目錄
【高考預(yù)測】概率預(yù)測+題型預(yù)測+考向預(yù)測
【應(yīng)試秘籍】總結(jié)?？键c(diǎn)及應(yīng)對的策略
【誤區(qū)點(diǎn)撥】點(diǎn)撥常見的易錯點(diǎn)
易錯點(diǎn)一：回歸方程
易錯點(diǎn)二：獨(dú)立性檢驗的意義
【搶分通關(guān)】精選名校模擬題，講解通關(guān)策略
【題型一】條件概率
【題型二】 全概率公式與貝葉斯公式
【題型三】 離散型隨機(jī)變量的分布列和概率性質(zhì)
【題型四】 二項分布
【題型五】 超幾何分布
【題型六】 正態(tài)分布
概率屬于解答題必考題，大多考察兩方面，一個是超幾何分布與二項分布的區(qū)別，還有就是線性回歸方程與獨(dú)立性檢驗。小題中新教材新加的全概率公式和條件概率是重點(diǎn)，當(dāng)然古典概型和相互獨(dú)立事件的判斷以及正態(tài)分布也是需要熟練掌握的。今年還需對冷門的知識點(diǎn)，比如用樣本方差估計總體方差、最小二乘法、殘差等知識點(diǎn)的掌握和理解。均是書本上提到的內(nèi)容，但長久未考，學(xué)生都容易忽視。
概率預(yù)測
☆☆☆☆☆
題型預(yù)測
選擇題、填空題☆☆☆☆☆
考向預(yù)測
全概率公式、正態(tài)分布、總體百分位數(shù)的估計
易錯點(diǎn)一：回歸方程
(1)回歸方程為，其中.
(2)通過求的最小值而得到回歸直線的方法，即使得樣本數(shù)據(jù)的點(diǎn)到回歸直線的距離的平方和最小，這一方法叫做最小二乘法.
例（2023·天津·高考真題）鳶是鷹科的一種鳥，《詩經(jīng)·大雅·旱麓》曰：“鳶飛戾天，魚躍余淵”. 鳶尾花因花瓣形如鳶尾而得名，寓意鵬程萬里、前途無量.通過隨機(jī)抽樣，收集了若干朵某品種鳶尾花的花萼長度和花瓣長度（單位：cm），繪制散點(diǎn)圖如圖所示，計算得樣本相關(guān)系數(shù)為，利用最小二乘法求得相應(yīng)的經(jīng)驗回歸方程為，根據(jù)以上信息，如下判斷正確的為（ ）
A．花瓣長度和花萼長度不存在相關(guān)關(guān)系
B．花瓣長度和花萼長度負(fù)相關(guān)
C．花萼長度為7cm的該品種鳶尾花的花瓣長度的平均值為
D．若從樣本中抽取一部分，則這部分的相關(guān)系數(shù)一定是
【答案】C
【詳解】根據(jù)散點(diǎn)的集中程度可知，花瓣長度和花萼長度有相關(guān)性，A選項錯誤
散點(diǎn)的分布是從左下到右上，從而花瓣長度和花萼長度呈現(xiàn)正相關(guān)性，B選項錯誤，
把代入可得，C選項正確；
由于是全部數(shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù)，取出來一部分?jǐn)?shù)據(jù)，相關(guān)性可能變強(qiáng)，可能變?nèi)?，即取出的?shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù)不一定是，D選項錯誤
故選：C
變式1：（2024·青海海南·一模）近些年來，促進(jìn)新能源汽車產(chǎn)業(yè)發(fā)展政策頻出，新能源市場得到很大發(fā)展，銷量及滲透率遠(yuǎn)超預(yù)期，新能源幾乎成了各個汽車領(lǐng)域的熱點(diǎn)．某車企通過市場調(diào)研并進(jìn)行粗略模擬，得到研發(fā)投入（億元）與經(jīng)濟(jì)收益（億元）的數(shù)據(jù)，統(tǒng)計如下：
(1)計算的相關(guān)系數(shù)，并判斷是否可以認(rèn)為研發(fā)投入與經(jīng)濟(jì)收益具有較高的線性相關(guān)程度：（若，則線性相關(guān)程度一般，若，則線性相關(guān)程度較高）
(2)求出關(guān)于的線性回歸方程，并預(yù)測研發(fā)投入10億元時的經(jīng)濟(jì)收益．
參考數(shù)據(jù)：
附：相關(guān)系數(shù)，線性回歸方程的斜率，截距．
【答案】(1)，
(2)，約為億元
【詳解】（1）依題意，，
，
所以，
所以，
因為，所以可以認(rèn)為研發(fā)投入與經(jīng)濟(jì)收益具有較高的線性相關(guān)程度；
（2）由（1）可得，
所以，
所以關(guān)于的線性回歸方程為，
當(dāng)時，所以當(dāng)研發(fā)投入億元時的經(jīng)濟(jì)收益約為億元.
變式2：（2024·全國·模擬預(yù)測）某農(nóng)業(yè)大學(xué)組織部分學(xué)生進(jìn)行作物栽培試驗，由于土壤相對貧瘠，前期作物生長較為緩慢，為了增加作物的生長速度，達(dá)到預(yù)期標(biāo)準(zhǔn)，小明對自己培育的一株作物使用了營養(yǎng)液，現(xiàn)
研發(fā)投入億元
1
2
3
4
5
經(jīng)濟(jì)收益億元
2.5
4
6.5
9
10.5
統(tǒng)計了使用營養(yǎng)液十天之內(nèi)該作物的高度變化
(1)觀察散點(diǎn)圖可知，天數(shù)與作物高度之間具有較強(qiáng)的線性相關(guān)性，用最小二乘法求出作物高度關(guān)于天數(shù)的線性回歸方程（其中用分?jǐn)?shù)表示）；
(2)小明測得使用營養(yǎng)液后第22天該作物的高度為，請根據(jù)（1）中的結(jié)果預(yù)測第22天該作物的高度的殘差.
參考公式：.參考數(shù)據(jù)：.
【答案】(1)；
(2).
【詳解】（1）依題意，，
，
故，
，故所求回歸直線方程為.
（2）由（1）可知，當(dāng)時，，
故所求殘差為.
易錯點(diǎn)二：獨(dú)立性檢驗的意義
獨(dú)立性檢驗是對兩個變量有關(guān)系的可信程度的判斷，而不是對其是否有關(guān)系的判斷.
例 （2024·吉林·模擬預(yù)測）短視頻已成為當(dāng)下宣傳的重要手段，東北某著名景點(diǎn)利用短視頻宣傳增加旅游熱度，為調(diào)查某天南北方游客來此景點(diǎn)旅游是否與收看短視頻有關(guān)，該景點(diǎn)對當(dāng)天前來旅游的500名游客調(diào)查得知，南方游客有300人，因收看短視頻而來的280名游客中南方游客有200人.
(1)依據(jù)調(diào)查數(shù)據(jù)完成如下列聯(lián)表，根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗，分析南北方游客來此景點(diǎn)旅游是否與收看短視潁有關(guān)聯(lián)：單位：人
天數(shù)x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
作物高度y/cm
9
10
10
11
12
13
13
14
14
14
(2)為了增加游客的旅游樂趣，該景點(diǎn)設(shè)置一款5人傳球游戲，每個人得到球后都等可能地傳給其余4人之一，現(xiàn)有甲、乙等5人參加此游戲，球首先由甲傳出.
（i）求經(jīng)過次傳遞后球回到甲的概率；
（ii）記前次傳遞中球傳到乙的次數(shù)為，求的數(shù)學(xué)期望.
參考公式：，其中；
附表：
【答案】(1)列聯(lián)表見解析，無關(guān)
(2)（i）；（ii）
【詳解】（1）將所給數(shù)據(jù)進(jìn)行整理，得到如下列聯(lián)表：
零假設(shè)：南北方游客來此景點(diǎn)旅游與短視頻無關(guān)聯(lián)．
根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗，我們推斷不成立，
即認(rèn)為南北方游客來此景點(diǎn)旅游與收看短視頻有關(guān)聯(lián)，此推斷犯錯誤的概率不大于0.001
游客
短視頻
合計
收看
未看
南方游客
北方游客
合計
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
游客
短視頻
合計
收看
未看
南方游客
200
100
300
北方游客
80
120
200
合計
280
220
500
（2）（i）設(shè)經(jīng)過次傳遞后回到甲的概率為，
，，
又，
所以是首項為，公比為的等比數(shù)列，
所以.
（ii）（方法一）
設(shè)第次傳遞時甲接到球的次數(shù)為，則服從兩點(diǎn)分布，，
設(shè)前次傳遞中球傳到甲的次數(shù)為，
，
因為，所以.
（方法二）
設(shè)第次傳遞時，乙接到球的概率和次數(shù)分別為與，則服從兩點(diǎn)分布，
，由題可知，，
又，所以，所以是首項為，公比為的等比數(shù)列，
，，
，
故.
變式1： （2024·河北滄州·一模）流感病毒是一種病毒，大致分為甲型、乙型、丙型三種，其中甲流病毒傳染性最強(qiáng)，致死率最高，危害也最大．某藥品科技研發(fā)團(tuán)隊針對甲流病毒的特點(diǎn)，研發(fā)出預(yù)防甲流
藥品和治療甲流藥品，根據(jù)研發(fā)前期對動物試驗所獲得的相關(guān)有效數(shù)據(jù)作出統(tǒng)計，隨機(jī)選取其中的100個樣本數(shù)據(jù)，得到如下2×2列聯(lián)表：
(1)根據(jù)的獨(dú)立性檢驗，分析預(yù)防藥品對預(yù)防甲流的有效性；
(2)用頻率估計概率，從已經(jīng)感染的動物中，采用隨機(jī)抽樣方式每次選出1只，用治療藥品對該動物進(jìn)行治療，已知治療藥品的治愈數(shù)據(jù)如下：對未使用過預(yù)防藥品的動物的治愈率為0.5，對使用過預(yù)防藥品的動物的治愈率為0.75，若共選取3只已感染動物，每次選取的結(jié)果相互獨(dú)立，記選取的3只已感染動物中被治愈的動物只數(shù)為，求的分布列與數(shù)學(xué)期望．
附：．
【答案】(1)答案見解析
(2)答案見解析
【詳解】（1）假設(shè)：使用預(yù)防藥品與對預(yù)防甲流無效果，
由列聯(lián)表可知，
根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗，推斷不成立，
即認(rèn)為使用預(yù)防藥品與對預(yù)防甲流有效果，此推斷犯錯誤的概率不大于0.05.
（2）設(shè)事件表示使用治療藥品并且治愈，事件表示未使用過預(yù)防藥品，事件表示使用過預(yù)防藥品，
由題意可得，
且，
則，
治療藥品的治愈概率，
預(yù)防藥品
甲流病毒
合計
感染
未感染
未使用
24
21
45
使用
16
39
55
合計
40
60
100
0.050
0.010
0.001
3.841
6.635
10.828
則，
所以，，
，，
所以，隨機(jī)變量的分布列為
.
【題型一】條件概率
一般地,當(dāng)事件B發(fā)生的概率大于0時(即P(B)>0),已知事件B發(fā)生的條件下事件A發(fā)生的概率,稱為條件概率,記作P(A|B), 而且P(A|B)=.

【例1】（多選）（2024·湖南婁底·一模）對于事件與事件，若發(fā)生的概率是0.72，事件發(fā)生的概率是事件發(fā)生的概率的2倍，下列說法正確的是（ ）
A．若事件與事件互斥，則事件發(fā)生的概率為0.36
B．
C．事件發(fā)生的概率的范圍為
D．若事件發(fā)生的概率是0.3，則事件與事件相互獨(dú)立
【答案】BCD
【詳解】對于，若事件與事件互斥，則，所以，故A錯誤；
0
1
2
3
對于B，，故正確；
對于C，，
若事件與事件互斥，則，此時取到最小值為0.24，若，此時取到最大值為，故C正確；
對于D，，則，由，
得，則事件與事件相互獨(dú)立，故D正確.
故選：BCD.
【例2】（2024·北京石景山·一模）一袋中有大小相同的4個紅球和2個白球．若從中不放回地取球2次，每次任取1個球，記“第一次取到紅球”為事件，“第二次取到紅球”為事件，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【詳解】.
故選：C.
【例3】（2024·遼寧沈陽·二模）我國古代典籍《周易》用“卦”描述萬物的變化，每一“重卦”由從下到上排列的6個爻組成，爻分為陽爻“”和陰爻“”，如圖就是一重卦．在所有重卦中隨機(jī)取一重卦，記事件“取出的重卦中至少有1個陰爻”，事件“取出的重卦中至少有3個陽爻”．則（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【詳解】，事件“取出的重卦中有3陽3陰或4陽2陰或5陽1陰”，
則，則
故選：C

【變式1】（2024·山西·二模）一個盒子里裝有5個小球，其中3個是黑球，2個是白球，現(xiàn)依次一個一個地往外取球（不放回），記事件表示“第次取出的球是黑球”，，則下面不正確的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【詳解】依次一個一個地往外取球（不放回）的試驗，基本事件總數(shù)是，它們等可能，
對于A，表示第3次取出黑球，，A正確；
對于B，表示第1次、第2次取出的球都是黑球，，B正確；
對于C，，，
所以，C正確；
對于D，，所以，D錯誤.
故選：D
【變式2】（2024·全國·模擬預(yù)測）甲、乙兩人進(jìn)行一場游戲比賽，其規(guī)則如下：每一輪兩人分別投擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，比較兩者的點(diǎn)數(shù)大小，其中點(diǎn)數(shù)大的得3分，點(diǎn)數(shù)小的得0分，點(diǎn)數(shù)相同時各得1分．經(jīng)過三輪比賽，在甲至少有一輪比賽得3分的條件下，乙也至少有一輪比賽得3分的概率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【詳解】用分別表示甲、乙兩人投擲一枚骰子的結(jié)果，
因為甲、乙兩人每次投擲均有6種結(jié)果，則在一輪游戲中，共包含個等可能的基本事件.
其中，甲得3分，即包含的基本事件有
，共15個，概率為.
同理可得，甲每輪得0分的概率也是，得1分的概率為.
所以每一輪甲得分低于3分的概率為．
設(shè)事件A表示甲至少有一輪比賽得3分，事件表示乙至少有一輪比賽得3分，則事件表示經(jīng)過三輪比賽，甲沒有比賽得分為3分.
則，.
事件可分三類情形：
①甲有兩輪得3分，一輪得0分，概率為；
②甲有一輪得3分，兩輪得0分，概率為；
③甲有一輪得3分，一輪得0分，一輪得1分，概率為.
所以，
所以.
故選：B．
【變式3】（23-24高二下·遼寧大連·階段練習(xí)）小明爬樓梯每一步走1級臺階或2級臺階是隨機(jī)的，且走1級臺階的概率為，走2級臺階的概率為.小明從樓梯底部開始往上爬，在小明爬到第4級臺階的條件下，他走了3步的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【詳解】設(shè)事件“小明爬到第4級臺階”，“小明走了3步爬到第4級臺階”，
事件包含三種情況：①小明走了4步到第4級臺階，概率為；
②小明走了3步到第4級臺階，概率為，即；
③小明走了2步到第4級臺階，概率為；
所以，
.
故選：B
【題型二】 全概率公式與貝葉斯公式
全概率公式
一般地,設(shè)A1,A2,…,An是一組兩兩互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)＞0，i＝1,2，…，n，則對任意的事件B?Ω，有
P(B)=P(Ai)P(B|Ai)
我們稱上面的公式為全概率公式．
*貝葉斯公式：
一般地，設(shè)是一組兩兩互斥的事件，，且，則對任意的事件，有
【例1】（2024·江西南昌·一模）假設(shè)甲袋中有3個白球和2個紅球，乙袋中有2個白球和2個紅球.現(xiàn)從甲袋中任取2個球放入乙袋，混勻后再從乙袋中任取2個球.已知從乙袋中取出的是2個白球，則從甲袋中取出的也是2個白球的概率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【詳解】設(shè)從甲中取出個球，其中白球的個數(shù)為個的事件為，事件的概率為，從乙中取出個球，其中白球的個數(shù)為2個的事件為，事件的概率為，由題意：
①，；
②，；
③，；
根據(jù)貝葉斯公式可得，從乙袋中取出的是2個白球，則從甲袋中取出的也是2個白球的概率為
故選：C
【例2】（2024·海南省直轄縣級單位·一模）英國數(shù)學(xué)家貝葉斯在概率論研究方面成就顯著，根據(jù)貝葉斯統(tǒng)計理論，隨機(jī)事件，存在如下關(guān)系：.若某地區(qū)一種疾病的患病率是0.05，現(xiàn)有一種試劑可以檢驗被檢者是否患病.已知該試劑的準(zhǔn)確率為，即在被檢驗者患病的前提下用該試劑檢測，有的可能呈現(xiàn)陽性；該試劑的誤報率為，即在被檢驗者未患病的情況下用該試劑檢測，有的可能會誤報陽性.現(xiàn)隨機(jī)抽取該地區(qū)的一個被檢驗者，已知檢驗結(jié)果呈現(xiàn)陽性，則此人患病的概率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【詳解】依題意，設(shè)用該試劑檢測呈現(xiàn)陽性為事件B，被檢測者患病為事件A，未患病為事件，
則，，，，
故，
則所求概率為.
故選：C.
【例3】（2024·全國·二模）某單位選派一支代表隊參加市里的辯論比賽，現(xiàn)有“初心”“使命”兩支預(yù)備隊.選哪支隊是隨機(jī)的，其中選“初心”隊獲勝的概率為0.8，選“使命”隊獲勝的概率為0.7，單位在比賽中獲勝的條件下，選“使命”隊參加比賽的概率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【詳解】依題意，記選“初心”隊為事件，選“使命”隊為事件，該單位獲勝為事件，
則,
因此，
所以選“使命”隊參加比賽的概率.
故選：D
【變式1】（多選）（2024·山西朔州·一模）在信道內(nèi)傳輸信號，信號的傳輸相互獨(dú)立，發(fā)送某一信號時，收到的信號字母不變的概率為，收到其他兩個信號的概率均為．若輸入四個相同的信號的概率分別為，且．記事件分別表示“輸入”“輸入”“輸入”，事件表示“依次輸出”，則（ ）
A．若輸入信號，則輸出的信號只有兩個的概率為
B．
C．
D．
【答案】BCD
【詳解】A：因為發(fā)送某一信號時，收到的信號字母不變的概率為，收到其他兩個信號的概率均為，即收到的信號字母變的概率為，且信號的傳輸相互獨(dú)立，
所以輸入信號，則輸出的信號只有兩個的概率為，故A錯誤；
B：因為，故B正確；
C：，故C正確；
D：因為，
而
，
所以
，
故D正確；
故選：BCD.
【變式2】（2024·江蘇揚(yáng)州·模擬預(yù)測）有3臺車床加工同一型號的零件，第1臺加工的次品率為，第2，3臺加工的次品率均為，加工出來的零件混放在一起.已知第臺車床加工的零件數(shù)分別占總數(shù)的.任取一個零件，如果取到的零件是次品，則它是第2臺車床加工的概率為 .
【答案】
【詳解】設(shè)表示“取到的零件是第臺車床加工”，表示“取到的零件是次品”，
則
，
，
故.
故答案為：.
【變式3】（2024·浙江麗水·二模）為保護(hù)森林公園中的珍稀動物，采用某型號紅外相機(jī)監(jiān)測器對指定區(qū)域進(jìn)行監(jiān)測識別.若該區(qū)域有珍稀動物活動，該型號監(jiān)測器能正確識別的概率（即檢出概率）為；若該區(qū)域沒有珍稀動物活動，但監(jiān)測器認(rèn)為有珍稀動物活動的概率（即虛警概率）為.已知該指定區(qū)域有珍稀動物活動的概率為0.2.現(xiàn)用2臺該型號的監(jiān)測器組成監(jiān)測系統(tǒng)，每臺監(jiān)測器（功能一致）進(jìn)行獨(dú)立監(jiān)測識別，若任意一臺監(jiān)測器識別到珍稀動物活動，則該監(jiān)測系統(tǒng)就判定指定區(qū)域有珍稀動物活動.
(1)若.
（i）在該區(qū)域有珍稀動物活動的條件下，求該監(jiān)測系統(tǒng)判定指定區(qū)域有珍稀動物活動的概率；
（ii）在判定指定區(qū)域有珍稀動物活動的條件下，求指定區(qū)域?qū)嶋H沒有珍稀動物活動的概率（精確到0.001）；
(2)若監(jiān)測系統(tǒng)在監(jiān)測識別中，當(dāng)時，恒滿足以下兩個條件：①若判定有珍稀動物活動時，該區(qū)域確有珍稀動物活動的概率至少為0.9；②若判定沒有珍稀動物活動時，該區(qū)域確實(shí)沒有珍稀動物活動的概率至少為0.9.求的范圍（精確到0.001）.
（參考數(shù)據(jù)：）
【答案】(1)（i）；（ii）
(2)
【詳解】（1）記事件為“監(jiān)測系統(tǒng)判定指定區(qū)域有珍稀動物活動”，事件為“監(jiān)測區(qū)域?qū)嶋H上有珍稀動物活動”，
（i）；
（ii）
，
則
；
（2），
，
由題意可得，即，
令，，得，，故，，
即，即，則，
因為，所以，所以，
故，即，所以，
故.
【題型三】 離散型隨機(jī)變量的分布列和概率性質(zhì)
設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列為：
則(1)pi≥0，i＝1,2，…，n；
(2)p1＋p2＋…＋pi＋…＋pn＝1；
(3)E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn；
(4)D(X)＝(x1－E(X))2p1＋(x2－E(X))2p2＋…＋(xn－E(X))2pn.
隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望與方差
(1)如果E(η)和E(ξ)都存在，則E(ξ＋η)＝E(ξ)＋E(η)．
(2)若η＝aξ＋b，則E(η)＝aE(ξ)＋b，D(η)＝a2D(ξ)．
(3)期望與方差的轉(zhuǎn)化：D(ξ)＝E(ξ2)－(E(ξ))2.
【例1】（2024·山西臨汾·二模）已知質(zhì)量均勻的正面體，個面分別標(biāo)以數(shù)字1到．
(1)拋擲一個這樣的正面體，隨機(jī)變量表示它與地面接觸的面上的數(shù)字．若求n；
(2)在(1)的情況下，拋擲兩個這樣的正n面體，隨機(jī)變量表示這兩個正面體與地面接觸的面上的數(shù)字和的情況，我們規(guī)定：數(shù)字和小于7，等于7，大于7，分別取值0，1，2，求的分布列及期望．
X
x1
x2
…
xi
…
xn
P
p1
p2
…
pi
…
pn
【答案】(1).
(2)分布列見解析，.
【詳解】（1）因為，所以.
（2）樣本空間，共有36個樣本點(diǎn).
記事件“數(shù)字之和小于7”，事件“數(shù)字之和等于7"，
事件“數(shù)字之和大于7”.
，
，共15種，
故
，共6種，
故；
，
，共15種，
故；
從而的分布列為：
故
【例2】（2024·浙江寧波·二模）三個人利用手機(jī)軟件依次進(jìn)行拼手氣搶紅包活動，紅包的總金額數(shù)為個單位.第一個人搶到的金額數(shù)為1到個單位且等可能（記第一個人搶完后剩余的金額數(shù)為），第二個人在剩余的個金額數(shù)中搶到1到個單位且等可能，第三個人搶到剩余的所有金額數(shù)，并且每個人搶到的金額數(shù)均為整數(shù)個單位.三個人都搶完后，獲得金額數(shù)最高的人稱為手氣王（若有多人金額數(shù)相同且最高，則先搶到最高金額數(shù)的人稱為手氣王）.
(1)若，則第一個人搶到的金額數(shù)可能為個單位且等可能.
（i）求第一個人搶到金額數(shù)的分布列與期望；
（ii）求第一個人獲得手氣王的概率；
(2)在三個人搶到的金額數(shù)為的一個排列的條件下，求第一個人獲得手氣王的概率.
【答案】(1)（i）分布列見解析，2；（ii）；
0
1
2
(2).
【詳解】（1）若第一個人搶到的金額數(shù)為個單位，第二個人搶到的金額數(shù)為個單位，第三個人搶到的金額數(shù)為個單位，我們將三個人搶到的金額數(shù)記作.
（i），
所以的分布列為
.
（ii）第一個人獲得手氣王時，三個人搶到的金額數(shù)只可能為，
故第一個人獲得手氣王的概率
.
（2）記事件“三個人搶到的金額數(shù)為的一個排列”，事件“第一個人獲得手氣王”.
所要求的是條件概率，有.
當(dāng)三個人搶到的金額數(shù)為的一個排列時，總金額數(shù)為9，故第一個人搶到的金額數(shù)可能為
.
又，
，
故.
【例3】（2024·湖南·模擬預(yù)測）有一枚質(zhì)地均勻點(diǎn)數(shù)為1到4的特制骰子，投擲時得到每種點(diǎn)數(shù)的概率均等，現(xiàn)在進(jìn)行三次獨(dú)立投擲，記X為得到最大點(diǎn)數(shù)與最小點(diǎn)數(shù)之差，則X的數(shù)學(xué)期望（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
1
2
3
【詳解】的所有可能取值為，記三次得到的數(shù)組成數(shù)組，
滿足的數(shù)組有：
，共4個，
所以，
滿足的數(shù)組有：
，
，共18個，
所以，
滿足的數(shù)組有：
，
，
，
，共24個，
所以，
滿足的數(shù)組有：
，，
，，
，，共18個，
所以，
所以X的數(shù)學(xué)期望.
故選：D.
【變式1】（2024·全國·模擬預(yù)測）在2002年美國安然公司（在2000年名列世界財富500強(qiáng)第16位，擁有數(shù)千億資產(chǎn)的巨頭公司，曾經(jīng)是全球最大電力、天然氣及電訊服務(wù)提供商之一）宣布破產(chǎn)，原因是持續(xù)多年的財務(wù)數(shù)據(jù)造假．但是據(jù)說這場造假丑聞的揭露并非源于常規(guī)的審計程序，而是由于公司公布的每股盈利數(shù)據(jù)與一個神秘的數(shù)學(xué)定理——本福特定律——嚴(yán)重偏離．本福特定律指出，一個沒有人為編造的自然生成的數(shù)據(jù)（為正實(shí)數(shù)）中，首位非零的數(shù)字是這九個事件并不是等可能的，而是大約遵循這樣一個
公式：隨機(jī)變量是一個沒有人為編造的首位非零數(shù)字，則， 則根據(jù)本福特定律，在一個沒有人為編造的數(shù)據(jù)中，首位非零數(shù)字是8的概率約是（參考數(shù)據(jù)：，）（ ）
A．0.046B．0.051C．0.058D．0.067
【答案】B
【詳解】由題意可得：,
故選：B
【變式2】（2024·貴州黔西·一模）高一（1）班每周舉行歷史擂臺比賽，排名前2名的同學(xué)組成守擂者組，下周由3位同學(xué)組成攻擂者組挑戰(zhàn)，共答20題，若每位守擂者答出每道題的概率為，每位攻擂者答出每道題的概率為.為提高攻擂者的積極性，第一題由攻擂者先答，若未答對，再由守擂者答；剩下的題搶答，搶到的組回答，只要有一人答出，即為答對，記為1分，否則為0分.
(1)求攻擂者組每道題答對的概率及守擂者組第1題后得分為0分的概率；
(2)設(shè)為3題后守擂者的得分，求的分布列與數(shù)學(xué)期望.
【答案】(1)，
(2)分布列見解析，；
【詳解】（1）根據(jù)答題規(guī)則可知，若三人均答不出，則攻擂者組答不出每道題的概率；
則可知攻擂者組每道題答對的概率；
若守擂者組第1題后得分為0分，則第一題由攻擂者先答，
該題需答對或者該題答錯由守擂者組再答題并答錯，
易知守擂者組答出每道題的概率為，
因此；
（2）易知的所有可能取值為；
第一題守擂者組得一分的概率為，
搶答環(huán)節(jié)的題目守擂者組和攻擂者組搶到的概率均為，守擂者組每題得一分的概率為；
即可知前三題中第一題守擂者組得一分的概率為，第二、三題得一分的概率均為；
則，
，
，
，
因此的分布列為
數(shù)學(xué)期望.
【變式3】（2024·湖南益陽·模擬預(yù)測）新鮮是水果品質(zhì)的一個重要指標(biāo).某品牌水果銷售店，為保障所銷售的某種水果的新鮮度，當(dāng)天所進(jìn)的水果如果當(dāng)天沒有銷售完畢，則第二天打折銷售直至售罄．水果銷售店以每箱進(jìn)貨價50元、售價100元銷售該種水果，如果當(dāng)天賣不完，則剩下的水果第二天將在原售價的基礎(chǔ)上打五折特價銷售，而且要整體支付包裝更換與特別處理等費(fèi)用30元．這樣才能保障第二天特價水果售罄，并且不影響正價水果銷售，水果銷售店經(jīng)理記錄了在連續(xù)50天中該水果的日銷售量x（單位：箱）和天數(shù)y（單位：天）如下表所示：
(1)為能減少打折銷售份額，決定地滿足顧客需求（即在100天中，大約有70天可以滿足顧客需求）．請根據(jù)上面表格中的數(shù)據(jù)，確定每天此種水果的進(jìn)貨量的值.（以箱為單位，結(jié)果保留一位小數(shù)）
(2)以這50天記錄的日需求量的頻率作為日需求量的概率，設(shè)（1）中所求的值滿足，請以期望作為決策依據(jù)，幫銷售店經(jīng)理判斷每天購進(jìn)此種水果是箱劃算還是箱劃算？
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）地滿足顧客需求相當(dāng)于估計某類水果日銷售量的分位數(shù).
由表可知，把50個日需求量的數(shù)據(jù)從小到大排列，
由，日需求量在箱及以下（含箱）的天數(shù)為，
0
1
2
3
日銷售量x（單位：箱）
22
23
24
25
26
天數(shù)y（單位：天）
10
10
15
9
6
可知，可以估計日需求量的第分位數(shù)為，
所以能地滿足顧客的需求，估計每天應(yīng)該進(jìn)貨量為箱.
（2）由（1）知，即，
設(shè)每天的進(jìn)貨量為箱的利潤為，
由題設(shè)，每天的進(jìn)貨量為箱，
當(dāng)天賣完的概率為，
當(dāng)天賣不完剩下箱的概率為，
當(dāng)天賣不完剩下箱的概率為，
若當(dāng)天賣完元，
若當(dāng)天賣不完剩下箱，元，
若當(dāng)天賣不完剩下箱，元，
所以元.
設(shè)每天的進(jìn)貨量為箱的利潤為，
由題設(shè)，每天的進(jìn)貨量為箱，
當(dāng)天賣完的概率為，
當(dāng)天賣不完剩下箱的概率為，
當(dāng)天賣不完剩下箱的概率為，
當(dāng)天賣不完剩下箱的概率為，
若當(dāng)天賣完元，
當(dāng)天賣不完剩下箱，則元，
當(dāng)天賣不完剩下箱，則元，
當(dāng)天賣不完剩下箱，則元，
所以元，
由于，
顯然每天的進(jìn)貨量箱的期望利潤小于每天的進(jìn)貨量為箱的期望利潤，
所以每天購進(jìn)此種水果箱劃算一些.
【題型四】 二項分布
二項分布：一般地，在n次獨(dú)立重復(fù)試驗中，設(shè)事件A發(fā)生的次數(shù)為X，在每次試驗中事件A發(fā)生的概率為p，則事件A恰好發(fā)生k次的概率為P(X＝k)＝pk(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n，則稱隨機(jī)變量X服從二項分布，記作X～B(n，p)，并稱p為成功概率.
二項分布的數(shù)學(xué)期望與方差：若X～B(n，p)，則E(X)＝np.D(X)=np（1-p）
【例1】（2024·河北邢臺·一模）小張參加某知識競賽，題目按照難度不同分為A類題和B類題，小張回答A類題正確的概率為0.9，小張回答B(yǎng)類題正確的概率為0.45．已知題庫中B類題的數(shù)量是A類題的兩倍．
(1)求小張在題庫中任選一題，回答正確的概率；
(2)已知題庫中的題目數(shù)量足夠多，該知識競賽需要小張從題庫中連續(xù)回答10個題目，若小張在這10個題目中恰好回答正確k個（，1，2，，10）的概率為，則當(dāng)k為何值時，最大？
【答案】(1)0.6
(2)6
【詳解】（1）設(shè)小張回答A類題正確的概率為，小張回答B(yǎng)類題正確的概率為，小張在題庫中任選一題，回答正確的概率為，
由題意可得，
所以，
所以小張在題庫中任選一題，回答正確的概率為0.6.
（2）由（1）可得，
設(shè)，
即，
所以，
即，
解得，
又，所以時，最大.
【例2】（2024·全國·模擬預(yù)測）某市物理教研員在一次高二全市統(tǒng)考后為了了解本市物理考試情況，從全市高二參加考試的學(xué)生中隨機(jī)抽取50名學(xué)生對其物理成績（單位：分，成績都在內(nèi)）進(jìn)行統(tǒng)計，制成頻率分布直方圖如圖所示：
(1)求的值，并以樣本估計總體，求本次高二全市統(tǒng)考物理成績的中位數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）；
(2)從該市高二參加考試的學(xué)生中隨機(jī)抽取3人，記這3人中物理考試成績在內(nèi)的人數(shù)為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望.
【答案】(1)，68
(2)分布列見解析，
【詳解】（1）由題知，解得，
因為，
，
所以可設(shè)中位數(shù)為，
則，
解得，所以本次高二全市統(tǒng)考物理成績的中位數(shù)為68.
（2）從該市高二參加考試的學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，其物理考試成績在內(nèi)的概率為.由題意知的所有可能取值為0，1，2，3，
且，，
，，
所以的分布列為
所以的數(shù)學(xué)期望.
（另解：，）
【例3】（2024·全國·模擬預(yù)測）如圖所示，已知一質(zhì)點(diǎn)在外力的作用下，從原點(diǎn)出發(fā)，每次向左移動的概率為，向右移動的概率為．若該質(zhì)點(diǎn)每次移動一個單位長度，設(shè)經(jīng)過5次移動后，該質(zhì)點(diǎn)位于的位置，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【詳解】依題意，當(dāng)時，的可能取值為1,3,5，且，
所以
.
故選：D．
【變式1】（2024·遼寧·模擬預(yù)測）一質(zhì)子從原點(diǎn)處出發(fā)，每次等可能地向左、向右、向上或向下移動一個單位長度，則移動6次后質(zhì)子回到原點(diǎn)處的概率是（ ）
A．B．C．D．
0
1
2
3
【答案】C
【詳解】因為移動6次后仍然回到原點(diǎn)，故質(zhì)子水平方向移動偶數(shù)次，豎直方向移動偶數(shù)次
若質(zhì)子水平方向移動0次，則回到原點(diǎn)的概率；
若質(zhì)子水平方向移動2次，則回到原點(diǎn)的概率；
若質(zhì)子水平方向移動4次，則回到原點(diǎn)的概率；
若質(zhì)子水平方向移動6次，則回到原點(diǎn)的概率；
故移動6次后仍然回到原點(diǎn)的概率為，
故選：C
【變式2】（2023·山東·模擬預(yù)測）已知隨機(jī)變量，其中，隨機(jī)變量的分布列為
表中，則的最大值為 ．我們可以用來刻畫與的相似程度，則當(dāng)，且取最大值時， ．
【答案】
【詳解】由題意，可得，則，
因為，所以當(dāng)時，取得最大值，
又由，可得，解得，
可得，
又因為，
0
1
2
可得，
所以.
故答案為：；,
【變式3】（2024·北京西城·一模）10米氣步槍是國際射擊聯(lián)合會的比賽項目之一，資格賽比賽規(guī)則如下：每位選手采用立姿射擊60發(fā)子彈，總環(huán)數(shù)排名前8的選手進(jìn)入決賽．三位選手甲?乙?丙的資格賽成績?nèi)缦拢?br>假設(shè)用頻率估計概率，且甲?乙?丙的射擊成績相互獨(dú)立．
(1)若丙進(jìn)入決賽，試判斷甲是否進(jìn)入決賽，說明理由；
(2)若甲?乙各射擊2次，估計這4次射擊中出現(xiàn)2個“9環(huán)”和2個“10環(huán)”的概率；
(3)甲?乙?丙各射擊10次，用分別表示甲?乙?丙的10次射擊中大于環(huán)的次數(shù)，其中．寫出一個的值，使．（結(jié)論不要求證明）
【答案】(1)甲進(jìn)入決賽，理由見解析
(2)
(3)或8
【詳解】（1）甲進(jìn)入決賽，理由如下：
丙射擊成績的總環(huán)數(shù)為，
甲射擊成績的總環(huán)數(shù)為．
因為，
所以用樣本來估計總體可得甲進(jìn)入決賽．
（2）根據(jù)題中數(shù)據(jù)：
“甲命中9環(huán)”的概率可估計為；
“甲命中10環(huán)”的概率可估計為；
“乙命中9環(huán)”的概率可估計為；
“乙命中10環(huán)”的概率可估計為．
環(huán)數(shù)
6環(huán)
7環(huán)
8環(huán)
9環(huán)
10環(huán)
甲的射出頻數(shù)
1
1
10
24
24
乙的射出頻數(shù)
3
2
10
30
15
丙的射出頻數(shù)
2
4
10
18
26
所以這4次射擊中出現(xiàn)2個“9環(huán)”和2個“10環(huán)”的概率可估計為：
（3）或8．
根據(jù)題中數(shù)據(jù)：
當(dāng)時，
在每次射擊中，甲擊中大于環(huán)的的概率為；
在每次射擊中，乙擊中大于環(huán)的的概率為；
在每次射擊中，丙擊中大于環(huán)的的概率為；
由題意可知：，，.
此時，，，
不滿足.
當(dāng)時，
在每次射擊中，甲擊中大于環(huán)的的概率為；
在每次射擊中，乙擊中大于環(huán)的的概率為；
在每次射擊中，丙擊中大于環(huán)的的概率為；
由題意可知：，，.
此時，，，
滿足.
當(dāng)時，
在每次射擊中，甲擊中大于環(huán)的的概率為；
在每次射擊中，乙擊中大于環(huán)的的概率為；
在每次射擊中，丙擊中大于環(huán)的的概率為；
由題意可知：，，.
此時，，，
滿足.
當(dāng)時，
在每次射擊中，甲擊中大于環(huán)的的概率為；
在每次射擊中，乙擊中大于環(huán)的的概率為；
在每次射擊中，丙擊中大于環(huán)的的概率為；
由題意可知：，，.
此時，，，
不滿足.
所以或8．
【題型五】 超幾何分布
超幾何分布列
在含有M件次品的N件產(chǎn)品中，任取n件，其中恰有X件次品，則P(X＝k)＝，k＝0,1,2，…，m，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*?.
若隨機(jī)變量X的分布列具有上表的形式，則稱X服從超幾何分布
超幾何分布列的數(shù)學(xué)期望與方差
若X～H(n，M，N)，則E(X)＝. D(X)=
【例1】（23-24高三上·北京西城·期末）生活中人們喜愛用跑步軟件記錄分享自己的運(yùn)動軌跡.為了解某地中學(xué)生和大學(xué)生對跑步軟件的使用情況，從該地隨機(jī)抽取了200名中學(xué)生和80名大學(xué)生，統(tǒng)計他們最喜愛使用的一款跑步軟件，結(jié)果如下：
X
0
1
…
m
P
…
跑步軟件一
跑步軟件二
跑步軟件三
跑步軟件四
假設(shè)大學(xué)生和中學(xué)生對跑步軟件的喜愛互不影響.
(1)從該地區(qū)的中學(xué)生和大學(xué)生中各隨機(jī)抽取1人，用頻率估計概率，試估計這2人都最喜愛使用跑步軟件一的概率；
(2)采用分層抽樣的方式先從樣本中的大學(xué)生中隨機(jī)抽取人，再從這人中隨機(jī)抽取人.記為這人中最喜愛使用跑步軟件二的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；
(3)記樣本中的中學(xué)生最喜愛使用這四款跑步軟件的頻率依次為，，，，其方差為；樣本中的大學(xué)生最喜愛使用這四款跑步軟件的頻率依次為，，，，其方差為；，，，，，，，的方差為.寫出，，的大小關(guān)系.（結(jié)論不要求證明）
【答案】(1)
(2)分布列詳見解析，
(3)
【詳解】（1）從該地區(qū)的中學(xué)生和大學(xué)生中各隨機(jī)抽取1人，
這人都最喜愛使用跑步軟件一的概率為.
（2）因為抽取的人中最喜愛跑步軟件二的人數(shù)為，
所以的所有可能取值為，
，
所以的分布列為：
所以.
（3），證明如下：
，
，
中學(xué)生
80
60
40
20
大學(xué)生
30
20
20
10

所以.
，
，
所以.
數(shù)據(jù)：，，，，，，，，
對應(yīng)的平均數(shù)為
所以
所以.
【例2】（2024·云南昆明·模擬預(yù)測）某校舉行知識競賽，最后一個名額要在A，B兩名同學(xué)中產(chǎn)生，測試方案如下：A，B兩名學(xué)生各自從給定的4個問題中隨機(jī)抽取3個問題作答，在這4個問題中，已知A能正確作答其中的3個，B能正確作答每個問題的概率都是，A，B兩名同學(xué)作答問題相互獨(dú)立．
(1)求A，B兩名同學(xué)恰好共答對2個問題的概率；
(2)若讓你投票決定參賽選手，你會選擇哪名學(xué)生，簡要說明理由．
【答案】(1)
(2)應(yīng)該選擇學(xué)生，理由見解析
【詳解】（1）設(shè)同學(xué)答對的題數(shù)為，則隨機(jī)變量的所有可能取值為，.
則，；
設(shè)同學(xué)答對的題數(shù)為，則隨機(jī)變量的所有可能取值為，，，.
，，
，.
所以，兩名同學(xué)恰好共答對個問題的概率為.
（2）由（1）知，，；
而，.
因為，0,它的圖象在x軸的上方.可以證明x軸和曲線之間的區(qū)域的面積為1.我們稱f(x)為正態(tài)密度函數(shù),稱它的圖象為正態(tài)密度曲線,簡稱正態(tài)曲線,如上圖所示.若隨機(jī)變量X的概率分布密度函數(shù)為f(x),則稱隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布(nrmal dis-tributin),記為X~N(u,σ2).特別地,當(dāng)u=0, σ=1時,稱隨機(jī)變量X服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.
正態(tài)分布的期望和方差
參數(shù)μ反映了正態(tài)分布的集中位置，σ反映了隨機(jī)變量的分布相對于均值μ的
離散程度。
正態(tài)分布的3σ原則
【例1】（2024·山西·二模）某高校對參加軍訓(xùn)的4000名學(xué)生進(jìn)行射擊、體能、傷病自救等項目的綜合測試，現(xiàn)隨機(jī)抽取200名軍訓(xùn)學(xué)生，對其測試成績（滿分：100分）進(jìn)行統(tǒng)計，得到樣本頻率分布直方圖，如圖.
(1)根據(jù)頻率分布直方圖，求出的值并估計這200名學(xué)生測試成績的平均數(shù)（單位：分）.
(2)現(xiàn)該高校為了激勵學(xué)生，舉行了一場軍訓(xùn)比賽，共有三個比賽項目，依次為“10千米拉練”“實(shí)彈射擊”“傷病救援”，規(guī)則如下：三個環(huán)節(jié)均參與，三個項目通過各獎勵200元、300元、500元，不通過則不獎勵.學(xué)生甲在每個環(huán)節(jié)中通過的概率依次為，，，假設(shè)學(xué)生甲在各環(huán)節(jié)中是否通過是相互獨(dú)立的.記學(xué)生甲在這次比賽中累計所獲獎勵的金額為隨機(jī)變量，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.
(3)若該高校軍訓(xùn)學(xué)生的綜合成績近似服從正態(tài)分布，其中近似為樣本平均數(shù)，規(guī)定軍訓(xùn)成績不低于98分的為“優(yōu)秀標(biāo)兵”，據(jù)此估計該高校軍訓(xùn)學(xué)生中優(yōu)秀標(biāo)兵的人數(shù)（結(jié)果取整數(shù)）.
參考數(shù)據(jù)：若，則，，.
【答案】(1)，
(2)分布列見解析，
(3)人
【詳解】（1）有圖可得，解得，
；
（2）的可能取值為、、、、、、，
，
，
，
，
，
，
，
則其分布列為：
；
（3），，則,
又，故，
，故可估計該高校軍訓(xùn)學(xué)生中優(yōu)秀標(biāo)兵的人數(shù)為人.
【例2】（2024·四川·模擬預(yù)測）新高考改革后部分省份采用“”高考模式，“3”指的是語文?數(shù)學(xué)?外語三門為必選科目，“1”指的是要在物理?歷史里選一門，“2”指考生要在生物?化學(xué)?思想政治?地理4門中選擇2門．
(1)若按照“”模式選科，求甲?乙兩名學(xué)生恰有四門學(xué)科相同的選法種數(shù)；
(2)某教育部門為了調(diào)查學(xué)生語數(shù)外三科成績，從當(dāng)?shù)夭煌膶W(xué)校中抽取高一學(xué)生4000名參加語數(shù)外的網(wǎng)絡(luò)測試（滿分450分），假設(shè)該次網(wǎng)絡(luò)測試成績服從正態(tài)分布．
①估計4000名學(xué)生中成績介于190分到355分之間的有多少人（結(jié)果保留到個位）；
②該地某校對外宣傳“我校200人參與此次網(wǎng)絡(luò)測試，有12名同學(xué)獲得425分以上的高分”，請結(jié)合統(tǒng)計學(xué)知識分析上述宣傳語是否可信．
附：．
【答案】(1)；
(2)①3274人；②不可信.
【詳解】（1）甲?乙兩名學(xué)生必選語文?數(shù)學(xué)?外語．
若另一門相同的為物理?歷史中的一門，有種，
在生物?化學(xué)?思想政治?地理4門中，甲?乙選擇不同的2門，
則有種，共種；
若另一門相同的為生物?化學(xué)?思想政治?地理4門中的一門，則有種．
所以甲?乙兩個學(xué)生恰有四門學(xué)科相同的選法總數(shù)為．
（2）①設(shè)此次網(wǎng)絡(luò)測試的成績記為，則．
由題知，
則，
所以．
所以估計4000名學(xué)生中成績介于190分到355分之間的約有3274人．
②不可信．
，
則，
4000名學(xué)生中成績大于410分的約有人，
這說明4000名考生中，只有約5人的成績高于410分．
所以說“某校200人參與此次網(wǎng)絡(luò)測試，有12名同學(xué)獲得425分以上的高分”的宣傳語不可信．
【例3】（2024·廣東梅州·二模）某中學(xué)1500名同學(xué)參加一分鐘跳繩測試，經(jīng)統(tǒng)計，成績X近似服從正態(tài)分布，已知成績大于170次的有300人，則可估計該校一分鐘跳繩成績X在130～150次之間的人數(shù)約為 .
【答案】
【詳解】由題意可知，，
又因為，
所以
所以跳繩成績X在130～150次之間的人數(shù)約為.
故答案為：.
【變式1】（多選）（2024·新疆喀什·二模）下列說法正確的是（ ）
A．已知隨機(jī)變量服從二項分布，則
B．設(shè)隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，若，則
C．已知一組數(shù)據(jù)為1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，則它的第70百分位數(shù)為7
D．若事件滿足，則事件相互獨(dú)立
【答案】AD
【詳解】因為隨機(jī)變量服從二項分布，則，故A正確；
因為隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則對稱軸為，，故B錯誤；
這組數(shù)據(jù)的第70百分位數(shù)為，故C錯誤；
因為，所以，所以事件相互獨(dú)立.
故選：AD.
【變式2】（2024·河北石家莊·二模）某市教育局為了解高三學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，組織了一次摸底考試，共有50000名考生參加這次考試，數(shù)學(xué)成績近似服從正態(tài)分布，其正態(tài)密度函數(shù)為且，則該市這次考試數(shù)學(xué)成績超過110分的考生人數(shù)約為（ ）
A．2000B．3000C．4000D．5000
【答案】D
【詳解】由題易知均值，
由正態(tài)曲線的對稱性可知 ，
則該市這次考試數(shù)學(xué)成績超過110分的考生人數(shù)約為．
故選：D．
【變式3】（2024·廣西賀州·一模）某電器廠購進(jìn)了兩批電子元件，其中第一批電子元件的使用壽命X（單位：小時）服從正態(tài)分布，且使用壽命不少于1200小時的概率為0.1，使用壽命不少于800小時的概率為0.9．第二批電子元件的使用壽命不少于900小時的概率為0.8，使用壽命不少于1000小時的概率為0.6且這兩批電子元件的使用壽命互不影響．若該廠產(chǎn)出的某電器中同時裝有這兩批電子元件各一個，則在1000小時內(nèi)這兩個元件都能正常工作的概率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【詳解】依題意，，則，
由正態(tài)分布的對稱性知，使用壽命X的期望，則，
所以在1000小時內(nèi)這兩個元件都能正常工作的概率為.
故選：B

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