一、知識梳理
1.空間向量的有關(guān)概念
2.空間向量的有關(guān)定理
(1)共線向量定理：如果a≠0且b∥a，則存在唯一的實數(shù)λ，使得b＝λa.
(2)共面向量定理：如果兩個向量a，b不共線，則向量a，b，c共面的充要條件是，存在唯一的實數(shù)對(x，y)，使c＝xa＋yb.
由共面向量定理可得判斷空間中四點是否共面的方法：如果A，B，C三點不共線，則點P在平面ABC內(nèi)的充要條件是，存在唯一的實數(shù)對(x，y)，使eq \(AP,\s\up6(→))＝xeq \(AB,\s\up6(→))＋yeq \(AC,\s\up6(→)).
(3)空間向量基本定理：如果空間中的三個向量a，b，c不共面，那么對空間中的任意一個向量p，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc.其中，{a，b，c}稱為空間向量的一組基底.
3.空間向量的數(shù)量積
(1)兩向量的夾角：已知兩個非零向量a，b，在空間任取一點O，作eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(OB,\s\up6(→))＝b，則∠AOB叫做向量a與b的夾角，記作〈a，b〉，其范圍是[0，π]，若〈a，b〉＝eq \f(π,2)，則稱a與b互相垂直，記作a⊥b.
(2)兩向量的數(shù)量積：非零向量a，b的數(shù)量積a·b＝|a||b|cs〈a，b〉.
4.空間向量數(shù)量積的運算律
(1)結(jié)合律：(λa)·b＝λ(a·b)；
(2)交換律：a·b＝b·a；
(3)分配律：(a＋b)·c＝a·c＋b·c.
5.空間向量的坐標表示及其應(yīng)用
設(shè)a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2).
6.直線的方向向量和平面的法向量
(1)直線的方向向量：如果l是空間中的一條直線，v是空間中的一個非零向量，且表示v的有向線段所在的直線與l平行或重合，則稱v為直線l的一個方向向量.
(2)平面的法向量：如果α是空間中的一個平面，n是空間的一個非零向量，且表示n的有向線段所在的直線與平面α垂直，則稱n為平面α的一個法向量，此時也稱n與平面α垂直，記作n⊥α.
7.空間位置關(guān)系的向量表示
1.在平面中A，B，C三點共線的充要條件是：eq \(OA,\s\up6(→))＝xeq \(OB,\s\up6(→))＋yeq \(OC,\s\up6(→))(其中x＋y＝1)，O為平面內(nèi)任意一點.
2.在空間中P，A，B，C四點共面的充要條件是：eq \(OP,\s\up6(→))＝xeq \(OA,\s\up6(→))＋yeq \(OB,\s\up6(→))＋zeq \(OC,\s\up6(→))(其中x＋y＋z＝1)，O為空間任意一點.
考點和典型例題
1、空間向量的運算及共線、共面定理
【典例1-1】（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知向量 SKIPIF 1 < 0 ＝(2m＋1，3，m－1)， SKIPIF 1 < 0 ＝(2，m，－m)，且 SKIPIF 1 < 0 ，則實數(shù)m的值等于（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B．－2 C．0 D． SKIPIF 1 < 0 或－2
【典例1-2】（2021·河北·滄縣中學(xué)高三階段練習(xí)） SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 三向量共面，則實數(shù) SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．3B．2C．15D．5
【典例1-3】（2020·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)x， SKIPIF 1 < 0 ，向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C．3D．4
【典例1-4】（2022·全國·高三專題練習(xí)）（多選）若 SKIPIF 1 < 0 構(gòu)成空間的一個基底，則下列向量共面的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【典例1-5】（2022·湖南·高三階段練習(xí)）若直線 SKIPIF 1 < 0 的方向向量 SKIPIF 1 < 0 ，平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量 SKIPIF 1 < 0 ，且直線 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，則實數(shù) SKIPIF 1 < 0 的值是______.
2、空間向量的數(shù)量積及其應(yīng)用
【典例2-1】（2022·河南省杞縣高中模擬預(yù)測（理））正四面體 SKIPIF 1 < 0 的棱長為4，空間中的動點P滿足 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 的取值范圍為（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【典例2-2】（2022·四川·成都市錦江區(qū)嘉祥外國語高級中學(xué)模擬預(yù)測（理））已知正四棱臺 SKIPIF 1 < 0 的上、下底面邊長分別為 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是上底面 SKIPIF 1 < 0 的邊界上一點．若 SKIPIF 1 < 0 的最小值為 SKIPIF 1 < 0 ，則該正四棱臺的體積為（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【典例2-3】（2022·山東泰安·模擬預(yù)測）《九章算術(shù)》中的“商功”篇主要講述了以立體幾何為主的各種形體體積的計算，其中塹堵是指底面為直角三角形的直棱柱.在塹堵 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，M是 SKIPIF 1 < 0 的中點， SKIPIF 1 < 0 ，N，G分別在棱 SKIPIF 1 < 0 ，AC上，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，平面MNG與AB交于點H，則 SKIPIF 1 < 0 ___________， SKIPIF 1 < 0 ___________.
【典例2-4】（2022·上海徐匯·三模）已知 SKIPIF 1 < 0 ? SKIPIF 1 < 0 是空間相互垂直的單位向量，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 的最小值是___________.
【典例2-5】（2022·浙江·模擬預(yù)測）若 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 是棱長為 SKIPIF 1 < 0 的正四面體棱上互不相同的三點，則 SKIPIF 1 < 0 的取值范圍是_______.
3、空間向量的應(yīng)用
【典例3-1】（2022·全國·模擬預(yù)測）下圖為正三棱柱 SKIPIF 1 < 0 的一個展開圖，若A， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，D， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 六點在同一個圓周上，則在原正三棱柱中，直線AE和直線BF所成角的余弦值是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【典例3-2】（2022·全國·高三專題練習(xí)（文））在正方體 SKIPIF 1 < 0 中，E，F(xiàn)分別為 SKIPIF 1 < 0 的中點，則（ ）
A．平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 B．平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0
C．平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 D．平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0
【典例3-3】（2022·福建龍巖·模擬預(yù)測）已知直三棱柱 SKIPIF 1 < 0 的所有棱長都相等， SKIPIF 1 < 0 為 SKIPIF 1 < 0 的中點，則 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 所成角的正弦值為（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【典例3-4】（2022·河南省蘭考縣第一高級中學(xué)模擬預(yù)測（理））已知三棱柱 SKIPIF 1 < 0 的底面是邊長為2的等邊三角形，側(cè)棱長為2，D為 SKIPIF 1 < 0 的中點，若 SKIPIF 1 < 0 ，則異面直線 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 所成角的余弦值為______．
【典例3-5】（2022·浙江紹興·模擬預(yù)測）如圖，三棱臺 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
(1)證明： SKIPIF 1 < 0 ；
(2)求直線 SKIPIF 1 < 0 與平面 SKIPIF 1 < 0 所成的角．名稱
定義
空間向量
空間中既有大小又有方向的量稱為空間向量
相等向量
大小相等、方向相同的向量
相反向量
大小相等、方向相反的向量
共線向量
(或平行向量)
如果兩個非零向量的方向相同或者相反，則稱這兩個向量平行(或共線)
共面向量
空間中的多個向量，如果表示它們的有向線段通過平移后，都能在同一平面內(nèi)，則稱這些向量共面
向量表示
坐標表示
數(shù)量積
a·b
x1x2＋y1y2＋z1z2
共線
b＝λa(a≠0，λ∈R)
x2＝λx1，y2＝λy1，z2＝λz1
垂直
a·b＝0(a≠0，b≠0)
x1x2＋y1y2＋z1z2＝0
模
|a|
eq \r(xeq \\al(2,1)＋yeq \\al(2,1)＋zeq \\al(2,1))
夾角
〈a，b〉(a≠0，b≠0)
cs〈a，b〉＝eq \f(x1x2＋y1y2＋z1z2,\r(xeq \\al(2,1)＋yeq \\al(2,1)＋zeq \\al(2,1))\r(xeq \\al(2,2)＋yeq \\al(2,2)＋zeq \\al(2,2)))
位置關(guān)系
向量表示
直線l1，l2的方向向量分別為v1，v2
l1∥l2
v1∥v2?v1＝λv2
l1⊥l2
v1⊥v2?v1·v2＝0
直線l的方向向量為v，平面α的法向量為n
l∥α
v⊥n?v·n＝0
l⊥α
v∥n?n＝λv
平面α，β的法向量分別為n1，n2
α∥β
n1∥n2?n1＝λn2
α⊥β
n1⊥n2?n1·n2＝0

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