初中數(shù)學(xué)北師大版（2024）九年級(jí)上冊(cè)1 認(rèn)識(shí)一元二次方程精品第一課時(shí)教案-教案下載-教習(xí)網(wǎng)

第1課時(shí) 一元二次方程
教學(xué)目標(biāo)
1.理解一元二次方程的概念,掌握一元二次方程的一般形式，正確認(rèn)識(shí)各項(xiàng)及各項(xiàng)的系數(shù).
2.能通過認(rèn)識(shí)一元二次方程的過程，進(jìn)一步體會(huì)方程是刻畫現(xiàn)實(shí)世界中數(shù)量關(guān)系的一個(gè)有效數(shù)學(xué)模型.
3.從生活實(shí)際中抽象出數(shù)學(xué)問題，感受方程是刻畫現(xiàn)實(shí)世界數(shù)量關(guān)系的工具，增加對(duì)一元二次方程的感性認(rèn)識(shí).
教學(xué)重難點(diǎn)
重點(diǎn)：了解一元二次方程的概念,并能根據(jù)一元二次方程的一般形式確定各項(xiàng)系數(shù).
難點(diǎn)：由實(shí)際問題向數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化的過程中尋找等量關(guān)系，建立方程.
教學(xué)過程
導(dǎo)入新課
問題情境1
幼兒園活動(dòng)教室矩形地面的長(zhǎng)為8 m，寬為5 m，現(xiàn)準(zhǔn)備在地面正中間鋪設(shè)一塊面積為 18 m2的地毯，四周未鋪地毯的條形區(qū)域的寬度都相同，你能求出這個(gè)寬度嗎？
解:設(shè)所求的寬度為x m,則中間地毯的寬表示為(5-2x)m,長(zhǎng)表示為(8-2x)m, 由題意可列方程(8-2x)(5-2x)＝18，整理得4x2 -26x+22 ＝0.
問題情境2
觀察下面等式：102 +112 +122 ＝132 +142.
你還能找到其他的五個(gè)連續(xù)整數(shù)，使前三個(gè)數(shù)的平方和等于后兩個(gè)數(shù)的平方和嗎？
解：如果設(shè)五個(gè)連續(xù)整數(shù)中的第一個(gè)數(shù)為x，那么后面四個(gè)數(shù)依次可表示為x+1,x+2,x+3,x+4.根據(jù)題意，可得方程x2 + (x+1)2 + (x+2)2 ＝ (x+3)2 + (x+4)2.化簡(jiǎn)，得 x2 -8x-20＝0.
問題情境3
如圖，一個(gè)長(zhǎng)為10 m的梯子斜靠在墻上，梯子的頂端距地面的垂直距離為8 m.如果梯子的頂端下滑1 m，那么梯子的底端滑動(dòng)多少米？

解：由題意可知滑動(dòng)前梯子底端距墻6 m，設(shè)梯子底端滑動(dòng)x m，滑動(dòng)后梯子頂端距地面7 m，底端距墻(6+x)m, 根據(jù)題意，可得方程72＋(x＋6)2 ＝102，整理得 x2 +12x-15＝0.
探究新知
思考:由上面的三個(gè)問題,我們可以得到三個(gè)方程4x2 -26x+22 ＝0，x2 -8x-20＝0，x2 +12x-15＝0.這三個(gè)方程都不是一元一次方程，那么這三個(gè)方程與一元一次方程的區(qū)別在哪里？它們有什么共同特點(diǎn)呢？
老師總結(jié)：①都是整式方程(方程兩邊的分母中不能含有未知數(shù)）；②只含有一個(gè)未知數(shù)；③未知數(shù)的最高次數(shù)是2.
一元二次方程的定義：只含有一個(gè)未知數(shù)x的整式方程，并且都可以化成ax2+bx+c＝0 (a，b，c為常數(shù), a≠0)的形式，這樣的方程叫做一元二次方程. 把a(bǔ)x２＋bx＋c＝0（a，b，c為常數(shù)，a≠０）稱為一元二次方程的一般形式，其中ax２,bx ,c分別稱為二次項(xiàng)、一次項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng)，a,b分別稱為二次項(xiàng)系數(shù)和一次項(xiàng)系數(shù).
判定一個(gè)式子為一元二次方程，必須同時(shí)滿足以下3個(gè)條件:
①都是整式方程(即方程兩邊的分母中不能含有未知數(shù)）；
②只含有一個(gè)未知數(shù);
③未知數(shù)的最高次數(shù)是2，并且二次項(xiàng)系數(shù)不能為0.
例1：下列方程哪些是一元二次方程?
(1)7x2－6x＝0 (2)2x2－5xy＋6y＝0 (3) ax２＋bx＋c＝０
y22+y＝0 (5) 2x2－13x－1＝0 （6）x(2-x)＝0
解：（1）（4）（6）是，（2）（3）（5）不是.（2）含有兩個(gè)未知數(shù)，不滿足第二條；（3）a可能為0，不滿足第三條；（5）分母中含有未知數(shù)，不滿足第一條.
例2：關(guān)于x的方程（2a-4）x2 -2bx+a＝0, 在a，b滿足什么條件時(shí)，此方程為一元二次方程？在a，b滿足什么條件時(shí)，此方程為一元一次方程？
解：若（2a-4）x2 -2bx+a＝0是一元二次方程，則二次項(xiàng)系數(shù)不為零，故2a-4 ≠0，解得a≠2，即當(dāng)a≠2時(shí)，(2a-4）x2 -2bx+a＝0是一元二次方程. 若（2a-4）x2-2bx+a＝0是一元一次方程，則二次項(xiàng)系數(shù)為零，一次項(xiàng)系數(shù)不為零，故2a-4 ＝0且-2b ≠0，解得a＝2，b≠0, 即當(dāng)a＝2，b≠0時(shí)， (2a-4）x2 -2bx+a＝0是一元一次方程.
歸納：用一元二次方程的定義求字母的值的方法：根據(jù)未知數(shù)的最高次數(shù)等于2，列出關(guān)于某個(gè)字母的方程，再排除使二次項(xiàng)系數(shù)等于0的字母的值.
例3：將方程3x(x-1)＝5(x+2)化為一般形式，并分別指出它的二次項(xiàng)、一次項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng)及各項(xiàng)的系數(shù).
解：去括號(hào)，得3x2-3x＝5x+10. 移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)，得一元二次方程的一般形式為3x2-8x-10＝0.其中二次項(xiàng)是3x2,二次項(xiàng)系數(shù)是3；一次項(xiàng)是-8x,一次項(xiàng)系數(shù)是-8；常數(shù)項(xiàng)是-10.
注意：（1）一元二次方程的二次項(xiàng)、二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)、一次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)等都是針對(duì)一般形式而言的；（2）系數(shù)和項(xiàng)均包含前面的符號(hào).
課堂練習(xí)
1.下列方程屬于一元二次方程的是（）
A.3x2＝1x B.x（x-1）＝y(tǒng)2
C.2x3-x2＝2 D.（x-3）（x+4）＝9
2.方程2x2-6-x＝9的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)分別為（）
A.6，2，9 B.2，-6，9
C.2，-6，-9 D.-2，6，9
3.將一元二次方程-3x2-2＝-4x化成一般形式為（）
A.3x2-4x+2＝0 B.3x2-4x-2＝0
C.3x2+4x+2＝0 D.3x2+4x﹣2＝0
4.設(shè)一個(gè)奇數(shù)為x，它與跟它相鄰奇數(shù)的積為323，所列方程正確的是( )
A.x(x＋2)＝323 B.x(x-2)＝323
C.x(x＋1)＝323 D.x(x-2)＝323或x(x＋2)＝323
5.已知關(guān)于x的方程(m＋1)xm2+1＋(m－2)x－1＝0.
（1）m取何值時(shí)，它是一元二次方程？
（2）m取何值時(shí)，它是一元一次方程？
參考答案
1.D 2.C 3.A 4.D
5.解：（1）由m2+1＝2且m＋1≠0，解得m＝1，
故當(dāng)m＝1時(shí)，關(guān)于x的方程(m＋1)xm2+1＋(m－2)x－1＝0是一元二次方程.
（2）當(dāng)m－2≠0且m＋1＝0時(shí)，解得m＝－1.
當(dāng)m2+1＝1且m＋1+m－2≠0時(shí)，解得m＝0.
故當(dāng)m＝－1或0時(shí)，關(guān)于x的方程(m＋1)xm2+1＋(m－2)x－1＝0是一元一次方程.
課堂小結(jié)
1.一元二次方程的定義：
只含有一個(gè)未知數(shù)x的整式方程，并且都可以化成ax2+bx+c＝0 (a，b，c為常數(shù), a≠0)的形式，這樣的方程叫做一元二次方程.其中ax２,bx ,c分別稱為二次項(xiàng)、一次項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng)，a,b分別稱為二次項(xiàng)系數(shù)和一次項(xiàng)系數(shù).
2.一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c＝0（ a≠0）.
3.判定一個(gè)式子為一元二次方程，必須同時(shí)滿足以下3個(gè)條件:
①都是整式方程(即方程兩邊的分母中不能含有未知數(shù)）；
②只含有一個(gè)未知數(shù);
③未知數(shù)的最高次數(shù)是2，并且二次項(xiàng)系數(shù)不能為0.
布置作業(yè)
課本習(xí)題2.1 知識(shí)技能 1，2 問題解決 3
板書設(shè)計(jì)
1 認(rèn)識(shí)一元二次方程
第1課時(shí) 一元二次方程
1. 一元二次方程的定義：
2.一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c＝0（ a≠0）
3.判定一個(gè)式子為一元二次方程，必須同時(shí)滿足以下3個(gè)條件:
①都是整式方程(即方程兩邊的分母中不能含有未知數(shù)）；
②只含有一個(gè)未知數(shù);
③未知數(shù)的最高次數(shù)是2，并且二次項(xiàng)系數(shù)不能為0.

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