新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)圓錐曲線重難點(diǎn)提升專題12 圓錐曲線中的“設(shè)而不求”（2份打包，原卷版+解析版）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

研究曲線方程及由方程研究曲線的有關(guān)性質(zhì)問(wèn)題,是圓錐曲線中的一個(gè)重要內(nèi)容,其特點(diǎn)是代數(shù)的運(yùn)算較為繁雜,許多學(xué)生會(huì)想而不善于運(yùn)算,往往是列出式子后“望式興嘆”.在解決圓錐曲線問(wèn)題時(shí)若能恰當(dāng)使用“設(shè)而不求”的策略,可避免盲目推演造成的無(wú)效運(yùn)算,從而達(dá)到準(zhǔn)確、快速的解題效果.
二、解題秘籍
(一) “設(shè)而不求”的實(shí)質(zhì)及注意事項(xiàng)
1.設(shè)而不求是解析幾何解題的基本手段,是比較特殊的一種思想方法,其實(shí)質(zhì)是整體結(jié)構(gòu)意義上的變式和整體思想的應(yīng)用．設(shè)而不求的靈魂是通過(guò)科學(xué)的手段使運(yùn)算量最大限度地減少,通過(guò)設(shè)出相應(yīng)的參數(shù),利用題設(shè)條件加以巧妙轉(zhuǎn)化,以參數(shù)為過(guò)渡,設(shè)而不求．
2.在運(yùn)用圓錐曲線問(wèn)題中的設(shè)而不求方法技巧時(shí),需要做到：①凡是不必直接計(jì)算就能更簡(jiǎn)潔地解決問(wèn)題的,都盡可能實(shí)施“設(shè)而不求”；②“設(shè)而不求”不可避免地要設(shè)參、消參,而設(shè)參的原則是宜少不宜多．
3. “設(shè)而不求”最常見(jiàn)的類型一是涉及動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，設(shè)出動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)，在運(yùn)算過(guò)程中動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)通過(guò)四則運(yùn)算消去，或利用根與系數(shù)的關(guān)系轉(zhuǎn)化為關(guān)于其他參數(shù)的問(wèn)題；二是涉及動(dòng)直線問(wèn)題，把斜率或截距作為參數(shù)，設(shè)出直線的方程，再通過(guò)運(yùn)算消去.
【例1】（2023屆山西省臨汾市等聯(lián)考高三上學(xué)期期中）已知橢圓 SKIPIF 1 < 0 的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 為 SKIPIF 1 < 0 的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上運(yùn)動(dòng)，且 SKIPIF 1 < 0 的最小值為 SKIPIF 1 < 0 .連接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 并延長(zhǎng)分別交橢圓 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 兩點(diǎn).
(1)求 SKIPIF 1 < 0 的方程；
(2)證明： SKIPIF 1 < 0 為定值.
【解析】（1）由題意得 SKIPIF 1 < 0 ，
設(shè) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的長(zhǎng)分別為 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
則 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，當(dāng)且僅當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)取等號(hào)，
從而 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）由（1）得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
設(shè) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
設(shè)直線 SKIPIF 1 < 0 的方程為 SKIPIF 1 < 0 ，直線 SKIPIF 1 < 0 的方程為 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
則 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
同理可得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 .
所以 SKIPIF 1 < 0 為定值 SKIPIF 1 < 0 .
【例2】（2023屆江蘇省連云港市高三上學(xué)期10月聯(lián)考）已知橢圓中有兩頂點(diǎn)為 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，一個(gè)焦點(diǎn)為 SKIPIF 1 < 0 .
(1)若直線 SKIPIF 1 < 0 過(guò)點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 且與橢圓交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 兩點(diǎn)，當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)，求直線 SKIPIF 1 < 0 的方程；
(2)若直線 SKIPIF 1 < 0 過(guò)點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 且與橢圓交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 兩點(diǎn)，并與 SKIPIF 1 < 0 軸交于點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，直線 SKIPIF 1 < 0 與直線 SKIPIF 1 < 0 交于點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，當(dāng)點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 異 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 兩點(diǎn)時(shí)，試問(wèn) SKIPIF 1 < 0 是否是定值？若是，請(qǐng)求出此定值，若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.
【解析】（1）∵橢圓的焦點(diǎn)在 SKIPIF 1 < 0 軸上，設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 SKIPIF 1 < 0 ，
由已知得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
橢圓的方程為 SKIPIF 1 < 0 ，
當(dāng)直線 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 軸垂直時(shí)與題意不符，
設(shè)直線 SKIPIF 1 < 0 的方程為 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
將直線 SKIPIF 1 < 0 的方程代入橢圓的方程化簡(jiǎn)得 SKIPIF 1 < 0 ，
則 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .
∴直線 SKIPIF 1 < 0 的方程為 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）當(dāng) SKIPIF 1 < 0 軸時(shí)， SKIPIF 1 < 0 ，不符合題意，
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 軸不垂直時(shí)，設(shè) SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，
設(shè) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，聯(lián)立方程組 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
又直線 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 ，直線 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 點(diǎn)坐標(biāo)為 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 為定值.
(二)設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)
在涉及直線與圓錐曲線位置關(guān)系時(shí),如何避免求交點(diǎn),簡(jiǎn)化運(yùn)算,是處理這類問(wèn)題的關(guān)鍵,求解時(shí)常常設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo),設(shè)坐標(biāo)方法即通過(guò)設(shè)一些輔助點(diǎn)的坐標(biāo),然后以坐標(biāo)為參數(shù),利用點(diǎn)的特性(條件)建立關(guān)系(方程).顯然,這里的坐標(biāo)只是為尋找關(guān)系而作為“搭橋”用的,在具體解題中是通過(guò)“設(shè)而不求”與“整體消元”解題策略進(jìn)行的.
【例3】（2023屆湖南省郴州市高三上學(xué)期質(zhì)量監(jiān)測(cè)）已知橢圓 SKIPIF 1 < 0 的離心率為 SKIPIF 1 < 0 ，過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 的直線交橢圓 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 兩點(diǎn)，其中 SKIPIF 1 < 0 在第一象限，過(guò) SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 軸的垂線，垂足為 SKIPIF 1 < 0 ，連接 SKIPIF 1 < 0 .當(dāng) SKIPIF 1 < 0 為橢圓的右焦點(diǎn)時(shí)， SKIPIF 1 < 0 的面積為 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求橢圓 SKIPIF 1 < 0 的方程；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 為 SKIPIF 1 < 0 的延長(zhǎng)線與橢圓 SKIPIF 1 < 0 的交點(diǎn)，試問(wèn)： SKIPIF 1 < 0 是否為定值，若是，求出這個(gè)定值；若不是，說(shuō)明理由.
【解析】（1） SKIPIF 1 < 0 橢圓離心率 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 為橢圓右焦點(diǎn)時(shí)， SKIPIF 1 < 0 ；
SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 橢圓 SKIPIF 1 < 0 的方程為： SKIPIF 1 < 0 .
（2）由題意可設(shè)直線 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
則 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 直線 SKIPIF 1 < 0 ；
由 SKIPIF 1 < 0 得： SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；
SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 為定值 SKIPIF 1 < 0 .
【例4】（2023屆江蘇省南通市如皋市高三上學(xué)期期中）作斜率為 SKIPIF 1 < 0 的直線l與橢圓 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 兩點(diǎn)，且 SKIPIF 1 < 0 在直線l的左上方.
(1)當(dāng)直線l與橢圓C有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，證明直線l與橢圓C截得的線段AB的中點(diǎn)在一條直線上；
(2)證明： SKIPIF 1 < 0 的內(nèi)切圓的圓心在一條定直線上.
【解析】（1）設(shè) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 中點(diǎn)坐標(biāo)為 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
所以有 SKIPIF 1 < 0 ，聯(lián)立 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，由韋達(dá)定理可知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，化簡(jiǎn)得： SKIPIF 1 < 0 ，所以線段AB的中點(diǎn)在直線 SKIPIF 1 < 0 上.
（2）由題可知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的斜率分別為 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0
由（1）可知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，又因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 在直線l的左上方，所以 SKIPIF 1 < 0 的角平分線與 SKIPIF 1 < 0 軸平行，所以 SKIPIF 1 < 0 的內(nèi)切圓的圓心在 SKIPIF 1 < 0 這條直線上.
(三)設(shè)參數(shù)
在求解與動(dòng)直線有關(guān)的定點(diǎn)、定值或最值與范圍問(wèn)題時(shí)常設(shè)直線方程,因?yàn)閯?dòng)直線方程不確定,需要引入?yún)?shù),這時(shí)常引入斜率、截距作為參數(shù).
【例5】（2022屆湖南省益陽(yáng)市高三上學(xué)期月考）已知橢圓 SKIPIF 1 < 0 的左右焦點(diǎn)分別為 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,其離心率為 SKIPIF 1 < 0 ,P為橢圓C上一動(dòng)點(diǎn), SKIPIF 1 < 0 面積的最大值為 SKIPIF 1 < 0 .
（1）求橢圓C的方程；
（2）過(guò)右焦點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 的直線l與橢圓C交于A,B兩點(diǎn),試問(wèn)：在x軸上是否存在定點(diǎn)Q,使得 SKIPIF 1 < 0 為定值？若存在,求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
【解析】（1）設(shè)橢圓C的半焦距為c,因離心率為 SKIPIF 1 < 0 ,則 SKIPIF 1 < 0 ,由橢圓性質(zhì)知,橢圓短軸的端點(diǎn)到直線 SKIPIF 1 < 0 的距離最大,
則有 SKIPIF 1 < 0 ,于是得 SKIPIF 1 < 0 ,又 SKIPIF 1 < 0 ,聯(lián)立解得 SKIPIF 1 < 0 ,
所以橢圓C的方程為： SKIPIF 1 < 0 .
（2）由(1)知,點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ,
當(dāng)直線斜率存在時(shí),不妨設(shè) SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
由 SKIPIF 1 < 0 消去y并整理得, SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
假定在x軸上存在定點(diǎn)Q滿足條件,設(shè)點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ,
則 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ,
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 時(shí), SKIPIF 1 < 0 ,
當(dāng)直線l斜率不存在時(shí),直線l： SKIPIF 1 < 0 與橢圓C交于點(diǎn)A,B,由對(duì)稱性不妨令 SKIPIF 1 < 0 ,
當(dāng)點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 坐標(biāo)為 SKIPIF 1 < 0 時(shí), SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
所以存在定點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ,使得 SKIPIF 1 < 0 為定值 SKIPIF 1 < 0 .
(四) 中點(diǎn)弦問(wèn)題中的設(shè)而不求
與中點(diǎn)弦有個(gè)的問(wèn)題一般是設(shè)出弦端點(diǎn)坐標(biāo) SKIPIF 1 < 0 代入圓錐曲線方程作差,得到關(guān)于 SKIPIF 1 < 0 的關(guān)系式,再結(jié)合題中條件求解.
【例6】中心在原點(diǎn)的雙曲線 SKIPIF 1 < 0 焦點(diǎn)在 SKIPIF 1 < 0 軸上且焦距為 SKIPIF 1 < 0 ,請(qǐng)從下面3個(gè)條件中選擇1個(gè)補(bǔ)全條件,并完成后面問(wèn)題：
①該曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ；
②該曲線的漸近線與圓 SKIPIF 1 < 0 相切；
③點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 在該雙曲線上, SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 為該雙曲線的焦點(diǎn),當(dāng)點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 的縱坐標(biāo)為 SKIPIF 1 < 0 時(shí),恰好 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求雙曲線 SKIPIF 1 < 0 的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)過(guò)定點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 能否作直線 SKIPIF 1 < 0 ,使 SKIPIF 1 < 0 與此雙曲線相交于 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 兩點(diǎn),且 SKIPIF 1 < 0 是弦 SKIPIF 1 < 0 的中點(diǎn)？若存在,求出 SKIPIF 1 < 0 的方程；若不存在,說(shuō)明理由.
【解析】(1)設(shè)雙曲線 SKIPIF 1 < 0 的標(biāo)準(zhǔn)方程為 SKIPIF 1 < 0 .
選①：由題意可知,雙曲線 SKIPIF 1 < 0 的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ,
由雙曲線的定義可得 SKIPIF 1 < 0 ,則 SKIPIF 1 < 0 ,故 SKIPIF 1 < 0 ,
所以,雙曲線 SKIPIF 1 < 0 的標(biāo)準(zhǔn)方程為 SKIPIF 1 < 0 .
選②：圓 SKIPIF 1 < 0 的標(biāo)準(zhǔn)方程為 SKIPIF 1 < 0 ,圓心為 SKIPIF 1 < 0 ,半徑為 SKIPIF 1 < 0 ,
雙曲線 SKIPIF 1 < 0 的漸近線方程為 SKIPIF 1 < 0 ,由題意可得 SKIPIF 1 < 0 ,解得 SKIPIF 1 < 0 ,
即 SKIPIF 1 < 0 ,因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ,則 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
因此,雙曲線 SKIPIF 1 < 0 的標(biāo)準(zhǔn)方程為 SKIPIF 1 < 0 .
選③：由勾股定理可得 SKIPIF 1 < 0 ,
所以, SKIPIF 1 < 0 ,則 SKIPIF 1 < 0 ,則 SKIPIF 1 < 0 ,故 SKIPIF 1 < 0 ,
所以,雙曲線 SKIPIF 1 < 0 的標(biāo)準(zhǔn)方程為 SKIPIF 1 < 0 .
(2)假設(shè)滿足條件的直線 SKIPIF 1 < 0 存在,設(shè)點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ,則 SKIPIF 1 < 0 ,
由題意可得 SKIPIF 1 < 0 ,兩式作差得 SKIPIF 1 < 0 ,
所以,直線 SKIPIF 1 < 0 的斜率為 SKIPIF 1 < 0 ,所以,直線 SKIPIF 1 < 0 的方程為 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 .
聯(lián)立 SKIPIF 1 < 0 ,整理可得 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
因此,直線 SKIPIF 1 < 0 不存在.
三、跟蹤檢測(cè)
1．（2023屆河南省洛平許濟(jì)高三上學(xué)期質(zhì)量檢測(cè)）已知橢圓 SKIPIF 1 < 0 的右焦點(diǎn)為F，離心率為 SKIPIF 1 < 0 ，上頂點(diǎn)為 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求橢圓C的方程；
(2)過(guò)點(diǎn)F的直線l與橢圓C交于P，Q兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)M，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，判斷 SKIPIF 1 < 0 是否為定值？并說(shuō)明理由．
【解析】（1）由題意可得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
故橢圓C的方程 SKIPIF 1 < 0 .
（2） SKIPIF 1 < 0 為定值 SKIPIF 1 < 0 ，理由如下：
由（1）可得 SKIPIF 1 < 0 ，
由題意可知直線l的斜率存在，設(shè)直線l： SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，
聯(lián)立方程 SKIPIF 1 < 0 ，消去y得 SKIPIF 1 < 0 ，
則 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 （定值）.
2．（2023屆江西省南昌市金太陽(yáng)高三上學(xué)期10月聯(lián)考）如圖，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4的橢圓 SKIPIF 1 < 0 的左頂點(diǎn)為A，過(guò)原點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 的直線（與坐標(biāo)軸不重合）與橢圓 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 兩點(diǎn)，直線 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 軸分別交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 兩點(diǎn)，當(dāng)直線 SKIPIF 1 < 0 的斜率為 SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 .
(1)求橢圓 SKIPIF 1 < 0 的方程.
(2)試問(wèn)是否存在定點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 恒成立？若存在，求出定點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由.
【解析】（1）由題意可知 SKIPIF 1 < 0 ，則橢圓方程 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 ，
當(dāng)直線 SKIPIF 1 < 0 的斜率為 SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 ，
故設(shè) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
將 SKIPIF 1 < 0 代入 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，
則 SKIPIF 1 < 0 ，
由橢圓方程 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，∴直線 SKIPIF 1 < 0 方程為︰ SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，
直線 SKIPIF 1 < 0 方程為： SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，
假設(shè)存在定點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，則定點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 必在以 SKIPIF 1 < 0 為直徑的圓上，
以 SKIPIF 1 < 0 為直徑的圓為 SKIPIF 1 < 0 ,
即 SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴以 SKIPIF 1 < 0 為直徑的圓過(guò)定點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，即存在定點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ．
3．（2023屆黑龍江省大慶鐵人中學(xué)高三上學(xué)期月考）已知橢圓 SKIPIF 1 < 0 的離心率為 SKIPIF 1 < 0 ，橢圓的短軸端點(diǎn)與雙曲線 SKIPIF 1 < 0 的焦點(diǎn)重合，過(guò)點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 且不垂直于 SKIPIF 1 < 0 軸的直線l與橢圓相交于A，B兩點(diǎn).
(1)求橢圓C的方程；
(2)若點(diǎn)B關(guān)于 SKIPIF 1 < 0 軸的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)E，證明：直線 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 軸交于定點(diǎn).
【解析】（1）由雙曲線 SKIPIF 1 < 0 得焦點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
由題意可得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
故橢圓 SKIPIF 1 < 0 的方程為； SKIPIF 1 < 0 .
（2）設(shè)直線 SKIPIF 1 < 0 ，點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，則點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 .
由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
從而 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
直線 SKIPIF 1 < 0 的方程為 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，
又∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
則 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
故直線 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 軸交于定點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 .
4．（2023屆江西省贛州厚德外國(guó)語(yǔ)學(xué)校、豐城中學(xué)高三上學(xué)期10月聯(lián)考）已知雙曲線 SKIPIF 1 < 0 經(jīng)過(guò)點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，兩條漸近線的夾角為 SKIPIF 1 < 0 ，直線 SKIPIF 1 < 0 交雙曲線于 SKIPIF 1 < 0 兩點(diǎn).
(1)求雙曲線 SKIPIF 1 < 0 的方程.
(2)若動(dòng)直線 SKIPIF 1 < 0 經(jīng)過(guò)雙曲線的右焦點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，是否存在 SKIPIF 1 < 0 軸上的定點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，使得以線段 SKIPIF 1 < 0 為直徑的圓恒過(guò) SKIPIF 1 < 0 點(diǎn)？若存在，求實(shí)數(shù) SKIPIF 1 < 0 的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.
【解析】（1） SKIPIF 1 < 0 兩條漸近線的夾角為 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 漸近線的斜率 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ；
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)，由 SKIPIF 1 < 0 得： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 雙曲線 SKIPIF 1 < 0 的方程為： SKIPIF 1 < 0 ；
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)，方程 SKIPIF 1 < 0 無(wú)解；
綜上所述： SKIPIF 1 < 0 雙曲線 SKIPIF 1 < 0 的方程為： SKIPIF 1 < 0 .
（2）由題意得： SKIPIF 1 < 0 ，
假設(shè)存在定點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 滿足題意，則 SKIPIF 1 < 0 恒成立；
方法一：①當(dāng)直線 SKIPIF 1 < 0 斜率存在時(shí)，設(shè) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 得： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
整理可得： SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 得： SKIPIF 1 < 0 ；
SKIPIF 1 < 0 當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 恒成立；
②當(dāng)直線 SKIPIF 1 < 0 斜率不存在時(shí)， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 成立；
綜上所述：存在 SKIPIF 1 < 0 ，使得以線段 SKIPIF 1 < 0 為直徑的圓恒過(guò) SKIPIF 1 < 0 點(diǎn).
方法二：①當(dāng)直線 SKIPIF 1 < 0 斜率為 SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ；
②當(dāng)直線 SKIPIF 1 < 0 斜率不為 SKIPIF 1 < 0 時(shí)，設(shè) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 得： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ；
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 成立；
綜上所述：存在 SKIPIF 1 < 0 ，使得以線段 SKIPIF 1 < 0 為直徑的圓恒過(guò) SKIPIF 1 < 0 點(diǎn).
5．（2023屆內(nèi)蒙古自治區(qū)赤峰市高三上學(xué)期月考）平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 到定直線 SKIPIF 1 < 0 的距離，是它與定點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 的距離的兩倍.
(1)求點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 的軌跡方程 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)過(guò) SKIPIF 1 < 0 點(diǎn)作兩條互相垂直的直線 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 （直線 SKIPIF 1 < 0 不與 SKIPIF 1 < 0 軸垂直）.其中，直線 SKIPIF 1 < 0 交曲線 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 兩點(diǎn)，直線 SKIPIF 1 < 0 交曲線 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 兩點(diǎn)，直線 SKIPIF 1 < 0 與直線 SKIPIF 1 < 0 交于點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，若直線 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的斜率 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 構(gòu)成等差數(shù)列，求 SKIPIF 1 < 0 的值.
【解析】（1）設(shè)點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，由題，有 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以所求 SKIPIF 1 < 0 點(diǎn)軌跡方程為 SKIPIF 1 < 0
（2）由題，直線 SKIPIF 1 < 0 的斜率存在且不為0，設(shè)直線 SKIPIF 1 < 0 的方程為 SKIPIF 1 < 0 ，
與曲線 SKIPIF 1 < 0 聯(lián)立方程組得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
設(shè) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則有 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
依題意有直線 SKIPIF 1 < 0 的斜率為 SKIPIF 1 < 0 ，則直線 SKIPIF 1 < 0 的方程為 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，則有 SKIPIF 1 < 0 點(diǎn)的坐標(biāo)為 SKIPIF 1 < 0 ，
由題， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0
解得 SKIPIF 1 < 0 ，則必有 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
6．（2023屆福建省福州華僑中學(xué)高三上學(xué)期考試）在平面直角坐標(biāo)系 SKIPIF 1 < 0 中，已知點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，直線 SKIPIF 1 < 0 ，點(diǎn)M到l的距離為d，若點(diǎn)M滿足 SKIPIF 1 < 0 ，記M的軌跡為C．
(1)求C的方程；
(2)過(guò)點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 且斜率不為0的直線與C交于P，Q兩點(diǎn)，設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，證明：以P，Q為直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)A．
【解析】（1）設(shè)點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，兩邊平方整理得 SKIPIF 1 < 0 ，
則所求曲線 SKIPIF 1 < 0 的方程為 SKIPIF 1 < 0 .
（2）設(shè)直線 SKIPIF 1 < 0 的方程為 SKIPIF 1 < 0 ，
聯(lián)立方程 SKIPIF 1 < 0 ，消去 SKIPIF 1 < 0 并整理得 SKIPIF 1 < 0 ，
因?yàn)橹本€ SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 交于兩點(diǎn)，故 SKIPIF 1 < 0 ，此時(shí) SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 .
又 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即以P，Q為直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)A.
7．（2023屆河南省安陽(yáng)市高三上學(xué)期10月月考）已知橢圓 SKIPIF 1 < 0 的左?右焦點(diǎn)分別為 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，面積為 SKIPIF 1 < 0 的正方形ABCD的頂點(diǎn)都在 SKIPIF 1 < 0 上.
(1)求 SKIPIF 1 < 0 的方程；
(2)已知P為橢圓 SKIPIF 1 < 0 上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作 SKIPIF 1 < 0 的兩條切線 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的斜率分別為 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求證： SKIPIF 1 < 0 為定值.
【解析】（1）根據(jù)對(duì)稱性，不妨設(shè)正方形的一個(gè)頂點(diǎn)為 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，整理得 SKIPIF 1 < 0 .①
又 SKIPIF 1 < 0 ，②
由①②解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
故所求橢圓方程為 SKIPIF 1 < 0 .
（2）由已知及（1）可得 SKIPIF 1 < 0 ，
設(shè)點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 .
設(shè)過(guò)點(diǎn)P與 SKIPIF 1 < 0 相切的直線l的方程為 SKIPIF 1 < 0 ，
與 SKIPIF 1 < 0 聯(lián)立消去y整理可得 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，
整理可得 SKIPIF 1 < 0 ，③
根據(jù)題意 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 為方程③的兩個(gè)不等實(shí)根，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 為定值 SKIPIF 1 < 0 .
8．（2023屆浙江省浙里卷天下高三上學(xué)期10月測(cè)試）已知 SKIPIF 1 < 0 分別為橢圓 SKIPIF 1 < 0 的左、右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 且與 SKIPIF 1 < 0 軸不重合的直線與橢圓 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 兩點(diǎn)， SKIPIF 1 < 0 的周長(zhǎng)為8.
(1)若 SKIPIF 1 < 0 的面積為 SKIPIF 1 < 0 ，求直線 SKIPIF 1 < 0 的方程；
(2)過(guò) SKIPIF 1 < 0 兩點(diǎn)分別作直線 SKIPIF 1 < 0 的垂線，垂足分別是 SKIPIF 1 < 0 ，證明：直線 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 交于定點(diǎn).
【解析】（1）因 SKIPIF 1 < 0 的周長(zhǎng)為8，由橢圓定義得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，而半焦距 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，橢圓 SKIPIF 1 < 0 的方程為 SKIPIF 1 < 0 ，
依題意，設(shè)直線 SKIPIF 1 < 0 的方程為 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 消去x并整理得 SKIPIF 1 < 0 ，
設(shè) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
因此 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以直線 SKIPIF 1 < 0 的方程為 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .
（2）由（1）知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，設(shè)直線 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 交點(diǎn)為 SKIPIF 1 < 0 ，
則 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
而 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
兩式相加得： SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ，
則 SKIPIF 1 < 0 ，因此 SKIPIF 1 < 0 ，兩式相減得：
SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以直線 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 交于定點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 .
9．（2023屆江蘇省南京市六校高三上學(xué)期10月聯(lián)考）已知雙曲線 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 的焦距為4，且過(guò)點(diǎn) SKIPIF 1 < 0
(1)求雙曲線 SKIPIF 1 < 0 的方程；
(2)過(guò)雙曲線 SKIPIF 1 < 0 的左焦點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 分別作斜率為 SKIPIF 1 < 0 的兩直線 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 ，直線 SKIPIF 1 < 0 交雙曲線 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 兩點(diǎn)，直線 SKIPIF 1 < 0 交雙曲線 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 兩點(diǎn)，設(shè) SKIPIF 1 < 0 分別為 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 的中點(diǎn)，若 SKIPIF 1 < 0 ，試求 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 的面積之比.
【解析】（1）由題意得 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因?yàn)辄c(diǎn) SKIPIF 1 < 0 在雙曲線上，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以雙曲線方程為 SKIPIF 1 < 0 ，
（2） SKIPIF 1 < 0 ，設(shè)直線 SKIPIF 1 < 0 方程為 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0
則 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 的中點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，
因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，
所以用 SKIPIF 1 < 0 代換 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 時(shí)，直線 SKIPIF 1 < 0 的方程為 SKIPIF 1 < 0 ，過(guò)點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 ，
直線 SKIPIF 1 < 0 的方程為 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以直線 SKIPIF 1 < 0 也過(guò)定點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0
10.（2022屆北京市海淀區(qū)高三上學(xué)期期末）已知點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 在橢圓 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 上.
（1）求橢圓 SKIPIF 1 < 0 的方程和離心率；
（2）設(shè)直線 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 （其中 SKIPIF 1 < 0 ）與橢圓 SKIPIF 1 < 0 交于不同兩點(diǎn)E,F,直線AE,AF分別交直線 SKIPIF 1 < 0 于點(diǎn)M,N.當(dāng) SKIPIF 1 < 0 的面積為 SKIPIF 1 < 0 時(shí),求 SKIPIF 1 < 0 的值.
【解析】（1）將點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 代入 SKIPIF 1 < 0 ,解得 SKIPIF 1 < 0 ,所以橢圓 SKIPIF 1 < 0 的方程為 SKIPIF 1 < 0
又 SKIPIF 1 < 0 ,離心率 SKIPIF 1 < 0
（2）聯(lián)立 SKIPIF 1 < 0 ,整理得 SKIPIF 1 < 0
設(shè)點(diǎn)E,F的坐標(biāo)分別為 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0
由韋達(dá)定理得： SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0
直線AE的方程為 SKIPIF 1 < 0 ,令 SKIPIF 1 < 0 ,得 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0
直線AF的方程為 SKIPIF 1 < 0 ,令 SKIPIF 1 < 0 ,得 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 的面積 SKIPIF 1 < 0
即 SKIPIF 1 < 0 ,解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 的值為 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
11.（2022屆天津市第二中學(xué)高三上學(xué)期12月月考）已知橢圓 SKIPIF 1 < 0 的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是4,且過(guò)點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 .
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）直線l： SKIPIF 1 < 0 交橢圓于P,Q兩點(diǎn),若點(diǎn)B始終在以PQ為直徑的圓內(nèi),求實(shí)數(shù)k的取值范圍.
【解析】（1）由題意,得 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）設(shè) SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
聯(lián)立 SKIPIF 1 < 0 ,得 SKIPIF 1 < 0 ,
即 SKIPIF 1 < 0 ,
則 SKIPIF 1 < 0 ,
因?yàn)橹本€ SKIPIF 1 < 0 恒過(guò)橢圓的左頂點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
則 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
因?yàn)辄c(diǎn)B始終在以PQ為直徑的圓內(nèi),
所以 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 ,
又 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ,
則 SKIPIF 1 < 0 ,
即 SKIPIF 1 < 0 ,
即 SKIPIF 1 < 0 ,
解得 SKIPIF 1 < 0 ,
所以實(shí)數(shù)k的取值范圍為 SKIPIF 1 < 0 .
12.（2022屆廣東省華南師范大學(xué)附屬中學(xué)高三上學(xué)期1月模擬）已知橢圓C1: SKIPIF 1 < 0 =1(a>b>0)的右頂點(diǎn)與拋物線C2:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)重合,橢圓C1的離心率為 SKIPIF 1 < 0 ,過(guò)橢圓C1的右焦點(diǎn)F且垂直于x軸的直線截拋物線所得弦的長(zhǎng)度為4 SKIPIF 1 < 0 .
（1）求橢圓C1和拋物線C2的方程.
（2）過(guò)點(diǎn)A(-4,0)的直線l與橢圓C1交于M,N兩點(diǎn),點(diǎn)M關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為E.當(dāng)直線l繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)時(shí),直線EN是否經(jīng)過(guò)一定點(diǎn)?請(qǐng)判斷并證明你的結(jié)論.
【解析】（1）設(shè)橢圓C1的半焦距為c.依題意,可得a= SKIPIF 1 < 0 ,則C2:y2=4ax,
代入x=c,得y2=4ac,即y=±2 SKIPIF 1 < 0 ,所以4 SKIPIF 1 < 0 =4 SKIPIF 1 < 0 ,
則有 SKIPIF 1 < 0 ,所以a=2,b= SKIPIF 1 < 0 ,
所以橢圓C1的方程為 SKIPIF 1 < 0 =1,拋物線C2的方程為y2=8x.
（2）依題意,當(dāng)直線l的斜率不為0時(shí),設(shè)其方程為x=ty-4,
由 SKIPIF 1 < 0 ,得(3t2+4)y2-24ty+36=0.
設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),則E(x1,-y1).由Δ>0,得t2,
且y1+y2= SKIPIF 1 < 0 ,y1y2= SKIPIF 1 < 0 .
根據(jù)橢圓的對(duì)稱性可知,若直線EN過(guò)定點(diǎn),此定點(diǎn)必在x軸上,設(shè)此定點(diǎn)為Q(m,0).
因?yàn)閗NQ=kEQ,所以 SKIPIF 1 < 0 ,(x1-m)y2+(x2-m)y1=0,
即(ty1-4-m)y2+(ty2-4-m)y1=0,2ty1y2-(m+4)(y1+y2)=0,
即2t· SKIPIF 1 < 0 -(m+4)· SKIPIF 1 < 0 =0,得(3-m-4)t=(-m-1)t=0,
由t是大于2或小于-2的任意實(shí)數(shù)知m=-1,所以直線EN過(guò)定點(diǎn)Q(-1,0).
當(dāng)直線l的斜率為0時(shí),直線EN的方程為y=0,也經(jīng)過(guò)點(diǎn)Q(-1,0),
所以當(dāng)直線l繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)時(shí),直線EN恒過(guò)一定點(diǎn)Q(-1,0).
13．（2022屆河北省高三上學(xué)期省級(jí)聯(lián)測(cè)）已知橢圓P焦點(diǎn)分別是 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ,直線 SKIPIF 1 < 0 與橢圓P相交所得的弦長(zhǎng)為1.
（1）求橢圓P的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）將橢圓P繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到橢圓Q,在橢圓Q上存在A,B,C三點(diǎn),且坐標(biāo)原點(diǎn)為 SKIPIF 1 < 0 的重心,求 SKIPIF 1 < 0 的面積.
【解析】（1）根據(jù)題意, SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
又因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ,
解得： SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
所以橢圓 SKIPIF 1 < 0 的標(biāo)準(zhǔn)方程為 SKIPIF 1 < 0 .
（2）由題意得橢圓Q的方程為 SKIPIF 1 < 0 ,
當(dāng)直線 SKIPIF 1 < 0 斜率存在時(shí),設(shè) SKIPIF 1 < 0 方程為： SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
聯(lián)立 SKIPIF 1 < 0 可得： SKIPIF 1 < 0 ,
則 SKIPIF 1 < 0
因?yàn)樽鴺?biāo)原點(diǎn)為 SKIPIF 1 < 0 的重心,
所以 SKIPIF 1 < 0
由 SKIPIF 1 < 0 ,
得 SKIPIF 1 < 0
將 SKIPIF 1 < 0 代入橢圓方程可得： SKIPIF 1 < 0 ,
化簡(jiǎn)得： SKIPIF 1 < 0 ,
又O到直線 SKIPIF 1 < 0 的距離為： SKIPIF 1 < 0 ,
則 SKIPIF 1 < 0 ,
因?yàn)樵c(diǎn)O為 SKIPIF 1 < 0 的重心,
所以 SKIPIF 1 < 0 ,
當(dāng)直線 SKIPIF 1 < 0 斜率不存在時(shí),根據(jù)坐標(biāo)關(guān)系得,直線AB的方程為 SKIPIF 1 < 0 ,
此時(shí) SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 .
綜上： SKIPIF 1 < 0 的面積為 SKIPIF 1 < 0 .
14．（2022屆廣東省佛山市高三上學(xué)期期末）已知雙曲線C的漸近線方程為 SKIPIF 1 < 0 ,且過(guò)點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 .
（1）求C的方程；
（2）設(shè) SKIPIF 1 < 0 ,直線 SKIPIF 1 < 0 不經(jīng)過(guò)P點(diǎn)且與C相交于A,B兩點(diǎn),若直線 SKIPIF 1 < 0 與C交于另一點(diǎn)D,求證：直線 SKIPIF 1 < 0 過(guò)定點(diǎn).
【解析】（1）因?yàn)殡p曲線C的漸近線方程為 SKIPIF 1 < 0 ,
則可設(shè)雙曲線的方程為 SKIPIF 1 < 0 ,
將點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 代入得 SKIPIF 1 < 0 ,解得 SKIPIF 1 < 0 ,
所以雙曲線C的方程為 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）顯然直線 SKIPIF 1 < 0 的斜率不為零,
設(shè)直線 SKIPIF 1 < 0 為 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
聯(lián)立 SKIPIF 1 < 0 ,消 SKIPIF 1 < 0 整理得 SKIPIF 1 < 0 ,
依題意得 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 ,
直線 SKIPIF 1 < 0 的方程為 SKIPIF 1 < 0 ,
令 SKIPIF 1 < 0 ,
得 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 .
所以直線 SKIPIF 1 < 0 過(guò)定點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 .
15．（2022屆江蘇省鹽城市、南京市高三上學(xué)期1月模擬）設(shè)雙曲線 SKIPIF 1 < 0 的右頂點(diǎn)為 SKIPIF 1 < 0 ,虛軸長(zhǎng)為 SKIPIF 1 < 0 ,兩準(zhǔn)線間的距離為 SKIPIF 1 < 0 .
（1）求雙曲線 SKIPIF 1 < 0 的方程；
（2）設(shè)動(dòng)直線 SKIPIF 1 < 0 與雙曲線 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 兩點(diǎn),已知 SKIPIF 1 < 0 ,設(shè)點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 到動(dòng)直線 SKIPIF 1 < 0 的距離為 SKIPIF 1 < 0 ,求 SKIPIF 1 < 0 的最大值.
【解析】（1）依題意可得 SKIPIF 1 < 0 ,解得 SKIPIF 1 < 0 ,所以雙曲線方程為 SKIPIF 1 < 0
（2）由（1）可知 SKIPIF 1 < 0 ,依題意可知 SKIPIF 1 < 0 ,設(shè) SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,則有 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
作差得 SKIPIF 1 < 0 ,又 SKIPIF 1 < 0 的方程為 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 過(guò)定點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 的最大值為 SKIPIF 1 < 0 ；
16．（2022屆浙江省普通高中強(qiáng)基聯(lián)盟高三上學(xué)期統(tǒng)測(cè)）如圖,已知橢圓 SKIPIF 1 < 0 ,橢圓 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 . SKIPIF 1 < 0 為橢圓 SKIPIF 1 < 0 上動(dòng)點(diǎn)且在第一象限,直線 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 分別交橢圓 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 兩點(diǎn),連接 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 軸于 SKIPIF 1 < 0 點(diǎn).過(guò) SKIPIF 1 < 0 點(diǎn)作 SKIPIF 1 < 0 交橢圓 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ,且 SKIPIF 1 < 0 .
（1）證明： SKIPIF 1 < 0 為定值；
（2）證明直線 SKIPIF 1 < 0 過(guò)定點(diǎn),并求出該定點(diǎn)；
（3）若記 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ,證明： SKIPIF 1 < 0 為定值.
【解析】（1）證明：設(shè) SKIPIF 1 < 0 ,則 SKIPIF 1 < 0 ,可得 SKIPIF 1 < 0 ,
則 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,則 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）證明：當(dāng)直線 SKIPIF 1 < 0 的斜率存在時(shí),設(shè) SKIPIF 1 < 0 的方程為 SKIPIF 1 < 0 ,
則 SKIPIF 1 < 0 ,代入消元得 SKIPIF 1 < 0 .
則 SKIPIF 1 < 0 ,
設(shè) SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ,則 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
由 SKIPIF 1 < 0 ,
得 SKIPIF 1 < 0 ,
約去 SKIPIF 1 < 0 ,并化簡(jiǎn)得 SKIPIF 1 < 0 ,解得 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 不符合題意,舍去）；
當(dāng)直線 SKIPIF 1 < 0 的斜率不存在時(shí),設(shè) SKIPIF 1 < 0 的方程為 SKIPIF 1 < 0 ,其中 SKIPIF 1 < 0 ,
聯(lián)立 SKIPIF 1 < 0 ,解得 SKIPIF 1 < 0 ,則 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ,
所以, SKIPIF 1 < 0 ,可解得 SKIPIF 1 < 0 .
綜上,直線 SKIPIF 1 < 0 過(guò)定點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 .
（3）證明：設(shè) SKIPIF 1 < 0 的方程為 SKIPIF 1 < 0 ,
則 SKIPIF 1 < 0 可解得 SKIPIF 1 < 0 點(diǎn)的坐標(biāo)為 SKIPIF 1 < 0 .
由 SKIPIF 1 < 0 ,則 SKIPIF 1 < 0 點(diǎn)的坐標(biāo)為 SKIPIF 1 < 0 .
同理,記 SKIPIF 1 < 0 的斜率為 SKIPIF 1 < 0 ,則 SKIPIF 1 < 0 點(diǎn)的坐標(biāo)為 SKIPIF 1 < 0 .
由 SKIPIF 1 < 0 ,則 SKIPIF 1 < 0 點(diǎn)的坐標(biāo)為 SKIPIF 1 < 0 ,
則 SKIPIF 1 < 0 的斜率 SKIPIF 1 < 0 ,
所以直線 SKIPIF 1 < 0 的方程為 SKIPIF 1 < 0 .
令 SKIPIF 1 < 0 ,得 SKIPIF 1 < 0 ,故 SKIPIF 1 < 0 .
17．（2022屆湖北省新高考聯(lián)考協(xié)作體高三上學(xué)期12月聯(lián)考）已知圓 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 ,橢圓 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 的離心率為 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 上的一點(diǎn), SKIPIF 1 < 0 是圓 SKIPIF 1 < 0 上的一點(diǎn), SKIPIF 1 < 0 的最大值為 SKIPIF 1 < 0 .
（1）求橢圓 SKIPIF 1 < 0 的方程；
（2）點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 上異于 SKIPIF 1 < 0 的一點(diǎn), SKIPIF 1 < 0 與圓 SKIPIF 1 < 0 相切于點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ,證明： SKIPIF 1 < 0 .
【解析】（1） SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0
設(shè) SKIPIF 1 < 0 的焦距是 SKIPIF 1 < 0 ,則 SKIPIF 1 < 0 ,解得 SKIPIF 1 < 0 ,則 SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 的方程是 SKIPIF 1 < 0 .
（2）證明：①當(dāng)直線 SKIPIF 1 < 0 斜率不存在時(shí), SKIPIF 1 < 0 的方程為 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí), SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,此時(shí) SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 ；
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí),同理可得 SKIPIF 1 < 0 .
②當(dāng)直線 SKIPIF 1 < 0 斜率存在時(shí),設(shè) SKIPIF 1 < 0 方程為 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 .
因?yàn)橹本€與圓相切,所以 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0
聯(lián)立 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 .
設(shè) SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,則 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
代入 SKIPIF 1 < 0 整理可得 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0
綜上, SKIPIF 1 < 0 ,又 SKIPIF 1 < 0 與圓 SKIPIF 1 < 0 相切于點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 ,易得 SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 上存在定點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 滿足題意,其中 SKIPIF 1 < 0 的坐標(biāo)為 SKIPIF 1 < 0 .
18．已知雙曲線 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ）的實(shí)軸長(zhǎng)為 SKIPIF 1 < 0 ,離心率 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求雙曲線 SKIPIF 1 < 0 的方程；
(2)直線 SKIPIF 1 < 0 與雙曲線 SKIPIF 1 < 0 相交于 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 兩點(diǎn),弦 SKIPIF 1 < 0 的中點(diǎn)坐標(biāo)為 SKIPIF 1 < 0 ,求直線 SKIPIF 1 < 0 的方程.
【解析】 (1)由題意可得 SKIPIF 1 < 0 ,解得： SKIPIF 1 < 0 ,所以雙曲線 SKIPIF 1 < 0 的方程為： SKIPIF 1 < 0 .
(2)設(shè) SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
因?yàn)橄?SKIPIF 1 < 0 的中點(diǎn)坐標(biāo)為 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
將點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 代入雙曲線 SKIPIF 1 < 0 可得：
SKIPIF 1 < 0 ,兩式相減可得： SKIPIF 1 < 0
即 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 ,
所以直線 SKIPIF 1 < 0 的斜率為： SKIPIF 1 < 0 ,
所以直線 SKIPIF 1 < 0 的方程為： SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 .

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