新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 講與練第8講函數(shù)模型及其應(yīng)用（2份打包，原卷版+解析版）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

一、知識梳理
1.指數(shù)、對數(shù)、冪函數(shù)模型性質(zhì)比較
2.幾種常見的函數(shù)模型
考點(diǎn)和典型例題
1、利用函數(shù)圖像刻畫實(shí)際問題的變化過程
【典例1-1】（2022·四川攀枝花·三模（理））中央經(jīng)濟(jì)工作會議將做好“碳達(dá)峰、碳中和”工作列為2022年的重點(diǎn)任務(wù)之一，要求持續(xù)提升能源利用效率，加快能源消費(fèi)方式轉(zhuǎn)變．汽車的“燃油效率”是指汽車每消耗1L汽油行駛的里程，如圖描述了甲、乙、丙三輛汽車在不同速度下的燃油效率情況．下列敘述中正確的是（）．
A．消耗1L汽油，乙車最多可行駛5km
B．甲車以80km/h的速度行駛1h，消耗約10L汽油
C．以相同速度行駛相同路程，三輛車中，甲車消耗汽油最多
D．某城市機(jī)動車最高限速80km/h，相同條件下，在該市用丙車比用乙車更省油
【答案】D
【詳解】
對于A：當(dāng)乙車速度大于 SKIPIF 1 < 0 時，乙車車每消耗1L汽油行駛的里程都超過了 SKIPIF 1 < 0 ，所以A錯誤；
對于B：甲車以80km/h的速度行駛時，燃油效率為 SKIPIF 1 < 0 ，則行駛1h消耗約8L汽油，所以B錯誤；
對于C：以相同速度行駛相同路程，燃油效率越高耗油越少，故三輛車中，甲車消耗汽油最少，所以C錯誤；
對于D：機(jī)動車最高限速80km/h相同條件下，丙車比乙車燃油效率高，故更省油，所以D正確.
故選：D.
【典例1-2】（2021·陜西·榆林市第十中學(xué)高二階段練習(xí)（文））2020年春季，新冠肺炎疫情在全球范圍內(nèi)相繼爆發(fā)，因?yàn)檎沃贫取⑽幕尘暗纫蛩氐牟煌?，各個國家疫情防控的效果具有明顯差異、如圖是西方某國在60天內(nèi)感染新冠肺炎的累計(jì)病例人數(shù)y（萬人）與時間t（天）的散點(diǎn)圖，則下列最適宜作為此模型的回歸方程的類型是（）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【詳解】
根據(jù)散點(diǎn)圖，可以看出，散點(diǎn)大致分布在一條“指數(shù)型”函數(shù)曲線附近，
選項(xiàng)A對應(yīng)的“直線型”的擬合函數(shù)；
選項(xiàng)B對應(yīng)的“冪函數(shù)型”的擬合函數(shù)；
選項(xiàng)D對應(yīng)的“對數(shù)型”的擬合函數(shù)；
故選：C.
【典例1-3】（2022·河南鄭州·高二階段練習(xí)（文））如圖，某池塘里浮萍的面積y（單位： SKIPIF 1 < 0 ）與時間 SKIPIF 1 < 0 （單位：月）的關(guān)系為 SKIPIF 1 < 0 ，關(guān)于下列說法：
①浮萍每月的增長率為1；
②第5個月時，浮萍面積就會超過 SKIPIF 1 < 0 ；
③浮萍每月增加的面積都相等；
④若浮萍蔓延到 SKIPIF 1 < 0 所經(jīng)過的時間分別是 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，其中正確的說法是（）
A．①②B．①②③C．①②④D．①②③④
【答案】C
【詳解】
因?yàn)閳D像過 SKIPIF 1 < 0 ，所以由 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故原題中函數(shù)關(guān)系為 SKIPIF 1 < 0
對于①： SKIPIF 1 < 0 ，所以每個月的增長率為1，故①正確；
對于②：當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時， SKIPIF 1 < 0 ，故②正確；
對于③：第二個月比第一個月增加 SKIPIF 1 < 0
第三個月比第二個月增加 SKIPIF 1 < 0 ，故③錯誤；
對于④：由題 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故④正確；
故選：C
【典例1-4】（2022·新疆吐魯番·高一期末）如圖，某池塘里浮萍的面積 SKIPIF 1 < 0 （單位： SKIPIF 1 < 0 ）與時間t（單位：月）的關(guān)系為 SKIPIF 1 < 0 ，關(guān)于下列說法不正確的是（）
A．浮萍每月的增長率為2
B．浮萍每月增加的面積都相等
C．第4個月時，浮萍面積超過 SKIPIF 1 < 0
D．若浮萍蔓延到 SKIPIF 1 < 0 所經(jīng)過的時間分別是 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【詳解】
解：圖象可知，函數(shù)過點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 函數(shù)解析式為 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 浮萍每月的增長率為 SKIPIF 1 < 0 ，故選項(xiàng)A正確，
SKIPIF 1 < 0 函數(shù) SKIPIF 1 < 0 是指數(shù)函數(shù)，是曲線型函數(shù)， SKIPIF 1 < 0 浮萍每月增加的面積不相等，故選項(xiàng)B錯誤，
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時， SKIPIF 1 < 0 ，故選項(xiàng)C正確，
對于D選項(xiàng)， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故選項(xiàng)D正確，
故選：B．
2、已知函數(shù)模型解決實(shí)際問題
【典例2-1】（2022·重慶南開中學(xué)模擬預(yù)測）浮萍是我國南方常見的一種水生植物，生長速度非?？欤羁烀?0個小時浮萍鋪在水面的面積就可以擴(kuò)大為原來的2倍．李大爺承包了一塊面積為3畝（1畝≈666.7平方米）的魚塘，為養(yǎng)殖草魚購買了一些浮萍．最初，浮萍鋪在水面上大約有1平方米，如果浮萍始終以最高效繁殖，大約（）天后，浮萍可以鋪滿整個魚塘．（不考慮草魚對浮萍的損耗．結(jié)果四舍五入到整數(shù)，參考數(shù)據(jù)： SKIPIF 1 < 0 ）
A．12B．14C．16D．18
【答案】B
【詳解】
由題，魚塘面積共 SKIPIF 1 < 0 平方米，浮萍 SKIPIF 1 < 0 天后在水面上的面積大約有 SKIPIF 1 < 0 平方米，故浮萍鋪滿整個魚塘的天數(shù) SKIPIF 1 < 0 滿足 SKIPIF 1 < 0 ，兩邊取對數(shù)化簡有 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，故大約14天后，浮萍可以鋪滿整個魚塘
故選：B
【典例2-2】（2022·遼寧葫蘆島·一模）某高中綜合實(shí)踐興趣小組做一項(xiàng)關(guān)于某水果釀制成醋的課題研究．經(jīng)大量實(shí)驗(yàn)和反復(fù)論證得出，某水果可以釀成醋的成功指數(shù)M與該品種水果中氫離子的濃度N有關(guān)，釀醋成功指數(shù)M與濃度N滿足 SKIPIF 1 < 0 ．已知該興趣小組同學(xué)通過數(shù)據(jù)分析估計(jì)出某水果釀醋成功指數(shù)為2.9，則該水果中氫離子的濃度約為（ SKIPIF 1 < 0 ）（）
A．0.2B．0.4C．0.6D．0.8
【答案】D
【詳解】
由題意知： SKIPIF 1 < 0 ，整理得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 .
故選：D.
【典例2-3】（2022·廣西·模擬預(yù)測（理））異速生長規(guī)律描述生物的體重與其它生理屬性之間的非線性數(shù)量關(guān)系通常以冪函數(shù)形式表示．比如，某類動物的新陳代謝率 SKIPIF 1 < 0 與其體重 SKIPIF 1 < 0 滿足 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 為正常數(shù)，該類動物某一個體在生長發(fā)育過程中，其體重增長到初始狀態(tài)的16倍時，其新陳代謝率僅提高到初始狀態(tài)的8倍，則 SKIPIF 1 < 0 為（）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【詳解】
設(shè)初始狀態(tài)為 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
故選：D．
【典例2-4】（2022·重慶·模擬預(yù)測）我國的酒駕標(biāo)準(zhǔn)是指車輛駕駛員血液中的酒精含量大于或者等于 SKIPIF 1 < 0 ，已知一駕駛員某次飲酒后體內(nèi)每 SKIPIF 1 < 0 血液中的酒精含量 SKIPIF 1 < 0 （單位： SKIPIF 1 < 0 ）與時間 SKIPIF 1 < 0 （單位： SKIPIF 1 < 0 ）的關(guān)系是：當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時， SKIPIF 1 < 0 ；當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時， SKIPIF 1 < 0 ，那么該駕駛員在飲酒后至少要經(jīng)過__________ SKIPIF 1 < 0 才可駕車.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【詳解】
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時， SKIPIF 1 < 0 ，
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時，函數(shù)有最大值 SKIPIF 1 < 0 ，所以當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時，飲酒后體內(nèi)每 SKIPIF 1 < 0 血液中的酒精含量小于 SKIPIF 1 < 0 ，
當(dāng)當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時，函數(shù) SKIPIF 1 < 0 單調(diào)遞減，令 SKIPIF 1 < 0 ，因此飲酒后 SKIPIF 1 < 0 小時體內(nèi)每 SKIPIF 1 < 0 血液中的酒精含量等于 SKIPIF 1 < 0 ，
故答案為： SKIPIF 1 < 0
【典例2-5】（2022·北京西城·一模）調(diào)查顯示，垃圾分類投放可以帶來約 SKIPIF 1 < 0 元/千克的經(jīng)濟(jì)效益.為激勵居民垃圾分類，某市準(zhǔn)備給每個家庭發(fā)放一張積分卡，每分類投放 SKIPIF 1 < 0 積分 SKIPIF 1 < 0 分，若一個家庭一個月內(nèi)垃圾分類投放總量不低于 SKIPIF 1 < 0 ，則額外獎勵 SKIPIF 1 < 0 分（ SKIPIF 1 < 0 為正整數(shù)）.月底積分會按照 SKIPIF 1 < 0 元/分進(jìn)行自動兌換.
①當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時，若某家庭某月產(chǎn)生 SKIPIF 1 < 0 生活垃圾，該家庭該月積分卡能兌換_____元；
②為了保證每個家庭每月積分卡兌換的金額均不超過當(dāng)月垃圾分類投放帶來的收益的 SKIPIF 1 < 0 %，則 SKIPIF 1 < 0 的最大值為___________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
【詳解】
①若某家庭某月產(chǎn)生 SKIPIF 1 < 0 生活垃圾，則該家庭月底的積分為 SKIPIF 1 < 0 分，
故該家庭該月積分卡能兌換 SKIPIF 1 < 0 元；
②設(shè)每個家庭每月產(chǎn)生的垃圾為 SKIPIF 1 < 0 ，每個家庭月底月積分卡能兌換的金額為 SKIPIF 1 < 0 元.
若 SKIPIF 1 < 0 時， SKIPIF 1 < 0 恒成立；
若 SKIPIF 1 < 0 時， SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 .
故 SKIPIF 1 < 0 的最大值為 SKIPIF 1 < 0 .
故答案為：① SKIPIF 1 < 0 ；② SKIPIF 1 < 0 .
3、構(gòu)造函數(shù)模型解決實(shí)際問題
【典例3-1】（2022·廣東茂名·二模）雙碳，即碳達(dá)峰與碳中和的簡稱，2020年9月中國明確提出2030年實(shí)現(xiàn)“碳達(dá)峰”，2060年實(shí)現(xiàn)“碳中和”．為了實(shí)現(xiàn)這一目標(biāo)，中國加大了電動汽車的研究與推廣，到2060年，純電動汽車在整體汽車中的滲透率有望超過70%，新型動力電池隨之也迎來了蓬勃發(fā)展的機(jī)遇．Peukert于1898年提出蓄電池的容量C（單位：A·h），放電時間t（單位：h）與放電電流I（單位：A）之間關(guān)系的經(jīng)驗(yàn)公式 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 為Peukert常數(shù)．在電池容量不變的條件下，當(dāng)放電電流 SKIPIF 1 < 0 時，放電時間 SKIPIF 1 < 0 ，則當(dāng)放電電流 SKIPIF 1 < 0 ，放電時間為（）
A．28hB．28.5hC．29hD．29.5h
【答案】B
【詳解】
解：根據(jù)題意可得 SKIPIF 1 < 0 ，
則當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時，
SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
即當(dāng)放電電流 SKIPIF 1 < 0 ，放電時間為28.5h.
故選：B.
【典例3-2】（2022·天津市第七中學(xué)模擬預(yù)測）一種藥在病人血液中的量不少于 SKIPIF 1 < 0 才有效，而低于 SKIPIF 1 < 0 病人就有危險(xiǎn)．現(xiàn)給某病人注射了這種藥 SKIPIF 1 < 0 ，如果藥在血液中以每小時 SKIPIF 1 < 0 的比例衰減，為了充分發(fā)揮藥物的利用價值，那么從現(xiàn)在起經(jīng)過（）小時向病人的血液補(bǔ)充這種藥，才能保持療效．（附： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，結(jié)果精確到 SKIPIF 1 < 0 ）
A． SKIPIF 1 < 0 小時B． SKIPIF 1 < 0 小時C． SKIPIF 1 < 0 小時D． SKIPIF 1 < 0 小時
【答案】A
【詳解】
設(shè)應(yīng)在病人注射這種藥 SKIPIF 1 < 0 小時后再向病人的血液補(bǔ)充這種藥，
則 SKIPIF 1 < 0 ，整理可得： SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，即應(yīng)在用藥 SKIPIF 1 < 0 小時后再向病人的血液補(bǔ)充這種藥.
故選：A.
【典例3-3】（2022·福建龍巖·模擬預(yù)測）進(jìn)入4月份以來，為了支援上海抗擊疫情，A地組織物流企業(yè)的汽車運(yùn)輸隊(duì)從高速公路向上海運(yùn)送抗疫物資.已知A地距離上海500 SKIPIF 1 < 0 ，設(shè)車隊(duì)從A地勻速行駛到上海，高速公路限速為 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 .已知車隊(duì)每小時運(yùn)輸成本（以元為單位）由可變部分和固定部分組成，可變部分與速度v SKIPIF 1 < 0 的立方成正比，比例系數(shù)為b，固定部分為a元.若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，為了使全程運(yùn)輸成本最低，車隊(duì)速度v應(yīng)為（）
A．80 SKIPIF 1 < 0 B．90 SKIPIF 1 < 0 C．100 SKIPIF 1 < 0 D．110 SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【詳解】
解：設(shè)運(yùn)輸成本為 SKIPIF 1 < 0 元，依題意可得 SKIPIF 1 < 0 ，
則 SKIPIF 1 < 0
所以當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時 SKIPIF 1 < 0 ，當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時 SKIPIF 1 < 0 ，當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時 SKIPIF 1 < 0 ，
即函數(shù)在 SKIPIF 1 < 0 上單調(diào)遞減，在 SKIPIF 1 < 0 上單調(diào)遞增，所以當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時取得極小值即最小值，
所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 時全程運(yùn)輸成本最低；
故選：C
【典例3-4】（2022·貴州畢節(jié)·三模（理））20世紀(jì)70年代，里克特制訂了一種表明地震能量大小的尺度，就是使用測震儀衡量地震能量的等級，地震能量越大，測震儀記錄的地震曲線的振幅就越大，這就是我們常說的里氏震級 SKIPIF 1 < 0 ，其計(jì)算公式為 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 是被測地震的最大振幅， SKIPIF 1 < 0 是“標(biāo)準(zhǔn)地震”的振幅．假設(shè)在一次地震中，一個距離震中 SKIPIF 1 < 0 千米的測震儀記錄的地震最大振幅是 SKIPIF 1 < 0 ，此時標(biāo)準(zhǔn)地震的振幅是 SKIPIF 1 < 0 ，計(jì)算這次地震的震級為（）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【詳解】
依題意知 SKIPIF 1 < 0 ，
因此，這次地震的震級約為里氏 SKIPIF 1 < 0 級.
故選：B.
【典例3-5】（2022·安徽·南陵中學(xué)模擬預(yù)測（理））充電電池是電動汽車的核心部件之一，如何提高充電速度是電池制造商重點(diǎn)關(guān)注的研究方向已知電池充入的電量E（單位： SKIPIF 1 < 0 ）與充電時間t（單位： SKIPIF 1 < 0 ）滿足函數(shù) SKIPIF 1 < 0 ，其中M表示電池的容量，k表示電池的充電效率，研究人員對A，B兩個型號的電池進(jìn)行充電測試，電池A的容量為 SKIPIF 1 < 0 ，充電 SKIPIF 1 < 0 充入了 SKIPIF 1 < 0 的電量；電池B的容量為 SKIPIF 1 < 0 ，充電 SKIPIF 1 < 0 充入了 SKIPIF 1 < 0 的電量.設(shè)電池A的充電效率為 SKIPIF 1 < 0 ，電池B的充電效率為 SKIPIF 1 < 0 ，則（）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 大小關(guān)系無法確定
【答案】B
【詳解】
由題意得 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，
同理 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
由指數(shù)函數(shù)單調(diào)性得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ．
故選：B
函數(shù)
性質(zhì)
y＝ax
(a>1)
y＝lgax
(a>1)
y＝xn
(n>0)
在(0，＋∞)
上的增減性
單調(diào)遞增
單調(diào)遞增
單調(diào)遞增
增長速度
越來越快
越來越慢
相對平穩(wěn)
圖像
的變化
隨x的增大逐漸表現(xiàn)為與y軸平行
隨x的增大逐漸表現(xiàn)為與x軸平行
隨n值
變化而
各有不同
值的比較
存在一個x0，當(dāng)x>x0時，有l(wèi)gax0且a≠1，b≠0)
與冪函數(shù)相關(guān)的模型
f(x)＝axn＋b(a，b，n為常數(shù)，a≠0)

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