目錄
【高考預(yù)測】概率預(yù)測+題型預(yù)測+考向預(yù)測
【應(yīng)試秘籍】總結(jié)常考點及應(yīng)對的策略
【誤區(qū)點撥】點撥常見的易錯點
易錯點：解題規(guī)范
【搶分通關(guān)】精選名校模擬題，講解通關(guān)策略
【題型一】極點、極線
【題型二】 自極三角形與調(diào)和點列
【題型三】 齊次化法解決斜率相關(guān)問題
【題型四】 定比點差法
【題型五】 定點、定值
【題型六】 求軌跡方程型
圓錐曲線大題和小題考察的類型不一致，但是肯定都是以基礎(chǔ)知識為前提的情況下進(jìn)行考察，所以一般第一問考察的大多還是求圓錐曲線的函數(shù)解析式，而第二問往往考察的是直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，這里對于解析幾何的代數(shù)問題要求就比較高，題型也相應(yīng)較多，需要多加練習(xí)。
一些固定題型解題方法的掌握還是需要熟練，并且理解圓錐曲線中解析幾何的解題思維，延伸知識點例如極點、極線，齊次化解法、定比點差法等等比較熱門的需要熟練于心。
易錯點：解題規(guī)范
圓錐曲線大題在遇到直線與曲線相交相關(guān)的問題是，極點、極線的思想只能輔助我們解題，不可出現(xiàn)在答題過程中，都需要設(shè)點或設(shè)線，寫出完整的證明過程。
例（2023 年全國乙卷）已知橢圓 SKIPIF 1 < 0 的離心率是 SKIPIF 1 < 0 ，點 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上．
(1)求 SKIPIF 1 < 0 的方程；
(2)過點 SKIPIF 1 < 0 的直線交 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 兩點，直線 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 軸的交點分別為 SKIPIF 1 < 0 ，證明：線段 SKIPIF 1 < 0 的中點為定點．
變式1：（2024·湖南衡陽·二模）（多選）已知圓 SKIPIF 1 < 0 是直線 SKIPIF 1 < 0 上一動點，過點 SKIPIF 1 < 0 作直線 SKIPIF 1 < 0 分別與圓 SKIPIF 1 < 0 相切于點 SKIPIF 1 < 0 ，則（ ）
A．圓 SKIPIF 1 < 0 上恰有一個點到 SKIPIF 1 < 0 的距離為 SKIPIF 1 < 0 B．直線 SKIPIF 1 < 0 恒過點 SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 的最小值是 SKIPIF 1 < 0 D．四邊形 SKIPIF 1 < 0 面積的最小值為 SKIPIF 1 < 0
【題型一】極點、極線
二次曲線的極點極線
（1）.二次曲線 SKIPIF 1 < 0 極點 SKIPIF 1 < 0 對應(yīng)的極線為
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 （半代半不代）
（2）圓錐曲線的三類極點極線（以橢圓為例）：橢圓方程 SKIPIF 1 < 0
①極點 SKIPIF 1 < 0 在橢圓外， SKIPIF 1 < 0 為橢圓的切線，切點為 SKIPIF 1 < 0
則極線為切點弦 SKIPIF 1 < 0 ；
②極點 SKIPIF 1 < 0 在橢圓上，過點 SKIPIF 1 < 0 作橢圓的切線 SKIPIF 1 < 0 ，
則極線為切線 SKIPIF 1 < 0 ；
③極點 SKIPIF 1 < 0 在橢圓內(nèi)，過點 SKIPIF 1 < 0 作橢圓的弦 SKIPIF 1 < 0 ，
分別過 SKIPIF 1 < 0 作橢圓切線，則切線交點軌跡為極線 SKIPIF 1 < 0 ；
（3）圓錐曲線的焦點為極點，對應(yīng)準(zhǔn)線為極線.

【例1】過點 SKIPIF 1 < 0 作圓 SKIPIF 1 < 0 的兩條切線，切點分別為 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 則直線 SKIPIF 1 < 0 的方程為（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【例2】已知點 SKIPIF 1 < 0 為 SKIPIF 1 < 0 上一動點．過點 SKIPIF 1 < 0 作橢圓 SKIPIF 1 < 0 的兩條切線，切點分別 SKIPIF 1 < 0 ，當(dāng)點 SKIPIF 1 < 0 運動時，直線 SKIPIF 1 < 0 過定點，該定點的坐標(biāo)是________．
【例3】（2024·廣東湛江·一模）已知點P為直線上的動點，過P作圓的兩條切線，切點分別為A，B，若點M為圓上的動點，則點M到直線AB的距離的最大值為 ．

【變式1】（2024·陜西西安·一模）已知橢圓 SKIPIF 1 < 0 的左，右焦點分別為 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 與短軸的一個端點 SKIPIF 1 < 0 構(gòu)成一個等腰直角三角形，點 SKIPIF 1 < 0 在橢圓 SKIPIF 1 < 0 ，過點 SKIPIF 1 < 0 作互相垂直且與 SKIPIF 1 < 0 軸不重合的兩直線 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分別交橢圓 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 和點 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且點 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分別是弦 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的中點．

(1)求橢圓 SKIPIF 1 < 0 的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，求以 SKIPIF 1 < 0 為直徑的圓的方程；
(3)直線 SKIPIF 1 < 0 是否過 SKIPIF 1 < 0 軸上的一個定點？若是，求出該定點坐標(biāo)；若不是，說明理由．
【變式2】（2024·上海徐匯·二模）已知橢圓 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分別為橢圓 SKIPIF 1 < 0 的左、右頂點， SKIPIF 1 < 0 分別為左、右焦點，直線 SKIPIF 1 < 0 交橢圓 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 兩點（ SKIPIF 1 < 0 不過點 SKIPIF 1 < 0 ）.
(1)若 SKIPIF 1 < 0 為橢圓 SKIPIF 1 < 0 上（除 SKIPIF 1 < 0 外）任意一點，求直線 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的斜率之積；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，求直線 SKIPIF 1 < 0 的方程；
(3)若直線 SKIPIF 1 < 0 與直線 SKIPIF 1 < 0 的斜率分別是 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，求證：直線 SKIPIF 1 < 0 過定點.
【變式3】（2024·新疆喀什·二模）已知橢圓 SKIPIF 1 < 0 的左焦點 SKIPIF 1 < 0 ，點 SKIPIF 1 < 0 在橢圓 SKIPIF 1 < 0 上，過點 SKIPIF 1 < 0 的兩條直線 SKIPIF 1 < 0 分別與橢圓 SKIPIF 1 < 0 交于另一點 SKIPIF 1 < 0 ，且直線 SKIPIF 1 < 0 的斜率滿足 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求橢圓 SKIPIF 1 < 0 的方程；
(2)證明直線 SKIPIF 1 < 0 過定點．
【題型二】 自極三角形與調(diào)和點列
一、調(diào)和點列的充要條件
如圖，若 SKIPIF 1 < 0 四點構(gòu)成調(diào)和點列，則有（一般前2個出現(xiàn)較多）
SKIPIF 1 < 0
二、調(diào)和點列與極點極線的聯(lián)系
如圖，過極點 SKIPIF 1 < 0 作任意直線，與橢圓交于 SKIPIF 1 < 0 ，與極線交點 SKIPIF 1 < 0 則點 SKIPIF 1 < 0 成調(diào)和點列，若點 SKIPIF 1 < 0 的極線通過另一點 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 的極線也通過 SKIPIF 1 < 0 ．一般稱 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 互為共軛點．
三、自極三角形
如圖, 設(shè) 是不在圓雉曲線上的一點, 過 點引兩條割線依次交二次曲線于 四點, 連接對角線 交于 , 連接對邊 交于 , 則直線 為點 對應(yīng)的極線. 若為圓雉曲線上的點, 則過點的切線即為極線.
同理, 為點對應(yīng)的極線, 為點所對應(yīng)的極線. 因而將稱為自極三點形. 設(shè)直線交圓錐曲線于點兩點, 則, 恰為圓錐曲線的兩條切線.
從直線 SKIPIF 1 < 0 上任意一點 SKIPIF 1 < 0 向橢圓 SKIPIF 1 < 0 的左右頂點 SKIPIF 1 < 0 引兩條割線 SKIPIF 1 < 0 與橢圓交于 SKIPIF 1 < 0 兩點，則直線 SKIPIF 1 < 0 恒過定點 SKIPIF 1 < 0 ．
【例1】已知A、B分別為橢圓E： SKIPIF 1 < 0 （a>1）的左、右頂點，G為E的上頂點， SKIPIF 1 < 0 ，P為直線x=6上的動點，PA與E的另一交點為C，PB與E的另一交點為D．
（1）求E的方程；
（2）證明：直線CD過定點.
【例2】（2022·全國乙卷高考真題）已知橢圓E的中心為坐標(biāo)原點，對稱軸為x軸、y軸，且過 SKIPIF 1 < 0 兩點．
(1)求E的方程；
(2)設(shè)過點 SKIPIF 1 < 0 的直線交E于M，N兩點，過M且平行于x軸的直線與線段AB交于點T，點H滿足 SKIPIF 1 < 0 ．證明：直線HN過定點．
【變式1】（2024江南十校聯(lián)考）在平面直角坐標(biāo)系 SKIPIF 1 < 0 中，已知雙曲線Ｃ的中心為坐標(biāo)原點，對稱軸是坐標(biāo)軸，右支與x軸的交點為 SKIPIF 1 < 0 ，其中一條漸近線的傾斜角為 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)過點 SKIPIF 1 < 0 作直線l與雙曲線C的左右兩支分別交于A，B兩點，在線段 SKIPIF 1 < 0 上取一點E滿足 SKIPIF 1 < 0 ，證明：點E在一條定直線上.
【變式2】設(shè)橢圓 SKIPIF 1 < 0 過點 SKIPIF 1 < 0 ，且左焦點為 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求橢圓 SKIPIF 1 < 0 的方程；
（2）當(dāng)過點 SKIPIF 1 < 0 的動直線 SKIPIF 1 < 0 與橢圓 SKIPIF 1 < 0 相交于兩不同點 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 時，在線段 SKIPIF 1 < 0 上取點 SKIPIF 1 < 0 ，滿足
SKIPIF 1 < 0 ，證明：點 SKIPIF 1 < 0 總在某定直線上．
【變式3】已知 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 分別為橢圓 SKIPIF 1 < 0 : SKIPIF 1 < 0 的上、下焦點，其中 SKIPIF 1 < 0 也是拋物線 SKIPIF 1 < 0 的焦點，點 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 在第二象限的交點，且 SKIPIF 1 < 0 .

（1）求橢圓 SKIPIF 1 < 0 的方程;
（2）已知點 SKIPIF 1 < 0 和圓 SKIPIF 1 < 0 : SKIPIF 1 < 0 ，過點 SKIPIF 1 < 0 的動直線 SKIPIF 1 < 0 與圓 SKIPIF 1 < 0 相交于不同的兩點 SKIPIF 1 < 0 ，在線段 SKIPIF 1 < 0 上取一點 SKIPIF 1 < 0 ，滿足: SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，( SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ).求證:點 SKIPIF 1 < 0 總在某定直線上.
【題型三】 齊次化法解決斜率相關(guān)問題
“齊次”從詞面上解釋是“次數(shù)相等”的意思.在代數(shù)里也有“齊次”的叫法，例如 稱為二次齊次式， f中每一項都是關(guān)于x，y的二次項.與圓錐曲線相關(guān)的問題以大運算量著稱，齊次化引入圓錐曲線有時會極大地縮減運算量.
1：“齊次化”方法使用場景
題目中出現(xiàn)了一個定點引出的兩條動直線的斜率之和 或斜率乘積 為定值時，優(yōu)先考慮使用齊次化的技巧.
2： 用法：必須先把該定點平移至原點位置，然后將兩個動點所成的直線假設(shè)為 再聯(lián)立即可.
3: 方程為 的直線，可以表示不過原點 (原點坐標(biāo)不適合方程)的所有直線 (討論m.n與0的關(guān)系)
【例1】如圖，橢圓 經(jīng)過點. 且 離心率為
(1):求橢圓E的方程;
(2)：經(jīng)過點(1，1)，且斜率為k的直線與橢圓E交于不同的兩點P、Q (均異于點A),
【例2】已知橢圓 的離心率為 且過點A(2,1).
(1)求橢圓C的方程;
(2) 點M,N在橢圓C上, 且. D為垂足.
【變式1】（2024·全國·模擬預(yù)測）已知P為橢圓 SKIPIF 1 < 0 上一點，過原點且斜率存在的直線 SKIPIF 1 < 0 與橢圓C相交于A，B兩點，過原點且斜率存在的直線 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 不重合）與橢圓C相交于M，N兩點，且點P滿足到直線 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的距離都等于 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求直線 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的斜率之積；
(2)當(dāng)點P在C上運動時， SKIPIF 1 < 0 是否為定值？若是，求出該值；若不是，請說明理由．
【變式2】（2024·安徽合肥·二模）已知橢圓 SKIPIF 1 < 0 的右焦點為 SKIPIF 1 < 0 ，左頂點為 SKIPIF 1 < 0 ，短軸長為 SKIPIF 1 < 0 ，且經(jīng)過點 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求橢圓 SKIPIF 1 < 0 的方程；
(2)過點 SKIPIF 1 < 0 的直線 SKIPIF 1 < 0 （不與 SKIPIF 1 < 0 軸重合）與 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 兩點，直線 SKIPIF 1 < 0 與直線 SKIPIF 1 < 0 的交點分別為 SKIPIF 1 < 0 ，記直線 SKIPIF 1 < 0 的斜率分別為 SKIPIF 1 < 0 ，證明： SKIPIF 1 < 0 為定值．
【變式3】（2024·全國·模擬預(yù)測）已知曲線 SKIPIF 1 < 0 與曲線 SKIPIF 1 < 0 關(guān)于直線 SKIPIF 1 < 0 對稱．
(1)求曲線 SKIPIF 1 < 0 的方程．
(2)若過原點的兩條直線分別交曲線 SKIPIF 1 < 0 于點 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 為坐標(biāo)原點），則四邊形 SKIPIF 1 < 0 的面積是否為定值？若為定值，求四邊形 SKIPIF 1 < 0 的面積；若不為定值，請說明理由．
【題型四】 定比點差法
直線與圓雉曲線相交時,中點(定比分點)問題通常運用韋達(dá)定理和點差法兩種方式.點差法(定比點差)是從設(shè)點的視角,將點的坐標(biāo)代人曲線方程,通過系數(shù)調(diào)配后進(jìn)行兩式作差.
一般地,設(shè)橢圓 SKIPIF 1 < 0 上兩點 SKIPIF 1 < 0 ,若定點 SKIPIF 1 < 0 滿足 SKIPIF 1 < 0 ,則得到 SKIPIF 1 < 0 ,
化簡得 SKIPIF 1 < 0
由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0
兩式相減得 SKIPIF 1 < 0 .
把 SKIPIF 1 < 0 代人,得 SKIPIF 1 < 0 ,化簡得 SKIPIF 1 < 0 .
特別地,如果 SKIPIF 1 < 0 (或 SKIPIF 1 < 0 ),則可以得到方程組 SKIPIF 1 < 0 繼而能相對快捷地求出交點坐標(biāo),避免暴求交點.橢圓、雙曲線中的多點共線的倍值問題,也可類似解決,其實質(zhì)就是一種降維處理.此外,當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時,則 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的中點即轉(zhuǎn)化為中點弦問題.
【例1】直線 SKIPIF 1 < 0 與橢圓 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 兩點， SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 軸、 SKIPIF 1 < 0 軸分別交于點 SKIPIF 1 < 0 .如果 SKIPIF 1 < 0 是線段 SKIPIF 1 < 0 的兩個三等分點，則直線 SKIPIF 1 < 0 的斜率為 ．
【例2】設(shè) SKIPIF 1 < 0 分別為橢圓 SKIPIF 1 < 0 的左右兩個焦點，點 SKIPIF 1 < 0 在橢圓上.
若 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，則點 SKIPIF 1 < 0 的坐標(biāo)是 ．
【例3】已知點 SKIPIF 1 < 0 ，橢圓 SKIPIF 1 < 0 上兩點 SKIPIF 1 < 0 滿足 SKIPIF 1 < 0 ，則
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時，點 SKIPIF 1 < 0 橫坐標(biāo)的絕對值最大.
【變式1】已知 SKIPIF 1 < 0 是雙曲線 SKIPIF 1 < 0 的左焦點，點 SKIPIF 1 < 0 的坐標(biāo)為 SKIPIF 1 < 0 ，直線 SKIPIF 1 < 0 與雙曲線 SKIPIF 1 < 0 的兩條漸進(jìn)線分別交于點 SKIPIF 1 < 0 .若 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，則雙曲線 SKIPIF 1 < 0 的離心率為 ．
【變式2】已知拋物線 SKIPIF 1 < 0 的焦點為 SKIPIF 1 < 0 ，斜率為 SKIPIF 1 < 0 的直線 SKIPIF 1 < 0 與拋物線 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 兩點，與 SKIPIF 1 < 0 軸的交點為 SKIPIF 1 < 0 .
(1) 若 SKIPIF 1 < 0 ，求直線 SKIPIF 1 < 0 的方程；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的值.
【變式3】如圖，橢圓 SKIPIF 1 < 0 .過點 SKIPIF 1 < 0 作直線 SKIPIF 1 < 0 分別交橢圓 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 四點，且直線 SKIPIF 1 < 0 的斜率為 SKIPIF 1 < 0 .試判斷直線 SKIPIF 1 < 0 與直線 SKIPIF 1 < 0 的位置關(guān)系.
【題型五】 定點、定值
求定值問題常見的方法有兩種：
(1)從特殊入手，求出定值，再證明這個值與變量無關(guān)．
(2)直接推理、計算，并在計算推理的過程中消去變量，從而得到定值．
直線過定點問題或圓過定點問題，通常要設(shè)出直線方程，與圓錐曲線聯(lián)立，得到兩根之和，兩根之積，再表達(dá)出直線方程或圓的方程，結(jié)合方程特點，求出所過的定點坐標(biāo).
【例1】（2024·全國·模擬預(yù)測）已知橢圓 SKIPIF 1 < 0 的離心率為 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的左焦點與點 SKIPIF 1 < 0 連線的斜率為 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求 SKIPIF 1 < 0 的方程．
(2)已知點 SKIPIF 1 < 0 ，過點 SKIPIF 1 < 0 的直線 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 兩點，直線 SKIPIF 1 < 0 分別交 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ．試問：直線 SKIPIF 1 < 0 的斜率是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請說明理由．
【例2】（2023·河南焦作·模擬預(yù)測）已知橢圓 SKIPIF 1 < 0 的長軸為4，直線 SKIPIF 1 < 0 與圓 SKIPIF 1 < 0 相切于點 SKIPIF 1 < 0 ，與 SKIPIF 1 < 0 相交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 兩點，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
(1)記 SKIPIF 1 < 0 的離心率為 SKIPIF 1 < 0 ，證明： SKIPIF 1 < 0 ；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 軸右側(cè)的點 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上，且 SKIPIF 1 < 0 軸， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是圓 SKIPIF 1 < 0 的兩條切線，切點分別為 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上方），求 SKIPIF 1 < 0 的值.
【例3】（2024·上海奉賢·二模）已知曲線 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是坐標(biāo)原點， 過點 SKIPIF 1 < 0 的直線 SKIPIF 1 < 0 與曲線 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 兩點.
(1)當(dāng) SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 軸垂直時，求 SKIPIF 1 < 0 的面積；
(2)過圓 SKIPIF 1 < 0 上任意一點 SKIPIF 1 < 0 作直線 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，分別與曲線 SKIPIF 1 < 0 切于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 兩 點，求證： SKIPIF 1 < 0 ；

(3)過點 SKIPIF 1 < 0 的直線 SKIPIF 1 < 0 與雙曲線 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 兩點（ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 不與 SKIPIF 1 < 0 軸重合）.記直線 SKIPIF 1 < 0 的斜率為 SKIPIF 1 < 0 ，直線 SKIPIF 1 < 0 斜率為 SKIPIF 1 < 0 ， 當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時，求證： SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 都是定值.

【變式1】（2024·上海崇明·二模）已知橢圓 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 為 SKIPIF 1 < 0 的上頂點， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 上不同于點 SKIPIF 1 < 0 的兩點．
(1)求橢圓 SKIPIF 1 < 0 的離心率；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 是橢圓 SKIPIF 1 < 0 的右焦點， SKIPIF 1 < 0 是橢圓下頂點， SKIPIF 1 < 0 是直線 SKIPIF 1 < 0 上一點.若 SKIPIF 1 < 0 有一個內(nèi)角為 SKIPIF 1 < 0 ，求點 SKIPIF 1 < 0 的坐標(biāo)；
(3)作 SKIPIF 1 < 0 ，垂足為 SKIPIF 1 < 0 ．若直線 SKIPIF 1 < 0 與直線 SKIPIF 1 < 0 的斜率之和為 SKIPIF 1 < 0 ，是否存在 SKIPIF 1 < 0 軸上的點 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 為定值？若存在，請求出點 SKIPIF 1 < 0 的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．
【變式2】（2024·全國·模擬預(yù)測）已知橢圓 SKIPIF 1 < 0 的離心率為 SKIPIF 1 < 0 ，且過點 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求橢圓 SKIPIF 1 < 0 的標(biāo)準(zhǔn)方程．
(2)設(shè)過點 SKIPIF 1 < 0 且斜率不為0的直線 SKIPIF 1 < 0 與橢圓 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 兩點．問：在 SKIPIF 1 < 0 軸上是否存在定點 SKIPIF 1 < 0 ，使直線 SKIPIF 1 < 0 的斜率 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 的斜率 SKIPIF 1 < 0 的積為定值？若存在，求出該定點坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
【變式3】（2024·全國·模擬預(yù)測）已知離心率為 SKIPIF 1 < 0 的橢圓 SKIPIF 1 < 0 的左、右頂點分別為 SKIPIF 1 < 0 ，點 SKIPIF 1 < 0 為橢圓 SKIPIF 1 < 0 上的動點，且 SKIPIF 1 < 0 面積的最大值為 SKIPIF 1 < 0 ．直線 SKIPIF 1 < 0 與橢圓 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 兩點，點 SKIPIF 1 < 0 ，直線 SKIPIF 1 < 0 分別交橢圓 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 兩點，過點 SKIPIF 1 < 0 作直線 SKIPIF 1 < 0 的垂線，垂足為 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求橢圓 SKIPIF 1 < 0 的方程．
(2)記直線 SKIPIF 1 < 0 的斜率為 SKIPIF 1 < 0 ，證明： SKIPIF 1 < 0 為定值．
(3)試問：是否存在定點 SKIPIF 1 < 0 ，使 SKIPIF 1 < 0 為定值？若存在，求出定點 SKIPIF 1 < 0 的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．
【題型六】 求軌跡方程型
求軌跡方程的常見方法有:
①直接法，設(shè)出動點的坐標(biāo) SKIPIF 1 < 0 ，根據(jù)題意列出關(guān)于 SKIPIF 1 < 0 的等式即可；
②定義法，根據(jù)題意動點符合已知曲線的定義，直接求出方程；
③參數(shù)法，把 SKIPIF 1 < 0 分別用第三個變量表示，消去參數(shù)即可；
④逆代法，將 SKIPIF 1 < 0 代入 SKIPIF 1 < 0 .
【例1】（2024·上海嘉定·二模）如圖：已知三點 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 都在橢圓 SKIPIF 1 < 0 上．
(1)若點 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 都是橢圓的頂點，求 SKIPIF 1 < 0 的面積；
(2)若直線 SKIPIF 1 < 0 的斜率為1，求弦 SKIPIF 1 < 0 中點 SKIPIF 1 < 0 的軌跡方程；
(3)若直線 SKIPIF 1 < 0 的斜率為2，設(shè)直線 SKIPIF 1 < 0 的斜率為 SKIPIF 1 < 0 ，直線 SKIPIF 1 < 0 的斜率為 SKIPIF 1 < 0 ，是否存在定點 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 恒成立？若存在，求出所有滿足條件的點 SKIPIF 1 < 0 ，若不存在，說明理由．
【例2】（2024·安徽合肥·二模）在數(shù)學(xué)中，廣義距離是泛函分析中最基本的概念之一．對平面直角坐標(biāo)系中兩個點 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，記 SKIPIF 1 < 0 ，稱 SKIPIF 1 < 0 為點 SKIPIF 1 < 0 與點 SKIPIF 1 < 0 之間的“ SKIPIF 1 < 0 距離”，其中 SKIPIF 1 < 0 表示 SKIPIF 1 < 0 中較大者．
(1)計算點 SKIPIF 1 < 0 和點 SKIPIF 1 < 0 之間的“ SKIPIF 1 < 0 距離”；
(2)設(shè) SKIPIF 1 < 0 是平面中一定點， SKIPIF 1 < 0 ．我們把平面上到點 SKIPIF 1 < 0 的“ SKIPIF 1 < 0 距離”為 SKIPIF 1 < 0 的所有點構(gòu)成的集合叫做以點 SKIPIF 1 < 0 為圓心，以 SKIPIF 1 < 0 為半徑的“ SKIPIF 1 < 0 圓”．求以原點 SKIPIF 1 < 0 為圓心，以 SKIPIF 1 < 0 為半徑的“ SKIPIF 1 < 0 圓”的面積；
(3)證明：對任意點 SKIPIF 1 < 0 ．
【例3】（2024·河南開封·三模）已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，對于平面內(nèi)一動點 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 軸于點M，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 成等比數(shù)列．
(1)求點P的軌跡C的方程；
(2)已知過點A的直線l與C交于M，N兩點，若 SKIPIF 1 < 0 ，求直線l的方程．
【變式1】（2024·廣東韶關(guān)·二模）已知橢圓 SKIPIF 1 < 0 的離心率為 SKIPIF 1 < 0 ，長軸長為4， SKIPIF 1 < 0 是其左、右頂點， SKIPIF 1 < 0 是其右焦點．
(1)求橢圓 SKIPIF 1 < 0 的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)設(shè) SKIPIF 1 < 0 是橢圓 SKIPIF 1 < 0 上一點， SKIPIF 1 < 0 的角平分線與直線 SKIPIF 1 < 0 交于點 SKIPIF 1 < 0 ．
①求點 SKIPIF 1 < 0 的軌跡方程；
②若 SKIPIF 1 < 0 面積為 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 ．
【變式2】（2024·江蘇蘇州·模擬預(yù)測）已知點 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 和動點 SKIPIF 1 < 0 滿足 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的等差中項．
(1)求 SKIPIF 1 < 0 點的軌跡方程；
(2)設(shè) SKIPIF 1 < 0 點的軌跡為曲線 SKIPIF 1 < 0 按向量 SKIPIF 1 < 0 平移后得到曲線 SKIPIF 1 < 0 ，曲線 SKIPIF 1 < 0 上不同的兩點M，N的連線交 SKIPIF 1 < 0 軸于點 SKIPIF 1 < 0 ，如果 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 為坐標(biāo)原點）為銳角，求實數(shù) SKIPIF 1 < 0 的取值范圍；
(3)在（2）的條件下，如果 SKIPIF 1 < 0 時，曲線 SKIPIF 1 < 0 在點 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 處的切線的交點為 SKIPIF 1 < 0 ，求證： SKIPIF 1 < 0 在一條定直線上．
【變式3】（2024·山西呂梁·二模）在平面直角坐標(biāo)系 SKIPIF 1 < 0 中，動點 SKIPIF 1 < 0 在圓 SKIPIF 1 < 0 上，動點 SKIPIF 1 < 0 在直線 SKIPIF 1 < 0 上，過點 SKIPIF 1 < 0 作垂直于 SKIPIF 1 < 0 的直線與線段 SKIPIF 1 < 0 的垂直平分線交于點 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，記 SKIPIF 1 < 0 的軌跡為曲線 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求曲線 SKIPIF 1 < 0 的方程.
(2)若直線 SKIPIF 1 < 0 與曲線 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 兩點， SKIPIF 1 < 0 與曲線 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 兩點，其中 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 同向，直線 SKIPIF 1 < 0 交于點 SKIPIF 1 < 0 .
（i）證明：點 SKIPIF 1 < 0 在一條確定的直線上，并求出該直線的方程；
（ii）當(dāng) SKIPIF 1 < 0 的面積等于 SKIPIF 1 < 0 時，試把 SKIPIF 1 < 0 表示成 SKIPIF 1 < 0 的函數(shù).概率預(yù)測
☆☆☆☆☆
題型預(yù)測
解答題☆☆☆☆☆
考向預(yù)測
極點、極線

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