新高考數(shù)學(xué)三輪沖刺通關(guān)練習(xí)11 初等數(shù)論（九大題型）（2份打包，原卷版+解析版）

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目錄
【高考預(yù)測(cè)】概率預(yù)測(cè)+題型預(yù)測(cè)+考向預(yù)測(cè)
【應(yīng)試秘籍】總結(jié)常考點(diǎn)及應(yīng)對(duì)的策略
【搶分通關(guān)】精選名校模擬題，講解通關(guān)策略
【題型一】整數(shù)與整除
【題型二】 同余與孫子定理
【題型三】 素?cái)?shù)和合數(shù)
【題型四】 算數(shù)基本定理
【題型五】 費(fèi)馬小定理及歐拉定理
【題型六】 拉格朗日定理及威爾遜定理
【題型七】 平方數(shù)
【題型八】 高斯函數(shù)
【題型九】不定方程
在新結(jié)構(gòu)試卷中，壓軸題出現(xiàn)了初等數(shù)論的相關(guān)問題，這類問題大多屬于閱讀理解題，學(xué)生不需要對(duì)數(shù)論知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行掌握，但是需要對(duì)題干所給的信息進(jìn)行理解分析，利用高中的方法解決相應(yīng)問題，一般都出現(xiàn)在壓軸題，雖然屬于閱讀理解題，但基本數(shù)論的思維的拓展和應(yīng)用在短時(shí)間內(nèi)要想完全梳理明白也并非簡(jiǎn)單的事情，所以平時(shí)還是需要多鍛煉這類相關(guān)的試題。
【題型一】整數(shù)與整除

【例1】（2024·河北·一模）若一個(gè)兩位正整數(shù) SKIPIF 1 < 0 的個(gè)位數(shù)為4，則稱 SKIPIF 1 < 0 為“好數(shù)”，若 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 為正整數(shù)，則稱數(shù)對(duì) SKIPIF 1 < 0 為“友好數(shù)對(duì)”，規(guī)定： SKIPIF 1 < 0 ，例如 SKIPIF 1 < 0 ，稱數(shù)對(duì) SKIPIF 1 < 0 為“友好數(shù)對(duì)”， SKIPIF 1 < 0 ，則小于70的“好數(shù)”中，所有“友好數(shù)對(duì)”的 SKIPIF 1 < 0 的最大值為 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【詳解】設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 為正整數(shù)，
根據(jù)題意， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 ，
則 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，這兩個(gè)方程組都沒有正整數(shù)解，故沒有滿足題意的 SKIPIF 1 < 0 ；
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 ，
滿足條件的有 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ；
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，沒有滿足條件的 SKIPIF 1 < 0 ；
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
滿足條件的有 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ；
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，沒有滿足條件的 SKIPIF 1 < 0 ；
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
滿足條件的有 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .
所有“友好數(shù)對(duì)”的 SKIPIF 1 < 0 的最大值為 SKIPIF 1 < 0 .
故答案為： SKIPIF 1 < 0 .
【例2】一個(gè)自然數(shù)若能表示為兩個(gè)自然數(shù)的平方差，則稱這個(gè)自然數(shù)為“可愛數(shù)”.比如 SKIPIF 1 < 0 ，16就是一個(gè)“可愛數(shù)”.在自然數(shù)列中從1開始數(shù)起，第2023個(gè)“可愛數(shù)”是 .
【答案】2697
【詳解】因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，可知奇數(shù)都是“可愛數(shù)”；
又因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，可知能被4整除的數(shù)都是“可愛數(shù)”；
由于 SKIPIF 1 < 0 ，
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 奇偶性不同時(shí)， SKIPIF 1 < 0 是奇數(shù)；
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 奇偶性相同時(shí)， SKIPIF 1 < 0 是4的倍數(shù)，故形如 SKIPIF 1 < 0 的數(shù)不是“可愛數(shù)”，
即每連續(xù)四個(gè)數(shù)中有三個(gè)“可愛數(shù)”，
由 SKIPIF 1 < 0 知 SKIPIF 1 < 0 即2697是第2023個(gè)“可愛數(shù)”.
故答案為：2697.

【變式1】（23-24高三下·浙江金華·階段練習(xí)）設(shè)p為素?cái)?shù)，對(duì)任意的非負(fù)整數(shù)n，記 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ，如果非負(fù)整數(shù)n滿足 SKIPIF 1 < 0 能被p整除，則稱n對(duì)p“協(xié)調(diào)”．
(1)分別判斷194，195，196這三個(gè)數(shù)是否對(duì)3“協(xié)調(diào)”，并說明理由；
(2)判斷并證明在 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，…， SKIPIF 1 < 0 這 SKIPIF 1 < 0 個(gè)數(shù)中，有多少個(gè)數(shù)對(duì)p“協(xié)調(diào)”；
(3)計(jì)算前 SKIPIF 1 < 0 個(gè)對(duì)p“協(xié)調(diào)”的非負(fù)整數(shù)之和．
【答案】(1)194，196對(duì)3“協(xié)調(diào)”，195對(duì)3不“協(xié)調(diào)”
(2)有且僅有一個(gè)數(shù)對(duì)p“協(xié)調(diào)”，證明見解析
(3) SKIPIF 1 < 0
【詳解】（1）因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以194，196對(duì)3“協(xié)調(diào)”，195對(duì)3不“協(xié)調(diào)”.
（2）先證引理：對(duì)于任意的非負(fù)整數(shù)t，在 SKIPIF 1 < 0 中有且僅有一個(gè)數(shù)對(duì)p“協(xié)調(diào)”．證明如下：設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，由于pt是p的倍數(shù)，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 對(duì)于 SKIPIF 1 < 0 這一項(xiàng)的系數(shù)為 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
根據(jù)整除原理可知，在 SKIPIF 1 < 0 中有且僅有一個(gè)數(shù)能被p整除，
所以在 SKIPIF 1 < 0 中有且僅有一個(gè)數(shù)對(duì)p“協(xié)調(diào)”．
接下來把以上 SKIPIF 1 < 0 個(gè)數(shù)進(jìn)行分組，分成以下p組（每組p個(gè)數(shù)）：
SKIPIF 1 < 0
根據(jù)引理可知，在以上每組里恰有1個(gè)數(shù)對(duì)p“協(xié)調(diào)”，所以共有p個(gè)數(shù)對(duì)p“協(xié)調(diào)”．
（3）繼續(xù)考慮 SKIPIF 1 < 0 這 SKIPIF 1 < 0 個(gè)數(shù)分成p組，每組p個(gè)數(shù)：
SKIPIF 1 < 0
由（2）的引理可知每一行里有且只有一個(gè)數(shù)對(duì)p“協(xié)調(diào)”，下面證明每一列里有且僅有一個(gè)數(shù)對(duì)p“協(xié)調(diào)”．證明如下：
設(shè)某一列第一個(gè)數(shù)為 SKIPIF 1 < 0 ，
則 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
同理當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 ，所以當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)，
集合 SKIPIF 1 < 0 中的p個(gè)數(shù)中有且只有1個(gè)數(shù)對(duì)p“協(xié)調(diào)”．
注意到數(shù)陣中每一個(gè)數(shù)向右一個(gè)數(shù)增加1，向下一個(gè)數(shù)增加p，
所以p個(gè)數(shù)對(duì)p“協(xié)調(diào)”的數(shù)之和為： SKIPIF 1 < 0 ，
進(jìn)一步，前 SKIPIF 1 < 0 個(gè)對(duì)p“協(xié)調(diào)”的非負(fù)整數(shù)之和為：
SKIPIF 1 < 0
【變式2】（2024·湖南衡陽(yáng)·二模）莫比烏斯函數(shù)在數(shù)論中有著廣泛的應(yīng)用．所有大于1的正整數(shù) SKIPIF 1 < 0 都可以被唯一表示為有限個(gè)質(zhì)數(shù)的乘積形式： SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 為 SKIPIF 1 < 0 的質(zhì)因數(shù)個(gè)數(shù)， SKIPIF 1 < 0 為質(zhì)數(shù)， SKIPIF 1 < 0 ），例如： SKIPIF 1 < 0 ，對(duì)應(yīng) SKIPIF 1 < 0 ．現(xiàn)對(duì)任意 SKIPIF 1 < 0 ，定義莫比烏斯函數(shù) SKIPIF 1 < 0
(1)求 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)若正整數(shù) SKIPIF 1 < 0 互質(zhì)，證明： SKIPIF 1 < 0 ；
(3)若 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，記 SKIPIF 1 < 0 的所有真因數(shù)（除了1和 SKIPIF 1 < 0 以外的因數(shù)）依次為 SKIPIF 1 < 0 ，證明： SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2)證明見解析；
(3)證明見解析；
【詳解】（1）因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，易知 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ；
又 SKIPIF 1 < 0 ，因?yàn)?的指數(shù) SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）①若 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ；
②若 SKIPIF 1 < 0 ，且存在質(zhì)數(shù) SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 的質(zhì)因數(shù)分解中包含 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 的質(zhì)因數(shù)分解中一定也包含 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
③若 SKIPIF 1 < 0 ，且不存在②中的 SKIPIF 1 < 0 ，可設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，
其中 SKIPIF 1 < 0 均為質(zhì)數(shù)，則 SKIPIF 1 < 0 ，
因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 互質(zhì)，所以 SKIPIF 1 < 0 互不相等，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
綜上可知 SKIPIF 1 < 0
（3）由于 SKIPIF 1 < 0 ，所以可設(shè) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 為偶數(shù)，
SKIPIF 1 < 0 的所有因數(shù)，除了1之外都是 SKIPIF 1 < 0 中的若干個(gè)數(shù)的乘積，從 SKIPIF 1 < 0 個(gè)質(zhì)數(shù)中任選 SKIPIF 1 < 0 個(gè)數(shù)的乘積一共有 SKIPIF 1 < 0 種結(jié)果，
所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ．
【題型二】 同余與孫子定理
【例1】已知正整數(shù) SKIPIF 1 < 0 滿足 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 有相同的個(gè)位數(shù)字，則 SKIPIF 1 < 0 的最小值為（ ）
A．4B．6C．8D．前三個(gè)答案都不對(duì)
【答案】B
【詳解】由于對(duì)任意正整數(shù) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，有 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ．
由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 的個(gè)位數(shù)字只可能為3，7．
情形一 SKIPIF 1 < 0 的個(gè)位數(shù)字為3．此時(shí)其方冪的個(gè)位數(shù)字按3，9，7，1循環(huán)，因此 SKIPIF 1 < 0 ，
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 取最小值6．
情形二 SKIPIF 1 < 0 的個(gè)位數(shù)字為7．此時(shí)其方冪的個(gè)位數(shù)字按7，9，3，1循環(huán)，因此 SKIPIF 1 < 0 ，
于是 SKIPIF 1 < 0 至少為20．
綜上所述， SKIPIF 1 < 0 的最小值為6．
故選：B
【例2】“ SKIPIF 1 < 0 ”表示實(shí)數(shù) SKIPIF 1 < 0 整除實(shí)數(shù) SKIPIF 1 < 0 ，例如： SKIPIF 1 < 0 ，已知數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 滿足： SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，否則 SKIPIF 1 < 0 ，那么下列說法正確的有（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C．對(duì)任意 SKIPIF 1 < 0 ，都有 SKIPIF 1 < 0 D．存在 SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【詳解】因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
而 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，故A錯(cuò)誤.
但 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，此時(shí) SKIPIF 1 < 0 ，故B錯(cuò)誤.
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明： SKIPIF 1 < 0 除3余1， SKIPIF 1 < 0 除3余2，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 為奇數(shù)， SKIPIF 1 < 0 為偶數(shù).
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 ，此時(shí) SKIPIF 1 < 0 除3余1， SKIPIF 1 < 0 除3余2，
且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 為奇數(shù)， SKIPIF 1 < 0 為偶數(shù).
設(shè)當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 除3余1， SKIPIF 1 < 0 除3余2，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 為奇數(shù)， SKIPIF 1 < 0 為偶數(shù).
則當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 為奇數(shù)， SKIPIF 1 < 0 為偶數(shù)，
SKIPIF 1 < 0 為奇數(shù)，
又 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 除3余數(shù)相同，故 SKIPIF 1 < 0 除3余1，故 SKIPIF 1 < 0 除3余2，
故 SKIPIF 1 < 0 除3余2，
由數(shù)學(xué)歸納法可得 SKIPIF 1 < 0 除3余1， SKIPIF 1 < 0 除3余2，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 為奇數(shù)， SKIPIF 1 < 0 為偶數(shù).
故 SKIPIF 1 < 0 除3余1， SKIPIF 1 < 0 除3余2，故 SKIPIF 1 < 0 除3余0，即 SKIPIF 1 < 0 ，
故C正確.
由C的分析可得 SKIPIF 1 < 0 沒有項(xiàng)使得 SKIPIF 1 < 0 ，否則 SKIPIF 1 < 0 除以3的余數(shù)為0，故D錯(cuò)誤.
故選：C.
【變式1】已知正整數(shù) SKIPIF 1 < 0 滿足 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 有相同的個(gè)位數(shù)字，則 SKIPIF 1 < 0 的最小值為（ ）
A．4B．6C．8D．前三個(gè)答案都不對(duì)
【答案】B
【詳解】由于對(duì)任意正整數(shù) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，有 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ．
由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 的個(gè)位數(shù)字只可能為3，7．
情形一 SKIPIF 1 < 0 的個(gè)位數(shù)字為3．此時(shí)其方冪的個(gè)位數(shù)字按3，9，7，1循環(huán)，因此 SKIPIF 1 < 0 ，
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 取最小值6．
情形二 SKIPIF 1 < 0 的個(gè)位數(shù)字為7．此時(shí)其方冪的個(gè)位數(shù)字按7，9，3，1循環(huán)，因此 SKIPIF 1 < 0 ，
于是 SKIPIF 1 < 0 至少為20．
綜上所述， SKIPIF 1 < 0 的最小值為6．
故選：B
【變式2】（2024·河南·模擬預(yù)測(cè)）離散對(duì)數(shù)在密碼學(xué)中有重要的應(yīng)用．設(shè) SKIPIF 1 < 0 是素?cái)?shù)，集合 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，記 SKIPIF 1 < 0 為 SKIPIF 1 < 0 除以 SKIPIF 1 < 0 的余數(shù)， SKIPIF 1 < 0 為 SKIPIF 1 < 0 除以 SKIPIF 1 < 0 的余數(shù)；設(shè) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 兩兩不同，若 SKIPIF 1 < 0 ，則稱 SKIPIF 1 < 0 是以 SKIPIF 1 < 0 為底 SKIPIF 1 < 0 的離散對(duì)數(shù)，記為 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)若 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)對(duì) SKIPIF 1 < 0 ，記 SKIPIF 1 < 0 為 SKIPIF 1 < 0 除以 SKIPIF 1 < 0 的余數(shù)（當(dāng) SKIPIF 1 < 0 能被 SKIPIF 1 < 0 整除時(shí)， SKIPIF 1 < 0 ）．證明： SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ；
(3)已知 SKIPIF 1 < 0 ．對(duì) SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ．證明： SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】(1)1
(2)證明見解析
(3)證明見解析
【詳解】（1）若 SKIPIF 1 < 0 ，又注意到 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
（2）【方法一】：當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)，此時(shí) SKIPIF 1 < 0 ，此時(shí) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，
此時(shí) SKIPIF 1 < 0 .
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)，因 SKIPIF 1 < 0 相異，故 SKIPIF 1 < 0 ，
而 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 互質(zhì).
記 SKIPIF 1 < 0 ，
則 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，
因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 除以 SKIPIF 1 < 0 的余數(shù)兩兩相異，
且 SKIPIF 1 < 0 除以 SKIPIF 1 < 0 的余數(shù)兩兩相異，
故 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 其中 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 .
法2：記 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
其中 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，k是整數(shù)，則 SKIPIF 1 < 0 ，
可知 SKIPIF 1 < 0 ．
因?yàn)?，a， SKIPIF 1 < 0 ，…， SKIPIF 1 < 0 兩兩不同，
所以存在 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 可以被p整除，于是 SKIPIF 1 < 0 可以被p整除，即 SKIPIF 1 < 0 ．
若 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，因此 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
記 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，其中l(wèi)是整數(shù)，
則 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ．
（3）【方法二】：當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)，由（2）可得 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 也成立.
因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
另一方面， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 .
由于 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
法2：由題設(shè)和（2）的法2的證明知：
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ．
故 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ．
由（2）法2的證明知 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
【題型三】 素?cái)?shù)和合數(shù)
【例1】（22-23高三上·北京朝陽(yáng)·期中）已知點(diǎn)集 SKIPIF 1 < 0 ．設(shè)非空點(diǎn)集 SKIPIF 1 < 0 ，若對(duì) SKIPIF 1 < 0 中任意一點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，在 SKIPIF 1 < 0 中存在一點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 不重合），使得線段 SKIPIF 1 < 0 上除了點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 外沒有 SKIPIF 1 < 0 中的點(diǎn)，則 SKIPIF 1 < 0 中的元素個(gè)數(shù)最小值是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【詳解】對(duì)于整點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 的連線內(nèi)部沒有其它整點(diǎn)，當(dāng)且僅當(dāng) SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 互為素?cái)?shù)，
若 SKIPIF 1 < 0 只有一個(gè)點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，取 SKIPIF 1 < 0 的點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 使 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 分別同奇偶， SKIPIF 1 < 0 有公因子2（或重合），不合題意，
故 SKIPIF 1 < 0 中元素不止一個(gè)，令 SKIPIF 1 < 0 ，對(duì)于 SKIPIF 1 < 0 的點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 或3時(shí)，取 SKIPIF 1 < 0 ；當(dāng) SKIPIF 1 < 0 或4時(shí)，取 SKIPIF 1 < 0 ；
由于 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 橫坐標(biāo)之差為 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 內(nèi)部無(wú)整點(diǎn)；
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 時(shí)，取 SKIPIF 1 < 0 ，此時(shí)橫坐標(biāo)之差為 SKIPIF 1 < 0 ，縱坐標(biāo)之差為奇數(shù)，二者互素；
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 時(shí)，取 SKIPIF 1 < 0 ，此時(shí)橫坐標(biāo)之差為 SKIPIF 1 < 0 ，縱坐標(biāo)之差為 SKIPIF 1 < 0 ，二者互素；
綜上， SKIPIF 1 < 0 中的元素個(gè)數(shù)最小值是2.
故選：B
【例2】設(shè)整數(shù)a，m，n滿足 SKIPIF 1 < 0 ，則這樣的整數(shù)組 SKIPIF 1 < 0 的個(gè)數(shù)為（ ）
A．無(wú)窮多個(gè)B．4個(gè)C．2個(gè)D．前三個(gè)答案都不對(duì)
【答案】C
【分析】根據(jù)題意， SKIPIF 1 < 0 ，
考慮到a，m，n均為整數(shù)，因此 SKIPIF 1 < 0
且其中m，n均為正整數(shù)， SKIPIF 1 < 0 ，a為整數(shù)．
因此符合題意的整數(shù)解為 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ．
故選：C
【變式1】（2023高三上·全國(guó)·競(jìng)賽）求最小的實(shí)數(shù) SKIPIF 1 < 0 ，使得對(duì)任意的正整數(shù) SKIPIF 1 < 0 ，可以將其表示成2023個(gè)正整數(shù)之積，即 SKIPIF 1 < 0 ，且滿足對(duì)任意的 SKIPIF 1 < 0 ，均有 SKIPIF 1 < 0 是素?cái)?shù)或者 SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0 的最小值為 SKIPIF 1 < 0 .
【詳解】一方面，取 SKIPIF 1 < 0 (其中 SKIPIF 1 < 0 為素?cái)?shù))，此時(shí)若將 SKIPIF 1 < 0 表示成2023個(gè)正整數(shù)之積，
即 SKIPIF 1 < 0 時(shí)，可設(shè) SKIPIF 1 < 0 ( SKIPIF 1 < 0 為非負(fù)整數(shù)， SKIPIF 1 < 0 ，
由抽屜原理，存在正整數(shù) SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，此時(shí) SKIPIF 1 < 0 ，因此有 SKIPIF 1 < 0 ；
另一方面，證明：當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)，對(duì)任意的正整數(shù) SKIPIF 1 < 0 ，存在正整數(shù) SKIPIF 1 < 0 ，
使得 SKIPIF 1 < 0 是素?cái)?shù)或者 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
對(duì)任意的正整數(shù) SKIPIF 1 < 0 ，采用如下方法依次構(gòu)造出滿足要求的 SKIPIF 1 < 0 :
對(duì) SKIPIF 1 < 0 ，假設(shè)已構(gòu)造出 SKIPIF 1 < 0 ，接下來考慮 SKIPIF 1 < 0 的取值(特別地， SKIPIF 1 < 0 時(shí)代表尚未構(gòu)造出任何一項(xiàng)，考慮構(gòu)造 SKIPIF 1 < 0 的值)，
對(duì) SKIPIF 1 < 0 時(shí) SKIPIF 1 < 0 ：若 SKIPIF 1 < 0 的最大素因子 SKIPIF 1 < 0 ，則令 SKIPIF 1 < 0 ；
若 SKIPIF 1 < 0 的任一素因子均小于 SKIPIF 1 < 0 ，則令 SKIPIF 1 < 0 為 SKIPIF 1 < 0 的不超過 SKIPIF 1 < 0 的最大正約數(shù)，依次得到 SKIPIF 1 < 0 ，
證明這樣的構(gòu)造符合要求：
由于此時(shí)對(duì)任意的 SKIPIF 1 < 0 ，已有 SKIPIF 1 < 0 是素?cái)?shù)或者 SKIPIF 1 < 0 ，因此只須證 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
若存在 SKIPIF 1 < 0 ，則知 SKIPIF 1 < 0 不存在不小于 SKIPIF 1 < 0 的素因子，也不存在不超過 SKIPIF 1 < 0 的正約數(shù)，
自然也就不存在不超過 SKIPIF 1 < 0 的素因子，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
這樣， SKIPIF 1 < 0 ，滿足 SKIPIF 1 < 0 ，
若不存在 SKIPIF 1 < 0 ，不妨設(shè) SKIPIF 1 < 0 為在上述操作中選取的不小于 SKIPIF 1 < 0 的素?cái)?shù)，
其余項(xiàng)為在上述操作中選取的不超過 SKIPIF 1 < 0 的正約數(shù)( SKIPIF 1 < 0 可以為0)，
此時(shí)如果 SKIPIF 1 < 0 ，則與 SKIPIF 1 < 0 為 SKIPIF 1 < 0 的不超過 SKIPIF 1 < 0 的最大正約數(shù)矛盾，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，這樣有 SKIPIF 1 < 0 ，進(jìn)而有 SKIPIF 1 < 0 ；
而由取法可直接得到 SKIPIF 1 < 0 ，
因此有 SKIPIF 1 < 0 ，此時(shí) SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，滿足 SKIPIF 1 < 0 .
綜上所述， SKIPIF 1 < 0 的最小值為 SKIPIF 1 < 0 .
【變式2】（2023高二·全國(guó)·競(jìng)賽）正整數(shù) SKIPIF 1 < 0 稱為“好數(shù)”，如果對(duì)任意不同于 SKIPIF 1 < 0 的正整數(shù) SKIPIF 1 < 0 ，均有 SKIPIF 1 < 0 ，這里， SKIPIF 1 < 0 表示實(shí)數(shù) SKIPIF 1 < 0 的小數(shù)部分.證明：存在無(wú)窮多個(gè)兩兩互素的合數(shù)均為好數(shù).
【答案】證明見解析
【詳解】證明：引理：設(shè) SKIPIF 1 < 0 是正奇數(shù)，且2模 SKIPIF 1 < 0 的階為偶數(shù)，則 SKIPIF 1 < 0 是好數(shù).
引理的證明：反證法，
假設(shè) SKIPIF 1 < 0 不是好數(shù)，則存在異于 SKIPIF 1 < 0 的正整數(shù) SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 .
因此 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 寫成既約分?jǐn)?shù)后的分母相同.
由 SKIPIF 1 < 0 為奇數(shù)知 SKIPIF 1 < 0 是既約分?jǐn)?shù)，故 SKIPIF 1 < 0 的最大奇因子為 SKIPIF 1 < 0 ，從而 SKIPIF 1 < 0 的最大奇因子為 SKIPIF 1 < 0 .
設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 為正整數(shù)（從而 SKIPIF 1 < 0 是偶數(shù)）.
于是 SKIPIF 1 < 0 .
由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 .（*）
設(shè)2模 SKIPIF 1 < 0 的階為偶數(shù) SKIPIF 1 < 0 .
由（*）及階的基本性質(zhì)得 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 是偶數(shù).
但 SKIPIF 1 < 0 是偶數(shù)， SKIPIF 1 < 0 是奇數(shù)，矛盾.引理得證.
回到原問題.
設(shè) SKIPIF 1 < 0 .由于 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ，因此2模 SKIPIF 1 < 0 的階為 SKIPIF 1 < 0 ，是一個(gè)偶數(shù).
對(duì)正整數(shù) SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 可知 SKIPIF 1 < 0 ，故由階的性質(zhì)推出，2模 SKIPIF 1 < 0 的階被2模 SKIPIF 1 < 0 的階整除，從而也是偶數(shù).因 SKIPIF 1 < 0 是奇數(shù)，由引理知 SKIPIF 1 < 0 是好數(shù).
對(duì)任意正整數(shù) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 兩兩互素，所以 SKIPIF 1 < 0 是兩兩互素的合數(shù)，且均為好數(shù).
【題型四】 算數(shù)基本定理
【例1】（高三·北京·強(qiáng)基計(jì)劃）設(shè) SKIPIF 1 < 0 是正2016邊形，從這2016個(gè)頂點(diǎn)中選出若干個(gè)使之能作為正多邊形的頂點(diǎn)，則不同的選法共有（ ）
A．2520種B．3528種C．4536種D．6552種
【答案】B
【詳解】從2016的約數(shù)中去掉1，2，其余的約數(shù)均可作為正多邊形的邊數(shù)．
設(shè)從2016個(gè)頂點(diǎn)中選出 SKIPIF 1 < 0 個(gè)構(gòu)成正多邊形，這樣的正多邊形有 SKIPIF 1 < 0 個(gè)，
因此所求的正多邊形的個(gè)數(shù)就是2016的所有約數(shù)之和減去2016和1008．
考慮到 SKIPIF 1 < 0 ，因此所求正多邊形的個(gè)數(shù)為
SKIPIF 1 < 0 （個(gè)）．
故選：B
【例2】（高三上·北京·強(qiáng)基計(jì)劃）設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，集合T是S的n元子集，且其中任意兩個(gè)元素互質(zhì)，對(duì)任意符合要求的集合T，均至少包含一個(gè)質(zhì)數(shù)，則n的最小值為（ ）
A．15B．16C．17D．18
【答案】B
【詳解】首先，我們有 SKIPIF 1 < 0 ．
事實(shí)上，取集合 SKIPIF 1 < 0 ，
其元素，除1以外，均為不超過43的素?cái)?shù)的平方，則 SKIPIF 1 < 0 中任意兩數(shù)互質(zhì)，但其中無(wú)質(zhì)數(shù)，這表明 SKIPIF 1 < 0 ．
其次，我們證明：對(duì)任意 SKIPIF 1 < 0 ，A中任意兩數(shù)互質(zhì)，則A中必存在一個(gè)質(zhì)數(shù).利用反證法，假設(shè)A中無(wú)質(zhì)數(shù)，記 SKIPIF 1 < 0 ，分兩種情況討論：
情形一 若 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 均為合數(shù)，
又因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 的質(zhì)因數(shù)均不相同，
設(shè) SKIPIF 1 < 0 的最小質(zhì)因數(shù)為 SKIPIF 1 < 0 ，不妨設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，則
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
…，
SKIPIF 1 < 0 ，
矛盾．
情形二 若 SKIPIF 1 < 0 ，則不妨設(shè) SKIPIF 1 < 0 均為合數(shù)，同情形一所設(shè)，同理有
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
…，
SKIPIF 1 < 0 ，
矛盾．
綜上所述，反設(shè)不成立，從而A中必有質(zhì)數(shù)，即 SKIPIF 1 < 0 時(shí)結(jié)論成立，
因此所求n的最小值為16．
故選：B.
【變式1】（高三·上?！じ?jìng)賽）若a、b、c、d為整數(shù)，且 SKIPIF 1 < 0 ，則有序數(shù)組（a，b，c，d）= .
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【詳解】由題意得 SKIPIF 1 < 0 .
由算術(shù)基本定理知 SKIPIF 1 < 0 .
故答案為 SKIPIF 1 < 0
【變式2】四位數(shù) SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 互為反序的正整數(shù)，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 分別有16個(gè)、12個(gè)正因數(shù)（包括1和本身）， SKIPIF 1 < 0 的質(zhì)因數(shù)也是 SKIPIF 1 < 0 的質(zhì)因數(shù)，但 SKIPIF 1 < 0 的質(zhì)因數(shù)比 SKIPIF 1 < 0 的質(zhì)因數(shù)少1個(gè)，求 SKIPIF 1 < 0 的所有可能值.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【詳解】設(shè) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .則 SKIPIF 1 < 0 .
由 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 .
故 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
于是， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
由 SKIPIF 1 < 0 為奇數(shù)，知 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 一奇一偶.
若 SKIPIF 1 < 0 為偶數(shù)，即 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 為偶數(shù).矛盾.
因此， SKIPIF 1 < 0 為偶數(shù)， SKIPIF 1 < 0 為奇數(shù).
記 SKIPIF 1 < 0 分解質(zhì)因數(shù)后， SKIPIF 1 < 0 的個(gè)數(shù)為 SKIPIF 1 < 0 ，2的個(gè)數(shù)為 SKIPIF 1 < 0 .則 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
由因數(shù)個(gè)數(shù)定理得 SKIPIF 1 < 0 .
于是 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
所以， SKIPIF 1 < 0 或8， SKIPIF 1 < 0 或7.
故 SKIPIF 1 < 0 至多有三個(gè)質(zhì)因數(shù).
于是， SKIPIF 1 < 0 至多含有兩個(gè)質(zhì)因數(shù)，3是 SKIPIF 1 < 0 的一個(gè)質(zhì)因數(shù).
若 SKIPIF 1 < 0 只有一個(gè)質(zhì)因數(shù)，則這個(gè)質(zhì)因數(shù)為3.從而， SKIPIF 1 < 0 ，與 SKIPIF 1 < 0 是四位數(shù)相矛盾.
因此， SKIPIF 1 < 0 含有兩個(gè)質(zhì)因數(shù).
設(shè) SKIPIF 1 < 0 的另一個(gè)質(zhì)因數(shù)為 SKIPIF 1 < 0 .
因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，所以， SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 .
故 SKIPIF 1 < 0 .
又 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
由 SKIPIF 1 < 0 ，知 SKIPIF 1 < 0 .
此時(shí)， SKIPIF 1 < 0 的值大于 SKIPIF 1 < 0 .
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 .
而 SKIPIF 1 < 0 不互為反序數(shù)，于是， SKIPIF 1 < 0 .此時(shí)， SKIPIF 1 < 0 .
因此， SKIPIF 1 < 0 .于是， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 . ①
SKIPIF 1 < 0 .
故 SKIPIF 1 < 0 .
因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 為奇數(shù)，所以， SKIPIF 1 < 0 為奇數(shù).故 SKIPIF 1 < 0 .
由式①得
SKIPIF 1 < 0 .
因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 為偶數(shù)，所以， SKIPIF 1 < 0 為偶數(shù).
于是， SKIPIF 1 < 0 或8.
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)，由式①得
SKIPIF 1 < 0 .
因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，所以， SKIPIF 1 < 0 .
得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
于是， SKIPIF 1 < 0 或9.
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 ；
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 .
于是， SKIPIF 1 < 0 或1998.
因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，所以， SKIPIF 1 < 0 .
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 符合題意.
因此， SKIPIF 1 < 0 .
【題型五】 費(fèi)馬小定理及歐拉定理
【例1】（2024·河北滄州·一模）設(shè) SKIPIF 1 < 0 為非負(fù)整數(shù)， SKIPIF 1 < 0 為正整數(shù)，若 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 被 SKIPIF 1 < 0 除得的余數(shù)相同，則稱 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 對(duì)模 SKIPIF 1 < 0 同余，記為 SKIPIF 1 < 0 ．若 SKIPIF 1 < 0 為質(zhì)數(shù)， SKIPIF 1 < 0 為不能被 SKIPIF 1 < 0 整除的正整數(shù)，則 SKIPIF 1 < 0 ，這個(gè)定理是費(fèi)馬在1636年提出的費(fèi)馬小定理，它是數(shù)論中的一個(gè)重要定理．現(xiàn)有以下4個(gè)命題：
① SKIPIF 1 < 0 ；
②對(duì)于任意正整數(shù) SKIPIF 1 < 0 ；
③對(duì)于任意正整數(shù) SKIPIF 1 < 0 ；
④對(duì)于任意正整數(shù) SKIPIF 1 < 0 ．
則所有的真命題為（ ）
A．①④B．②C．①②③D．①②④
【答案】C
【詳解】對(duì)于①：因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 被7除所得余數(shù)為1，
所以 SKIPIF 1 < 0 被7除所得余數(shù)為2，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，正確；
對(duì)于②：若正整數(shù) SKIPIF 1 < 0 能被 SKIPIF 1 < 0 整除，則 SKIPIF 1 < 0 能被 SKIPIF 1 < 0 整除，
所以 SKIPIF 1 < 0 ；
若正整數(shù) SKIPIF 1 < 0 不能被 SKIPIF 1 < 0 整除，由費(fèi)馬小定理得： SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，正確；
對(duì)于③：若正整數(shù) SKIPIF 1 < 0 能被 SKIPIF 1 < 0 整除，則 SKIPIF 1 < 0 能被 SKIPIF 1 < 0 整除，
所以 SKIPIF 1 < 0 ；
若正整數(shù) SKIPIF 1 < 0 不能被 SKIPIF 1 < 0 整除，由費(fèi)馬小定理得： SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，正確；
對(duì)于④：由費(fèi)馬小定理得： SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，錯(cuò)誤.
故選：C
【例2】（2023高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知素?cái)?shù) SKIPIF 1 < 0 證明： SKIPIF 1 < 0 為整數(shù)，其中 SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】證明見解析
【詳解】證明：由Fermat小定理知 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 所以 SKIPIF 1 < 0 ．
又 SKIPIF 1 < 0 所以 SKIPIF 1 < 0 ．即 SKIPIF 1 < 0 ，于是 SKIPIF 1 < 0 ，從而 SKIPIF 1 < 0 ．即 SKIPIF 1 < 0
于是 SKIPIF 1 < 0 ．
下面只需要證明 SKIPIF 1 < 0 即可．
引理：設(shè) SKIPIF 1 < 0 是正整數(shù)，則 SKIPIF 1 < 0
回到原題， 注意到 SKIPIF 1 < 0 且均為素?cái)?shù)，所以 SKIPIF 1 < 0
于是 SKIPIF 1 < 0 ．即 SKIPIF 1 < 0 為整數(shù)．
【變式1】（23-24高三下·河北·開學(xué)考試）設(shè)a，b為非負(fù)整數(shù)，m為正整數(shù)，若a和b被m除得的余數(shù)相同，則稱a和b對(duì)模m同余，記為 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求證： SKIPIF 1 < 0 ；
(2)若p是素?cái)?shù)，n為不能被p整除的正整數(shù)，則 SKIPIF 1 < 0 ，這個(gè)定理稱之為費(fèi)馬小定理．應(yīng)用費(fèi)馬小定理解決下列問題：
①證明：對(duì)于任意整數(shù)x都有 SKIPIF 1 < 0 ；
②求方程 SKIPIF 1 < 0 的正整數(shù)解的個(gè)數(shù)．
【答案】(1)證明見詳解；
(2)① 證明見詳解；② 無(wú)數(shù)個(gè).
【詳解】（1）因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 被7除所得的余數(shù)為1，
所以 SKIPIF 1 < 0 被7除所得的余數(shù)為2，
又65被7除所得的余數(shù)為2，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
（2）①當(dāng) SKIPIF 1 < 0 能被13整除時(shí)， SKIPIF 1 < 0 可以被13整除即 SKIPIF 1 < 0 ；
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 不能被13整除時(shí)，由費(fèi)馬小定理得 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 ；
所以 SKIPIF 1 < 0 ；
又 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
同理： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 都為素?cái)?shù)， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0
②因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，
由整除的性質(zhì)及費(fèi)馬小定理知，對(duì)于任意正整數(shù) SKIPIF 1 < 0 都有 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 由整除的性質(zhì)及費(fèi)馬小定理知，對(duì)于任意正整數(shù) SKIPIF 1 < 0 都有 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
因?yàn)?和7互為質(zhì)數(shù)，所以對(duì)于任意的正整數(shù) SKIPIF 1 < 0 都有 SKIPIF 1 < 0
所以方程 SKIPIF 1 < 0 的正整數(shù)解的個(gè)數(shù)為無(wú)數(shù)個(gè).
【變式2】（2023高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 滿足 SKIPIF 1 < 0 .
(1)證明： SKIPIF 1 < 0 是正整數(shù)數(shù)列；
(2)是否存在 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ？并說明理由.
【答案】(1)證明見解析；
(2)不存在，理由見解析.
【詳解】（1）數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 滿足 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
有 SKIPIF 1 < 0 ，兩式相減得 SKIPIF 1 < 0 ，因此數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 為常數(shù)數(shù)列，
于是 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，因此 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 是正整數(shù)數(shù)列.
（2）因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，假設(shè)有 SKIPIF 1 < 0 ，則必有 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，由費(fèi)馬小定理得 SKIPIF 1 < 0 ，矛盾，
所以不存在 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 .
【題型六】 拉格朗日定理及威爾遜定理
【例1】（2024高三上·全國(guó)·專題練習(xí)）已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
(1)若 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 處取得極值，試求 SKIPIF 1 < 0 的值和 SKIPIF 1 < 0 的單調(diào)增區(qū)間；
(2)如圖所示，若函數(shù) SKIPIF 1 < 0 的圖象在 SKIPIF 1 < 0 連續(xù)光滑，試猜想拉格朗日中值定理：即一定存在 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，利用這條性質(zhì)證明：函數(shù) SKIPIF 1 < 0 圖象上任意兩點(diǎn)的連線斜率不小于 SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0
(2)證明見解析
【詳解】（1）因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，
依題意，有 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ．
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 上單調(diào)遞增，在 SKIPIF 1 < 0 上單調(diào)遞減，
所以 SKIPIF 1 < 0 滿足題意，同時(shí)， SKIPIF 1 < 0 的單調(diào)增區(qū)間為 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）猜想如下：
因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 表示的 SKIPIF 1 < 0 兩端點(diǎn)連線的斜率，
而由題可知， SKIPIF 1 < 0 上必然存在點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，使得其切線的斜率為 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以一定定存在 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ；
證明如下：
因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，
則 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ．
由猜想可知，對(duì)于函數(shù) SKIPIF 1 < 0 圖象上任意兩點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 之間一定存在一點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，故有 SKIPIF 1 < 0 .
【變式1】對(duì)于正整數(shù)n，記 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 的最大公因子為 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，則稱n是奇異的．證明：若n是奇異的，則 SKIPIF 1 < 0 也是奇異的．
【答案】證明見解析.
【詳解】記 SKIPIF 1 < 0 ，我們?nèi)稳?SKIPIF 1 < 0 的一個(gè)質(zhì)因子p．
若 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，這不可能，故 SKIPIF 1 < 0 ．
而 SKIPIF 1 < 0 ，知 SKIPIF 1 < 0 ，
這是因?yàn)槿?SKIPIF 1 < 0 有兩個(gè)質(zhì)因子（允許相同）p、q，則 SKIPIF 1 < 0 ，出現(xiàn)矛盾！
故 SKIPIF 1 < 0 ，且p為 SKIPIF 1 < 0 的最大質(zhì)因子．
（若否，則設(shè)q為 SKIPIF 1 < 0 的最大質(zhì)因子，則 SKIPIF 1 < 0 出現(xiàn)矛盾?。?br>故p為奇質(zhì)數(shù)（因 SKIPIF 1 < 0 為奇數(shù)），我們記 SKIPIF 1 < 0 知m與n同奇偶．
下面我們證明： SKIPIF 1 < 0 ．
由于 SKIPIF 1 < 0 ，
注意到 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 （威爾遜定理）．
又因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
而 SKIPIF 1 < 0 知： SKIPIF 1 < 0 ．
那么 SKIPIF 1 < 0 ，
即后者得證，這就說明 SKIPIF 1 < 0 也是奇異的．
【題型七】 平方數(shù)
【例1】（23-24高二上·遼寧·期末）已知 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 均為完全平方數(shù)，且 SKIPIF 1 < 0 的正整數(shù) SKIPIF 1 < 0 共有 （ ）個(gè)
A．1B．12
C．13D．以上都不對(duì)
【答案】A
【詳解】因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 均為完全平方數(shù)，
可設(shè) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 為方程 SKIPIF 1 < 0 的一組解，且方程有無(wú)窮多組解，
對(duì)于其中任意一組解 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 為被3整除的正奇數(shù)，
則 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
可得佩爾方程的通解為 SKIPIF 1 < 0 ，
由特征方程得其所對(duì)應(yīng)的遞推公式為 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以僅有 SKIPIF 1 < 0 時(shí)，滿足條件，此時(shí) SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 均為完全平方數(shù)，且 SKIPIF 1 < 0 的正整數(shù) SKIPIF 1 < 0 只有1個(gè).
故選：A.
【例2】（2024高三上·全國(guó)·競(jìng)賽）對(duì)于各數(shù)位均不為0的三位數(shù) SKIPIF 1 < 0 ，若兩位數(shù) SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 均為完全平方數(shù)，則稱 SKIPIF 1 < 0 具有“ SKIPIF 1 < 0 性質(zhì)”，則具有“ SKIPIF 1 < 0 性質(zhì)”的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】C
【詳解】因?yàn)槠椒绞莾晌粩?shù)的有： SKIPIF 1 < 0 ，
所以具有“ SKIPIF 1 < 0 性質(zhì)”的三位數(shù)有：164，364，649，816，
即具有“ SKIPIF 1 < 0 性質(zhì)”的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為4，
故選：C
【變式1】（2024高三上·全國(guó)·競(jìng)賽）設(shè)雙曲線Γ: SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，B，C在Γ上且直線 SKIPIF 1 < 0 經(jīng)過A.設(shè) SKIPIF 1 < 0 分別為Γ在B，C處的切線，點(diǎn)D滿足 SKIPIF 1 < 0 ，則D的軌跡方程是 ;若D的橫縱坐標(biāo)均為正整數(shù)，且二者之和大于2024，則D可以是 .(寫出1個(gè)即可).
【答案】 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 （答案不唯一）
【詳解】設(shè) SKIPIF 1 < 0 方程為: SKIPIF 1 < 0 ，聯(lián)立雙曲線方程 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
顯然 SKIPIF 1 < 0 上任意一點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 的切線斜率存在，不妨設(shè)切線方程為 SKIPIF 1 < 0 ，
聯(lián)立雙曲線方程得 SKIPIF 1 < 0 ，化簡(jiǎn)并整理得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 方程為: SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 方程為: SKIPIF 1 < 0 ，
聯(lián)立 SKIPIF 1 < 0 解得 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
注意到 SKIPIF 1 < 0
故 SKIPIF 1 < 0
而 SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 , 此時(shí) SKIPIF 1 < 0 , 故 SKIPIF 1 < 0 不在 D 的軌跡上.
從而 D 的軌跡方程是 SKIPIF 1 < 0
或?qū)懗?SKIPIF 1 < 0
若 D 的橫縱坐標(biāo)均為正整數(shù)，可設(shè) SKIPIF 1 < 0 從而 x 是 3的倍數(shù), 可設(shè) SKIPIF 1 < 0 ,
于是 SKIPIF 1 < 0 顯然 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的一組解, 同時(shí)注意到若 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的一組解: 則 SKIPIF 1 < 0 也是 SKIPIF 1 < 0 的一組解.
從而可以得出一系列 SKIPIF 1 < 0 的解: SKIPIF 1 < 0 ，
而 SKIPIF 1 < 0 ，故可取 SKIPIF 1 < 0 ,
此時(shí) SKIPIF 1 < 0 , 符合要求.
故答案為： SKIPIF 1 < 0 ； (627,1813)（答案不唯一）.
【變式2】（2023高三·全國(guó)·專題練習(xí)）求所有的正整數(shù) SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 為完全平方數(shù)．
【答案】 SKIPIF 1 < 0 ．
【詳解】 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 為偶數(shù)，可設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
（注意到 SKIPIF 1 < 0 不能太大，否則 SKIPIF 1 < 0 ，不為完全平方數(shù)）
即要求 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
用數(shù)學(xué)歸納法證明當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 不成立，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
逐一驗(yàn)證即可，
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 不是完全平方數(shù)；
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 ，此時(shí) SKIPIF 1 < 0 ；
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 不是完全平方數(shù)，此時(shí) SKIPIF 1 < 0 ；
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 ，
此時(shí)模4并不能否定它是完全平方數(shù)，所以我們?cè)俣嗉涌紤]幾個(gè)模，考慮3，5，7，9其中3沒有意義，如果都考慮到后任然排除不了，我們只能把它算出來了．（這里沒有考慮6，8，10這是因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 本身就是能被4整除的，所以模6和模3效果是一樣的），
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 排除不掉，但是 SKIPIF 1 < 0 不可能，
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，不可能，
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，不可能，
因此唯一符合題意的 SKIPIF 1 < 0 ．
【題型八】 高斯函數(shù)
【例1】（多選）（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）積性函數(shù) SKIPIF 1 < 0 指對(duì)于所有互質(zhì)的整數(shù) SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 有 SKIPIF 1 < 0 的數(shù)論函數(shù)．則以下數(shù)論函數(shù)是積性函數(shù)的有（ ）
A．高斯函數(shù) SKIPIF 1 < 0 表示不大于實(shí)數(shù) SKIPIF 1 < 0 的最大整數(shù)
B．最大公約數(shù)函數(shù) SKIPIF 1 < 0 表示正整數(shù) SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 的最大公約數(shù)（ SKIPIF 1 < 0 是常數(shù)）
C．冪次函數(shù) SKIPIF 1 < 0 表示正整數(shù) SKIPIF 1 < 0 質(zhì)因數(shù)分解后含 SKIPIF 1 < 0 的冪次數(shù)（ SKIPIF 1 < 0 是常數(shù)）
D．歐拉函數(shù) SKIPIF 1 < 0 表示小于正整數(shù) SKIPIF 1 < 0 的正整數(shù)中滿足與 SKIPIF 1 < 0 互質(zhì)的數(shù)的數(shù)目
【答案】ABD
【詳解】選項(xiàng)A：對(duì)于所有互質(zhì)的整數(shù) SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .則高斯函數(shù) SKIPIF 1 < 0 是積性函數(shù).判斷正確；
選項(xiàng)B：對(duì)于所有互質(zhì)的整數(shù) SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，有 SKIPIF 1 < 0 ，則最大公約數(shù)函數(shù) SKIPIF 1 < 0 是積性函數(shù).判斷正確；
選項(xiàng)C：互質(zhì)的整數(shù) SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，有 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 .判斷錯(cuò)誤；
選項(xiàng)D：對(duì)于所有互質(zhì)的整數(shù) SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，有 SKIPIF 1 < 0 ，則歐拉函數(shù) SKIPIF 1 < 0 是積性函數(shù).判斷正確.
故選：ABD
【例2】（2023高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，則數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 中整數(shù)項(xiàng)的個(gè)數(shù)為 ．
【答案】15
【詳解】 SKIPIF 1 < 0
要使 SKIPIF 1 < 0 為整數(shù)，必有 SKIPIF 1 < 0 均為整數(shù)，從而 SKIPIF 1 < 0 ，
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 均為非負(fù)整數(shù)，∴ SKIPIF 1 < 0 為整數(shù)，共有14個(gè)．
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 ，在 SKIPIF 1 < 0 中，
SKIPIF 1 < 0 中因數(shù) SKIPIF 1 < 0 的個(gè)數(shù)為 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 中因數(shù) SKIPIF 1 < 0 的個(gè)數(shù)為 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 中因數(shù) SKIPIF 1 < 0 的個(gè)數(shù)為 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 中因數(shù) SKIPIF 1 < 0 的個(gè)數(shù)為 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 是整數(shù)．
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 ，在 SKIPIF 1 < 0 中，
SKIPIF 1 < 0 中因數(shù) SKIPIF 1 < 0 的個(gè)數(shù)為 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 中因數(shù) SKIPIF 1 < 0 的個(gè)數(shù)為 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 中因數(shù) SKIPIF 1 < 0 的個(gè)數(shù)為 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 中因數(shù) SKIPIF 1 < 0 的個(gè)數(shù)為 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 不是整數(shù)．
因此，整數(shù)項(xiàng)的個(gè)數(shù)為 SKIPIF 1 < 0 個(gè)．
【變式1】（23-24高一下·湖北·階段練習(xí)）設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，我們常用 SKIPIF 1 < 0 來表示不超過 SKIPIF 1 < 0 的最大整數(shù).如： SKIPIF 1 < 0 .
(1)求證： SKIPIF 1 < 0 ；
(2)解方程： SKIPIF 1 < 0 ；
(3)已知 SKIPIF 1 < 0 ，若對(duì) SKIPIF 1 < 0 ，使不等式 SKIPIF 1 < 0 成立，求實(shí)數(shù) SKIPIF 1 < 0 的取值范圍.
【答案】(1)證明見解析
(2) SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .
(3) SKIPIF 1 < 0
【詳解】（1）設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，
若 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 .
若 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 .
綜上， SKIPIF 1 < 0 .
（2）因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
若 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 符合；
若 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，不符合 SKIPIF 1 < 0 ，均舍；
若 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 符合；
若 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 符合；
綜上， SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .
（3） SKIPIF 1 < 0 ,
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0
因?yàn)閷?duì) SKIPIF 1 < 0 ，使不等式 SKIPIF 1 < 0 成立，
故 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立，
故 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立，而 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立，
故 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立，
設(shè) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上均為增函數(shù)，故 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 為增函數(shù)，
故 SKIPIF 1 < 0 ，
設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，
設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，
則 SKIPIF 1 < 0 ，
而 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 為減函數(shù)，
故 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 .
【變式2】60支球隊(duì)兩兩比賽，且一定有勝負(fù)，每隊(duì)贏的概率均為0.5，設(shè)沒有兩隊(duì)贏相同場(chǎng)數(shù)的概率為 SKIPIF 1 < 0 ，其中p，q為互質(zhì)的正整數(shù)，則使得 SKIPIF 1 < 0 可整除p的最大正整數(shù)n是（ ）
A．1768B．1746C．1714D．1702
【答案】C
【分析】考慮用60個(gè)節(jié)點(diǎn)的有向完全圖表示比賽結(jié)果，則可得 SKIPIF 1 < 0
而 SKIPIF 1 < 0 中含有因子2的個(gè)數(shù)為
SKIPIF 1 < 0 （個(gè)），
因此所求的最大正整數(shù)為 SKIPIF 1 < 0 ．
故選：C
【題型九】不定方程
【例1】（2023高三·北京·競(jìng)賽）正整數(shù) SKIPIF 1 < 0 滿足： SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 的可能值有（ ）
A．0個(gè)B．3個(gè)C．4個(gè)D．無(wú)窮多個(gè)
【答案】B
【詳解】由對(duì)稱性，不妨 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 為正整數(shù)，故 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
若 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 為正整數(shù)， SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
故 SKIPIF 1 < 0 ，或 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)，對(duì)應(yīng)的 SKIPIF 1 < 0 的形式分別為： SKIPIF 1 < 0 ；
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)，對(duì)應(yīng)的 SKIPIF 1 < 0 的形式分別為： SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .
若 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 為正整數(shù)， SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
故 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 （舍，因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ）或 SKIPIF 1 < 0 （舍，因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ），
故 SKIPIF 1 < 0 ，當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)，對(duì)應(yīng)的 SKIPIF 1 < 0 的形式分別為： SKIPIF 1 < 0 ；
綜上， SKIPIF 1 < 0 的可能值有3個(gè)，
故選：B.
【例2】設(shè) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 均為正整數(shù)，則 SKIPIF 1 < 0 的最大值和最小值之差為（ ）
A．9B．15C．22D．前三個(gè)答案都不對(duì)
【答案】A
【詳解】由于 SKIPIF 1 < 0 是正整數(shù)，
因此 SKIPIF 1 < 0 是正整數(shù)．
接下來探索所有可能的解，不妨先假設(shè) SKIPIF 1 < 0 ．
顯然 SKIPIF 1 < 0 ，否則 SKIPIF 1 < 0 ，不符合題意．于是 SKIPIF 1 < 0 ．
情形一 SKIPIF 1 < 0 ．此時(shí) SKIPIF 1 < 0 ，否則 SKIPIF 1 < 0 ，不符合題意．
因此 SKIPIF 1 < 0 ，
于是 SKIPIF 1 < 0 不可能為正整數(shù)．
情形二 SKIPIF 1 < 0 ．此時(shí) SKIPIF 1 < 0 ，
于是 SKIPIF 1 < 0 ，因此 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ．
綜上所述，符合題意的解為 SKIPIF 1 < 0 ，
由排序不等式可知 SKIPIF 1 < 0 的最大值與最小值分別為38與29，故所求差為9．
故選：A
【變式1】（多選）（2023高三·北京·競(jìng)賽）已知 SKIPIF 1 < 0 是完全平方數(shù)，則（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 的取值有無(wú)數(shù)個(gè)B． SKIPIF 1 < 0 的最小值小于15
C． SKIPIF 1 < 0 為奇數(shù)D． SKIPIF 1 < 0
【答案】ABD
【詳解】
由題意可知 SKIPIF 1 < 0 ，
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 ，故B正確；
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 ，故C錯(cuò)誤.
又 SKIPIF 1 < 0 可整理可得 SKIPIF 1 < 0 ，
對(duì)于任意整數(shù) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，
而對(duì)任意的整數(shù) SKIPIF 1 < 0 ，設(shè) SKIPIF 1 < 0
則 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
若 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，
整理得到： SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 為3的倍數(shù)，設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，
則 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
但 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
而 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 不成立，
所以 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 ，故D成立.
取 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
下證： SKIPIF 1 < 0 均為正整數(shù).
證明：由二項(xiàng)式定理可得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 為4的倍數(shù)，
故 SKIPIF 1 < 0 為4的倍數(shù)，故 SKIPIF 1 < 0 為正整數(shù).
又 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 為正整數(shù)即 SKIPIF 1 < 0 為正整數(shù).
下面回到問題本身，
此時(shí) SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 的任意性可得 SKIPIF 1 < 0 有無(wú)窮多個(gè)，
故選：ABD
【變式2】（2023高三·北京·競(jìng)賽） SKIPIF 1 < 0 有幾個(gè)正實(shí)數(shù)解？
【答案】原方程有2個(gè)正實(shí)數(shù)解
【詳解】原式可以變形為 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，
容易知道 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上單調(diào)遞增，
且注意到 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
從而存在唯一的 SKIPIF 1 < 0 ，有 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上存在唯一零點(diǎn)，
綜上所述， SKIPIF 1 < 0 有2個(gè)正實(shí)數(shù)解： SKIPIF 1 < 0 ，1.概率預(yù)測(cè)
☆☆☆☆☆
題型預(yù)測(cè)
解答題☆☆☆☆☆
考向預(yù)測(cè)
初等數(shù)論