我們知道如果一個三角形有兩條邊相等，那么它們所對的角相等，反過來如果一個三角形有兩個角相等，那么它們所對的邊是否也相等呢？這節(jié)課我們帶著這個問題研究等腰三角形的判定方法.
（1）會闡述、推證等腰三角形的判定定理．
（2）會運用判定定理解決證明線段相等的問題．
探索等腰三角形的判定定理
我們知道，如果一個三角形有兩條邊相等，那么它們所對的角相等. 反過來，如果一個三角形有兩個角相等，那么它們所對的邊有什么關(guān)系？
　　證明：過A 點作AD⊥BC，垂足為D.　　在△BAD 和△CAD 中，
∴ △ABD ≌△ACD ． ∴ AB = AC ．
　　追問　你還有其他證明方法嗎？
　 已知：如圖，在△ABC 中，∠B =∠C. 求證：AB=AC．
　　思考　與等腰三角形性質(zhì)進 行比較，兩者有什么區(qū)別？
　　等腰三角形的判定方法： 　　如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等（簡寫成“等角對等邊”）．
符號語言：∵　在△ABC 中，∠B =∠C，∴　AB =AC．
共有3個等腰三角形．△ABC、 △DAB、 △BCD （證明略）　　
　　練習(xí)1　如圖，∠A =36°，∠DBC =36°，∠C =72°，圖中一共有幾個等腰三角形？找出其中的一個等腰三角形給予證明．
　　 例1　求證：如果三角形一個外角的平分線平行于三角形的一邊，那么這個三角形是等腰三角形.
　　已知：∠CAE 是△ABC 的外角，∠1 =∠2，AD∥BC．　　求證：AB =AC.
證明：∵　AD∥BC ，∴　∠1 =∠B（ 　　 ）， ∠2 =∠C（ 　 ?。?br/>兩直線平行，同位角相等
兩直線平行，內(nèi)錯角相等
∵　∠1 =∠2，∴　∠B =∠C．∴　AB =AC（ 　 ）．
　　例2　已知等腰三角形底邊長為a ，底邊上的高的長為h ，求作這個等腰三角形.
　　作法：（1）作線段AB =a；（2）作線段AB 的垂直平分線MN，與AB 相交于點D；（3）在MN上取一點C，使DC =h； （4）連接AC，BC，則△ABC 就是所求作的等腰三角形.
　 練習(xí)2　如圖，把一張長方形的紙沿著對角線折疊，重合部分是一個等腰三角形嗎？為什么？
∵ △ABD≌ △CDB，∴∠ADB=∠CBD，∴ △EBD是等腰三角形.
【課本P79 練習(xí) 第2題】
練習(xí)3 已知：△ABC，D為AC的中點，BD = AC.
求證：∠ABC = 90°.
證明：∵D為AC的中點， BD = AC.∴AD = BD = DC，∴∠A =∠ABD，∠C =∠DBC.∵∠A+∠ABC +∠C= 2（∠ABD +∠DBC）= 2∠ABC = 180 °.∴∠ABC = 90°，∴△ABC是直角三角形.
練習(xí)4 如圖，AC和BD相交于O點，且AB ∥ DC，OA = OB. 求證OC = OD.
證明：∵OA=OB， ∴∠A=∠B， 又∵AB∥DC， ∴∠C=∠A=∠D=∠B， ∴OC=OD.
【課本P79 練習(xí) 第4題】
1. 如圖所示，已知OC平分∠AOB，CD∥OB. 若OD = 3，則CD等于（ ）
【課本P79 練習(xí) 第1題】
2. 如圖，∠A=36°，∠ DBC=36°， ∠C=72°.分別計算∠1，∠2的度數(shù)，并說明圖中有哪些等腰三角形.
3. 如圖所示，在△ABC中，已知AB=AC，要使AD = AE，需要添加的一個條件是 __________. （答案不唯一）
【課本P79 練習(xí) 第3題】
4.求證：如果三角形一條邊上的中線等于這條邊的一半，那么這個三角形是直角三角形.
5. 已知：CE、CF分別平分∠ACB和它的外角∠ACM，EF∥BC，EF交AC于點D，E是CE與AB的交點. 求證：DE=DF.
證明：∵CF平分∠ACM， CE平分∠ACB， ∴∠ACF=∠MCF.∴∠ACE=∠BCE.∵EF∥BC，∴∠F=∠MCF=∠ACF，∠FEC=∠BCE=∠ACE，∴DF=DC，DE=DC，∴DE=DF.
6.（1）如圖，在△ABC中，AB=AC，∠ABC、∠ACB的平分線相交于點F，過F作DE∥BC，交AB于點D，交AC于E．問圖中哪些三角形是等腰三角形？（2）上題中，若去掉條件AB=AC，其他條件不變，圖中還有等腰三角形嗎？
解：（1）△ABC，△ADE，△BDF，△CEF，△BCF都是等腰三角形.
（2）△BDF和△CEF是等腰三角形.∵BF平分∠ABC，CF平分∠ACB，∴∠ABF=∠CBF，∠ACF=∠BCF.又DE∥BC，∴∠DFB=∠CBF=∠ABF，∠EFC=∠BCF=∠ACF，∴DF=DB，EF=EC.∴△BDF和△CEF是等腰三角形.

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初中數(shù)學(xué)人教版八年級上冊電子課本

13.3.1 等腰三角形

版本： 人教版

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