在前面學(xué)習(xí)軸對稱圖形中，大家知道等腰三角形是軸對稱圖形，今天我們就運用軸對稱圖形的性質(zhì)來探究等腰三角形的性質(zhì).
（1）知道等腰三角形的性質(zhì).
（2）能運用等腰三角形的性質(zhì)進行證明和計算.
探索并證明等腰三角形的性質(zhì)
　　如圖所示，把一張長方形的紙按圖中虛線對折，并剪去陰影部分，再把它展開，得到的△ABC 有什么特點？
　　仔細觀察自己剪出的等腰三角形紙片，你能發(fā)現(xiàn)這個等腰三角形的特征嗎？
　　同學(xué)們剪下的等腰三角形紙片大小不同，形狀各異，是否都具有上述所概括的特征？
　　在練習(xí)本上任意畫一個等腰三角形，把它剪下來，折一折，上面得出的結(jié)論仍然成立嗎？由此你能概括出等腰三角形的性質(zhì)嗎？
　　 等腰三角形的性質(zhì):性質(zhì)1：等腰三角形的兩個底角相等；性質(zhì)2：等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合．
由上面的操作過程獲得啟發(fā)，我們可以利用三角形的全等證明這些性質(zhì).
如圖，△ABC 中，AB =AC，作底邊BC的中線AD.
　AB =AC，∵ 　BD =CD，　 AD =AD，∴　△BAD ≌△CAD（SSS）．∴　∠B =∠C．
∴　∠BAD =∠CAD， ∠BDA =∠CDA．∵　∠BDA +∠CDA =180°，∴　∠ADB =90°．∴　AD⊥BC．
　　在等腰三角形性質(zhì)的探索過程和證明過程中“折痕”“輔助線”發(fā)揮了非常重要的作用，由此，你能發(fā)現(xiàn)等腰三角形具有什么特征？ 等腰三角形是軸對稱圖形，底邊上的中線（頂角平分線、底邊上的高）所在直線就是它的對稱軸．
　　練習(xí)1　填空：（1）如圖，△ABC 中，AB =AC， ∠A =36°, 則∠B = °；
　?。?）如圖，△ABC 中， AB =AC，∠B = 36°， 則∠A = °；
例1 如圖，在△ABC 中，AB =AC，點D 在AC 上，且BD =BC =AD．求△ABC 各角的度數(shù)．
解： ∵ AB =AC，BD=BC=AD，∠ABC=∠C=∠BDC，∠A= ∠ABD設(shè)∠A=x，則∠BDC= ∠A+∠ABD=2x，從而∠ABC= ∠C= ∠BDC=2x，
于是在△ABC 中，有∠A +∠ABC+ ∠C = x+2x+2x = 180°解得x = 36°.所以，在△ABC 中，∠A = 36°，∠ABC =∠C =72°.
練習(xí)2 在下列等腰三角形中，分別求出它們的底角的度數(shù).
【課本P77 練習(xí) 第1題】
1.等腰△ABC中，AB=AC，∠A=30°，則∠B=（ ）
A．30° B．60° C．75° D．85°
2.等腰三角形的一個外角是100°，它的頂角的度數(shù)是（ ）
A．80°B．20°C．20°或80°D．50°或80°
【課本P77 練習(xí) 第2題】
3. 如圖，△ABC是等腰直角三角形（AB=AC，∠BAC=90°）， AD是底邊BC上的高. 標出∠B，∠C，∠BAD，∠DAC的度數(shù)，并寫出圖中所有相等的線段.
【課本P77 練習(xí) 第3題】
4.如圖，在△ABC中，AB=AD=DC，∠BAD=26°.求∠B和∠C的度數(shù).
3. 如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，AD=AC=BD，求∠B的度數(shù).
解：∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD.∵AD=AC，∴∠ADC=∠C.∵AD=BD，∴∠BAD=∠B.設(shè)∠B=x，則∠BAC=2∠BAD=2x，∠C=∠ADC=∠B+∠BAD=2x，∴∠B+∠BAC+∠C=x+2x+2x=180°，解得x=36°，∴∠B=36°.
4.如圖，在△ABC中，AB＝AC，E在CA的延長線上，∠AEF＝∠AFE，求證：EF⊥ BC.
證明：作AD⊥BC，垂足為D.∵AB=AC，∴∠BAC=2∠CAD.∵∠AEF=∠AFE，∴∠BAC=∠AEF+∠AFE=2∠AEF.∴∠CAD=∠AEF，∴AD∥EF.∵AD⊥BC，∴EF⊥BC.
　　 等腰三角形的性質(zhì):性質(zhì)1：等腰三角形的兩個底角相等；性質(zhì)2：等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合．

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13.3.1 等腰三角形

版本： 人教版

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