1. 下列說法中正確的是（ ）
A．直四棱柱是長方體
B．圓柱的母線和它的軸可以不平行
C．正棱錐的側(cè)面是全等的等腰三角形
D．以直角三角形的一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)一周形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體為圓錐
【答案】C
【分析】根據(jù)相關(guān)立體幾何圖形的性質(zhì)逐項判斷即可.
【詳解】對于A：由直四棱柱的定義可知，長方體是直四棱柱，
但當?shù)酌娌皇情L方形時，直四棱柱就不是長方體，故A錯誤；
對于B：根據(jù)圓柱母線的定義可知，圓柱的母線和它的軸平行，故B錯誤；
對于C：由正棱錐的定義可知，正棱錐的側(cè)面是全等的等腰三角形，故C正確；
對于D：當以斜邊為旋轉(zhuǎn)軸時，會得到兩個同底的圓錐組合體，故D錯誤.
故選：C.
2．如圖所示的是一個五棱柱，則下列判斷錯誤的是（ ）
A．該幾何體的側(cè)面是平行四邊形
B．該幾何體有七個面
C．該幾何體恰有十二條棱
D．該幾何體恰有十個頂點
【答案】C
【分析】根據(jù)棱柱的定義及性質(zhì)判斷即可.
【詳解】解：根據(jù)棱柱的定義可知，該幾何體的側(cè)面是平行四邊形，故A正確；
該五棱柱有七個面，十五條棱，十個頂點，故B、D正確，C錯誤；
故選：C
3．如圖四個幾何體中是棱錐的選項是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】利用棱錐的定義判斷選項即可．
【詳解】因為有一個面是多邊形，其余各面是有一個公共頂點的三角形，由這些面圍成的幾何體叫做棱錐．所以中幾何體為棱錐，
故選：．
4. 以下關(guān)于多面體的命題種，真命題為（ ）
A．所有側(cè)面均為正三角形的四棱錐是正四棱錐
B．所有側(cè)面均為正方形的四棱柱是正四棱柱
C．所有側(cè)面均為正三角形的多面體是正四面體
D．所有側(cè)面均為正方形的多面體是正方體
【答案】A
【分析】直接利用正棱柱和正棱錐體的定義判定A、B、C、D即可得出答案．
【詳解】解：對于A：所有側(cè)面均為正三角形的四棱錐是正四棱錐，故A正確；
對于B：所有側(cè)面均為正方形的四棱柱不一定是正四棱柱，底面不一定為正方形，故B錯誤；
對于C：所有側(cè)面均為正三角形的多面體是正四面體，也可能為正四棱錐，故C錯誤；
對于D：所有側(cè)面均為正方形的多面體是直棱柱，故D錯誤．
故選：A．
5 . 在長方體中，，，，則該長方體的表面積為（ ）
A．204B．200C．196D．192
【答案】D
【分析】連接，，利用勾股定理求出，再根據(jù)長方體的表面積公式計算可得.
【詳解】如圖，在長方體中，連接，，
因為，，，
所以，
所以，
所以該長方體的表面積
.
故選：D.
6. 已知正四棱柱(即底面是正方形的直棱柱)的底面邊長為，側(cè)面的對角線長是，則這個正四棱柱的表面積為
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】求出側(cè)棱長，再求出側(cè)面積和兩個底面積，即可得表面積．
【詳解】由題意側(cè)棱長為．
所以表面積為：．
故選：A.
7. 已知直三棱柱的體積為，則三棱錐的體積是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)棱柱的幾何性質(zhì)和棱錐的體積公式把三棱錐的體積轉(zhuǎn)化為三棱錐，再結(jié)合棱柱的體積求三棱錐的體積即可.
【詳解】.
故選：D.
8. 中和殿是故宮外朝三大殿之一，位于紫禁城太和殿與保和殿之間，中和殿建筑的亮點是屋頂為單檐四角攢（cuán）尖頂，體現(xiàn)天圓地方的理念，其屋頂部分的輪廓可近似看作一個正四棱錐．已知此正四棱錐的側(cè)棱長為，側(cè)面與底面所成的銳二面角為，這個角接近30°，若取，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．正四棱錐的底面邊長為48m
B．正四棱錐的高為4m
C．正四棱錐的體積為
D．正四棱錐的側(cè)面積為
【答案】C
【分析】在如圖所示的正四棱錐中，設底面邊長為，根據(jù)側(cè)棱長和側(cè)面與底面所成的二面角可求底邊的邊長，從而可求體高、側(cè)面積以及體積，據(jù)此可判斷各項的正誤.
【詳解】如圖，在正四棱錐中，為正方形的中心，，
則為的中點，連接，則平面，，
則為側(cè)面與底面所成的銳二面角，
設底面邊長為．正四棱錐的側(cè)面與底面所成的銳二面角為，
這個角接近30°，取，∴，
則，，．
在中，，解得，故底面邊長為，
正四棱錐的高為，側(cè)面積為，
體積．
故選：C．
9. 底面邊長和高都是1的正三棱柱的表面積是（ ）．
A．3B．C．D．
【答案】D
【解析】
表面積為.
故選：D.
10. 三棱錐的底面為直角邊長分別是2和3的直角三角形，高為4，則該三棱錐的體積為（ ）
A．4B．6C．12D．24
【答案】A
【解析】因為三棱錐的底面為直角邊長分別是2和3的直角三角形，高為4，
所以該三棱錐的體積為，
故選：A.
二、填空題
11. 長方體是 ．（寫出所有正確選項的序號）
①直四棱柱；②正四棱柱；③正方體；④直棱柱．
【答案】①④
【分析】由長方體的概念可直接做出判斷.
【詳解】長方體是是底面為長方形的直四棱柱，所以長方體是直四棱柱，也屬于直棱柱.
故答案為：①④.
12. 判斷正誤．
（1）棱柱的底面互相平行．( )
（2）棱柱的各個側(cè)面都是平行四邊形．( )
（3）有一個面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體叫棱錐．( )
【答案】 √ √ ×
【詳解】（1）根據(jù)棱柱的定義可知正確
（2）根據(jù)棱柱的定義可知正確
（3）根據(jù)棱錐的定義可知，有一個面是多邊形，其余各面都是有公共頂點的三角形的幾何體為棱錐，故錯誤
13. 長方體中由一個頂點出發(fā)的三個側(cè)面的面積分別為2?3?6，則該長方體的體積為 .
【答案】6
【分析】由已知中從長方體一個頂點出發(fā)的三個面的面積分別為2、3、6，我們可以設長方體過同一頂點的三條棱長分別為a，b，c，我們可以根據(jù)已知求出長方體的體積．
【詳解】解：設長方體過同一頂點的三條棱長分別為a，b，c，
∵從長方體一個頂點出發(fā)的三個面的面積分別為2、3、6，
∴a?b＝2，a?c＝3，b?c＝6
∴（a?b?c）2＝36
∴a?b?c＝6
即長方體的體積為6
故答案為：6
14. 若正四棱柱的底面邊長為5，側(cè)棱長為4，則此正四棱柱的體積為 ．
【答案】100
【分析】根據(jù)棱柱體積公式直接可得.
【詳解】
故答案為：100
15. 如圖，沿正方體相鄰的三個側(cè)面的對角線截得一個體積為的三棱錐，則該正方體的棱長為 ．
【答案】2
【分析】設該正方體的棱長為，再根據(jù)棱錐的體積公式求解即可
【詳解】設該正方體的棱長為，則，解得
故答案為：2
16. 若正四棱錐的底面邊長和高都是2，則其體積為 .
【答案】
【分析】直接根據(jù)棱錐的體積公式求解即可．
【詳解】解：由題意的該四棱錐的體積，
故答案為：．
17. 已知長方體的長、寬、高分別是、、，和該長方體等體積的正方體的棱長為 ．
【答案】
【分析】根據(jù)長方體和正方體體積公式可直接構(gòu)造方程求得結(jié)果.
【詳解】由題意知：長方體體積；
設正方體棱長為，則，解得：.
故答案為：.
18. 已知一個正方體的外接球的體積為，則正方體的體積為 .
【答案】
【分析】先根據(jù)球的體積公式求半徑，然后根據(jù)正方體的體對角線即為外接球的直徑可得正方體的棱長，即可求得正方體體積.
【詳解】記正方體棱長為a，外接球半徑為R，
則，解得，
因為正方體的體對角線即為外接球的直徑，
所以，解得，
所以，正方體的體積為.
故答案為：
19．已知正四棱錐的底面邊長是2，側(cè)棱長是，則該正四棱錐的全面積為 ．
【答案】12
【分析】根據(jù)正四棱錐的特點，可知側(cè)面是全等的等腰三角形，求出斜高可得側(cè)面積，結(jié)合底面積可得全面積.
【詳解】如圖在正四棱錐S﹣ABCD中，O為底面正方形的中心，E為BC的中點，連接OE，SO，SE，
則SO⊥平面ABCD，又BC?平面ABCD，所以BC⊥SO，
在三角形ABC中，O，E分別為AC，BC的中點，所以OE∥AB，又因為AB⊥BC，所以BC⊥OE．
又OE∩SO＝O，所以BC⊥平面SOE，因為SE?平面SOE，
所以SE⊥BC，即SE為側(cè)面SBC的斜高，
三角形SBE為直角三角形，所以SE＝ ＝2．
所以該正四棱錐的全面積S全＝SABCD+4×SSBC＝2×2+4×＝4+8＝12．
故答案為12．
20．2021年東京奧運會的游泳比賽在東京水上運動中心舉行，其中某泳池池深約3.5m，容積約為4375，若水深要求不低于1.8m，則池內(nèi)蓄水至少為（ ）
A．2250B．2500C．2750D．2000
【答案】A
【解析】由題意，池底面積，則蓄水量至少為.
故選：A.
三、解答題
21．已知棱長為5，底面為正方形，各側(cè)面均為正三角形的四棱錐．
(1)求它的表面積；
(2)求它的體積.
【答案】(1)；
(2)﹒
【分析】(1)四棱錐表面積為四個側(cè)面等邊三角形面積和底面正方形面積之和；
(2)連接、，AC∩BD＝，連接，則為棱錐的高，求出SO，根據(jù)棱錐體積公式即可求解．
【詳解】（1）∵四棱錐的各棱長均為5，底面為正方形，各側(cè)面均為正三角形，
∴它的表面積為；
（2）連接、，AC∩BD＝，連接，則為棱錐的高，
則，
故棱錐的體積．
22．如圖所示，在長方體中，求棱錐的體積與長方體的體積之比.
【答案】
【解析】棱錐可以看成棱錐，然后結(jié)合棱錐與棱柱的體積公式求解即可.
【詳解】解：已知的長方體可以看成直四棱柱，設它的底面面積為S，高為h，則長方體的體積為.
因為棱錐可以看成棱錐，且的面積為，棱錐的高是h，所以.
因此所求體積之比為.
23．用斜二測畫法畫一個底而為正方形，頂點在底面上的射影是底面中心，底面邊長為2cm，高為2cm的棱錐.
【答案】作圖見解析
【分析】根據(jù)斜二測畫法畫出正四棱錐的直觀圖.
【詳解】（1）畫軸.如圖（1）所示，畫x軸、y軸、z軸，三軸相交于點O，使，.
（2）畫底面.以點O為中點，在x軸上截取線段，在y軸上截取線段.分別過點M，N作y軸的平行線，過點P，Q作x軸的平行線，設它們的交點分別為A，B，C，D，四邊形ABCD就是棱錐底面的直觀圖.
（3）畫高.在z軸上截取.
（4）成圖.順次連接，，，，整理（去掉輔助線，將被遮擋的部分改為虛線）得到棱錐的直觀圖，如圖（2）所示.

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