第4章綜合素質(zhì)評(píng)價(jià) 一、選擇題(每題3分，共30分) 1．sin 30°的值等于(　　) A．eq \f(1,2) B．eq \f(\r(2),2) C．eq \f(\r(3),2) D．eq \f(\r(3),3) 2． 如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝4，AB＝5，則sin A的值為(　　) A．eq \f(3,5) B．eq \f(5,3) C．eq \f(4,5) D．eq \f(3,4) 3．[2024·海南中學(xué)月考]若銳角α滿足eq \f(1,2)＜cos α＜eq \f(\r(2),2)，則銳角α的取值范圍是(　　) A．0°＜α＜45° B．30°＜α＜45° C．45°＜α＜60° D．30°＜α＜60° 4．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若將各邊長(zhǎng)度都擴(kuò)大為原來(lái)的3倍，則∠A的正弦值(　　) A．?dāng)U大為原來(lái)的3倍　 B．縮小為原來(lái)的eq \f(1,3) C．?dāng)U大為原來(lái)的6倍 D．不變 5．[2023·益陽(yáng)]如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，有三點(diǎn)A(0，1)，B(4，1)，C(5，6)，則sin ∠BAC＝(　　) A．eq \f(1,2) B．eq \f(\r(13),5) C．eq \f(\r(2),2) D．eq \f(\r(3),2) 6．[2022·濟(jì)南]數(shù)學(xué)活動(dòng)小組到某廣場(chǎng)測(cè)量標(biāo)志性建筑AB的高度．如圖，他們?cè)诘孛嫔螩點(diǎn)測(cè)得最高點(diǎn)A的仰角為22°，再向前走70 m至D點(diǎn)，又測(cè)得最高點(diǎn)A的仰角為58°，點(diǎn)C，D，B在同一直線上，則該建筑物AB的高度約為(　　)(精確到1 m，參考數(shù)據(jù)：sin 22°≈0．37，tan 22°≈0．40，sin 58°≈0．85，tan 58°≈1．60) A．28 m　 B．34 m C．37 m D．46 m 7．如圖，沿AE折疊矩形紙片ABCD，使點(diǎn)D落在BC邊上的點(diǎn)F處．已知 AB＝8，BC＝10，則cos∠EFC的值是(　　) A．eq \f(3,4) B．eq \f(4,3) C．eq \f(3,5) D．eq \f(4,5) 8．[2023·衢州]如圖，一款可調(diào)節(jié)的筆記本電腦支架放置在水平桌面上，調(diào)節(jié)桿BC＝eq \r(2)a，AB＝b，AB的最大仰角為α．當(dāng)∠C＝45°時(shí)，則點(diǎn)A到桌面的最大高度是(　　) A．a(chǎn)＋eq \f(b,cos α) B．a(chǎn)＋eq \f(b,sin α) C．a(chǎn)＋bcos α D．a(chǎn)＋bsin α 9．如圖，矩形ABCD的對(duì)角線交于點(diǎn)O，已知AB＝m，∠BAC＝α，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是(　　) A．∠BDC＝α B．BC＝m·tan α C．AO＝eq \f(m,2sin α) D．BD＝eq \f(m,cos α) 10．[2023·河南]如圖①，點(diǎn)P從等邊三角形ABC的頂點(diǎn)A出發(fā)，沿直線運(yùn)動(dòng)到三角形內(nèi)部一點(diǎn)，再?gòu)脑擖c(diǎn)沿直線運(yùn)動(dòng)到頂點(diǎn)B．設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路程為x，eq \f(PB,PC)＝y(tǒng)，圖②是點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)y隨x變化的關(guān)系圖象，則等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為(　　) A．6 B．3 C．4eq \r(3) D．2eq \r(3) 二、填空題(每題3分，共24分) 11．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，AC＝5，則cos A的值是________． 12．[2022·柳州]如圖，某水庫(kù)堤壩橫斷面迎水坡的坡角為α，sin α＝eq \f(3,5)，堤壩高BC＝30 m，則迎水坡坡面AB的長(zhǎng)度為_(kāi)_______m． 13．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的對(duì)邊分別為a，b，c，且滿足a2＋|c－10|＋eq \r(b－8)＝12a－36，則sin B的值為_(kāi)_______． 14．[2024·廣西師范大學(xué)附屬中學(xué)模擬]如圖，菱形ABCD繞A點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，B，C，D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為B1，C1，D1，若B1和D重合，菱形ABCD面積為18eq \r(3)cm2，則陰影△DCC1的面積＝________cm2． 15．如圖，將以A為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形ABC沿直線BC平移得到△A′B′C′，使點(diǎn)B′與C重合，連接A′B，則tan∠A′BC′＝________． 16．如圖是一臺(tái)手機(jī)支架的側(cè)面示意圖，AB，BC可分別繞點(diǎn)A，B轉(zhuǎn)動(dòng)，測(cè)量知BC＝8 cm，AB＝16 cm．當(dāng)AB，BC轉(zhuǎn)動(dòng)到∠BAE＝60°，∠ABC＝50°時(shí)，點(diǎn)C到AE的距離約為_(kāi)_______cm(結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位，參考數(shù)據(jù)：sin 70°≈0．94，eq \r(3)≈1．73)． 17．[2023·雅安]如圖，四邊形ABCD中，AB＝AD，BC＝DC，∠C＝60°，AE∥CD，交BC于點(diǎn)E，BC＝8，AE＝6，則AB的長(zhǎng)為_(kāi)_______． 18．[2023·黃岡]如圖，已知點(diǎn)A(3，0)，點(diǎn)B在y軸正半軸上，將線段AB繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°到線段AC，若點(diǎn)C的坐標(biāo)為(7，h)，則h＝________． 三、解答題(19～22題每題10分，23題12分，24題14分，共66分) 19． 計(jì)算：2cos 30°－tan 60°＋sin 45°cos 45°． 20． 在△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C所對(duì)的邊分別為a，b，c． (1)已知c＝2，∠A＝60°，求∠B，a，b； (2)已知a＝eq \r(2)，∠A＝45°，求∠B，b，c． 21．[2023·北京]如圖，在?ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在BC，AD上，BE＝DF， AC＝EF，連接AE，CF． (1)求證：四邊形AECF是矩形； (2)若AE＝BE，AB＝2，tan∠ACB＝eq \f(1,2)，求BC的長(zhǎng)． 22．如圖是某水庫(kù)大壩的橫截面，壩高CD＝20 m，背水坡BC的坡度為i1＝1∶1．為了對(duì)水庫(kù)大壩進(jìn)行升級(jí)加固，降低背水坡的傾斜程度，設(shè)計(jì)人員準(zhǔn)備把背水坡的坡度改為i2＝1∶eq \r(3)，求背水坡新起點(diǎn)A與原起點(diǎn)B之間的距離(參考數(shù)據(jù)：eq \r(2)≈1.41，eq \r(3)≈1.73，結(jié)果精確到0.1 m)． 23．[2023·泰州]如圖，堤壩AB的長(zhǎng)為10 m，坡度i為10．75，底端A在地面上，堤壩與對(duì)面的山之間有一深溝，山頂D處立有高20 m的鐵塔CD．小明欲測(cè)量山高DE，他在A處看到鐵塔頂端C剛好在視線AB上，又在壩頂B處測(cè)得塔底D的仰角α為26°35′．求堤壩高及山高DE．(參考數(shù)據(jù)：sin 26°35′≈0．45，cos 26°35′≈0．89，tan 26°35′≈0．50，小明身高忽略不計(jì)，結(jié)果精確到1 m) 24．[2023·海南]如圖，一艘輪船在A處測(cè)得燈塔M位于A的北偏東30°方向上，輪船沿著正北方向航行20海里到達(dá)B處，測(cè)得燈塔M位于B的北偏東60°方向上，測(cè)得港口C位于B的北偏東45°方向上．已知港口C在燈塔M的正北方向上． (1)填空：∠AMB＝________°，∠BCM＝________°； (2)求燈塔M到輪船航線AB的距離(結(jié)果保留根號(hào))； (3)求港口C與燈塔M的距離(結(jié)果保留根號(hào))． 答案 一、1.A 2．C 【解析】∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝4，∴sin A＝eq \f(BC,AB)＝eq \f(4,5). 3．C 【解析】∵cos 60°＝eq \f(1,2)，cos 45°＝eq \f(\r(2),2)，eq \f(1,2)＜cos α＜eq \f(\r(2),2)，∴45°＜α＜60°.故選C. 4．D 5．C 【解析】如圖，取格點(diǎn)D，連接CD，AD，則B在AD上． ∵A(0，1)，B(4，1)，C(5，6)，∴AD＝5，CD＝5，∠ADC＝90°.∴∠BAC＝45°.∴sin ∠BAC＝sin 45°＝eq \f(\r(2),2).故選C. 6．C 【解析】在Rt△ABD中，tan∠ADB＝eq \f(AB,DB)， ∴DB＝eq \f(AB,tan 58°)≈eq \f(AB,1.60)＝eq \f(5,8)AB.在Rt△ABC中，tan∠ACB＝tan 22°＝eq \f(AB,CB)，∴eq \f(AB,70＋\f(5,8)AB)≈0.40，解得AB≈37 m．故選C. 7．D 【解析】由題意得AF＝AD＝BC＝10，∠AFE＝∠D＝∠B＝90°.由等量關(guān)系代換可得∠EFC＝∠BAF，所以cos∠EFC＝cos∠BAF＝eq \f(AB,AF)＝eq \f(8,10)＝eq \f(4,5).故選D. 8．D 【解析】如圖，過(guò)點(diǎn)A作AF⊥BE于F，過(guò)點(diǎn)B作BG⊥CD于G， 在Rt△ABF中，AF＝AB·sin α＝bsin α， 在Rt△BCG中，BG＝BC·sin 45°＝eq \r(2)a×eq \f(\r(2),2)＝a， ∴易得點(diǎn)A到桌面的最大高度＝BG＋AF＝a＋bsin α.故選D. 9．C 10．A 【解析】如圖，令點(diǎn)P從頂點(diǎn)A出發(fā)，沿直線運(yùn)動(dòng)到三角形內(nèi)部一點(diǎn)O，再?gòu)狞c(diǎn)O沿直線運(yùn)動(dòng)到頂點(diǎn)B. 結(jié)合圖象可知，當(dāng)點(diǎn)P在AO上運(yùn)動(dòng)時(shí)，eq \f(PB,PC)＝1， ∴PB＝PC，AO＝2eq \r(3). 又∵△ABC為等邊三角形， ∴∠BAC＝60°，AB＝AC，又∵AP＝AP， ∴△APB≌△APC(SSS)， ∴∠BAO＝∠CAO.∴∠BAO＝∠CAO＝30°. 當(dāng)點(diǎn)P在OB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，可知點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)B時(shí)的路程為4eq \r(3)，∴OB＝2eq \r(3)，即AO＝OB＝2eq \r(3)， ∴∠BAO＝∠ABO＝30°. 過(guò)點(diǎn)O作OD⊥AB，∴AD＝BD，AD＝AO·cos 30°＝3，∴AB＝AD＋BD＝6，即等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為6.故選A. 二、11.eq \f(5,13) 12．50 【解析】根據(jù)題意得∠ACB＝90°，sin α＝eq \f(3,5)， ∴eq \f(BC,AB)＝eq \f(3,5).∵BC＝30 m，∴eq \f(30,AB)＝eq \f(3,5)，解得AB＝50(m)，即迎水坡坡面AB的長(zhǎng)度為50 m. 13.eq \f(4,5) 【解析】∵a2＋|c－10|＋eq \r(b－8)＝12a－36， ∴a2－12a＋36＋|c－10|＋eq \r(b－8)＝0， ∴(a－6)2＋|c－10|＋eq \r(b－8)＝0.∴a－6＝0，c－10＝0，b－8＝0，解得a＝6，c＝10，b＝8. ∴a2＋b2＝62＋82＝100＝102＝c2.∴∠C＝90°. ∴sin B＝eq \f(b,c)＝eq \f(8,10)＝eq \f(4,5). 14．9eq \r(3) 【解析】如圖，過(guò)點(diǎn)C作CH⊥C1D交C1D的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，過(guò)點(diǎn)B作BK⊥AD于點(diǎn)K.由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得∠BAD＝60°， ∴BK＝AB·sin 60°＝eq \f(\r(3),2)AB. ∵菱形ABCD面積為18eq \r(3)cm2， ∴BK·AD＝eq \f(\r(3),2)AB2＝18eq \r(3)cm2，解得AB＝6 cm. 易得CD＝C1D＝6 cm， ∠CDC1＝120°，∴∠CDH＝60°，∴CH＝CD·sin 60°＝3eq \r(3). ∴S陰影＝eq \f(1,2)×6×3eq \r(3)＝9eq \r(3)(cm2)． 15.eq \f(1,3) 【解析】如圖，過(guò)點(diǎn)A′作A′D⊥BC′于點(diǎn)D， 設(shè)A′D＝x，易得B′D＝x，BC＝2x，則BD＝3x. 所以tan∠A′BC′＝eq \f(A′D,BD)＝eq \f(x,3x)＝eq \f(1,3). 16．6.3 【解析】如圖，過(guò)點(diǎn)B，C分別作AE的垂線，垂足為點(diǎn)M，N；過(guò)點(diǎn)C作CD⊥BM，垂足為點(diǎn)D. 在Rt△ABM中，∵∠BAM＝60°，AB＝16 cm， ∴BM＝AB·sin 60°＝16×eq \f(\r(3),2)＝8eq \r(3)(cm)，∠ABM＝90°－60°＝30°. 在Rt△BCD中，∵∠DBC＝∠ABC－∠ABM＝50°－30°＝20°，∴∠BCD＝90°－20°＝70°. 又∵BC＝8 cm， ∴BD＝8×sin 70°≈8×0.94＝7.52(cm)． 易知四邊形CDMN為矩形， ∴CN＝DM＝BM－BD≈8eq \r(3)－7.52≈6.3(cm)， 即點(diǎn)C到AE的距離約為6.3 cm. 17．2eq \r(7) 【解析】如圖，連接AC，BD交于點(diǎn)O. ∵BC＝DC，∠BCD＝60°， ∴△BCD是等邊三角形．∴BD＝BC＝CD＝8. ∵AB＝AD，BC＝DC， ∴AC⊥BD，BO＝DO＝eq \f(1,2)BD＝4， ∴∠ACD＝∠ACB＝eq \f(1,2)∠BCD＝30°. 又∵AE∥CD，∴∠EAC＝∠ACD＝∠ACB＝30°， ∴EC＝AE＝6. 過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AC，交AC于點(diǎn)F， ∴CF＝CE·cos 30°＝6×eq \f(\r(3),2)＝3eq \r(3)， ∴AC＝CF＋AF＝6eq \r(3). AF＝AE·cos 30°＝6×eq \f(\r(3),2)＝3eq \r(3). ∴AC＝CF＋AF＝6eq \r(3). ∵CO＝BC·cos 30°＝8×eq \f(\r(3),2)＝4eq \r(3). ∴AO＝AC－CO＝6eq \r(3)－4eq \r(3)＝2eq \r(3). ∴在Rt△BOA中，AB＝eq \r(AO2＋BO2)＝eq \r((2\r(3))2＋42)＝2eq \r(7). 18.eq \f(2\r(3),3) 【解析】如圖，在x軸上取點(diǎn)D和點(diǎn)E，使得∠ADB＝∠AEC＝120°，過(guò)點(diǎn)C作CF⊥x軸于點(diǎn)F. ∵點(diǎn)C的坐標(biāo)為(7，h)，∴OF＝7，CF＝h. 在Rt△CEF中，∠CEF＝180°－∠AEC＝60°， ∴EF＝eq \f(CF,tan 60°)＝eq \f(\r(3),3)h，CE＝eq \f(CF,sin 60°)＝eq \f(2\r(3),3)h. ∵∠BAC＝120°， ∴∠BAD＋∠CAE＝∠BAD＋∠ABD＝60°. ∴∠CAE＝∠ABD. ∵AB＝CA，∴△CAE≌△ABD(AAS)． ∴AD＝CE＝eq \f(2\r(3),3)h，AE＝BD. ∵點(diǎn)A(3，0)，∴OA＝3， ∴OD＝OA－AD＝3－eq \f(2\r(3),3)h. 在Rt△BOD中，∠BDO＝180°－∠ADB＝60°， ∴BD＝eq \f(OD,cos∠BDO)＝eq \f(OD,cos 60°)＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3－\f(2\r(3),3)h))＝6－eq \f(4\r(3),3)h，∴AE＝BD＝6－eq \f(4\r(3),3)h. ∵OA＋AE＋EF＝OF， ∴3＋6－eq \f(4\r(3),3)h＋eq \f(\r(3),3)h＝7，解得h＝eq \f(2\r(3),3). 三、19.【解】2cos 30°－tan 60°＋sin 45°cos 45°＝2×eq \f(\r(3),2)－eq \r(3)＋eq \f(\r(2),2)×eq \f(\r(2),2)＝eq \r(3)－eq \r(3)＋eq \f(1,2)＝eq \f(1,2). 20．【解】(1)在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，∠A＝60°， ∴∠B＝90°－∠A＝30°. ∵sin B＝eq \f(b,c)，∴b＝c·sin B＝2×sin 30°＝1. ∵cos B＝eq \f(a,c)，∴a＝c·cos B＝2×cos 30°＝eq \r(3). (2)在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，∠A＝45°， ∴∠B＝90°－∠A＝45°. ∵tan A＝eq \f(a,b)，∴b＝eq \f(a,tan A)＝eq \f(\r(2),tan 45°)＝eq \r(2). ∵sin A＝eq \f(a,c)，∴c＝eq \f(a,sin A)＝eq \f(\r(2),sin 45°)＝2. 21．(1)【證明】∵四邊形ABCD是平行四邊形， ∴AD＝BC，AD∥BC. ∵BE＝DF，∴AF＝EC， ∴四邊形AECF是平行四邊形． ∵AC＝EF，∴四邊形AECF是矩形． (2)【解】由(1)知四邊形AECF是矩形， ∴∠AEC＝∠AEB＝90°. ∵AE＝BE，AB＝2，∴△ABE是等腰直角三角形． ∴AE＝BE＝eq \f(\r(2),2)AB＝eq \r(2). 又∵tan∠ACB＝eq \f(AE,EC)＝eq \f(1,2)，∴eq \f(\r(2),EC)＝eq \f(1,2).∴EC＝2eq \r(2). ∴BC＝BE＋EC＝eq \r(2)＋2eq \r(2)＝3eq \r(2). 22．【解】在Rt△BCD中，∵背水坡BC的坡度i1＝1∶1， ∴eq \f(CD,BD)＝1.∴BD＝CD＝20 m. 在Rt△ACD中，∵背水坡AC的坡度i2＝1∶eq \r(3)，∴eq \f(CD,AD)＝eq \f(1,\r(3)). ∴AD＝eq \r(3)CD＝20eq \r(3) m. ∴AB＝AD－BD＝20eq \r(3)－20≈14.6(m)． 答：背水坡新起點(diǎn)A與原起點(diǎn)B之間的距離約為14.6 m. 23．【解】如圖，過(guò)B作BH⊥AE于H. ∵坡度i為1∶0.75，∴設(shè)BH＝4x m，則AH＝3x m. ∴AB＝eq \r(AH2＋BH2)＝5x m．又∵AB＝10 m，∴x＝2. ∴AH＝6 m，BH＝8 m. 過(guò)B作BF⊥CE于F，則EF＝BH＝8 m，BF＝EH. 設(shè)DF＝a m．∵α＝26°35′，∴BF＝eq \f(DF,tan 26°35′)≈eq \f(a,0.5)＝2a(m)，∴AE≈(6＋2a)m. ∵坡度i為10.75，∴CEAE＝10.75≈(20＋a＋8)(6＋2a)．∴a≈12.∴DF≈12 m， ∴DE＝DF＋EF≈12＋8＝20(m)． 答：堤壩高為8 m，山高DE約為20 m. 24．【解】(1)30；45 【解析】如圖，過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB于D. ∵∠DBM＝∠A＋∠AMB＝30°＋∠AMB＝60°， ∴∠AMB＝30°. 由題意得AB∥CM.∴∠DBC＝∠BCM. ∵∠DBC＝45°，∴∠BCM＝45°. (2)如圖，過(guò)點(diǎn)M作ME⊥AB于E.由(1)可得∠A＝∠BMA＝30°， ∴BM＝AB＝20海里， 在Rt△BEM中，∠EBM＝60°，BM＝20海里， ∴EM＝BM·sin ∠EBM＝20×sin 60°＝20×eq \f(\r(3),2)＝10eq \r(3)(海里)． ∴燈塔M到輪船航線AB的距離為10eq \r(3) 海里． (3)如圖，過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB于D.∵CD⊥AB，ME⊥AB，AB∥CM， ∴易得四邊形CDEM是矩形， ∴CD＝EM＝10eq \r(3) 海里，DE＝CM. 在Rt△BEM中，∠EBM＝60°，BM＝20海里， ∴BE＝BM·cos ∠EBM＝20×cos 60°＝20×eq \f(1,2)＝10(海里)． ∵在Rt△CDB中，∠DBC＝45°， ∴△CDB是等腰直角三角形． ∴CD＝BD＝10eq \r(3) 海里． ∴CM＝DE＝BD－BE＝10(eq \r(3)－1)海里． ∴港口C與燈塔M的距離為10(eq \r(3)－1)海里．

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章節(jié)綜合與測(cè)試

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