一、知識梳理
1.角的概念的推廣
(1)定義：一條射線繞其端點旋轉到另一條射線所形成的圖形稱為角，這兩條射線分別稱為角的始邊和終邊.
(2)分類eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(按旋轉方向不同分為正角、負角、零角.,按終邊位置不同分為象限角和軸線角.))
(3)終邊相同的角：所有與角α終邊相同的角，可構成一個集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}.
2.弧度制的定義和公式
(1)定義：長度等于半徑長的圓弧所對的圓心角為1弧度的角，記作1 rad.
(2)公式
3.任意角的三角函數
定義：設α是一個任意角，P(x，y)是α終邊上的任一點，對于任意角α來說，設P(x，y)是α終邊上異于原點的任意一點，r＝eq \r(x2＋y2)，則sin α＝eq \f(y,r)，cs α＝eq \f(x,r)，tan α＝eq \f(y,x)(x≠0).
4.三角函數線
(1)正弦線與余弦線
如圖所
示，如果過角α終邊與單位圓的交點P作x軸的垂線，垂足為M，eq \(OM,\s\up6(→))為角α的余弦線.類似地，eq \(MP,\s\up6(→))稱為角α的正弦線.
(2)正切線
如圖所示，設角α的終邊或終邊的反向延長線與直線x＝1交于點T，則eq \(AT,\s\up6(→))可以直觀地表示tan α，因此eq \(AT,\s\up6(→))稱為角α的正切線.
5.同角三角函數的基本關系
(1)平方關系：sin2α＋cs2α＝1.
(2)商數關系：eq \f(sin α,cs α)＝tan αeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α≠\f(π,2)＋kπ，k∈Z)).
6.三角函數的誘導公式
7.兩角和與差的正弦、余弦和正切公式
(1)sin(α±β)＝sin αcs β±cs αsin β.
(2)cs(α?β)＝cs αcs β±sin αsin β.
(3)tan(α±β)＝eq \f(tan α±tan β,1?tan αtan β).
8.二倍角的正弦、余弦、正切公式
(1)sin 2α＝2sin αcs α.
(2)cs 2α＝cs2α－sin2α＝2cs2α－1＝1－2sin2α.
(3)tan 2α＝eq \f(2tan α,1－tan2α).
9.函數f(x)＝asin x＋bcs x(a，b為常數)，可以化為f(x)＝eq \r(a2＋b2)sin(x＋φ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(其中tan φ＝\f(b,a)))或f(x)＝eq \r(a2＋b2)·cs(x－φ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(其中tan φ＝\f(a,b))).
10.半角公式
(1)Seq \f(α,2)：sineq \f(α,2)＝±eq \r(\f(1－cs α,2))，sin2eq \f(α,2)＝eq \f(1－cs α,2)；
(2)Ceq \f(α,2)：cseq \f(α,2)＝±eq \r(\f(1＋cs α,2))，cs2eq \f(α,2)＝eq \f(1＋cs α,2)；
(3)Teq \f(α,2)：taneq \f(α,2)＝±eq \r(\f(1－cs α,1＋cs α))(無理形式)，tan2eq \f(α,2)＝eq \f(1－cs α,1＋cs α)；taneq \f(α,2)＝eq \f(sin α,1＋cs α)＝eq \f(1－cs α,sin α)(有理形式).
考點和典型例題
1、三角函數的概念
【典例1-1】（2022·湖北·房縣第一中學模擬預測）已知圓臺形的花盆的上、下底面的直徑分別為8和6，該花盆的側面展開圖的扇環(huán)所對的圓心角為 SKIPIF 1 < 0 ，則母線長為（ ）
A．4B．8C．10D．16
【答案】A
【詳解】
如圖， SKIPIF 1 < 0 弧長為 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 弧長為 SKIPIF 1 < 0 ，因為圓心角為 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則母線 SKIPIF 1 < 0 .
故選：A.
【典例1-2】（2022·河北·模擬預測）已知圓錐的母線長為2，其側面展開圖是圓心角等于 SKIPIF 1 < 0 的扇形，則該圓錐的體積為（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【詳解】
設圓錐的底面半徑為 SKIPIF 1 < 0 ，高為 SKIPIF 1 < 0 ，則由題意可得 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以圓錐的體積為
SKIPIF 1 < 0 ，
故選：C
【典例1-3】（2022·山東濟南·二模）濟南市洪家樓天主教堂于2006年5月被國務院列為全國重點文物保護單位.它是典型的哥特式建筑.哥特式建筑的特點之一就是窗門處使用尖拱造型，其結構是由兩段不同圓心的圓弧組成的對稱圖形.如圖2， SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 所在圓的圓心都在線段AB上，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 的長度為（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【詳解】
過 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 ，設圓弧AC的圓心為O，半徑為 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以在直角三角形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
故選：A.
【典例1-4】（2022·北京房山·二模）已知 SKIPIF 1 < 0 是第一象限角，且角 SKIPIF 1 < 0 的終邊關于y軸對稱，則 SKIPIF 1 < 0 ( )
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【詳解】
∵ SKIPIF 1 < 0 是第一象限角，∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∵角 SKIPIF 1 < 0 的終邊關于y軸對稱，∴ SKIPIF 1 < 0 ．
故選：D．
【典例1-5】（2022·寧夏·石嘴山市第一中學三模（理））已知角 SKIPIF 1 < 0 的終邊上有一點 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 的值是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 D．不確定
【答案】B
【詳解】
角 SKIPIF 1 < 0 的終邊上點 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，
于是得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
故選：B
2、同角關系式和誘導公式
【典例2-1】（2022·湖北武漢·模擬預測）已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【詳解】
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
故選：C
【典例2-2】（2022·遼寧葫蘆島·二模）若 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C．-3D．3
【答案】C
【詳解】
SKIPIF 1 < 0 ，
分子分母同除以 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0
故選：C
【典例2-3】（2022·安徽·安慶一中高三階段練習（文））已知 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【詳解】
SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，
故選：B．
【典例2-4】（2022·安徽·安慶一中高三階段練習（理））已知 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【詳解】
因為 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故選：B.
【典例2-5】（2022·全國·模擬預測）若 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【詳解】
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
故選：A
3、三角恒等變換的綜合應用
【典例3-1】（2022·河北衡水·高三階段練習）已知角 SKIPIF 1 < 0 的終邊經過點 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【詳解】
依題意，由三角函數的定義可知 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 .
故選：D.
【典例3-2】（2022·湖北·模擬預測）已知 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【詳解】
因為 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0
故選：D
【典例3-3】（2022·全國·模擬預測）已知角 SKIPIF 1 < 0 的頂點與原點重合，始邊與 SKIPIF 1 < 0 軸的非負半軸重合， SKIPIF 1 < 0 為角 SKIPIF 1 < 0 終邊上的一點，將角 SKIPIF 1 < 0 終邊逆時針旋轉 SKIPIF 1 < 0 得到角 SKIPIF 1 < 0 的終邊，則 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【詳解】
由題可知 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
則 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 .
故選：A．
【典例3-4】（2022·廣東·模擬預測）已知 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【詳解】
因為 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
故選：B．
【典例3-5】（2022·廣東汕頭·三模）已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【詳解】
因為 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 .
故選：A
角α的弧度數公式
α＝eq \f(l,r)(弧長用l表示)
角度與弧度的換算
180°＝π rad；eq \f(n,180)＝eq \f(α,π)(n為角度數，α為弧度數)
弧長公式
弧長l＝αr
扇形面積公式
S＝eq \f(1,2)lr＝eq \f(1,2)αr2
公式
一
二
三
四
五
六
七
八
角
2kπ＋α(k∈Z)
－α
π－α
π＋α
eq \f(π,2)－α
eq \f(π,2)＋α
eq \f(3π,2)＋α
eq \f(3π,2)－α
正弦
sin α
－sin α
sin α
－sin α
cs α
cs α
－cs α
－cs α
余弦
cs α
cs α
－cs α
－cs α
sin α
－sin α
sin α
－sin α
正切
tan α
－tan α
－tan α
tan α
口訣
函數名不變，符號看象限
函數名改變，符號看象限

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