熱點(diǎn)7-4 拋物線及其應(yīng)用（6題型+滿分技巧+限時(shí)檢測(cè)）-2025年高考數(shù)學(xué)熱點(diǎn)重點(diǎn)難點(diǎn)專題練習(xí)（新高考專用）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

拋物線是高考數(shù)學(xué)的熱點(diǎn)問題，在高考中選擇題、填空題、解答題都曾出現(xiàn)過(guò)，屬于高頻考點(diǎn)。這部分內(nèi)容主要涉及標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何性質(zhì)、弦長(zhǎng)問題及面積問題等，解題思路和解題步驟相對(duì)固定，在沖刺階段的教學(xué)過(guò)程中盡量淡化解題技巧，強(qiáng)調(diào)通性通法，規(guī)范解題步驟。
【題型1 拋物線的定義及概念辨析】
【例1】（2023·廣東廣州·高三天河中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在拋物線上，且，則點(diǎn)到軸的距離為（）
A． B． C．2 D．1
【變式1-1】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）動(dòng)點(diǎn)P到直線的距離減去它到點(diǎn)的距離等于2，則點(diǎn)P的軌跡是（）
A．直線 B．圓 C．雙曲線 D．拋物線
【變式1-2】（2023·湖南長(zhǎng)沙·高三湖南師大附中?？茧A段練習(xí)）焦點(diǎn)為的拋物線的對(duì)稱軸與準(zhǔn)線交于點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線上且在第一象限，在中，，則直線的斜率為（）
A． B． C．1 D．
【變式1-3】（2023·安徽合肥·合肥一中?？寄M預(yù)測(cè)）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線C：的焦點(diǎn)，直線與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，若，則拋物線C的準(zhǔn)線方程為（）
A． B． C．或 D．或
【變式1-4】（2023·河南·校聯(lián)考二模）設(shè)F為拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)M在C上，點(diǎn)N在準(zhǔn)線l上，且平行于x軸，準(zhǔn)線l與x軸的交點(diǎn)為E，若，則梯形的面積為（）
A．12 B．6 C． D．
【題型2 利用定義求距離和差最值】
【例2】（2023·四川綿陽(yáng)·高三南山中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知點(diǎn)是拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)，且點(diǎn)為拋物線上任意一點(diǎn)，則的最小值為（）
A．7 B．6 C．5 D．4
【變式2-1】（2023·江西萍鄉(xiāng)·高三統(tǒng)考期末）點(diǎn)為拋物線上任意一點(diǎn)，點(diǎn)為圓上任意一點(diǎn)，為直線的定點(diǎn)，則的最小值為（）
A．2 B． C．3 D．
【變式2-2】（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線C：的焦點(diǎn)為F，，過(guò)點(diǎn)M作直線的垂線，垂足為Q，點(diǎn)P是拋物線C上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為．
【變式2-3】（2023·廣西·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線：的焦點(diǎn)為，圓：，點(diǎn)，分別為拋物線和圓上的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)到直線的距離為，則的最小值為（）
A．3 B．4 C．5 D．6
【變式2-4】（2023·湖北孝感·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）設(shè)P為拋物線C：上的動(dòng)點(diǎn)，關(guān)于P的對(duì)稱點(diǎn)為B，記P到直線的距離分別，，則的最小值為（）
A． B． C． D．
【題型3 拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的求解】
【例3】（2023·北京·北京四中?？寄M預(yù)測(cè)）已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，點(diǎn)是拋物線上一點(diǎn)，于.若，則拋物線的方程為（）
A． B． C． D．
【變式3-1】（2023·河北衡水·高二衡水市第二中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知拋物線：（）的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在上，且，若點(diǎn)的坐標(biāo)為，且，則的方程為（）
A．或 B．或
C．或 D．或
【變式3-2】（2023·上海楊浦·統(tǒng)考一模）已知拋物線的焦點(diǎn)為，第一象限的、兩點(diǎn)在拋物線上，且滿足，.若線段中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為4，則拋物線的方程為 .
【變式3-3】（2023·天津河?xùn)|·高三?？茧A段練習(xí)）點(diǎn)M為拋物線上點(diǎn)，拋物線焦點(diǎn)為F，過(guò)M作y軸垂線交y軸于N點(diǎn)，若是以為底邊的等腰三角形，且，則拋物線方程為 .
【變式3-4】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若點(diǎn)A，B在拋物線上，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，正三角形OAB的面積為，則該拋物線的方程是．
【題型4 拋物線的中點(diǎn)弦問題】
【例4】（2023·四川資陽(yáng)·統(tǒng)考三模）已知拋物線C：，過(guò)點(diǎn)的直線l與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，若，則直線l的斜率是（）
A． B．4 C． D．
【變式4-1】（2022·北京·高三北京二中?？茧A段練習(xí)）已知A，B是拋物線上的兩點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)為，則直線AB的方程為．
【變式4-2】（2023·貴州遵義·統(tǒng)考三模）已知拋物線上兩點(diǎn)A，B關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，則直線AB的斜率為 .
【變式4-3】（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）直線（是參數(shù)）與拋物線的相交弦是，則弦的中點(diǎn)軌跡方程是 .
【變式4-4】（2023·陜西漢中·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在拋物線上，且．
（1）求拋物線的方程；
（2）已知直線交拋物線于兩點(diǎn)，且點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，求直線的方程．
【題型5 拋物線的弦長(zhǎng)問題】
【例5】（2023·湖南長(zhǎng)沙·雅禮中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知拋物線的焦點(diǎn)為，過(guò)且斜率大于零的直線與及拋物線的公共點(diǎn)從右到左依次為點(diǎn)、、，則（）
A． B． C． D．
【變式5-1】（2023·江西景德鎮(zhèn)·統(tǒng)考一模）已知拋物線C：的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，過(guò)F的直線交拋物線C于A，B兩點(diǎn)，的中垂線分別交l與x軸于D，E兩點(diǎn)（D，E在的兩側(cè)）.若四邊形為菱形，則（）
A． B． C． D．2
【變式5-2】（2022·廣東深圳·高三深圳外國(guó)語(yǔ)學(xué)校?？茧A段練習(xí)）若直線l經(jīng)過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，與該拋物線交于A，B兩點(diǎn)，且線段AB的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為3，則線段AB的長(zhǎng)為 .
【變式5-3】（2022·四川內(nèi)江·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線：，坐標(biāo)原點(diǎn)為，焦點(diǎn)為，直線：.
（1）若直線與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)，求的值；
（2）過(guò)點(diǎn)作斜率為的直線交拋物線于,兩點(diǎn)，求的面積．
【變式5-4】（2023·湖南邵陽(yáng)·高三邵東市第三中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知拋物線的準(zhǔn)線方程是.
（1）求拋物線的方程；
（2）設(shè)直線與拋物線相交于，兩點(diǎn)，若，求實(shí)數(shù)k的值.
【題型6 直線與拋物線綜合應(yīng)用】
【例6】（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線的焦點(diǎn)為上任意一點(diǎn)到的距離與到點(diǎn)的距離之和的最小值為3．
（1）求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（2）已知過(guò)點(diǎn)且互相垂直的直線與分別交于點(diǎn)與點(diǎn)，線段與的中點(diǎn)分別為．若直線的斜率分別為，求的取值范圍．
【變式6-1】（2023·湖北·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知拋物線C：（）的準(zhǔn)線方程為．動(dòng)點(diǎn)P在上，過(guò)P作拋物線C的兩條切線，切點(diǎn)為M，N．
（1）求拋物線C的方程：
（2）當(dāng)面積的最大值時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）
【變式6-2】（2023·陜西西安·高三西安市第三中學(xué)校考期中）已知為拋物線的焦點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，為的準(zhǔn)線上的一點(diǎn)，直線的斜率為，的面積為4.
（1）求的方程；
（2）拋物線在軸上方一點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，過(guò)點(diǎn)作兩條傾斜角互補(bǔ)的直線，與曲線的另一個(gè)交點(diǎn)分別為、，求證：直線的斜率為定值.
【變式6-3】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知拋物線的準(zhǔn)線經(jīng)過(guò)點(diǎn) ．
（1）求拋物線C的方程．
（2）設(shè)O是原點(diǎn)，直線l恒過(guò)定點(diǎn)（1，0），且與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，直線與直線，分別交于點(diǎn)M，N，請(qǐng)問：是否存在以為直徑的圓經(jīng)過(guò)x軸上的兩個(gè)定點(diǎn)？若存在，求出兩個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【變式6-4】（2023·重慶·高三四川外國(guó)語(yǔ)大學(xué)附屬外國(guó)語(yǔ)學(xué)校?？计谥校┮阎獟佄锞€的焦點(diǎn)為，點(diǎn)是拋物線上一點(diǎn)，且.
（1）求拋物線C的方程；
（2）設(shè)直線l：，點(diǎn)B是l與y軸的交點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作與l平行的直線，過(guò)點(diǎn)A的動(dòng)直線與拋物線C相交于P，Q兩點(diǎn)，直線PB，QB分別交直線于點(diǎn)M，N，證明：．
（建議用時(shí)：60分鐘）
1．（2023·西藏拉薩·統(tǒng)考一模）已知拋物線：的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在拋物線上，且，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則（）
A． B． C．4 D．5
2．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線，直線與拋物線相交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)A為x軸上方一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作垂直于C的準(zhǔn)線于點(diǎn)D．若，則p的值為（）
A． B．1 C． D．2
3．（2023·浙江紹興·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知為拋物線上的一點(diǎn)，過(guò)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，，則的最小值是（）
A． B． C． D．
4．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)為拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)為上第四象限的點(diǎn)．若直線的方程為，則（）
A．6 B．4 C．3 D．2
5．（2023·江蘇徐州·高三統(tǒng)考期中）已知拋物線的焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)的直線與交于兩點(diǎn)，線段的垂直平分線與軸交于點(diǎn)，若，則的面積為（）
A． B． C． D．
6．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知焦點(diǎn)為的拋物線上有一點(diǎn)，準(zhǔn)線交軸于點(diǎn).若，則直線的斜率（）
A． B． C． D．
7．（2023·河南新鄉(xiāng)·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）已知直線l交拋物線于M，N兩點(diǎn)，且MN的中點(diǎn)為，則直線l的斜率為（）
A． B． C．3 D．
8．（2023·重慶·高三巴蜀中學(xué)?？茧A段練習(xí)）（多選）設(shè)拋物線C: 的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為. 點(diǎn)A，B是拋物線C上不同的兩點(diǎn)，且，則（）
A． B．以線段為直徑的圓必與準(zhǔn)線相切
C．線段的長(zhǎng)為定值 D．線段的中點(diǎn) E 到準(zhǔn)線的距離為定值
9．（2023·廣東佛山·高三?？茧A段練習(xí)）（多選）直線與拋物線相交于兩點(diǎn)，下列說(shuō)法正確的是（）
A．拋物線的準(zhǔn)線方程為 B．拋物線的焦點(diǎn)為
C．若為原點(diǎn)，則 D．若，則
10．（2023上·山東·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）（多選）已知拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為2，過(guò)軸上異于坐標(biāo)原點(diǎn)的任意一點(diǎn)作拋物線的一條切線，切點(diǎn)為，且直線的斜率存在，為坐標(biāo)原點(diǎn).則（）
A． B．當(dāng)線段的中點(diǎn)在拋物線上時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為
C． D．
11．（2023·天津北辰·高三統(tǒng)考期中）一條傾斜角為的直線經(jīng)過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，且該直線與圓相交于A，兩點(diǎn)，則．
12．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知點(diǎn)F(0，2)，過(guò)點(diǎn)且與y軸垂直的直線為，軸，交于點(diǎn)N，直線垂直平分FN，交于點(diǎn)M．則點(diǎn)M的軌跡方程為．
13．（2023上·北京·高三北京市八一中學(xué)?？奸_學(xué)考試）已知拋物線C的方程為，若傾斜角為銳角的直線l過(guò)拋物線的焦點(diǎn)F，與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，且，則直線l的傾斜角為．
14．（2023·湖南郴州·統(tǒng)考一模）已知點(diǎn)在拋物線上，為拋物線上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，不垂直軸，為焦點(diǎn)，且滿足.
（1）求的值，并證明：線段的垂直平分線過(guò)定點(diǎn)；
（2）設(shè)（1）中定點(diǎn)為，當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)，求直線的斜率.
15．（2023·貴州畢節(jié)·校考模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線的焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)的直線與拋物線交于兩點(diǎn)，點(diǎn)在第一象限，為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（1）設(shè)為拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，求的取值范圍；
（2）記的面積為的面積為，求的最小值．滿分技巧
1、利用拋物線的定義解決問題，應(yīng)靈活地進(jìn)行拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離與到準(zhǔn)線距離的等價(jià)轉(zhuǎn)化．即“看到準(zhǔn)線想到焦點(diǎn)，看到焦點(diǎn)想到準(zhǔn)線”．
2、注意靈活運(yùn)用拋物線上一點(diǎn)P(x，y)到焦點(diǎn)F的距離|PF|＝|x|＋eq \f(p,2)或|PF|＝|y|＋eq \f(p,2).
滿分技巧
與拋物線有關(guān)的最值問題的轉(zhuǎn)換方法
(1)將拋物線上的點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離轉(zhuǎn)化為該點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離，構(gòu)造出“兩點(diǎn)之間線段最短”，使問題得解．
(2)將拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為該點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，利用“與直線上所有點(diǎn)的連線中垂線段最短”原理解決．
滿分技巧
1、定義法：根據(jù)拋物線的定義，確定p的值(系數(shù)p是指焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離)，再結(jié)合焦點(diǎn)位置，求出拋物線方程．標(biāo)準(zhǔn)方程有四種形式，要注意選擇．
2、待定系數(shù)法
（1）根據(jù)拋物線焦點(diǎn)是在x軸上還是在y軸上，設(shè)出相應(yīng)形式的標(biāo)準(zhǔn)方程，然后根據(jù)條件確定關(guān)于p的方程，解出p，從而寫出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）當(dāng)焦點(diǎn)位置不確定時(shí)，有兩種方法解決．一種是分情況討論，注意要對(duì)四種形式的標(biāo)準(zhǔn)方程進(jìn)行討論，對(duì)于焦點(diǎn)在x軸上的拋物線，若開口方向不確定需分為y2＝－2px(p>0)和y2＝2px(p>0)兩種情況求解．
另一種是設(shè)成y2＝mx(m≠0)，若m>0，開口向右；若m

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