓 SKIPIF 1 < 0 的左?右頂點(diǎn), SKIPIF 1 < 0 分別是 SKIPIF 1 < 0 的上頂點(diǎn)和左焦點(diǎn).點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上,滿足 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求 SKIPIF 1 < 0 的方程；
(2)過(guò)點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 作直線 SKIPIF 1 < 0 （與 SKIPIF 1 < 0 軸不重合）交 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 兩點(diǎn),設(shè)直線 SKIPIF 1 < 0 的斜率分別為 SKIPIF 1 < 0 ,求證： SKIPIF 1 < 0 為定值.
5．（2023屆重慶市第一中學(xué)校高三上學(xué)期9月月考）已知橢圓 SKIPIF 1 < 0 經(jīng)過(guò)點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ,其右焦點(diǎn)為 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求橢圓 SKIPIF 1 < 0 的離心率；
(2)若點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 在橢圓 SKIPIF 1 < 0 上,右頂點(diǎn)為 SKIPIF 1 < 0 ,且滿足直線 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 的斜率之積為 SKIPIF 1 < 0 .求 SKIPIF 1 < 0 面積的最大值.
6．（2023屆湖南省長(zhǎng)沙市雅禮中學(xué)高三上學(xué)期月考）已知雙曲線 SKIPIF 1 < 0 和點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 .
(1)斜率為 SKIPIF 1 < 0 且過(guò)原點(diǎn)的直線與雙曲線 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 兩點(diǎn),求 SKIPIF 1 < 0 最小時(shí) SKIPIF 1 < 0 的值.
(2)過(guò)點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 的動(dòng)直線與雙曲線 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 兩點(diǎn),若曲線 SKIPIF 1 < 0 上存在定點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ,使 SKIPIF 1 < 0 為定值 SKIPIF 1 < 0 ,求點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 的坐標(biāo)及實(shí)數(shù) SKIPIF 1 < 0 的值.
7．（2023屆河北省邢臺(tái)市名校聯(lián)盟高三上學(xué)期考試）已知 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 為橢圓C： SKIPIF 1 < 0 的左右頂點(diǎn),直線 SKIPIF 1 < 0 與C交于 SKIPIF 1 < 0 兩點(diǎn),直線 SKIPIF 1 < 0 和直線 SKIPIF 1 < 0 交于點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 .
(1)求點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 的軌跡方程.
(2)直線l與點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 的軌跡交于 SKIPIF 1 < 0 兩點(diǎn),直線 SKIPIF 1 < 0 的斜率與直線 SKIPIF 1 < 0 斜率之比為 SKIPIF 1 < 0 ,求證以 SKIPIF 1 < 0 為直徑的圓一定過(guò)C的左頂點(diǎn).
8．（2023屆安徽省皖南八校高三上學(xué)期考試）已知橢圓 SKIPIF 1 < 0 的左?右焦點(diǎn)為 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,且左焦點(diǎn)坐標(biāo)為 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 為橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn), SKIPIF 1 < 0 的最大值為 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求橢圓 SKIPIF 1 < 0 的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)若過(guò)點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 的直線 SKIPIF 1 < 0 與橢圓 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 兩點(diǎn),點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ,記直線 SKIPIF 1 < 0 的斜率為 SKIPIF 1 < 0 ,直線 SKIPIF 1 < 0 的斜率為 SKIPIF 1 < 0 ,證明： SKIPIF 1 < 0 .
9.（2022屆河北省石家莊高三上學(xué)期11月月考）已知橢圓 SKIPIF 1 < 0 的左、右焦點(diǎn)分別為 SKIPIF 1 < 0 ,橢圓 SKIPIF 1 < 0 的離心率為 SKIPIF 1 < 0 ,橢圓 SKIPIF 1 < 0 上的一點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 滿足 SKIPIF 1 < 0 軸,且 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求橢圓 SKIPIF 1 < 0 的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）已知點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 為橢圓 SKIPIF 1 < 0 的左頂點(diǎn),若點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 為橢圓 SKIPIF 1 < 0 上異于點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 的動(dòng)點(diǎn),設(shè)直線 SKIPIF 1 < 0 的斜率分別為 SKIPIF 1 < 0 ,且 SKIPIF 1 < 0 ,過(guò)原點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 作直線 SKIPIF 1 < 0 的垂線,垂足為點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ,問(wèn)：是否存在定點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ,使得線段 SKIPIF 1 < 0 的長(zhǎng)為定值？若存在,求出定點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 的坐標(biāo)及線段 SKIPIF 1 < 0 的長(zhǎng)；若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由．
10．（2022屆八省八校（T8聯(lián)考）高三上學(xué)期聯(lián)考）設(shè)橢圓 SKIPIF 1 < 0 ,圓 SKIPIF 1 < 0 ,點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ,分別為E的左右焦點(diǎn),點(diǎn)C為圓心,O為原點(diǎn),線段 SKIPIF 1 < 0 的垂直平分線為l．已知E的離心率為 SKIPIF 1 < 0 ,點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)都在圓C上．
（1）求橢圓E的方程；
（2）設(shè)直線l與橢圓E相交于A,B兩點(diǎn),問(wèn)：是否存在實(shí)數(shù)m,使直線 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 的斜率之和為 SKIPIF 1 < 0 ？若存在,求實(shí)數(shù)m的值；若不存在,說(shuō)明理由．
11．（2022屆上海市嘉定區(qū)高三一模）在平面直角坐標(biāo)系 SKIPIF 1 < 0 中,已知橢圓 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 的左、右頂點(diǎn)分別為A、B,右焦點(diǎn)為F,且橢圓 SKIPIF 1 < 0 過(guò)點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ,過(guò)點(diǎn)F的直線l與橢圓 SKIPIF 1 < 0 交于P、Q兩點(diǎn)（點(diǎn)P在x軸的上方）.
（1）求橢圓 SKIPIF 1 < 0 的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若 SKIPIF 1 < 0 ,求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）設(shè)直線AP、BQ的斜率分別為 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ,是否存在常數(shù) SKIPIF 1 < 0 ,使得 SKIPIF 1 < 0 ?若存在,請(qǐng)求出 SKIPIF 1 < 0 的值；若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
12．(2022屆海南省?？谑懈呷蠈W(xué)期考試)已知雙曲線 SKIPIF 1 < 0 的虛軸長(zhǎng)為4,直線2x－y＝0為雙曲線C的一條漸近線．
（1）求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）記雙曲線C的左、右頂點(diǎn)分別為A,B,過(guò)點(diǎn)T(2,0)的直線l交雙曲線C于點(diǎn)M,N(點(diǎn)M在第一象限),記直線MA斜率為 SKIPIF 1 < 0 ,直線NB斜率為 SKIPIF 1 < 0 ,求證： SKIPIF 1 < 0 為定值．
13．（2023屆江蘇省南京市六校聯(lián)合體高三上學(xué)期調(diào)研）已知橢圓C: SKIPIF 1 < 0 的上下頂點(diǎn)分別為 SKIPIF 1 < 0 ,過(guò)點(diǎn)P SKIPIF 1 < 0 且斜率為k(k

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