等式的性質(zhì)2：等式兩邊乘同一個數(shù)，或除以同一個不為0的數(shù)，結(jié)果仍 .
如果 a = b，那么 ac = bc；如果 a = b (c ≠ 0)，那么
等式的性質(zhì)1：等式兩邊加（或減）同一個數(shù)(或式子)，結(jié)果仍 .
如果a = b，那么 a±c = b±c .
應(yīng)用等式的性質(zhì)解下列一元一次方程.
目前我們已經(jīng)學習了直接利用等式的性質(zhì)解簡單的一元一次方程.本節(jié)我們將結(jié)合方程的具體特點，繼續(xù)研究如何解一元一次方程.
某校三年級共購買計算機140臺，去年購買數(shù)量是前年的2倍，今年購買數(shù)量又是去年的2倍，前年這個學校購買了多少臺計算機？
設(shè)前年這個學校購買了 x 臺計算機；
則去年購買 2x 臺，今年購買 4x 臺.
前年購買量＋去年購買量＋今年購買量＝140臺
x ＋ 2 x ＋ 4 x ＝140
“各部分量的和 = 總量”是一個基本的相等關(guān)系
x + 2x + 4x = 140
解方程的過程就是將方程逐步變形為 x = a 的形式
依據(jù)：乘法分配律的逆運算
請你自己檢驗 x = 20 是方程 x+2x+4x = 140的解.
【思考】上面解方程中“合并同類項”起了什么作用？
解：(1)合并同類項，得
解：(2)合并同類項，得 6x = -78， 系數(shù)化為 1，得 x = -13.
合并同類項要注意每項系數(shù)的符號
用合并同類項解一元一次方程的步驟：
有一列數(shù)，按一定規(guī)律排列成 1，-3，9，- 27，81，-243……其中某三個相鄰數(shù)的和是 -1701，這三個數(shù)各是多少？
符號：+，-，+，-，+，- ……絕對值：1，3，9，27，81，243 ……規(guī)律：后項 = 前項 × (-3)
解：設(shè)所求三個數(shù)分別是 x， -3x， 9x.由三個數(shù)的和是 -1701，得 x-3x + 9x = -1701合并同類項，得 7x = -1701.系數(shù)化為 1，得 x = -243.所以 -3x = 729，9x = -2187.答：這三個數(shù)分別是 -243，729，-2187.
把一些圖書分給某班學生閱讀，如果每人分3本，則剩余20本，如果每人分4本，則還缺25本，這個班有多少學生？
【思考】這批書的總數(shù)有幾種表示法？它們之間有什么關(guān)系？
【分析】設(shè)這個班有x個學生，每人分3本，共分出 3x 本，加上剩余的 20 本，這批書共有 本；
即，3x + 20 = 4x - 25
每人分 4 本，共分出 4x 本，減去缺少的25本，這批書共有 本．
3x + 20 = 4x - 25
方程 3x + 20 = 4x - 25 的兩邊都有含 x 的項 (3x與4x) 和不含字母的常數(shù)項 ( 20 與 -25 )，怎樣才能把它轉(zhuǎn)化為 x = m (常數(shù))的形式呢？
3x + 20 = 4x - 25
3x + 20 - 4x = 4x - 25 - 4x
3x - 4x = -25 - 20
3x + 20 - 4x = -25
目的：右邊的4x變號后移到了左邊
3x + 20 - 4x - 20 = -25 - 20
目的：左邊的20變號后移到了右邊
把兩個方程作比較，這個變形相當于
3x - 4x = - 25 - 20.
把左邊的常數(shù)項變號后，移到右邊
把右邊的4x變號后，移到左邊
把等式一邊的某項變號后移到另一邊，叫做移項.
下面，我們繼續(xù)解這個方程 3x - 4x = -25 - 20
由上可知，這個班有45名學生.
“移項”的作用：使方程接近目標“x = a”的形式“移項”的依據(jù)：等式的性質(zhì) 1
用框圖表示解這個方程的流程.
3x+20 = 4x-25
3x -4x = -25-20
【注意】1.移項要變號；2.一般把含有x的項移到等號的左邊，常數(shù)項移到等號的右邊.
解下列方程：(1) 3x + 7 = 32 - 2x. (2)
解：(1) 移項，得 3x + 2x = 32 - 7.合并同類項，得 5x = 25.系數(shù)化為 1，得 x = 5.
解：移項，得 .合并同類項，得 .系數(shù)化為 1，得 x = -8.
某制藥廠制造一批藥品，如果用舊工藝，則廢水排量要比環(huán)保限制的最大量還多200 t；如果用新工藝，則廢水排量要比環(huán)保限制的最大量少100 t.新舊工藝的廢水排量之比為2:5，兩種工藝的廢水排量各是多少？
【分析】因為新、舊工藝的廢水排量之比為2∶5，所以可設(shè)它們分別為 2x t 和 5x t，再根據(jù)它們與環(huán)保限制的最大量之間的關(guān)系列方程.
解：設(shè)新、舊工藝的廢水排量分別為 2x t 和 5x t.根據(jù)廢水排量與環(huán)保限制最大量之間的關(guān)系，得
移項，得 5x-2x=100+200.
系數(shù)化為1，得 x=100.
合并同類項，得 3x=300.
答：新、舊工藝產(chǎn)生的廢水排量分別為200 t和500 t.
5x-200=2x+100.
所以 2x=200，5x=500.
“表示同一個量的兩個不同的式子相等”是一個基本的相等關(guān)系.
約820年，阿拉伯數(shù)學家花拉子米著有《代數(shù)學》(又稱《還原與對消計算概要》)，其中，“還原”指的是“移項”，“對消”隱含著移項后合并同類項.我國古代數(shù)學著作《九章算術(shù)》的“方程”章，更早使用了“對消”和“還原”的方法.
阿爾—花拉子米，烏茲別克族著名數(shù)學家、天文學家、地理學家. 代數(shù)與算術(shù)的整理者，被譽為“代數(shù)之父”.

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5.2 解一元一次方程

版本： 人教版（2024）

年級： 七年級上冊（2024）

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