前面我們已經(jīng)學習了配套問題和工程問題，除此之外，有些實際問題中的數(shù)量關(guān)系比較隱蔽，需要仔細分析才能列出方程.下面我們進一步探究幾個這樣的問題.
銷售中常用的數(shù)量關(guān)系：
售價＝進價×（1＋利潤率）
售價＝進價＋進價×利潤率
【探究一】一商店在某一時間以每件60元的價格賣出兩件衣服，其中一件盈利25% ，另一件虧損25% ，賣這兩件衣服總的是盈利還是虧損，或是不盈不虧?
【思考】你估計盈虧情況是怎樣的？
A. 盈利B. 虧損C. 不盈不虧
銷售的盈虧取決于什么？
取決于總售價與總進價(兩件衣服的進價之和)的關(guān)系.
總售價(120元) ＞ 總進價
總售價(120元) ＜ 總進價
總售價(120元) ＝ 總進價
根據(jù)題干，我們已經(jīng)知道兩件衣服的總售價是：
是盈是虧還是不盈不虧要看這兩件衣服的總進價是多少以及它與總售價的關(guān)系.
假設(shè)一件商品的進價是40元，如果賣出后盈利25%，那么商品利潤是40×25%元；如果賣出后虧損25%，那么商品利潤是40×(-25%)元.
在本問題中，設(shè)盈利25%的那件衣服的進價是 x 元，它的商品利潤就是（ ）.根據(jù)等量關(guān)系：進價與利潤的和等于售價，
列方程，得 x＋0.25 x＝60.
解得 x＝48.
設(shè)虧損25%的衣服進價是 y 元，則它的商品利潤是 -0.25y元
依題意得 y－0.25y＝60.
因為120－128＝－8(元)所以賣這兩件衣服共虧損了8元.
解得 y＝80.
兩件衣服總進價為：x + y ＝ 48＋80＝128 (元).
與你之前的估計一致嗎？
【探究二】球賽積分表問題
【思考】觀察表格，能看出哪些信息？
這次球賽共有8支隊伍參賽.每隊都打了14場比賽.每隊的勝場數(shù)、負場數(shù)和積分
【思考】分析表格，能看出哪些等量關(guān)系？
勝場場次×勝場積分＝勝場總分
負場場次×負場積分＝負場總分
勝場總分＋負場總分＝總積分
勝場場次＋負場場次＝比賽場次
【問題1】分析表格，你能得到負一場積多少分嗎？
由“鋼鐵”隊積分可知，負一場積1分.
【問題2】你能進一步算出勝一場積多少分嗎？
【分析】根據(jù)負一場積1分和前6個隊任意一隊的積分情況，可以得出勝一場的積分.
解：設(shè)勝一場積 x 分，依題意，得 10x＋1×4＝24. 解得 x＝2. 經(jīng)檢驗，x＝2 符合題意. 所以，勝一場積2分.
一個隊勝m場，則負________場，則勝場積分為________,負場積分為_________,總積分為 .
【問題3】怎樣用式子表示總積分與勝、負場數(shù)之間的關(guān)系？
2m + (14 - m) = m +14
即勝 m場的總積分為 (m +14) 分.
【問題4】某隊的勝場總積分能等于它的負場總積分嗎？
解：設(shè)一個隊勝 y 場，則負（14 - y）場.
依題意，得 2y = 14 - y
y 表示所勝的場數(shù)，必須是整數(shù)，所以 不符合實際. 由此可以判定沒有哪個隊的勝場總積分等于負場總積分.
【注意】解決實際問題時，要檢驗方程的解是否符合問題的實際意義.
y 表示什么量？它可以是分數(shù)嗎？
兩款空調(diào)的部分基本信息
【探究三】購買空調(diào)時，需要綜合考慮空調(diào)的價格和耗電情況.某人打算從兩款空調(diào)中選購一臺，下表是這兩款空調(diào)的部分基本信息. 如果電價是0.5元/(kW·h)，請你分析他購買、使用哪款空調(diào)綜合費用較低.
選定一種空調(diào)后，售價是確定的，電費則與使用的時間有關(guān).
【分析】在這個問題中，綜合費用 = 空調(diào)的售價 + 電費.
設(shè)空調(diào)的使用年數(shù)是 t，
則1級能效空調(diào)的綜合費用是________________________，即_________________.3級能效空調(diào)的綜合費用是________________________，即_________________.
3 000+0.5×640t
2 600+0.5×800t
當 t 取什么值時，兩款空調(diào)的綜合費用相等?
列方程，得 3 000+320t = 2 600+400t.解得 t = 5.所以當 t = 5 時，兩款空調(diào)的綜合費用相等.
為了比較兩款空調(diào)的綜合費用，我們把表示3級能效空調(diào)的綜合費用的式子 2 600+400t 變形為1級能效空調(diào)的綜合費用 3 000+320t 與另外一個式子的和
即 (3 000+320t) + (80t-400)
3 000+320t +80(t-5).
當t < 5 時，80(t-5)是負數(shù)，這表明3級能效空調(diào)的綜合費用較低
當t > 5時，80(t-5)是正數(shù)，這表明1級能效空調(diào)的綜合費用較低.
由此可見，同樣是1.5匹的空調(diào)，1級能效空調(diào)雖然售價高，但由于比較省電，使用年份長（超過5年）時綜合費用反而低.根據(jù)相關(guān)行業(yè)標準，空調(diào)的安全使用年限是10年（從生產(chǎn)日期計起），因此購買、使用1級能效空調(diào)更劃算.

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5.3 實際問題與一元一次方程

版本： 人教版（2024）

年級： 七年級上冊（2024）

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