滿分120分


姓名：___________班級：___________學(xué)號：___________


一．選擇題（共12小題，滿分36分，每小題3分）


1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，AC＝12，則sinB的值是（ ）


A．B．C．D．


2．已知sinA＝0.9816，運用科學(xué)計算器求銳角A時（在開機狀態(tài)下），按下的第一個鍵是（ ）


A．B．C．D．


3．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中點，若CD＝5，AC＝8，則tanA＝（ ）





A．B．C．D．


4．如圖，有一斜坡AB的長AB＝10米，坡角∠B＝36°，則斜坡AB的鉛垂高度AC為（ ）





A．10tan36°B．10cs36°C．10sin36°D．


5．已知csα＝，則銳角α的取值范圍是（ ）


A．0°＜α＜30°B．30°＜α＜45°C．45°＜α＜60°D．60°＜α＜90°


6．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC：AB＝5：13，則下列等式正確的是（ ）





A．tanA＝B．sinA＝C．csA＝D．tanA＝


7．sin58°、cs58°、cs28°的大小關(guān)系是（ ）


A．cs28°＜cs58°＜sin58°B．sin58°＜cs28°＜cs58°


C．cs58°＜sin58°＜cs28°D．sin58°＜cs58°＜cs28°


8．如圖，△ABC的三個頂點均在格點上，則tanA的值為（ ）





A．B．C．2D．


9．在Rt△ABC中，∠C＝90°，則下列式子定成立的是（ ）


A．sinA＝sinBB．csA＝csBC．tanA＝tanBD．sinA＝csB


10．如圖，一塊矩形木板ABCD斜靠在墻邊（OC⊥OB，點A，B，C，D，O在同一平面內(nèi)），已知AB＝a，AD＝b，∠BCO＝x，則點D到OB的距離等于（ ）





A．a(chǎn)sinx+bsinxB．a(chǎn)csx+bcsx


C．a(chǎn)sinx+bcsxD．a(chǎn)csx+bsinx


11．若角α，β都是銳角，以下結(jié)論：


①若α＜β，則sinα＜sinβ；②若α＜β，則csα＜csβ；③若α＜β，則tanα＜tanβ；④若α+β＝90°，則sinα＝csβ．其中正確的是（ ）


A．①②B．①②③C．①③④D．①②③④


12．我國北斗導(dǎo)航裝備的不斷更新，極大方便人們的出行．某中學(xué)組織學(xué)生利用導(dǎo)航到C地進行社會實踐活動，到達A地時，發(fā)現(xiàn)C地恰好在A地正北方向，導(dǎo)航顯示路線應(yīng)沿北偏東60°方向走到B地，再沿北偏西37°方向走才能到達C地．如圖所示，已知A，B兩地相距6千米，則A，C兩地的距離為（ ）（參考數(shù)據(jù)sin53°≈0.80，cs53°≈0.60，tan53°≈1.32）





A．12千米B．（3+4）千米


C．（3+5）千米D．（12﹣4）千米


二．填空題（共6小題，滿分24分，每小題4分）


13．已知tan（α+15°）＝，則銳角α的度數(shù)為 °．


14．比較大?。簊in81° tan47°（填“＜”、“＝”或“＞”）．


15．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，若csA＝，則BC的長為 ．





16．如圖所示，∠AOB是放置在正方形網(wǎng)格中的一個角，則sin∠AOB的值是 ．





17．小致為了測量樓房AB的高度，他從樓底的B處沿著斜坡行走20m，達到坡頂D處．已知斜坡的坡角為15°，小致的身高ED是1.6m，他站在坡頂看樓頂A處的仰角為45°，則樓房AB的高度為 m．（計算結(jié)果精確到1m，參考數(shù)據(jù)：sin15°＝，cs15°＝，tan15°＝．）





18．如圖，BE是△ABC的角平分線，F(xiàn)是AB上一點，∠ACF＝∠EBC，BE、CF相交于點G．若sin∠AEB＝，BG＝4，EG＝5，則S△ABE＝ ．





三．解答題（共7小題，滿分60分）


19．（12分）計算：


（1）2sin30°+3cs60°﹣4tan45°


（2）+tan260°








20．（6分）如圖，銳角△ABC中，AB＝10cm，BC＝9cm，△ABC的面積為27cm2．求tanB的值．











21．（6分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的對邊分別為a、b、c．若a＝2，sin，求b和c．





22．（8分）2019年4月18日，臺灣省花蓮縣發(fā)生里氏6.7級地震，救援隊救援時，利用生命探測儀在某建筑物廢墟下方探測到點C處有生命跡象，已知廢墟一側(cè)地面上兩探測點A、B相距6米，探測線與地面的夾角分別為30°和60°，如圖所示，試確定生命所在點C的深度．（結(jié)果精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)≈1.41，≈1.73）





23．（9分）嘉琪在某次作業(yè)中得到如下結(jié)果：


sin27°+sin283°≈0.122+0.992＝0.9945，sin222°+sin268°≈0.372+0.932＝1.0018，sin229°+sin261°≈0.482+0.872＝0.9873，sin237°+sin253°≈0.602+0.802＝1.0000，sin245°+sin245°＝（）2+（）2＝1．


據(jù)此，嘉琪猜想：在Rt△ABC中，∠C＝90°，設(shè)∠A＝α，有sin2α+sin2（90°﹣α）＝1．


（1）當(dāng)α＝30°時，驗證sin2α+sin2（90°﹣α）＝1是否成立．


（2）請你對嘉琪的猜想進行證明．








24．（9分）如圖，小明利用學(xué)到的數(shù)學(xué)知識測量大橋主架在水面以上的高度AB，在觀測點C處測得大橋主架頂端A的仰角為30°，測得大橋主架與水面交匯點B的俯角為14°，觀測點與大橋主架的水平距離CM為60米，且AB垂直于橋面．（點A，B，C，M在同一平面內(nèi)）





（1）求大橋主架在橋面以上的高度AM；（結(jié)果保留根號）


（2）求大橋主架在水面以上的高度AB．（結(jié)果精確到1米）


（參考數(shù)據(jù)sin14°≈0.24，cs14°≈0.97，tan14°≈0.25，≈1.73）


25．（10分）已知△ABC，AB＝AC，∠BAC＝90°，D是AB邊上一點，連接CD，E是CD上一點，且∠AED＝45°．


（1）如圖1，若AE＝DE，


①求證：CD平分∠ACB；


②求的值；


（2）如圖2，連接BE，若AE⊥BE，求tan∠ABE的值．






























































參考答案


一．選擇題（共12小題，滿分36分，每小題3分）


1．解：如圖所示：


∵∠C＝90°，BC＝5，AC＝12，


∴AB＝＝13，


∴sinB＝＝．


故選：D．





2．解：∵已知sinA＝0.9816，運用科學(xué)計算器求銳角A時（在開機狀態(tài)下）的按鍵順序是：2ndF，sin，0，


∴按下的第一個鍵是2ndF．


故選：D．


3．解：∵∠ACB＝90°，D是AB的中點，CD＝5，


∴AB＝2CD＝10，


∵AC＝8，AB＝10，


∴BC＝＝6，


∴tanA＝＝＝．


故選：C．


4．解：在Rt△ABC中，sinB＝，


∴AC＝AB?sinB＝10sin36°，


故選：C．


5．解：∵cs30°＝，cs45°＝，


∵＜＜，


∴30°＜α＜45°，


故選：B．


6．解：設(shè)BC＝5x，則AB＝13x，


由勾股定理得，AC＝＝12x，


則tanA＝＝，A、D錯誤；


sinA＝＝，B錯誤；


csA＝＝，C正確；


故選：C．


7．解：sin58°＝cs32°．


∵58°＞32°＞28°，


∴cs58°＜cs32°＜cs28°，


∴cs58°＜sin58°＜cs28°．


故選：C．


8．解：如圖所示：連接BD，


BD＝＝，


AD＝＝2，


AB＝＝，


∵BD2+AD2＝2+8＝10＝AB2，


∴△ADB為直角三角形，


∴∠ADB＝90°，


則tanA＝＝＝．


故選：A．





9．解：∵∠C＝90°，


∴∠A+∠B＝90°，


∴sinA＝csB．


故選：D．


10．解：如圖，過點D作DE⊥OC于點E，


則點D到OB的距離等于OE的長．





∵四邊形ABCD是矩形，


∴∠BCD＝90°，CD＝AB＝a，AD＝BC＝b，


∴∠CDE＝∠BCO＝x，


∴OC＝BC?csx＝bcsx，


CE＝CD?sinx＝asinx，


∴OE＝OC+CE＝bcsx+asinx．


則點D到OB的距離等于bcsx+asinx．


故選：C．


11．解：①∵sinα隨α的增大而增大，∴若α＜β，則sinα＜sinβ，此結(jié)論正確；


②∵csα隨α的增大而減小，∴若α＜β，則csα＞csβ，此結(jié)論錯誤；


③∵tanα隨α的增大而增大，∴若α＜β，則tanα＜tanβ，此結(jié)論正確；


④若α+β＝90°，則sinα＝csβ，此結(jié)論正確；


綜上，正確的結(jié)論為①③④，


故選：C．


12．解：如圖，作BD⊥AC于點D，





根據(jù)題意可知：


在Rt△ADB中，∠A＝60°，AB＝6，


∴AD＝3，BD＝3，


在Rt△CDB中，∠CBD＝53°，


∴CD＝BD?tan53°≈3×1.32≈3×≈4，


∴AC＝AD+CD＝3+4．


則A，C兩地的距離為（3+4）千米．


故選：B．


二．填空題（共6小題，滿分24分，每小題4分）


13．解：∵tan30°＝，


∴α+15°＝30°，


∴α＝15°，


故答案為：15．


14．解：∵sin81°＜sin90°＝1，tan47°＞tan45°＝1，


∴sin81°＜1＜tan47°，


∴sin81°＜tan47°．


故答案為＜．


15．解：∵在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，csA＝，


∴csA＝＝＝，


∴AB＝10，


∴BC＝＝＝＝8．


故答案為：8．


16．解：如圖，連接AB．





∵OA＝AB＝，OB＝2，


∴OB2＝OA2+AB2，


∴∠OAB＝90°，


∴△AOB是等腰直角三角形，


∴∠AOB＝45°，


∴sin∠AOB＝，


故答案為：．


17．解：作DH⊥AB于H，


∵∠DBC＝15°，BD＝20m，


∴BC＝BD?cs∠DBC＝20×＝19.2（m），CD＝BD?sin∠DBC＝20×＝5（m），


由題意得，四邊形ECBF和四邊形CDHB是矩形，


∴EF＝BC＝19.2m，BH＝CD＝5m，


∵∠AEF＝45°，


∴AF＝EF＝19.2m，


∴AB＝AF+FH+HB＝19.2+1.6+5＝25.8≈26（m），


答：樓房AB的高度約為26m．


故答案是：26．





18．解：如圖，過點B作BT⊥AC于T，連接EF．





∵BE平分∠ABC，


∴∠ABE＝∠CBE，


∵∠ECG＝∠ABE，


∴∠ECG＝∠CBE，


∵∠CEG＝∠CEB，


∴△ECG∽△EBC，


∴＝＝，


∴EC2＝EG?EB＝5×（5+4）＝45，


∵EC＞0，


∴EC＝3，


在Rt△BET中，∵sin∠AEB＝＝，BE＝9，


∴BT＝，


∴ET＝＝＝，


∴CT＝ET+CE＝，


∴BC＝＝＝6，


∴CG＝＝10，


∵∠ECG＝∠FBG，


∴E，F(xiàn)，B，C四點共圓，


∴∠EFG＝∠CBG，


∵∠FGE＝∠BGC，


∴△EGF∽△CGB，


∴＝，


∴＝，


∴EF＝3，


∵∠AFE＝∠ACB，∠EAF＝∠BAC，


∴△EAF∽△BAC，


∴＝＝＝，設(shè)AE＝x，則AB＝2x，


∵∠FBG＝∠ECG，∠BGF＝∠CGE，


∴△BGF∽△CGE，


∴＝，


∴＝，


∴BF＝，


∵AE?AC＝AF?AB，


∴x（x+3）＝（2x﹣）?2x，


解得x＝，


∴AE＝ET＝，


∴點A與點T重合，


∴AB＝2AE＝，


∴S△ABE＝×AB×AE＝××＝．


故答案為．


三．解答題（共7小題，滿分60分）


19．解：（1）原式＝


＝


＝；





（2）原式＝


＝+3


＝．


20．解：過點A作AH⊥BC于H，


∵S△ABC＝27，


∴，


∴AH＝6，


∵AB＝10，


∴BH＝＝＝8，


∴tanB＝＝＝．





21．解：如圖，





∵a＝2，sin，


∴c＝＝＝6，


則b＝＝＝4．


22．解：過點C作CD⊥AB，交AB 的延長線于D，


在Rt△ACD中，∠CAD＝30°，tan∠CAD＝，


∴AD＝＝CD，


在Rt△ACD中，∠CBD＝60°，tan∠CBD＝，


∴BD＝＝CD，


由題意得，AD﹣BD＝AB＝6，


∴CD﹣CD＝6，


解得，CD＝3≈5.2（米），


答：生命所在點C的深度約為5.2米．





23．解：（1）當(dāng)α＝30°時，


sin2α+sin2（90°﹣α）


＝sin230°+sin260°


＝（）2+（）2


＝+


＝1；


（2）嘉琪的猜想成立，證明如下：


如圖，在△ABC中，∠C＝90°，





設(shè)∠A＝α，則∠B＝90°﹣α，


∴sin2α+sin2（90°﹣α）


＝（）2+（）2


＝


＝


＝1．


24．解：（1）∵AB垂直于橋面，


∴∠AMC＝∠BMC＝90°，


在Rt△AMC中，CM＝60，∠ACM＝30°，


tan∠ACM＝，


∴AM＝CM?tan∠ACM＝60×＝20（米），


答：大橋主架在橋面以上的高度AM為20米；


（2）在Rt△BMC中，CM＝60，∠BCM＝14°，


tan∠BCM＝，


∴MB＝CM?tan∠BCM≈60×0.25＝15，


∴AB＝AM+MB＝15+20≈50（米）


答：大橋主架在水面以上的高度AB約為50米．


25．（1）①證明：∵AE＝DE，


∴∠ADE＝∠DAE，


∵∠CAD＝90°，


∴∠ADC+∠ACD＝90°，∠DAE+∠CAE＝90°，


∴∠CAE＝∠ACD，


∴EA＝EC，


∵∠AED＝45°＝∠CAE+∠ACD，


∴∠ACD＝22.5°，


∵AB＝AC，∠BAC＝90°，


∴∠ACB＝45°，


∴∠BCD＝∠ACD＝22.5°，


∴CD平分∠ACB．





②解：如圖1中，過點D作DT⊥BC于T．





∵CD平分∠ACB，DT⊥CB，DA⊥CA，


∴DA＝DT，


∵AB＝AC，∠BAC＝90°，


∴∠B＝45°，


∴BD＝DT＝AD，


∴＝．





（2）解：如圖2中，連接BE，過點C作CT⊥AT交AE的延長線于T．





∵AE⊥BE，CT⊥AT，


∴∠AEB＝∠T＝∠BAC＝90°，


∴∠BAE+∠ABE＝90°，∠BAE+∠CAE＝90°，


∴∠ABE＝∠CAT，


∵AB＝AC，


∴△ABE≌△CAT（AAS），


∴AE＝CT，BE＝AT，


∵∠AED＝∠CET＝45°，∠T＝90°，


∴ET＝CT＝AE，


∴BE＝2AE，


∴tan∠ABE＝＝





題號
一
二
三
總分
得分

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