熱點(diǎn)7-2 橢圓及其應(yīng)用（8題型+滿分技巧+限時(shí)檢測(cè)）-2025年高考數(shù)學(xué)熱點(diǎn)重點(diǎn)難點(diǎn)專題練習(xí)（新高考專用）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

橢圓是圓錐曲線中的重要內(nèi)容，是高考命題的重點(diǎn)?？荚囍兄饕疾闄E圓的概念性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，選擇、填空、解答題都會(huì)出現(xiàn)。與向量等知識(shí)結(jié)合綜合考查也是高考命題的一個(gè)趨勢(shì)，在突破重難點(diǎn)上要注意?；A(chǔ)、拔高、分層訓(xùn)練，更為重要的是掌握?qǐng)A錐曲線的解題的思想方法，才能做到靈活應(yīng)對(duì)。
【題型1 橢圓的定義及概念辨析】
【例1】（2021·高二課時(shí)練習(xí)）已知，是兩個(gè)定點(diǎn)，且（是正常數(shù)），動(dòng)點(diǎn)滿足，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡是（）
A．橢圓 B．線段 C．橢圓或線段 D．直線
【變式1-1】（2023·貴州黔東南·高三?？茧A段練習(xí)）已知點(diǎn)，是橢圓上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，，分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，若，則（）
A．1 B．2 C．4 D．5
【變式1-2】（2023·陜西西安·?？既＃┮阎獧E圓的兩焦點(diǎn)為，，為橢圓上一點(diǎn)且，則（）
A． B． C． D．
【變式1-3】（2023·江西南昌·高三南昌市第三中學(xué)?？茧A段練習(xí)）一動(dòng)圓與圓外切，與圓內(nèi)切，則動(dòng)圓圓心點(diǎn)的軌跡方程為（）
A． B．
C． D．
【變式1-4】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）點(diǎn)M在橢圓上，是橢圓的左焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，N是中點(diǎn)，且ON長(zhǎng)度是4，則的長(zhǎng)度是__________．
【題型2 利用定義求距離和差最值】
【例2】（2023·江西撫州·高三樂(lè)安縣第二中學(xué)?？计谥校┮阎菣E圓的左焦點(diǎn)，是橢圓上一動(dòng)點(diǎn)，若，則的最小值為（）
A． B． C． D．
【變式2-1】（2023·江蘇南通·統(tǒng)考三模）已知為橢圓：的右焦點(diǎn)，為上一點(diǎn)，為圓：上一點(diǎn)，則的最大值為（）
A．5 B．6 C． D．
【變式2-2】（2023·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知點(diǎn)P為橢圓上任意一點(diǎn)，點(diǎn)M、N分別為和上的點(diǎn)，則的最大值為（）
A．4 B．5 C．6 D．7
【變式2-3】（2022·全國(guó)·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）設(shè)，分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，P為橢圓上任一點(diǎn)，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為，則的取值范圍為（）
A． B． C． D．
【變式2-4】（2023·河北唐山·開(kāi)灤第二中學(xué)?？家荒＃┮阎獧E圓的左、右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)P在橢圓C上，且，則的最大值為 .
【題型3 橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求解】
【例3】（2022·湖北十堰·高三統(tǒng)考期末）已知曲線，則“”是“曲線C是橢圓”的（）
A．充要條件 B．充分不必要條件 C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件
【變式3-1】（2023·云南昆明·高三?？茧A段練習(xí)）已知方程表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）
A． B． C． D．
【變式3-2】（2023·黑龍江佳木斯·高三?？奸_(kāi)學(xué)考試）已知直線經(jīng)過(guò)焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上的橢圓的兩個(gè)頂點(diǎn)，則該橢圓的方程為（）
A． B． C． D．
【變式3-3】（2022·廣西桂林·高三?？茧A段練習(xí)）已知橢圓：右焦點(diǎn)為，其上下頂點(diǎn)分別為，，點(diǎn)，，則該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）
A． B． C． D．
【變式3-4】（2023·全國(guó)·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓的左頂點(diǎn)為A，上頂點(diǎn)為B，左、右焦點(diǎn)分別為，，延長(zhǎng)交橢圓E于點(diǎn)P．若點(diǎn)A到直線的距離為，的周長(zhǎng)為16，則橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）
A． B． C． D．
【題型4 橢圓的焦點(diǎn)三角形問(wèn)題】
【例4】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知是橢圓上的點(diǎn)，分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，若，則的面積為
【變式4-1】（2023·陜西漢中·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）設(shè)為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上，若，則 .
【變式4-2】（2023·浙江寧波·統(tǒng)考一模）設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，為橢圓的焦點(diǎn)，點(diǎn)在上，，則（）
A． B．0 C． D．
【變式4-3】（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓的上、下焦點(diǎn)分別為，短半軸長(zhǎng)為，離心率為，直線交該橢圓于兩點(diǎn)，且的周長(zhǎng)是的周長(zhǎng)的3倍，則的周長(zhǎng)為（）
A．6 B．5 C．7 D．9
【變式4-4】（2023·河北秦皇島·高三校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）已知是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)在上，若的離心率，則使為直角三角形的點(diǎn)有（）個(gè)
A．2 B．4 C．6 D．8
【題型5 求橢圓的離心率與范圍】
【例5】（2023·湖北·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知橢圓C：的左右焦點(diǎn)為，過(guò)的直線與交于兩點(diǎn)，若滿足成等差數(shù)列，且，則C的離心率為（）
A． B． C． D．
【變式5-1】（2023·浙江金華·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）己知為橢圓上一點(diǎn)，分別為其左右焦點(diǎn)，為其右頂點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)到直線的距離為，點(diǎn)到軸的距離為，若，且成等比數(shù)列，則橢圓的離心率為．
【變式5-2】（2023·湖南·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，經(jīng)過(guò)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，且，則橢圓的離心率為 .
【變式5-3】（2023·江蘇淮安·高三淮陰中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）設(shè)，分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，過(guò)作軸的垂線與橢圓交于，兩點(diǎn)，若為鈍角三角形，則離心率的取值范圍為（）
A． B． C． D．
【變式5-4】（2023·重慶·統(tǒng)考三模）已知，分別為橢圓的左右焦點(diǎn)，P是橢圓上一點(diǎn)，，，則橢圓離心率的取值范圍為．
【題型6 橢圓的中點(diǎn)弦問(wèn)題】
【例6】（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓C：的右焦點(diǎn)為F，斜率為2的直線與橢圓C交于點(diǎn)A，B，且，點(diǎn)D為線段AB的中點(diǎn)，則（）
A． B． C． D．
【變式6-1】（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓的右焦點(diǎn)為外的一點(diǎn)滿足（為坐標(biāo)原點(diǎn)），過(guò)點(diǎn)的直線與交于兩點(diǎn)，且，若直線的斜率之積為，則．
【變式6-2】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知橢圓C：，若橢圓C上有不同的兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是 .
【變式6-3】（2023·重慶·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓C：，圓O：，直線l與圓O相切于第一象限的點(diǎn)A，與橢圓C交于P，Q兩點(diǎn)，與x軸正半軸交于點(diǎn)B．若，則直線l的方程為．
【題型7 直線與橢圓相交弦長(zhǎng)求解】
【例7】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知橢圓的離心率為，焦距為，斜率為的直線l與橢圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則的最大值為 .
【變式7-1】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）過(guò)點(diǎn)的直線l與橢圓.交于A，B兩點(diǎn)，若的面積為（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求直線l的方程.
【變式7-2】（2023·江蘇徐州·高三統(tǒng)考期中）已知橢圓的離心率為，且過(guò)點(diǎn).
（1）求的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）過(guò)點(diǎn)的直線與交于兩點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求直線的方程.
【變式7-3】（2023·寧夏吳忠·高三青銅峽市高級(jí)中學(xué)校考階段練習(xí)）已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，離心率為，焦距為2．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）過(guò)橢圓的左焦點(diǎn)，且斜率為的直線交橢圓于A，兩點(diǎn)，求的面積．
【變式7-4】（2023·四川綿陽(yáng)·高三四川省綿陽(yáng)南山中學(xué)校考階段練習(xí)）設(shè)橢圓的左右頂點(diǎn)分別為，左右焦點(diǎn)．已知，．
（1）求橢圓方程．
（2）若斜率為1的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，與以為直徑的圓交于C，D兩點(diǎn)．若，求直線的方程．
【題型8 直線與橢圓綜合問(wèn)題】
【例8】（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知圓，圓，動(dòng)圓與圓和圓均相切，且一個(gè)內(nèi)切、一個(gè)外切．
（1）求動(dòng)圓圓心的軌跡的方程．
（2）已知點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線與軌跡交于兩點(diǎn)，記直線與直線的交點(diǎn)為．試問(wèn)：點(diǎn)是否在一條定直線上？若在，求出該定直線；若不在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【變式8-1】（2023·貴州·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)是橢圓上三個(gè)不同的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)不在軸上），滿足，且與的周長(zhǎng)的比值為．
（1）求橢圓的離心率；
（2）判斷是否為定值？若是，請(qǐng)求出定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【變式8-2】（2023·廣西南寧·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知平面上動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)與到圓的圓心的距離之和等于該圓的半徑.記的軌跡為曲線.
（1）說(shuō)明是什么曲線，并求的方程；
（2）設(shè)是上關(guān)于軸對(duì)稱的不同兩點(diǎn)，點(diǎn)在上，且異于兩點(diǎn)，為原點(diǎn)，直線交軸于點(diǎn)，直線交軸于點(diǎn)，試問(wèn)是否為定值?若為定值，求出這個(gè)定值；若不是定值，請(qǐng)說(shuō)明理由.
【變式8-3】（2023·湖南長(zhǎng)沙·湖南師大附中?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，橢圓，圓，橢圓C的左、右焦點(diǎn)分別為．
（1）過(guò)橢圓上一點(diǎn)P和原點(diǎn)O作直線l交圓O于M，N兩點(diǎn)，若，求的值；
（2）過(guò)圓O上任意點(diǎn)R引橢圓C的兩條切線，求證：兩條切線相互垂直．
【變式8-4】（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，是上異于左、右頂點(diǎn)的動(dòng)點(diǎn)，的最小值為2，且的離心率為．
（1）求橢圓的方程．
（2）若圓與的三邊都相切，判斷是否存在定點(diǎn)，，使為定值．若存在，求出點(diǎn)，的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
（建議用時(shí)：60分鐘）
1．（2023·山東泰安·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知橢圓的離心率為，則（）
A． B． C． D．
2．（2023·上海虹口·高三上外附中?？计谥校┤魴E圓與雙曲線有相同的焦點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a為（）
A．1 B． C． D．
3．（2023·陜西·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）設(shè)橢圓，的離心率分別為，，若，則（）
A．1 B．2 C． D．
4．（2023·吉林長(zhǎng)春·統(tǒng)考一模）橢圓上有兩點(diǎn)、，、分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，是以為中心的正三角形，則橢圓離心率為（）
A． B． C． D．
5．（2023·陜西·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知橢圓的兩條弦，相交于點(diǎn)（點(diǎn)在第一象限），且軸，軸.若，則（）
A．2 B． C． D．
6．（2023·廣東廣州·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）從橢圓上一點(diǎn)（在軸上方）向軸作垂線，垂足恰好為左焦點(diǎn)，是橢圓與軸正半軸的交點(diǎn)，是橢圓與軸正半軸的交點(diǎn)，且，其中為坐標(biāo)原點(diǎn)，則與的面積比為（）
A． B． C． D．
7．（2023·上海閔行·高三文來(lái)中學(xué)?？计谥校┰O(shè)，同時(shí)為橢圓：與雙曲線：的左、右焦點(diǎn)，設(shè)橢圓與雙曲線在第一象限內(nèi)交于點(diǎn)，橢圓與雙曲線的離心率分別為，，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，則的取值范圍是（）
A． B． C． D．
8．（2023·四川成都·高三石室中學(xué)?？计谥校┮阎獧E圓的左?右焦點(diǎn)分別為是橢圓在第一象限的任意一點(diǎn)，為的內(nèi)心，點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，則的最大值為（）
A． B． C． D．
9．（2023·山西大同·高二統(tǒng)考期中）（多選）已知曲線，則（）
A．當(dāng)時(shí)，是圓
B．當(dāng)時(shí)，是橢圓且一焦點(diǎn)為
C．當(dāng)時(shí)，是橢圓且焦距為
D．當(dāng)時(shí)，是焦點(diǎn)在軸上的橢圓
10．（2023·貴州貴陽(yáng)·高三貴陽(yáng)一中?？茧A段練習(xí)）（多選）已知橢圓的左?右焦點(diǎn)分別為，離心率為，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)在橢圓上，則（）
A．的最大值為3
B．的周長(zhǎng)為4
C．若，則的面積為
D．若，則
11．（2023·北京順義·高三牛欄山一中校考期中）已知方程表示橢圓，則實(shí)數(shù)的取值范圍
12．（2023·河南開(kāi)封·開(kāi)封高中校考模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓的左焦點(diǎn)為F，P是橢圓上一點(diǎn)，若點(diǎn)，則的最小值為．
13．（2023·河南鄭州·高三鄭州市宇華實(shí)驗(yàn)學(xué)校?？计谥校┮阎獧E圓的上、下焦點(diǎn)分別為，，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（1）若點(diǎn)P在橢圓C上，且，求的余弦值；
（2）若直線與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，記M為線段的中點(diǎn)，求直線的斜率．
14．（2023·山東·沂水縣第一中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，斜率不為0的直線過(guò)點(diǎn)，與橢圓交于兩點(diǎn)，當(dāng)直線垂直于軸時(shí)，，橢圓的離心率．
（1）求橢圓的方程；
（2）在軸上是否存在點(diǎn)，使得為定值？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
15．（2023·江蘇南通·模擬預(yù)測(cè)）已知圓，圓，動(dòng)圓P與圓M外切并且與圓N內(nèi)切，圓心P的軌跡為曲線C.
（1）求曲線C的方程；
（2）設(shè)不經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線l與曲線C相交于A，B兩點(diǎn)，直線QA與直線QB的斜率均存在且斜率之和為-2，證明：直線l過(guò)定點(diǎn).滿分技巧
在橢圓的定義中條件不能少，這是根據(jù)三角形中的兩邊之和大于第三邊得出來(lái)的．
否則：①當(dāng)時(shí)，其軌跡為線段； ②當(dāng)時(shí)，其軌跡不存在．
滿分技巧
利用橢圓定義求距離和差的最值的兩種方法：
（1）抓住|PF1|與|PF2|之和為定值，可聯(lián)系到利用基本不等式求|PF1|·|PF2|的最值；
（2）利用定義|PF1|＋|PF2|＝2a轉(zhuǎn)化或變形，借助三角形性質(zhì)求最值
滿分技巧
1、利用待定系數(shù)法求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的步驟
（1）定位：確定焦點(diǎn)在那個(gè)坐標(biāo)軸上；
（2）定量：依據(jù)條件及確定的值；
（3）寫(xiě)出標(biāo)準(zhǔn)方程；
2、求橢圓方程時(shí)，若沒(méi)有指明焦點(diǎn)位置，一般可設(shè)所求方程為；
3、當(dāng)橢圓過(guò)兩定點(diǎn)時(shí)，常設(shè)橢圓方程為，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入，解方程組求得系數(shù)。
滿分技巧
一般利用橢圓的定義、余弦定理和完全平方公式等知識(shí)，建立AF1+AF2，AF12+AF22，AF1AF2之間的關(guān)系，采用整體代入的方法解決焦點(diǎn)三角形的面積、周長(zhǎng)及角的有關(guān)問(wèn)題（）
性質(zhì)1：AF1+AF2=2a，BF1+BF2=2a.（兩個(gè)定義）
拓展：?AF1F2的周長(zhǎng)為AF1+AF1+F1F2=2a+2c
?ABF1的周長(zhǎng)為AF1+AF2+BF1+BF2=4a
性質(zhì)2：4c2=F1F22=AF12+AF22?2AF1AF2csθ（余弦定理）
滿分技巧
1、求橢圓離心率的3種方法
（1）直接求出a，c來(lái)求解e.通過(guò)已知條件列方程組，解出a，c的值．
（2）構(gòu)造a，c的齊次式，解出e.由已知條件得出關(guān)于a，c的二元齊次方程，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于離心率e的一元二次方程求解．
（3）通過(guò)取特殊值或特殊位置，求出離心率．
2、求橢圓離心率范圍的2種方法
（1）幾何法：利用橢圓的幾何性質(zhì)，設(shè)P(x0，y0)為橢圓eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)上一點(diǎn)，則|x0|≤a，a－c≤|PF1|≤a＋c等，建立不等關(guān)系，或者根據(jù)幾何圖形的臨界情況建立不等關(guān)系，適用于題設(shè)條件有明顯的幾何關(guān)系；
（2）直接法：根據(jù)題目中給出的條件或根據(jù)已知條件得出不等關(guān)系，直接轉(zhuǎn)化為含有a，b，c的不等關(guān)系式，適用于題設(shè)條件直接有不等關(guān)系。
滿分技巧
解決橢圓中點(diǎn)弦問(wèn)題的兩種方法：
1、根與系數(shù)關(guān)系法：聯(lián)立直線方程和橢圓方程構(gòu)成方程組，消去一個(gè)未知數(shù)，利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系以及中點(diǎn)坐標(biāo)公式解決；
2、點(diǎn)差法：利用交點(diǎn)在曲線上，坐標(biāo)滿足方程，將交點(diǎn)坐標(biāo)分別代入橢圓方程，然后作差，構(gòu)造出中點(diǎn)坐標(biāo)和斜率的關(guān)系，具體如下：直線(不平行于軸)過(guò)橢圓()上兩點(diǎn)、，其中中點(diǎn)為，則有。
證明：設(shè)、，則有，
上式減下式得，∴，
∴，∴。
特殊的：直線(存在斜率)過(guò)橢圓()上兩點(diǎn)、，線段中點(diǎn)為，
則有。
滿分技巧
求弦長(zhǎng)的兩種方法：
（1）交點(diǎn)法：將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，求出兩交點(diǎn)的坐標(biāo)，然后運(yùn)用兩點(diǎn)間的距離公式來(lái)求．
（2）根與系數(shù)的關(guān)系法：如果直線的斜率為k，被橢圓截得弦AB兩端點(diǎn)坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)，則弦長(zhǎng)公式為：

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