一、知識(shí)梳理
1.正、余弦定理
在△ABC中，若角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，R為△ABC外接圓半徑，則
2.在△ABC中，已知a，b和A時(shí)，解的情況如下：
3.三角形常用面積公式
(1)S＝eq \f(1,2)a·ha(ha表示a邊上的高).
(2)S＝eq \f(1,2)absin C＝eq \f(1,2)acsin B＝eq \f(1,2)bcsin A＝eq \f(abc,4R).
(3)S＝eq \f(1,2)r(a＋b＋c)(r為內(nèi)切圓半徑).
4.仰角和俯角
在同一鉛垂平面內(nèi)的水平視線和目標(biāo)視線的夾角，目標(biāo)視線在水平視線上方叫仰角，目標(biāo)視線在水平視線下方叫俯角(如圖1).
5.方位角
從正北方向起按順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線之間的水平夾角叫做方位角.如B點(diǎn)的方位角為α(如圖2).
6.方向角
正北或正南方向線與目標(biāo)方向線所成的銳角，如南偏東30°，北偏西45°等.
7.坡度：坡面與水平面所成的二面角的正切值.
考點(diǎn)和典型例題
1、利用正、余弦定理解三角形
【典例1-1】（2022·黑龍江·哈九中模擬預(yù)測(cè)（文））記 SKIPIF 1 < 0 的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 的值為（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【詳解】
根據(jù)正弦定理得 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 .
故選：C.
【典例1-2】（2022·江西·模擬預(yù)測(cè)（理））在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 的值為（ ）
A．4B．5C．6D．7
【答案】C
【詳解】
由已知及正弦定理得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ＝ SKIPIF 1 < 0 .
故選：C.
【典例1-3】（2022·黑龍江·哈九中模擬預(yù)測(cè)（理））記 SKIPIF 1 < 0 的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．則 SKIPIF 1 < 0 的值為（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【詳解】
在 SKIPIF 1 < 0 中，因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由正弦定理 SKIPIF 1 < 0 得： SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 .
因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
所以 SKIPIF 1 < 0 .
故選：C
【典例1-4】（2022·河南·寶豐縣第一高級(jí)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（文））在△ SKIPIF 1 < 0 中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且 SKIPIF 1 < 0 ，則角C的大小為（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【詳解】
因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，
整理得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 ，
則 SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
故選：B.
【典例1-5】（2022·天津·耀華中學(xué)一模）在 SKIPIF 1 < 0 中，內(nèi)角 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 所對(duì)的邊分別為 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
(1)求 SKIPIF 1 < 0 的值；
(2)求 SKIPIF 1 < 0 ；
(3)求 SKIPIF 1 < 0 的值.
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 (2) SKIPIF 1 < 0 (3) SKIPIF 1 < 0
【解析】(1)
由余弦定理 SKIPIF 1 < 0 可得： SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 （舍去），故 SKIPIF 1 < 0
(2)由正弦定理 SKIPIF 1 < 0 ,故 SKIPIF 1 < 0
(3)由（2）知： SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0
【典例1-6】（2022·陜西·西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（理））如圖，在平面四邊形ABCD中，E為AD邊上一點(diǎn)， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
(1)若 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的值；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，求BE的長(zhǎng).
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 (2) SKIPIF 1 < 0
【解析】(1)
過(guò)B作 SKIPIF 1 < 0 于F.
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，在直角 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 .
(2)連接BD.在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，由余弦定理，得
SKIPIF 1 < 0
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，由余弦定理，得 SKIPIF 1 < 0 .
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，由余弦定理，得 SKIPIF 1 < 0 .
∵ SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 （負(fù)值舍去）.
∴ SKIPIF 1 < 0 .
【典例1-7】（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)（理））如圖，在平面四邊形ABCD中，對(duì)角線 SKIPIF 1 < 0 平分 SKIPIF 1 < 0 的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c.已知 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求B；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，且________，求線段 SKIPIF 1 < 0 的長(zhǎng).從下面①②中任選一個(gè)，補(bǔ)充在上面的空格中進(jìn)行求解.①△ABC的面積 SKIPIF 1 < 0 ；② SKIPIF 1 < 0 .
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ；(2)選① SKIPIF 1 < 0 ；選② SKIPIF 1 < 0 .
【解析】(1)
因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
(2)選①，因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 的面積 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，由余弦定理得
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 平分 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
選②，因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，在 SKIPIF 1 < 0 中，由余弦定理：
SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 平分 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，由正弦定理得，
SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 是直角三角形，且 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
2、判斷三角形的形狀
【典例2-1】（2022·江蘇南通·模擬預(yù)測(cè)）小強(qiáng)計(jì)劃制作一個(gè)三角形，使得它的三條邊中線的長(zhǎng)度分別為1， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則（ ）
A．能制作一個(gè)銳角三角形B．能制作一個(gè)直角三角形
C．能制作一個(gè)鈍角三角形D．不能制作這樣的三角形
【答案】C
【詳解】
設(shè)三角形的三條邊為a，b，c，設(shè) SKIPIF 1 < 0 中點(diǎn)為D，
SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0
同理， SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，∴可以構(gòu)成三角形
SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 為鈍角三角形，
故選：C
【典例2-2】（2022·吉林·長(zhǎng)春市第二實(shí)驗(yàn)中學(xué)高一期中）在 SKIPIF 1 < 0 中，角 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 所對(duì)的邊分別為 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，下列結(jié)論正確的是（ ）
A．若 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 為銳角三角形
B．若 SKIPIF 1 < 0 為鈍角三角形，則 SKIPIF 1 < 0
C．若 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 為等腰直角三角形
D．若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則符合條件的 SKIPIF 1 < 0 只有一個(gè)
【答案】D
【詳解】
SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，只能說(shuō)明A為銳角，
不能說(shuō)明B和C的大小，故不能得到 SKIPIF 1 < 0 是銳角三角形，A錯(cuò)誤；
若 SKIPIF 1 < 0 為鈍角三角形，但不確定哪個(gè)角是鈍角，若角A為銳角，則 SKIPIF 1 < 0 ，
若角A為鈍角，則 SKIPIF 1 < 0 ，B錯(cuò)誤；
SKIPIF 1 < 0 ，由正弦定理得： SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 為等腰三角形或直角三角形，故C錯(cuò)誤；
由余弦定理得： SKIPIF 1 < 0 ，
因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故符合條件的 SKIPIF 1 < 0 只有1個(gè)，D正確.
故選：D
【典例2-3】（2022·遼寧·鐵嶺市清河高級(jí)中學(xué)高一期中）在 SKIPIF 1 < 0 中，已知 SKIPIF 1 < 0 ，那么 SKIPIF 1 < 0 一定是（ ）
A．等腰直角三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形D．等邊三角形
【答案】B
【詳解】
因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以由正余弦定理得 SKIPIF 1 < 0 ，化簡(jiǎn)得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 為等腰三角形.
故選：B.
【典例2-4】（2022·河南·安陽(yáng)一中高一階段練習(xí)）若在 SKIPIF 1 < 0 ，則三角形的形狀一定是（ ）
A．直角三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形D．等邊三角形
【答案】B
【詳解】
由 SKIPIF 1 < 0 以及余弦定理得 SKIPIF 1 < 0 ，
化簡(jiǎn)得 SKIPIF 1 < 0 ，所以三角形的形狀一定是等腰三角形.
故選：B
【典例2-5】（2022·全國(guó)·高一單元測(cè)試）在 SKIPIF 1 < 0 中，角 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的對(duì)邊分別為 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 是（ ）
A．鈍角三角形B．等邊三角形
C．直角三角形D．等腰直角三角形
【答案】B
【詳解】
在 SKIPIF 1 < 0 中，由正弦定理得 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
又∵ SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 為 SKIPIF 1 < 0 的內(nèi)角，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
又∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴由余弦定理得： SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 為等邊三角形.
故選：B.
3、和三角形面積有關(guān)的問(wèn)題
【典例3-1】（2022·江西·二模（理））在 SKIPIF 1 < 0 中，角A，B，C所對(duì)應(yīng)的邊分別為a，b，c，若 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 面積的最大值為( )
A．1B．3C．2D．4
【答案】C
【詳解】
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
則 SKIPIF 1 < 0 ，
整理得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
當(dāng)且僅當(dāng)?2=3?2??=83,?=83時(shí)取等號(hào)，
SKIPIF 1 < 0 ，
則 SKIPIF 1 < 0 ．
故選：C．
典例3-2】（2022·江西·模擬預(yù)測(cè)（文））在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 的面積為（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【詳解】
由余弦定理得 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故選：B．
典例3-3】（2022·江西宜春·模擬預(yù)測(cè)（文）） SKIPIF 1 < 0 的內(nèi)角 SKIPIF 1 < 0 的對(duì)邊分別為 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 的面積為（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【詳解】
解：由余弦定理 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
故選：C
典例3-4】（2022·內(nèi)蒙古赤峰·三模（文）） SKIPIF 1 < 0 的三個(gè)內(nèi)角 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的對(duì)邊分別為 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0
(1)求 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的面積．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ；(2) SKIPIF 1 < 0 .
【解析】(1)
由 SKIPIF 1 < 0 及正弦定理，得
SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，于是有 SKIPIF 1 < 0 ，
由余弦定理，得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
(2)由（1）知， SKIPIF 1 < 0 ，及 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由余弦定理，得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
化簡(jiǎn)整理，得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 （舍）.
所以 SKIPIF 1 < 0 .
所以 SKIPIF 1 < 0 的面積為 SKIPIF 1 < 0 .
典例3-5】（2022·湖南·模擬預(yù)測(cè)）在 SKIPIF 1 < 0 中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求證： SKIPIF 1 < 0 ；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的面積．
【解析】(1)
解：因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，
由正弦定理可得： SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)
由（1）得 SKIPIF 1 < 0 ，
由余弦定理得： SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
將 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 代入，得 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 舍去，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
從而 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 可知 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ．
所以 SKIPIF 1 < 0 的面積 SKIPIF 1 < 0 ．
4、解三角形的實(shí)際應(yīng)用
【典例4-1】（2022·吉林吉林·模擬預(yù)測(cè)（文））位于燈塔A處正西方向相距 SKIPIF 1 < 0 n mile的B處有一艘甲船需要海上救援，位于燈塔A處北偏東45°相距 SKIPIF 1 < 0 n mile的C處的一艘乙船前往營(yíng)救，則乙船的目標(biāo)方向線（由觀測(cè)點(diǎn)看目標(biāo)的視線）的方向是南偏西（ ）
A．30°B．60°C．75°D．45°
【答案】B
【詳解】
依題意，過(guò)點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 的延長(zhǎng)線交于點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，如圖，
則 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 又 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
則乙船的目標(biāo)方向線（由觀測(cè)點(diǎn)看目標(biāo)的視線）的方向是南偏西60°.
故選：B.
【典例4-2】（2022·江西·模擬預(yù)測(cè)（文））翠浪塔，位于贛州市章江西岸楊梅渡公園山頂上，與贛州古城的風(fēng)水塔——玉虹塔相呼應(yīng)．塔名源于北宋大文豪蘇東坡吟詠贛州的詩(shī)句“山為翠浪涌，水作玉虹流”，該塔規(guī)劃設(shè)計(jì)為仿宋塔建筑風(fēng)格，塔體八面．一研學(xué)小組在李老師的帶領(lǐng)下到該塔參觀，這時(shí)李老師（身高約1.7米）站在一個(gè)地方（腳底與塔底在同一平面）面朝塔頂，仰角約為45 SKIPIF 1 < 0 ；當(dāng)他水平后退50米后再次觀測(cè)塔頂，仰角約為30 SKIPIF 1 < 0 ，據(jù)此李老師問(wèn)：同學(xué)們，翠浪塔高度大約為（ ）米？（參考數(shù)據(jù)： SKIPIF 1 < 0 ）
A．68B．70C．72D．74
【答案】B
【詳解】
如圖所示，OP為塔體，AC,BD為李老師觀察塔頂時(shí)的站位， Q為A,B在OP上的射影，
由已知得 SKIPIF 1 < 0 為直角三角形， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 (米)， SKIPIF 1 < 0 (米),設(shè)PQ=x，則 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 .
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ,
∴塔高 SKIPIF 1 < 0 (米),
故選：B
【典例4-3】（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)M，N為某海邊相鄰的兩座山峰，到海平面的距離分別為100米，50米．現(xiàn)欲在M，N之間架設(shè)高壓電網(wǎng)，須計(jì)算M，N之間的距離．勘測(cè)人員在海平面上選取一點(diǎn)P，利用測(cè)角儀從P點(diǎn)測(cè)得的M，N點(diǎn)的仰角分別為30°，45°，并從P點(diǎn)觀測(cè)到M，N點(diǎn)的視角為45°，則M，N之間的距離為（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 米B． SKIPIF 1 < 0 米C． SKIPIF 1 < 0 米D． SKIPIF 1 < 0 米
【答案】A
【詳解】
如圖，由題可知 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 （米）．
故選：A.
【典例4-4】（2022·陜西·西安中學(xué)一模（理））為了測(cè)量隧道口 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 間的距離，開(kāi)車從 SKIPIF 1 < 0 點(diǎn)出發(fā)，沿正西方向行駛 SKIPIF 1 < 0 米到達(dá) SKIPIF 1 < 0 點(diǎn)，然后從 SKIPIF 1 < 0 點(diǎn)出發(fā)，沿正北方向行駛一段路程后到達(dá) SKIPIF 1 < 0 點(diǎn)，再?gòu)?SKIPIF 1 < 0 點(diǎn)出發(fā)，沿東南方向行駛400米到達(dá)隧道口 SKIPIF 1 < 0 點(diǎn)處，測(cè)得 SKIPIF 1 < 0 間的距離為1000米.
(1)若隧道口 SKIPIF 1 < 0 在點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 的北偏東 SKIPIF 1 < 0 度的方向上，求 SKIPIF 1 < 0 的值；
(2)求隧道口 SKIPIF 1 < 0 間的距離.
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 (2)1000米.
【解析】(1)
在 SKIPIF 1 < 0 中，由正弦定理得 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
由題可知， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
(2)由（1）可知， SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中，由余弦定理得 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故兩隧道口 SKIPIF 1 < 0 間的距離為1000米.
【典例4-5】（2022·廣東湛江·二模）如圖，一架飛機(jī)從 SKIPIF 1 < 0 地飛往 SKIPIF 1 < 0 地，兩地相距 SKIPIF 1 < 0 .飛行員為了避開(kāi)某一區(qū)域的雷雨云層，從機(jī)場(chǎng)起飛以后，就沿與原來(lái)的飛行方向成 SKIPIF 1 < 0 角的方向飛行，飛行到 SKIPIF 1 < 0 地，再沿與原來(lái)的飛行方向成 SKIPIF 1 < 0 角的方向繼續(xù)飛行 SKIPIF 1 < 0 到達(dá)終點(diǎn).
(1)求 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 兩地之間的距離；
(2)求 SKIPIF 1 < 0 .
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 (2) SKIPIF 1 < 0
【解析】(1)
解：由余弦定理可得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 .
(2)解：由余弦定理可得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 為銳角，故 SKIPIF 1 < 0 ，
因此， SKIPIF 1 < 0 .
定理
余弦定理
正弦定理
公式
a2＝b2＋c2－2bccs__A；
b2＝c2＋a2－2cacs__B；
c2＝a2＋b2－2abcs__C
eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)＝2R
常見(jiàn)變形
cs A＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)；
cs B＝eq \f(c2＋a2－b2,2ac)；
cs C＝eq \f(a2＋b2－c2,2ab)
(1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin__B，c＝2Rsin__C；
(2)sin A＝eq \f(a,2R)，sin B＝eq \f(b,2R)，sin C＝eq \f(c,2R)；
(3)a∶b∶c＝sin__A∶sin__B∶sin__C；
(4)asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin C＝csin A
A為銳角
A為鈍角或直角
圖形
關(guān)系式
a＝bsin A
bsin A

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