目錄
【高考預(yù)測】概率預(yù)測+題型預(yù)測+考向預(yù)測
【應(yīng)試秘籍】總結(jié)?？键c(diǎn)及應(yīng)對的策略
【誤區(qū)點(diǎn)撥】點(diǎn)撥常見的易錯點(diǎn)
易錯點(diǎn)：投影向量、投影向量的模與向量的投影
【搶分通關(guān)】精選名校模擬題，講解通關(guān)策略
【題型一】奔馳定理
【題型二】 極化恒等式
【題型三】 等和線
平面向量是近幾年小題的熱點(diǎn)必考題型，主要考察學(xué)生對于向量的轉(zhuǎn)化也就是基底思想的熟練程度，包含了對于復(fù)雜知識的簡單化也就是化歸與轉(zhuǎn)化的思想的掌握。近幾年的向量也出現(xiàn)過單選的壓軸題，考察的大多為向量的三大定理之一。還有新教材新加的投影向量也是今年的熱門知識點(diǎn)。注意題目的問法，分清投影向量、向量的投影和投影向量的模之間的區(qū)別。
易錯點(diǎn)：投影向量、投影向量的模與向量的投影
1.同方向單位向量： SKIPIF 1 < 0 的同方向單位向量為 SKIPIF 1 < 0 ，指的是方向和 SKIPIF 1 < 0 相同，模長為1的向量。
2.向量 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 方向上的投影：設(shè) SKIPIF 1 < 0 為 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的夾角，則 SKIPIF 1 < 0 為 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 方向上的投影.

3.投影也是一個數(shù)量，不是向量.當(dāng) SKIPIF 1 < 0 為銳角時投影為正值；當(dāng) SKIPIF 1 < 0 為鈍角時投影為負(fù)值；當(dāng) SKIPIF 1 < 0 為直角時投影為 SKIPIF 1 < 0 ；當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時投影為 SKIPIF 1 < 0 ；當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時投影為 SKIPIF 1 < 0 .
4. 向量 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 方向上的投影向量：設(shè) SKIPIF 1 < 0 為 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的夾角，則 SKIPIF 1 < 0 為 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 方向上的投影向量.
5.向量的數(shù)量積的幾何意義：數(shù)量積 SKIPIF 1 < 0 等于 SKIPIF 1 < 0 的長度與 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 方向上投影 SKIPIF 1 < 0 的乘積.
易錯提醒：1. 投影和投影向量的模都是數(shù)量，區(qū)別在于投影有正負(fù)，投影向量的模永遠(yuǎn)是正值。
2.投影向量結(jié)果是向量，所以是其投影（大?。┏松掀渫较騿挝幌蛄浚ǚ较颍?。
例 （多選）（2023·海南·模擬預(yù)測）已知向量 SKIPIF 1 < 0 ，則（ ）
A．若 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0
B． SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 方向上的投影向量為 SKIPIF 1 < 0
C．存在 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 方向上投影向量的模為1
D． SKIPIF 1 < 0 的取值范圍為 SKIPIF 1 < 0
變式1：（2024·遼寧鞍山·二模）已知非零向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 滿足 SKIPIF 1 < 0 ，向量 SKIPIF 1 < 0 在向量 SKIPIF 1 < 0 方向上的投影向量是 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 夾角的余弦值為（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
變式2：（多選）（2024·廣東廣州·一模）已知向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 不共線，向量 SKIPIF 1 < 0 平分 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 的夾角，則下列結(jié)論一定正確的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C．向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的投影向量相等D． SKIPIF 1 < 0
變式3：（2024·青?！ひ荒＃┮阎蛄?SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則向量 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 方向上的投影為 ．
【題型一】奔馳定理
SKIPIF 1 < 0 為 SKIPIF 1 < 0 內(nèi)一點(diǎn)， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 .
重要結(jié)論： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
結(jié)論1：對于 SKIPIF 1 < 0 內(nèi)的任意一點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ， 若 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的面積分別為 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，則：
SKIPIF 1 < 0 .
即三角形內(nèi)共點(diǎn)向量的線性加權(quán)和為零，權(quán)系數(shù)分別為向量所對的三角形的面積.
結(jié)論2：對于 SKIPIF 1 < 0 平面內(nèi)的任意一點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，若點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 的外部，并且在 SKIPIF 1 < 0 的內(nèi)部或其對頂角的內(nèi)部所在區(qū)域時，則有 SKIPIF 1 < 0 .
結(jié)論3：對于 SKIPIF 1 < 0 內(nèi)的任意一點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ， 若 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的面積之比為 SKIPIF 1 < 0 .
即若三角形內(nèi)共點(diǎn)向量的線性加權(quán)和為零，則各向量所對的三角形面積之比等于權(quán)系數(shù)之比.
結(jié)論4：對于 SKIPIF 1 < 0 所在平面內(nèi)不在三角形邊上的任一點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的面積分別為 SKIPIF 1 < 0 .
奔馳定理與三角形四心的關(guān)系：
一、三角形的“重心”
1、重心的定義：中線的交點(diǎn)，重心將中線長度分成
三角形中線向量式：
2、重心的性質(zhì)：
（1）重心到頂點(diǎn)的距離與重心到對邊中點(diǎn)的距離之比為2:1。
（2）重心和三角形3個頂點(diǎn)組成的3個三角形面積相等。
二、三角形的“垂心”
垂心的定義：高的交點(diǎn)。
銳角三角形的垂心在三角形內(nèi)；
直角三角形的垂心在直角頂點(diǎn)上；
鈍角三角形的垂心在三角形外。
奔馳定理推論：，
.
三、三角形的“內(nèi)心”
1、內(nèi)心的定義：角平分線的交點(diǎn)(或內(nèi)切圓的圓心)。
2、常見內(nèi)心向量式：是的內(nèi)心，
（1）（或）
其中，，分別是的三邊、、的長，
四、三角形的“外心”
1、外心的定義：三角形三邊的垂直平分線的交點(diǎn)(或三角形外接圓的圓心到三角形三個頂點(diǎn)的距離相等
2、常用外心向量式：是的外心，
1、
2、
3、若，則是的外心.

【例1】（2021·四川涼山·三模）如圖， SKIPIF 1 < 0 為 SKIPIF 1 < 0 內(nèi)任意一點(diǎn)，角 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的對邊分別為 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .總有優(yōu)美等式 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 成立，因該圖形酷似奔馳汽車車標(biāo)，故又稱為奔馳定理.現(xiàn)有以下命題：
①若 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的重心，則有 SKIPIF 1 < 0 ；
②若 SKIPIF 1 < 0 成立，則 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的內(nèi)心；
③若 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ；
④若 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的外心， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 .
則正確的命題有 .
【例2】（多選）（22-23高一下·山東·階段練習(xí)）“奔馳定理”因其幾何表示酷似奔馳的標(biāo)志得來，是平面向量中一個非常優(yōu)美的結(jié)論.奔馳定理與三角形四心（重心、內(nèi)心、外心、垂心）有著神秘的關(guān)聯(lián).它的具體內(nèi)容是：已知 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 內(nèi)一點(diǎn)， SKIPIF 1 < 0 的面積分別為 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 .以下命題正確的有（ ）
A．若 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 為 SKIPIF 1 < 0 的重心
B．若 SKIPIF 1 < 0 為 SKIPIF 1 < 0 的內(nèi)心，則 SKIPIF 1 < 0
C．若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 為 SKIPIF 1 < 0 的外心，則 SKIPIF 1 < 0
D．若 SKIPIF 1 < 0 為 SKIPIF 1 < 0 的垂心， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0
【例3】（2023高一·江蘇·專題練習(xí)）已知O是平面上的一個定點(diǎn)，A?B?C是平面上不共線的三點(diǎn)，動點(diǎn)P滿足 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，則點(diǎn)P的軌跡一定經(jīng)過 SKIPIF 1 < 0 的（ ）
A．重心B．外心C．內(nèi)心D．垂心

【變式1】（2023·吉林·一模）在直角三角形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的重心、外心、垂心、內(nèi)心分別為 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 （其中 SKIPIF 1 < 0 ），當(dāng) SKIPIF 1 < 0 取最大值時， SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．1B．2C．3D．4
【變式2】（22-23高三上·江西·階段練習(xí)）奔馳定理：已知點(diǎn)O是 SKIPIF 1 < 0 內(nèi)的一點(diǎn)，若 SKIPIF 1 < 0 的面積分別記為 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ．“奔馳定理”是平面向量中一個非常優(yōu)美的結(jié)論，因為這個定理對應(yīng)的圖形與“奔馳”轎車的lg很相似，故形象地稱其為“奔馳定理”．如圖，已知O是 SKIPIF 1 < 0 的垂心，且 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【變式3】（2022·安徽·三模）平面上有 SKIPIF 1 < 0 及其內(nèi)一點(diǎn)O，構(gòu)成如圖所示圖形，若將 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的面積分別記作 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則有關(guān)系式 SKIPIF 1 < 0 ．因圖形和奔馳車的 SKIPIF 1 < 0 很相似，常把上述結(jié)論稱為“奔馳定理”．已知 SKIPIF 1 < 0 的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若滿足 SKIPIF 1 < 0 ，則O為 SKIPIF 1 < 0 的（ ）
A．外心B．內(nèi)心C．重心D．垂心
【題型二】 極化恒等式
基礎(chǔ)知識： SKIPIF 1 < 0
簡化：在△ SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 是邊 SKIPIF 1 < 0 的中點(diǎn)，則 SKIPIF 1 < 0 .
【例1】已知△ SKIPIF 1 < 0 是邊長為2的等邊三角形， SKIPIF 1 < 0 為平面 SKIPIF 1 < 0 內(nèi)一點(diǎn)，則 SKIPIF 1 < 0 的最小值是（ ）
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
【例2】在△ABC中，D是BC的中點(diǎn)，E，F(xiàn)是AD上的兩個三等分點(diǎn)， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 的值是________.
【例3】已知球 SKIPIF 1 < 0 的半徑為1， SKIPIF 1 < 0 是球面上的兩點(diǎn)，且 SKIPIF 1 < 0 ，若點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 是球面上任意一點(diǎn)，則 SKIPIF 1 < 0 的取值范圍是A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【變式1】（23-24高三上·云南保山·期末）如圖，已知正方形 SKIPIF 1 < 0 的邊長為4，若動點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 在以 SKIPIF 1 < 0 為直徑的半圓上（正方形 SKIPIF 1 < 0 內(nèi)部，含邊界），則 SKIPIF 1 < 0 的取值范圍為（ ）

A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【變式2】（2024·江西·一模）如圖，正六邊形的邊長為 SKIPIF 1 < 0 ，半徑為1的圓O的圓心為正六邊形的中心，若點(diǎn)M在正六邊形的邊上運(yùn)動，動點(diǎn)A，B在圓O上運(yùn)動且關(guān)于圓心O對稱，則 SKIPIF 1 < 0 的取值范圍為（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【變式3】（2024·陜西安康·模擬預(yù)測）在平面直角坐標(biāo)系中，曲線 SKIPIF 1 < 0 與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)都在圓 SKIPIF 1 < 0 上， SKIPIF 1 < 0 為圓 SKIPIF 1 < 0 的直徑，點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 是直線 SKIPIF 1 < 0 上任意一點(diǎn)；則 SKIPIF 1 < 0 的最小值為（ ）
A．4B．12C．16D．18
【題型三】 等和線
向量基本定理：
SKIPIF 1 < 0
等和線原理：
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
【例1】如圖， SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 是斜邊 SKIPIF 1 < 0 上一點(diǎn)，且滿足： SKIPIF 1 < 0 ,點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 在過點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 的直線上，若 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,則 SKIPIF 1 < 0 的最小值為（ ）
A．2 B． SKIPIF 1 < 0 C．3 D． SKIPIF 1 < 0
【例2】設(shè) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是平面內(nèi)共線的三個不同的點(diǎn)，點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 所在直線外任意-點(diǎn)，且滿足 SKIPIF 1 < 0 ，若點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 在線段 SKIPIF 1 < 0 的延長線上，則（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【例3】如圖，，圓M與AB、AC分別相切于點(diǎn)D、E，，點(diǎn)P是圓M及其內(nèi)部任意一點(diǎn)，且，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【變式1】（2024·內(nèi)蒙古包頭·一模）如圖，在菱形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分別為 SKIPIF 1 < 0 上的點(diǎn)， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．若線段 SKIPIF 1 < 0 上存在一點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 等于（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【變式2】（2023·四川攀枝花·一模）在平面四邊形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 的最大值為（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B．2C．3D． SKIPIF 1 < 0
【變式3】（2024·全國·模擬預(yù)測）已知點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的重心，過點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 的直線與邊 SKIPIF 1 < 0 分別交于 SKIPIF 1 < 0 兩點(diǎn)， SKIPIF 1 < 0 為邊 SKIPIF 1 < 0 的中點(diǎn)．若 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C．2D． SKIPIF 1 < 0
【變式4】已知扇環(huán)如圖所示， SKIPIF 1 < 0 是扇環(huán)邊界上一動點(diǎn)，且滿足 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 的取值范圍為 .
概率預(yù)測
☆☆☆☆
題型預(yù)測
選擇題、填空題☆☆☆☆☆
考向預(yù)測
投影向量的概念

相關(guān)試卷

新高考數(shù)學(xué)三輪沖刺通關(guān)練習(xí)11 初等數(shù)論（九大題型）（2份打包，原卷版+解析版）：

這是一份新高考數(shù)學(xué)三輪沖刺通關(guān)練習(xí)11 初等數(shù)論（九大題型）（2份打包，原卷版+解析版），文件包含新高考數(shù)學(xué)三輪沖刺通關(guān)練習(xí)11初等數(shù)論九大題型原卷版doc、新高考數(shù)學(xué)三輪沖刺通關(guān)練習(xí)11初等數(shù)論九大題型解析版doc等2份試卷配套教學(xué)資源，其中試卷共38頁， 歡迎下載使用。

新高考數(shù)學(xué)三輪沖刺通關(guān)練習(xí)10 導(dǎo)數(shù)（易錯點(diǎn)+九大題型）（2份打包，原卷版+解析版））：

這是一份新高考數(shù)學(xué)三輪沖刺通關(guān)練習(xí)10 導(dǎo)數(shù)（易錯點(diǎn)+九大題型）（2份打包，原卷版+解析版）），文件包含新高考數(shù)學(xué)三輪沖刺通關(guān)練習(xí)10導(dǎo)數(shù)易錯點(diǎn)+九大題型原卷版doc、新高考數(shù)學(xué)三輪沖刺通關(guān)練習(xí)10導(dǎo)數(shù)易錯點(diǎn)+九大題型解析版doc等2份試卷配套教學(xué)資源，其中試卷共61頁， 歡迎下載使用。

新高考數(shù)學(xué)三輪沖刺通關(guān)練習(xí)09 圓錐曲線大題（易錯點(diǎn)+六大題型）（2份打包，原卷版+解析版）：

這是一份新高考數(shù)學(xué)三輪沖刺通關(guān)練習(xí)09 圓錐曲線大題（易錯點(diǎn)+六大題型）（2份打包，原卷版+解析版），文件包含新高考數(shù)學(xué)三輪沖刺通關(guān)練習(xí)09圓錐曲線大題易錯點(diǎn)+六大題型原卷版doc、新高考數(shù)學(xué)三輪沖刺通關(guān)練習(xí)09圓錐曲線大題易錯點(diǎn)+六大題型解析版doc等2份試卷配套教學(xué)資源，其中試卷共61頁， 歡迎下載使用。

英語朗讀寶

相關(guān)試卷 更多

新高考數(shù)學(xué)三輪沖刺通關(guān)練習(xí)08 圓錐曲線小題（易錯點(diǎn) 九大題型）（2份打包，原卷版+解析版）

新高考數(shù)學(xué)三輪沖刺通關(guān)練習(xí)08 圓錐曲線小題（易錯點(diǎn) 九大題型）（2份打包，原卷版+解析版）
新高考數(shù)學(xué)三輪沖刺通關(guān)練習(xí)07 函數(shù)性質(zhì)（易錯點(diǎn) 七大題型）（2份打包，原卷版+解析版）

新高考數(shù)學(xué)三輪沖刺通關(guān)練習(xí)07 函數(shù)性質(zhì)（易錯點(diǎn) 七大題型）（2份打包，原卷版+解析版）
新高考數(shù)學(xué)三輪沖刺通關(guān)練習(xí)05 幾何小題-截面與球（易錯點(diǎn)+七大題型）（2份打包，原卷版+解析版）

新高考數(shù)學(xué)三輪沖刺通關(guān)練習(xí)05 幾何小題-截面與球（易錯點(diǎn)+七大題型）（2份打包，原卷版+解析版）
新高考數(shù)學(xué)三輪沖刺通關(guān)練習(xí)01 排列與組合（易錯點(diǎn)+十大題型）（2份打包，原卷版+解析版）

新高考數(shù)學(xué)三輪沖刺通關(guān)練習(xí)01 排列與組合（易錯點(diǎn)+十大題型）（2份打包，原卷版+解析版）
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認(rèn)為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識產(chǎn)權(quán)，請掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護(hù)您的合法權(quán)益。
入駐教習(xí)網(wǎng)，可獲得資源免費(fèi)推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎勵，申請 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
高考專區(qū)
歡迎來到教習(xí)網(wǎng)
  • 900萬優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊
qrcode
二維碼已過期
刷新

微信掃碼，快速注冊

手機(jī)號注冊
手機(jī)號碼

手機(jī)號格式錯誤

手機(jī)驗證碼 獲取驗證碼

手機(jī)驗證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個字符，數(shù)字、字母或符號

注冊即視為同意教習(xí)網(wǎng)「注冊協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊
手機(jī)號注冊
微信注冊

注冊成功

返回
頂部