一、知識(shí)梳理
1.均值不等式
如果a，b都是正數(shù)，那么eq \f(a＋b,2)≥eq \r(ab)，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)，等號(hào)成立.數(shù)eq \f(a＋b,2)稱為a，b的算術(shù)平均值；數(shù)eq \r(ab)稱為a，b的幾何平均值.
2.兩個(gè)重要的不等式
(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)取等號(hào).
(2)ab≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2)))eq \s\up12(2)(a，b∈R)，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)取等號(hào).
3.利用均值不等式求最值
(1)已知x，y都是正數(shù)，如果積xy等于定值P，那么當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，和x＋y有最小值2eq \r(P).
(2)已知x，y都是正數(shù)，如果和x＋y等于定值S，那么當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，積xy有最大值eq \f(1,4)S2.
考點(diǎn)和典型例題
1、利用均值不等式求最值
【典例1-1】（2022·遼寧鞍山·二模）已知正實(shí)數(shù)a、b滿足 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 的最小值是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C．5D．9
【答案】B
【詳解】
SKIPIF 1 < 0 ，當(dāng)且僅當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)等號(hào)成立.
故選：B.
【典例1-2】（（2022·山東濰坊·二模）已知正實(shí)數(shù)a，b滿足 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 的最大值為（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D．2
【答案】B
【詳解】
因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，當(dāng)且僅當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)等號(hào)成立，因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 為正實(shí)數(shù)，所以 SKIPIF 1 < 0 ，因此 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 的最大值為 SKIPIF 1 < 0 ，此時(shí) SKIPIF 1 < 0 ，
故選：B.
【典例1-3】（（2022·天津紅橋·一模）設(shè) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 的最小值為（ ）
A．6B．9C． SKIPIF 1 < 0 D．18
【答案】B
【詳解】
解： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
當(dāng)且僅當(dāng) SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 時(shí)取等號(hào)，
故 SKIPIF 1 < 0 的最小值為9；
故選：B
【典例1-4】（（2022·天津市濱海新區(qū)塘沽第一中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 的最小值為_(kāi)_．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【詳解】
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，當(dāng)且僅當(dāng)析 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 時(shí)，等號(hào)成立.
故答案為： SKIPIF 1 < 0
【典例1-5】（（2022·天津南開(kāi)·一模）若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 的最小值為_(kāi)_____．
【答案】 SKIPIF 1 < 0 ## SKIPIF 1 < 0
【詳解】
由題意， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 得： SKIPIF 1 < 0 ，
設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
當(dāng)且僅當(dāng) SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 時(shí)取得等號(hào)，
故 SKIPIF 1 < 0 的最小值為 SKIPIF 1 < 0 ，
故答案為： SKIPIF 1 < 0
2、均值不等式的綜合應(yīng)用
【典例2-1】（2022·江蘇·漣水縣第一中學(xué)高三期中）已知 SKIPIF 1 < 0 分別為雙曲線 SKIPIF 1 < 0 的左?右焦點(diǎn)， SKIPIF 1 < 0 為雙曲線右支上任一點(diǎn)，則 SKIPIF 1 < 0 最小值為（ ）
A．19B．23C．25D．85
【答案】B
【詳解】
令 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，
則 SKIPIF 1 < 0 ，當(dāng)且僅當(dāng) SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 時(shí)等號(hào)成立，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即最小值為23.
故選：B
【典例2-2】（2022·陜西渭南·二模（理））若對(duì) SKIPIF 1 < 0 x， SKIPIF 1 < 0 都有 SKIPIF 1 < 0 成立，則實(shí)數(shù)a的最小值是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【詳解】
由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，當(dāng)且僅當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)等號(hào)成立，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，當(dāng)且僅當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)等號(hào)成立，
所以 SKIPIF 1 < 0 的最大值為 SKIPIF 1 < 0 ；
由題意知， SKIPIF 1 < 0 恒成立，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故a的最小值為 SKIPIF 1 < 0 .
故選：B.
【典例2-3】（2022·河北·高三階段練習(xí)）已知實(shí)數(shù)a，b滿足條件 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 的最小值為（ ）
A．8B．6C．4D．2
【答案】D
【詳解】
因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，當(dāng)且僅當(dāng) SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 時(shí)取等號(hào)，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
當(dāng)且僅當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)等號(hào)成立，
所以 SKIPIF 1 < 0 的最小值為2
故選：D.
【典例2-4】（2022·安徽黃山·二模（理））設(shè) SKIPIF 1 < 0 的內(nèi)角 SKIPIF 1 < 0 的對(duì)邊分別為 SKIPIF 1 < 0 ，且滿足 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 面積的取值范圍為_(kāi)_____________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【詳解】
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
化簡(jiǎn)得： SKIPIF 1 < 0 ，
由正弦定理可得： SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，當(dāng)僅當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)等號(hào)成立，
SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
故答案為： SKIPIF 1 < 0
【典例2-5】（2022·浙江·高三開(kāi)學(xué)考試）已知正實(shí)數(shù)a，b，c， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 的最小值為_(kāi)______________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0 ## SKIPIF 1 < 0
【詳解】
由正實(shí)數(shù)a，b， SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
而 SKIPIF 1 < 0 ，當(dāng)且僅當(dāng) SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 時(shí)取等號(hào)，
故 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
當(dāng)且僅當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)，即 SKIPIF 1 < 0 時(shí)取等號(hào)，
故答案為： SKIPIF 1 < 0
3、均值不等式的實(shí)際應(yīng)用
【典例3-1】?jī)芍绷珘Τ?SKIPIF 1 < 0 二面角，現(xiàn)利用這兩面矮墻和籬笆圍成一個(gè)面積為 SKIPIF 1 < 0 的直角梯形菜園 SKIPIF 1 < 0 墻足夠長(zhǎng) SKIPIF 1 < 0 ，則所用籬笆總長(zhǎng)度的最小值為（ ）
A．16mB．18m
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【詳解】
設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，設(shè)籬笆長(zhǎng)度為y，則 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
梯形的面積為 SKIPIF 1 < 0 ，
整理得 SKIPIF 1 < 0 ，當(dāng) SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 時(shí)等號(hào)成立，
所以籬笆總長(zhǎng)度最小為18m．
故選：B
【典例3-2】如圖，鎮(zhèn)江金山的江天禪寺是歷史悠久的佛教圣地，其周?chē)慕鹕胶珗@也成為市民休閑旅游的最佳選擇.為了擴(kuò)大對(duì)家鄉(xiāng)旅游的宣傳，現(xiàn)對(duì)江天禪寺進(jìn)行無(wú)人機(jī)拍照.已知慈壽塔DE的右側(cè)是金山湖，我們選擇了三個(gè)點(diǎn)，分別是寶塔左側(cè)一點(diǎn)A與湖對(duì)岸B，F(xiàn)點(diǎn)，設(shè)寶塔底部E點(diǎn)和這三個(gè)點(diǎn)在同一直線上，無(wú)人機(jī)從A點(diǎn)沿AD直線飛行200米到達(dá)寶塔頂部D點(diǎn)后，然后再飛到F點(diǎn)的正上方，對(duì)山腳的江天禪寺EB區(qū)域進(jìn)行拍照.現(xiàn)測(cè)得從A處看寶塔頂部D的仰角為60°， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 米.若無(wú)人機(jī)在C點(diǎn)處獲得最佳拍照角度時(shí)（即 SKIPIF 1 < 0 最大），該無(wú)人機(jī)離地面的高度為（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 米B． SKIPIF 1 < 0 米C． SKIPIF 1 < 0 米D．200米
【答案】C
【詳解】
在 SKIPIF 1 < 0 中，由正弦定理得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
再由余弦定理： SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
設(shè)該無(wú)人機(jī)離地面的高度為 SKIPIF 1 < 0 米，則 SKIPIF 1 < 0 ，
當(dāng)且僅當(dāng)： SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 取等號(hào)，
此時(shí)無(wú)人機(jī)獲得最佳拍照角度，該無(wú)人機(jī)離地面的高度為 SKIPIF 1 < 0 米.
故選：C
【典例3-3】某校生物興趣小組為開(kāi)展課題研究，分得一塊面積為32 SKIPIF 1 < 0 的矩形空地，并計(jì)劃在該空地上設(shè)置三塊全等的矩形試驗(yàn)區(qū)（如圖所示）.要求試驗(yàn)區(qū)四周各空0.5 SKIPIF 1 < 0 ，各試驗(yàn)區(qū)之間也空0.5 SKIPIF 1 < 0 .則每塊試驗(yàn)區(qū)的面積的最大值為_(kāi)__________ SKIPIF 1 < 0 .
【答案】6
【詳解】
設(shè)矩形空地的長(zhǎng)為 SKIPIF 1 < 0 m，則寬為 SKIPIF 1 < 0 m，
依題意可得，試驗(yàn)區(qū)的總面積 SKIPIF 1 < 0 ，
當(dāng)且僅當(dāng) SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 時(shí)等號(hào)成立，
所以每塊試驗(yàn)區(qū)的面積的最大值為 SKIPIF 1 < 0 .
故答案為：6
【典例3-4】蘄春縣內(nèi)有一路段A長(zhǎng)325米，在某時(shí)間內(nèi)的車(chē)流量y（千輛/小時(shí)）與汽車(chē)的平均速度v（千米/小時(shí)）之間的函數(shù)關(guān)系為 SKIPIF 1 < 0 ，交通部門(mén)利用大數(shù)據(jù)，采用“信號(hào)燈不再固定長(zhǎng)短，交通更加智能化”策略，紅燈設(shè)置時(shí)間T（秒）＝路段長(zhǎng)× SKIPIF 1 < 0 ，那么在車(chē)流量最大時(shí)，路段A的紅燈設(shè)置時(shí)間為_(kāi)__________秒.
【答案】87.75## SKIPIF 1 < 0
【詳解】
不妨設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
當(dāng)且僅當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)等號(hào)成立.
SKIPIF 1 < 0 千米/小時(shí) SKIPIF 1 < 0 米/秒
此時(shí)紅燈設(shè)置時(shí)間為 SKIPIF 1 < 0 秒.
故答案為： SKIPIF 1 < 0
【典例3-5】為了在夏季降溫和冬季供暖時(shí)減少能源損耗，建筑物的外墻需要建造隔熱層，現(xiàn)某建筑物要建造可使用20年的隔熱層，已知每厘米厚的隔熱層建造成本為6萬(wàn)元，該建筑物每年的能源消耗費(fèi)用 SKIPIF 1 < 0 （單位：萬(wàn)元）與隔熱層厚度x（單位：cm）滿足關(guān)系 SKIPIF 1 < 0 ，若不建隔熱層，則該建筑物每年的能源消耗費(fèi)為8萬(wàn)元．設(shè) SKIPIF 1 < 0 為隔熱層建造費(fèi)用與20年的能源消耗費(fèi)用之和．
(1)請(qǐng)寫(xiě)出 SKIPIF 1 < 0 的表達(dá)式；
(2)隔熱層建多厚時(shí)， SKIPIF 1 < 0 達(dá)到最小，并求出最小值．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2)當(dāng)隔熱層修建為 SKIPIF 1 < 0 厚時(shí)，總費(fèi)用 SKIPIF 1 < 0 達(dá)到最小值為70萬(wàn)元．
【解析】(1)
解：由題意， SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)
解：由（1）知， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，當(dāng)且僅當(dāng) SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 時(shí)取等號(hào)，
所以當(dāng)隔熱層修建為 SKIPIF 1 < 0 厚時(shí)，總費(fèi)用 SKIPIF 1 < 0 達(dá)到最小值為70萬(wàn)元．

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