目錄
【高考預(yù)測(cè)】概率預(yù)測(cè)+題型預(yù)測(cè)+考向預(yù)測(cè)
【應(yīng)試秘籍】總結(jié)?？键c(diǎn)及應(yīng)對(duì)的策略
【誤區(qū)點(diǎn)撥】點(diǎn)撥常見的易錯(cuò)點(diǎn)
易錯(cuò)點(diǎn)：基本結(jié)論
【搶分通關(guān)】精選名校模擬題，講解通關(guān)策略
【題型一】圓錐曲線定義型
【題型二】 焦點(diǎn)弦與焦半徑型
【題型三】 定比分點(diǎn)
【題型四】 離心率綜合
【題型五】 雙曲線漸近線型
【題型六】 拋物線中的設(shè)點(diǎn)計(jì)算型
【題型七】 切線型
【題型八】 切點(diǎn)弦型
【題型九】 曲線軌跡型
圓錐曲線屬于高考難點(diǎn)，也是解析幾何的主要內(nèi)容，多出現(xiàn)在壓軸題的位置，考察的內(nèi)容和題型也偏多，需要學(xué)生對(duì)于基礎(chǔ)知識(shí)熟練掌握的基礎(chǔ)上還需要利用數(shù)形結(jié)合等的思想結(jié)合幾何和代數(shù)的方法來解決相應(yīng)問題。需要記憶的結(jié)論很多，所以相應(yīng)的推理方法也都必須要能夠理解，這里通過梳理題型來理解其中的含義和方法。
概率預(yù)測(cè)
☆☆☆☆☆
題型預(yù)測(cè)
選擇題、填空題☆☆☆☆☆
考向預(yù)測(cè)
圓錐曲線幾何原理
易錯(cuò)點(diǎn)：基本結(jié)論
1.利用橢圓的定義定形狀時(shí)，一定要注意常數(shù)2a>|F1F2|這一條件．
2.注意長(zhǎng)軸長(zhǎng)、短軸長(zhǎng)、焦距不是a,b,c,而應(yīng)是a,b,c的兩倍.
3.求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的基本方法是待定系數(shù)法，具體過程是先定形，再定量，即首先確定焦點(diǎn)所在位置，然后再根據(jù)條件建立關(guān)于a，b的方程組．如果焦點(diǎn)位置不確定，要考慮是否有兩解，有時(shí)為了解題方便，也可把橢圓方程設(shè)為mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)的形式．
例（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)雙曲線的一個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為，焦距為，則雙曲線的漸近線方程為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【詳解】雙曲線中，半焦距為，即，
又雙曲線一個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為，即，解得，
所以雙曲線的漸近線方程為．
故選：D．
變式1：（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)雙曲線，橢圓的離心率分別為，．若這4個(gè)焦點(diǎn)所形成的封閉圖形中最大的內(nèi)角為，則，分別為（ ）
A．，B．，C．，D．，
【答案】D
【詳解】
由題意可設(shè)雙曲線的左、右焦點(diǎn)為，，設(shè)橢圓的上、下焦點(diǎn)為，，記坐標(biāo)原點(diǎn)為，
因?yàn)檫@4個(gè)焦點(diǎn)所形成的封閉圖形中最大的內(nèi)角為，
由此可得，則，
所以．
所以，兩邊平方后即可求得，
，，
故分別為，．
故選：D．
變式2：（2024·江蘇揚(yáng)州·模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓的離心率為，則拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【詳解】因?yàn)闄E圓的離心率為，所以，解得，
則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，它的焦點(diǎn)坐標(biāo)為.
故選：D.
【題型一】圓錐曲線定義型
基本定義：
(1)橢圓定義：動(dòng)點(diǎn)P滿足：| PF1|＋| PF2|＝2a，|F1F2|＝2c且a> c (其中a>0，c0，且a，c為常數(shù))
(2)雙曲線定義：動(dòng)點(diǎn)P滿足：||PF1|－|PF2||＝2a，|F1F2|＝2c且a＜c (其中a，c為常數(shù)且a>0，c>0).
(3)拋物線定義：|PF|＝|PM|，點(diǎn)F不在直線l上，PM⊥l于M.
拓展定義：
1. A,B是橢圓C:+＝1 (a>0，b>0)上兩點(diǎn)，M為A,B中點(diǎn)，則（可用點(diǎn)差法快速證明）
2.A,B是雙曲線C:－＝1 (a>0，b>0)上兩點(diǎn)，M為A,B中點(diǎn)，則（可用點(diǎn)差法快速證明）

【例1】（2024·廣東深圳·二模）P是橢圓C：（）上一點(diǎn)，、是的兩個(gè)焦點(diǎn)，，點(diǎn)在的平分線上，為原點(diǎn)，，且．則的離心率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【詳解】如圖，設(shè)，，延長(zhǎng)交于A，
由題意知，O為的中點(diǎn)，故為中點(diǎn)，
又，即，則，
又由，則是等腰直角三角形，
故有，化簡(jiǎn)得，即，
代入得，
即，由所以，
所以，.
故選：C.
【例2】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）在直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)，，，動(dòng)點(diǎn)P滿足線段PE的中點(diǎn)在曲線上，則的最小值為（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】B
【詳解】設(shè)，則PE的中點(diǎn)坐標(biāo)為，代入，可得，
故動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是以F為焦點(diǎn)，直線l：為準(zhǔn)線的拋物線，
由于，故在拋物線內(nèi)部，
過點(diǎn)P作，垂足為Q，則，（拋物線的定義），
故當(dāng)且僅當(dāng)M，P，Q三點(diǎn)共線時(shí)，最小，即最小，
最小值為點(diǎn)M到直線l的距離，所以，
故選：B．
【例3】（多選）（2024·河南開封·三模）橢圓的焦點(diǎn)為，，上頂點(diǎn)為A，直線與C的另一個(gè)交點(diǎn)為B，若，則（ ）
A．C的焦距為2B．C的短軸長(zhǎng)為
C．C的離心率為D．的周長(zhǎng)為8
【答案】ABD
【詳解】由于，所以,
故，
因此，故，
所以橢圓，
對(duì)于A，焦距為，故A正確，
對(duì)于B，短軸長(zhǎng)為，B正確，
對(duì)于C，離心率為，C錯(cuò)誤，
對(duì)于D，的周長(zhǎng)為，D正確，
故選：ABD

【變式1】（2024·貴州安順·一模）已知橢圓的左?右焦點(diǎn)分別為為上一點(diǎn)，且，若，的外接圓面積是其內(nèi)切圓面積的25倍，則橢圓的離心率 ．
【答案】
【詳解】
根據(jù)已知條件有，有正弦定理面積公式有：
，又，
所以，
設(shè)的外接圓半徑為，內(nèi)切圓半徑為，
因?yàn)闉闄E圓上一點(diǎn)，則，又，
以的三邊為底，內(nèi)切圓半徑為高的三個(gè)三角形面積和等于面積，
所以，解得，
由正弦定理有：，解得，
又的外接圓面積是其內(nèi)切圓面積的25倍，即，即，
所以，即，
即，兩邊同除以，得，又，解得.
故答案為：
【變式2】（2024·上海奉賢·二模）點(diǎn)是棱長(zhǎng)為1的正方體棱上一點(diǎn)，則滿足的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為 ．
【答案】
【詳解】因?yàn)檎襟w的棱長(zhǎng)為1，所以，
又，
所以點(diǎn)是以為焦距，以為長(zhǎng)半軸，以為短半軸的橢球上的一點(diǎn)，且焦點(diǎn)分別為，
所以點(diǎn)是橢球與正方體棱的交點(diǎn)，在以為頂點(diǎn)的棱上，所以共有6個(gè)，
故答案為：6.
【變式3】（2023·河南焦作·模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線的左焦點(diǎn)為，為坐標(biāo)原點(diǎn)，，線段的垂直平分線與交于兩點(diǎn)，且與的一條漸近線交于第二象限的點(diǎn)，若，則的周長(zhǎng)為 .
【答案】/
【詳解】記的右焦點(diǎn)為，
由題意可知：雙曲線的一條漸近線為，可知點(diǎn)在的漸近線上，
且，即，
且，，則，
可知和均為等邊三角形，
則，即，
所以雙曲線的方程為.
不妨設(shè)A在上方，
則的周長(zhǎng)為，
又因?yàn)榈闹本€方程為，與雙曲線方程聯(lián)立得，
整理得，解得，
且，可知，所以的周長(zhǎng)為.
故答案為：.
【題型二】 焦點(diǎn)弦與焦半徑型
1.已知F是拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)P在拋物線上，則
2.若焦點(diǎn)弦的傾斜角為，則（橫放）若的傾斜角為，則（豎放）
【例1】已知A，B為橢圓上兩個(gè)不同的點(diǎn)，F(xiàn)為右焦點(diǎn)，，若線段AB的垂直平分線交x軸于點(diǎn)T，則 ．
【答案】
【詳解】取橢圓方程為，，直線方程為（橢圓右準(zhǔn)線），
橢圓上點(diǎn)，右焦點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)到直線的距離為d，
則
，
所以，
因?yàn)楸绢}橢圓離心率:，設(shè)
由焦半徑公式:得:,
即中點(diǎn)，，則垂直平分線斜率為
根據(jù)點(diǎn)在橢圓上，則有，，作差化簡(jiǎn)得，
則線段的垂直平分線方程為,代入得:
,即,則.
故答案為：.
【例2】已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，，拋物線的焦點(diǎn)為，設(shè)兩曲線的一個(gè)交點(diǎn)為，若，則橢圓的離心率為
A．B．C．D．
【答案】A
【詳解】由題意可知，則拋物線的方程為，
設(shè)不妨設(shè)在第一象限，且有數(shù)量積的投影可知，則，
由橢圓的焦半徑公式可知，
由拋物線的定義，
則，
所以，即，
解得.
故選：A.
【變式1】已知橢圓（）的焦點(diǎn)為，，若點(diǎn)在橢圓上，且滿足（其中為坐標(biāo)原點(diǎn)），則稱點(diǎn)為“”點(diǎn)，則橢圓上的“”點(diǎn)有個(gè)
A．B．C．D．
【答案】C
【詳解】設(shè)橢圓上的點(diǎn)，由焦半徑公式可知，
因?yàn)?，則有
，解得，
因此滿足條件的有四個(gè)點(diǎn)
故選：C．
【變式2】（多選）設(shè)，為橢圓：的兩個(gè)焦點(diǎn)，為上一點(diǎn)且在第一象限，為的內(nèi)心，且內(nèi)切圓半徑為1，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABD
【詳解】如下圖所示，設(shè)切點(diǎn)為，，，
對(duì)于A，由橢圓的方程知：，
由橢圓的定義可得：，
易知，所以，
所以，故A正確；
對(duì)于BCD，，
又因?yàn)?，解得：?br>又因?yàn)闉樯弦稽c(diǎn)且在第一象限，所以，解得：，故B正確；
從而，所以，
所以，而，所以，故C錯(cuò)誤；
從而，故D正確.
故選:ABD．
【變式3】已知拋物線的焦點(diǎn)為，為拋物線在第一象限內(nèi)的一點(diǎn)，拋物線在點(diǎn)處的切線與圓相切（切點(diǎn)為）且交軸于點(diǎn)，過點(diǎn)作圓的另一條（切點(diǎn)為）交軸于點(diǎn)，若，則的最小值為 ．
【答案】
【詳解】
由題：設(shè)，，
所以，，
設(shè)，，，
拋物線第一象限的函數(shù)解析式為，
所以，
中，由正弦定理：
，令，
當(dāng)時(shí)，取得等號(hào).
故答案為：
【題型三】 定比分點(diǎn)
1.過圓錐曲線的焦點(diǎn)F的弦AB與對(duì)稱軸（橢圓是長(zhǎng)軸，雙曲線是實(shí)軸）的夾角為
2.已知AB為拋物線的焦點(diǎn)弦，
【例1】（多選）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知F1，F(xiàn)2分別是橢圓的左，右焦點(diǎn)，點(diǎn)A，B是橢圓C上異于長(zhǎng)軸端點(diǎn)的兩點(diǎn)，且滿足，則（ ）
A．△ABF2的周長(zhǎng)為定值B．AB的長(zhǎng)度最小值為1
C．若AB⊥AF2，則λ=3D．λ的取值范圍是[1，5]
【答案】AC
【詳解】因?yàn)椋瑒t三點(diǎn)共線，周長(zhǎng)是定值，A對(duì)．
，B錯(cuò)．
∵，則，A在上、下頂點(diǎn)處，不妨設(shè)，則
解得或，，，，C對(duì)．
令
消x可得，
時(shí)，
時(shí)，∴，D錯(cuò)．
故選：AC.
【例2】（2022·浙江·模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓C的離心率，左右焦點(diǎn)分別為，P為橢圓C上一動(dòng)點(diǎn)，則的取值范圍為 .
【答案】
【詳解】設(shè)，，且得：.
故答案為：.
【變式1】（多選）（2024·甘肅蘭州·三模）已知拋物線的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l且與x軸交于點(diǎn)Q，P是l上一點(diǎn)，直線PF與拋物線交于M，N兩點(diǎn)，若，則（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABC
【詳解】對(duì)C:拋物線的焦點(diǎn)為，，準(zhǔn)線為，易知，則，C正確；
對(duì)D,設(shè),，,，，到準(zhǔn)線的距離分別為，，
由拋物線的定義可知，，于是
． ，則
直線的傾斜角為或，斜率為，因?yàn)?，故，D錯(cuò)誤；
對(duì)AB:,，
直線的方程為，
將，代入方程，并化簡(jiǎn)得，
，
于是．,故AB正確；
故選：ABC．
【變式2】已知橢圓的離心率為，過右焦點(diǎn)作傾斜角60°的直線交于，兩點(diǎn)（A在第一象限），則 .
【答案】
【詳解】因?yàn)殡x心率為，所以,
設(shè)直線的方程代入橢圓方程：
得：，又∵點(diǎn)在第一象限，故，
所以
【變式3】（2022·安徽馬鞍山·三模）雙曲線C：(，)的焦點(diǎn)為、，P在雙曲線右支上，且，為C的漸近線方程，若的面積為，則雙曲線C的焦距長(zhǎng)為 ．
【答案】
【詳解】∵C的漸近線方程是，∴C為等軸雙曲線，a=b，
∴．
設(shè)，則2a=3m-m=2m，即m=a，則，
設(shè)∠=θ，在△中，由余弦定理得，
，
即，化簡(jiǎn)可得，
∴，
∵，
，，，，．
故答案為：．
【題型四】 離心率綜合
解題時(shí)要把所給的幾何特征轉(zhuǎn)化為的關(guān)系式．求離心率的常用方法有：
（1）根據(jù)條件求得，利用或求解；
（2）根據(jù)條件得到關(guān)于的方程或不等式，利用將其化為關(guān)于的方程或不等式，然后解方程或不等式即可得到離心率或其范圍．
【例1】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)A，B，C為橢圓E：上三點(diǎn)，且，，直線BC與x軸交于點(diǎn)D，若，則E的離心率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【詳解】取BC的中點(diǎn)M，設(shè)，，，，則．
∵A，C在橢圓E上，∴，兩式相減，得，
即，
∴．
∵，∴，連接OM，則，
∴，∴，∴．
∵，∴，又，，
∴，得．
∴，∴，即，
∴E的離心率.
故選：D．
【例2】（2024·廣東佛山·二模）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)A，B在C上，且滿足，，則C的離心率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【詳解】如圖，由，得，取的中點(diǎn)M，
則四邊形為平行四邊形，，
于是，
則，解得，，
由橢圓定義知，又，，
由，得，即，
在和中，余弦定理得：，
即，整理得，
所以C的離心率為.故選：B
【變式1】（2024·四川德陽·三模）設(shè)是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P是C上異于實(shí)軸端點(diǎn)的任意一點(diǎn)，若則C的離心率為（ ）
A．B．C．3D．2
【答案】D
【詳解】令雙曲線的焦點(diǎn)，設(shè)，
則，即有，
，同理，
而，故，
因此，
即，所以雙曲線C的離心率.
故選：D
【變式2】（2024·四川遂寧·二模）已知，分別是雙曲線C：的左、右焦點(diǎn)，過的直線與圓相切，與C在第一象限交于點(diǎn)P，且軸，則C的離心率為（ ）
A．3B．C．2D．
【答案】D
【詳解】設(shè)圓心為，直線與圓相切于點(diǎn)，
則故，
由于，所以，故，
因此在，由，
故，即.
故選：D
【變式3】（2024·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，上頂點(diǎn)為，過作的垂線，與軸交于點(diǎn)，若，則橢圓的離心率為 ．
【答案】/0.5
【詳解】設(shè)，，，則直線的斜率為，直線的斜率為，
直線的方程為，
令，得，即，
因?yàn)?，所以?br>即，
解得．
故答案為：
【題型五】 雙曲線漸近線型
（1）焦點(diǎn)到漸近線的距離為b
（2）定點(diǎn)到漸近線的距離為
【例1】（2024·福建·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)雙曲線C其中一支的焦點(diǎn)為F，另一支的頂點(diǎn)為A，其兩漸近線分別為. 若點(diǎn)B在m上，且，則m與n的夾角的正切值為（ ）
A．B．C．2D．
【答案】B
【詳解】
記兩漸近線的交點(diǎn)為O，設(shè)，雙曲線實(shí)軸長(zhǎng)，焦距，
由雙曲線的定義得：，其漸近線方程為：，
由知，，所以，
因?yàn)?，知為的平分線，
記n交于點(diǎn)H，
因?yàn)闈u近線的性質(zhì)，有，
綜上，，則m與n的夾角的正切值為.
故選:B.
【例2】（2024·江蘇南通·模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線，直線. 雙曲線上的點(diǎn)到直線的距離最小，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【詳解】
由題意得直線與雙曲線無交點(diǎn)；
設(shè)直線的平行線，直曲聯(lián)立，
整理得：，
由直線與雙曲線相切知：，
解得，由圖形可知時(shí)，雙曲線上的點(diǎn)到直線的距離最小，
代入，即，解得.
故選：D.
【變式1】（2024·山西晉城·二模）已知雙曲線（，）的兩條漸近線均和圓相切，且雙曲線的左焦點(diǎn)為圓C的圓心，則該雙曲線的方程為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【詳解】因?yàn)閳A的圓心為，半徑，
又因?yàn)殡p曲線的一條漸近線為，即，
雙曲線的左焦點(diǎn)到漸近線的距離，
由題意可知：，可得，
所以該雙曲線的方程為.
故選：D.
【變式2】（2024·山東聊城·二模）已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，一條漸近線的方程為，若直線與在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)為，且軸，則的值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【詳解】因?yàn)殡p曲線的漸近線方程為，依題意有，
即，又右焦點(diǎn)為，且軸，所以，
所以，
故選：C.

【變式3】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線（，）的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)P為雙曲線右支上一點(diǎn)，交雙曲線的左支于點(diǎn)M，直線交雙曲線的右支于另一點(diǎn)N，若，，則該雙曲線的漸近線方程為 ．
【答案】
【詳解】由雙曲線的定義得，又，得．又，
所以，又，所以．
設(shè)，則，．
由，得，
即，得，因此．
在中，．
在中，由余弦定理得，得，
所以，得，所以該雙曲線的漸近線方程為．
故答案為：.

【題型六】 拋物線中的設(shè)點(diǎn)計(jì)算型
是拋物線的焦點(diǎn)弦，設(shè)，在準(zhǔn)線上的射影分別為，則：
（1）；
（2）；
（3）若傾斜角為，則；
（4）以為直徑的圓與準(zhǔn)線相切；
（5）；
（6）若是中點(diǎn)，則，；
（7）共線，共線；
（8）．
【例1】（2023·河南焦作·模擬預(yù)測(cè)）已知直線交曲線于，兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的上方），為的焦點(diǎn)，則（ ）
A．B．C．2D．
【答案】D
【詳解】聯(lián)立方程組，消元得，
設(shè)，，解得，，
易知過直線，根據(jù)拋物線的定義，
可得，，
所以.
故選：D.
【例2】（2024·北京順義·二模）已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，為上一點(diǎn)，直線與相交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn).若為的中點(diǎn)，則（ ）
A．4B．6C．D．8
【答案】B
【詳解】，準(zhǔn)線的方程為，
過點(diǎn)左，垂足為，
則，
因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，所以，
所以，所以，則，
根據(jù)拋物線的對(duì)稱性不妨設(shè)在第一象限，則，
則，
所以直線的方程為，
令，則，即，
所以.

故選：B.
【例3】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知點(diǎn)是拋物線上一點(diǎn)，直線與拋物線交于與不重合的兩點(diǎn)．若，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【詳解】
由點(diǎn)在拋物線上，得，解得，所以拋物線．
聯(lián)立拋物線方程與直線方程，得消去，整理得．
,
設(shè)，則．
由根與系數(shù)的關(guān)系，得，．
因?yàn)椋?br>所以，
即，
所以．
又點(diǎn)與點(diǎn)不重合，所以，
等式兩邊同時(shí)除以，得，
得，即，
所以．
故選：A．
【變式1】（2024·四川成都·三模）已知點(diǎn)分別是拋物線和直線上的動(dòng)點(diǎn)，若拋物線的焦點(diǎn)為，則的最小值為（ ）
A．3B．C．D．4
【答案】C
【詳解】設(shè)的坐標(biāo)為，則，拋物線的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為，
當(dāng)點(diǎn)在直線及右側(cè)，即時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)是與直線的交點(diǎn)時(shí)取等號(hào)，
此時(shí)，當(dāng)且僅時(shí)取等號(hào)，
當(dāng)點(diǎn)在直線左側(cè)，即時(shí)，點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)是，則，
，
當(dāng)且僅當(dāng)是與直線的交點(diǎn)，且時(shí)取等號(hào)，而，
所以的最小值為.
故選：C
【變式2】（2024·江蘇蘇州·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)橢圓的離心率等于，拋物線的焦點(diǎn)是橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)，A、B分別是橢圓的左右頂點(diǎn)．動(dòng)點(diǎn)P、Q為橢圓上異于A、B兩點(diǎn)，設(shè)直線、的斜率分別為，且．則（ ）
A．的斜率可能不存在，且不為0
B．點(diǎn)縱坐標(biāo)為
C．直線的斜率
D．直線過定點(diǎn)
【答案】D
【詳解】A選項(xiàng)，由題意得，故，
因?yàn)?，且，解得?br>故橢圓方程為，故，
若的斜率不存在，則重合，
因?yàn)閯?dòng)點(diǎn)P、Q為橢圓上異于A、B兩點(diǎn)，故A錯(cuò)誤；
B選項(xiàng)，因?yàn)閯?dòng)點(diǎn)P、Q為橢圓上異于A、B兩點(diǎn)，
所以直線的斜率存在且不為0，設(shè)直線，
聯(lián)立得，，
則，故，
故，B錯(cuò)誤；
C選項(xiàng)，直線，
聯(lián)立得，，
則，故，
則，
因?yàn)?，所以，?br>若，則，，
，，此時(shí)不與重合，兩者也不重合，滿足要求，C錯(cuò)誤；
D選項(xiàng)，若，此時(shí)，故直線與軸垂直，且過點(diǎn)；
若，
由于，，
故
，
故直線方程為，
令得.
故直線過定點(diǎn)，
綜上，直線過定點(diǎn)，D正確.
故選：D
【變式3】（2024·山東棗莊·一模）已知為拋物線的焦點(diǎn)，的三個(gè)頂點(diǎn)都在上，為的中點(diǎn)，且，則的最大值為（ ）
A．4B．5C．D．
【答案】B
【詳解】設(shè)、、，由可得，
由，為的中點(diǎn)，
則有，即，
即，故，
，
又，故，此時(shí)點(diǎn)在原點(diǎn).
故選：B.
【題型七】 切線型
1.橢圓：
若在橢圓上，則過的橢圓的切線方程是.
2.雙曲線：
若在雙曲線（a＞0,b＞0）上，則過的雙曲線的切線方程是.
3.點(diǎn)是拋物線上一點(diǎn)，則拋物線過點(diǎn)P的切線方程是：；
【例1】（2024·全國(guó)·一模）我國(guó)著名科幻作家劉慈欣的小說《三體Ⅱ·黑暗森林》中的“水滴”是三體文明使用新型材料-強(qiáng)互作用力（SIM）材料所制成的宇宙探測(cè)器，其外形與水滴相似，某科研小組研發(fā)的新材料
水滴角測(cè)試結(jié)果如圖所示（水滴角可看作液、固、氣三相交點(diǎn)處氣—液兩相界面的切線與液—固兩相交線所成的角），圓法和橢圓法是測(cè)量水滴角的常用方法，即將水滴軸截面看成圓或者橢圓（長(zhǎng)軸平行于液—固兩者的相交線，橢圓的短半軸長(zhǎng)小于圓的半徑）的一部分，設(shè)圖中用圓法和橢圓法測(cè)量所得水滴角分別為，，則（ ）
附：橢圓上一點(diǎn)處的切線方程為.
A．B．
C．D．和的大小關(guān)系無法確定
【答案】A
【詳解】由題意知，若將水滴軸截面看成圓的一部分，圓的半徑為，如圖所示，
則，解得，
所以，
若將水滴軸截面看成橢圓的一部分，設(shè)橢圓方程為，如圖所示，
則切點(diǎn)坐標(biāo)為，
則橢圓上一點(diǎn)的切線方程為，
所以橢圓的切線方程的斜率為，
將切點(diǎn)坐標(biāo)代入切線方程可得，解得，
所以，
又因?yàn)椋?br>所以，即，
所以.
故選：A.
【例2】（2023·浙江·模擬預(yù)測(cè)）費(fèi)馬原理是幾何光學(xué)中的重要原理，可以推導(dǎo)出圓錐曲線的一些光學(xué)性質(zhì)，如：點(diǎn)為橢圓（為焦點(diǎn)）上一點(diǎn)，則點(diǎn)處的切線平分外角.已知橢圓為坐標(biāo)原點(diǎn)，是點(diǎn)處的切線，過左焦點(diǎn)作的垂線，垂足為，則為（ ）
A．B．2C．3D．
【答案】A
【詳解】依題意可知直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，
代入得，
整理得，
由于直線和橢圓相切，則，
整理得，
所以直線的方程為，
對(duì)于橢圓，，所以，
所以直線的方程為，
由解得，所以.
故選：A

【變式1】（2023·陜西咸陽·模擬預(yù)測(cè)）已知圓與圓交點(diǎn)的軌跡為，過平面內(nèi)的點(diǎn)作軌跡的兩條互相垂直的切線，則點(diǎn)的軌跡方程為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【詳解】圓圓心，
圓圓心，
設(shè)兩圓交點(diǎn)為，則由題意知，，所以，
又由于，所以由橢圓定義知，交點(diǎn)是以、為焦點(diǎn)的橢圓，
且，，則，所以軌跡的方程為，

設(shè)點(diǎn)，當(dāng)切線斜率存在且不為時(shí)，設(shè)切線方程為：，
聯(lián)立，消得，
則，
即，由于，則由根與系數(shù)關(guān)系知，即．

當(dāng)切線斜率不存在或?yàn)闀r(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，，，，滿足方程，
故所求軌跡方程為．
故選：A．
【變式2】（2023·山東·模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線：，過直線：上的動(dòng)點(diǎn)可作的兩條切線，記切點(diǎn)為，則直線（ ）
A．斜率為2B．斜率為C．恒過點(diǎn)D．恒過點(diǎn)
【答案】D
【詳解】設(shè)，則，，
由于，故過點(diǎn)的切線方程為，
即，即，
同理可得過點(diǎn)的切線方程為，
設(shè)，過點(diǎn)的兩切線交于點(diǎn)，
故，整理得，
同理，整理得，
故直線的方程為，
斜率不為定值，AB錯(cuò)誤，當(dāng)時(shí)，，恒過點(diǎn)，C錯(cuò)誤，D正確.故選：D
【變式3】（2024·吉林白山·二模）阿基米德三角形由偉大的古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德提出，有著很多重要的應(yīng)用，如在化學(xué)中作為一種穩(wěn)定的幾何構(gòu)型，在平面設(shè)計(jì)中用于裝飾燈等.在圓倠曲線中，稱圓錐曲線的弦與過弦的端點(diǎn)的兩條切線所圍成的三角形叫做阿基米德三角形.已知拋物線的焦點(diǎn)為，頂點(diǎn)為，斜率為的直線過點(diǎn)且與拋物線交于兩點(diǎn)，若為阿基米德三角形，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【詳解】依題意，，設(shè)直線，聯(lián)立，
則，解得或，不妨設(shè)，
設(shè)直線方程為，聯(lián)立得，
，，
，
解得，
故直線的斜率，故直線，
同理可得直線的斜率，故直線，
聯(lián)立，解得，
即，則.
故選：C.
【題型八】 切點(diǎn)弦型
1.橢圓：
若在橢圓外 ，則過P作橢圓的兩條切線切點(diǎn)為P1、P2，則切點(diǎn)弦P1P2的直線方程是.
2.雙曲線：
若在雙曲線（a＞0,b＞0）外 ，則過P作雙曲線的兩條切線切點(diǎn)為P1、P2，則切點(diǎn)弦P1P2的直線方程是.
3.點(diǎn)是拋物線外一點(diǎn)，則拋物線過點(diǎn)P的切點(diǎn)弦方程是：；
【例1】已知直線與橢圓切于點(diǎn)，與圓交于點(diǎn)，圓在點(diǎn)處的切線交于點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則的面積的最大值為
A．B．2C．D．1
【答案】A
【詳解】設(shè)，，，由，，可得四點(diǎn)，，，共圓，
可得以為直徑的圓，方程為，
聯(lián)立圓，相減可得的方程為，
又與橢圓相切，可得過的切線方程為，即為，
由兩直線重合的條件可得，，
由于在橢圓上，可設(shè)，，，
即有，，
可得，
且，，
即有，
，當(dāng)即或或或時(shí)，
的面積取得最大值．
故選．

【例2】拋物線，過作拋物線的兩條切線，分別切拋物線于、兩點(diǎn)，則線段中點(diǎn)與軸的距離為（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【詳解】設(shè)過的拋物線的切線的斜率為，故切線方程為，
所以聯(lián)立方程得，
所以，解得，，
所以等價(jià)于，所以方程的解為
所以兩條切線的斜率分別為
設(shè)，，
所以線段中點(diǎn)與軸的距離為.
故選：C
【變式1】．拋物線的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，斜率為2的直線m與拋物線C切于一點(diǎn)A，與準(zhǔn)線l交于點(diǎn)B，則的面積為（ ）
A．15B．
C．D．
【答案】C
【詳解】設(shè)切點(diǎn)，則，，，可求切線為，
則由得，切線與軸的交點(diǎn)為，故.
故選：C
【變式2】已知拋物線C：，點(diǎn)M為直線上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)M作直線，與拋物線C分別切于點(diǎn)A，B，則（ ）
A．0B．1C．-1D．0或1
【答案】A
【詳解】由，得，則，
設(shè)，，所以，
得切線的方程為，即，
切線的方程為，即，
又兩條切線過切點(diǎn)，有、，
所以是方程即的兩實(shí)根，
得，
又，
所以
將代入上式，得.
故選：A
【題型九】 曲線軌跡型
求軌跡方程：
（1）直譯法：直接將條件翻譯成等式，整理化簡(jiǎn)后即得動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；
（2）定義法：如果能確定動(dòng)點(diǎn)的軌跡滿足某種已知曲線的定義，則可利用曲線的定義寫出方程；
（3）相關(guān)點(diǎn)法：用動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)、表示相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)、，然后代入點(diǎn)的坐標(biāo)所滿足的曲線方程，整理化簡(jiǎn)可得出動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；
（4）參數(shù)法：當(dāng)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)、之間的直接關(guān)系難以找到時(shí)，往往先尋找、與某一參數(shù)得到方程，即為動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；
（5）交軌法：將兩動(dòng)曲線方程中的參數(shù)消去，得到不含參數(shù)的方程，即為兩動(dòng)曲線交點(diǎn)的軌跡方程.
【例1】（2024·陜西咸陽·模擬預(yù)測(cè)）已知正方形的邊長(zhǎng)為2，是平面外一點(diǎn)，設(shè)直線與平面的夾角為，若，則的最大值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【詳解】由題意知，點(diǎn)為動(dòng)點(diǎn)，、為定點(diǎn)，，
由橢圓的定義知，點(diǎn)的軌跡是以、為焦點(diǎn)，為焦距，長(zhǎng)軸為的橢圓，
將此橢圓繞旋轉(zhuǎn)一周，得到一個(gè)橢球，即點(diǎn)的軌跡是一個(gè)橢球，
而橢球面為一個(gè)橢圓，由，
即，得，
設(shè)點(diǎn)在平面上的射影為，則，
又，且，
所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)最大，即取到最大值，
故選：B．
【例2】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知正四棱錐的體積為，底面的四個(gè)頂點(diǎn)在經(jīng)過球心的截面圓上，頂點(diǎn)在球的球面上，點(diǎn)為底面上一動(dòng)點(diǎn)，與所成角為，則點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【詳解】由題意，設(shè)球的半徑為．如圖所示，連接交于點(diǎn)，連接，則，，平面，所以，解得．
在中，因?yàn)?，，所以?br>因?yàn)檎叫蔚闹行牡礁鬟叺木嚯x為，所以點(diǎn)的軌跡為平面內(nèi)，以點(diǎn)為圓心，半徑的圓，故點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為．
故選:D．

【變式1】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）在三棱錐中，底面是等邊三角形，側(cè)面是等腰直角三角形，，是平面內(nèi)一點(diǎn)，且，若，則點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【詳解】如圖，取的中點(diǎn)，連接，易得，
又，平面，所以平面，
又，所以，，，
在中，，由余弦定理得，
作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，則，
又，平面，所以平面，
又平面，所以，
所以，所以，
在中，，則，
所以點(diǎn)的軌跡是以為圓心，為半徑的圓，
則點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為，
故選：C，
【變式2】（多選）（2024·湖南·二模）如圖，點(diǎn)是棱長(zhǎng)為2的正方體的表面上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，是線段的中點(diǎn)，則（ ）
A．若點(diǎn)滿足，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為
B．三棱錐體積的最大值為
C．當(dāng)直線與所成的角為時(shí)，點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為
D．當(dāng)在底面上運(yùn)動(dòng)，且滿足平面時(shí)，線段長(zhǎng)度最大值為
【答案】CD
【詳解】對(duì)于A，易知平面平面，故動(dòng)點(diǎn)的軌跡為矩形，
動(dòng)點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為矩形的周長(zhǎng)，即為，所以錯(cuò)誤；
對(duì)于B，因?yàn)?，而等邊的面積為定值，
要使三棱錐的體積最大，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)到平面的距離最大，
易知點(diǎn)是正方體到平面距離最大的點(diǎn)，
所以，此時(shí)三棱錐即為棱長(zhǎng)是的正四面體，
其高為，所以，B錯(cuò)誤；
對(duì)于C：連接AC，，以B為圓心，為半徑畫弧，如圖1所示，
當(dāng)點(diǎn)在線段和弧上時(shí)，直線與所成的角為，
又，
弧長(zhǎng)度，故點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為，故正確；
對(duì)于D，取的中點(diǎn)分別為，
連接，如圖2所示，
因?yàn)槠矫嫫矫?，故平面?br>，平面平面，故平面；
又平面，故平面平面；
又，
故平面與平面是同一個(gè)平面.
則點(diǎn)的軌跡為線段：
在三角形中，
則，
故三角形是以為直角的直角三角形；
故，故長(zhǎng)度的最大值為，故正確.
故選：.
【變式3】（2024·廣東梅州·二模）在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，定義、兩點(diǎn)之間的“直角距離”為．已知兩定點(diǎn)，，則滿足
的點(diǎn)M的軌跡所圍成的圖形面積為 ．
【答案】6
【詳解】設(shè)，由題意,,，
可知，
故當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)，，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
軌跡方程的圖形如圖，
圖形的面積為：．
故答案為：6．

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