小題限時卷01（A組+B組+C組）
（模式：12+4 滿分：72分 限時：50分鐘）
一、填空題
1．已知全集，，則 .
【答案】
【分析】根據(jù)補集的定義求解即可.
【解析】全集，則，
故.
故答案為：
2．若復(fù)數(shù)，則其共軛復(fù)數(shù)的虛部為 .
【答案】
【分析】寫出共軛復(fù)數(shù)，再根據(jù)復(fù)數(shù)定義求解．
【解析】由已知，虛部為，
故答案為：．
3．不等式的解集為 .
【答案】
【分析】將原不等式轉(zhuǎn)化為，結(jié)合一元二次不等式的解法計算即可求解.
【解析】原不等式可變?yōu)椋?br>整理得，解得，
即原不等式的解集為.
故答案為：
4．已知向量，，則在方向上的數(shù)量投影是 .
【答案】
【分析】根據(jù)平面向量數(shù)量投影的定義計算即可.
【解析】由向量，，
則，，
又在方向上的數(shù)量投影為，
故答案為：.
5．函數(shù)的定義域是 .
【答案】
【分析】由真數(shù)大于零得不等式，轉(zhuǎn)化為一元二次不等式求解即可得到結(jié)果.
【解析】由得，，不等式解集為，
即函數(shù)定義域為.
故答案為：.
6．班級4名學(xué)生報名參加兩項區(qū)學(xué)科競賽，每人至少報一項，每項比賽參加的人數(shù)不限，則不同的報名結(jié)果有 種．（結(jié)果用具體數(shù)字表示）
【答案】
【分析】由分類計數(shù)原理、分步計數(shù)原理即可求解.
【解析】每名學(xué)生可報一項或兩項，所以有,
所以4名學(xué)生共有種.
故答案為：
7．某次數(shù)學(xué)練習(xí)中，學(xué)生成績X服從正態(tài)分布,若，則從參加這次考試的學(xué)生中任意選取3名學(xué)生，至少有2名學(xué)生的成績高于125的概率是 ．
【答案】
【分析】根據(jù)題意，結(jié)合正態(tài)分布曲線的對稱性，求得，設(shè)選中的學(xué)生的成績高于125分的人數(shù)為，結(jié)論重復(fù)試驗的概率計算公式，即可求解.
【解析】由題意，學(xué)生成績X服從正態(tài)分布，若，
則，
所以，
從參加這次考試的學(xué)生中任意選取3名學(xué)生，設(shè)選中的學(xué)生的成績高于125分的人數(shù)為，
可得變量，
所以至少有2名學(xué)生的成績高于125分的概率為.
故答案為：.
8．已知，且，則 ．
【答案】
【分析】由倍角公式化簡方程，解出，得的值.
【解析】已知，由倍角公式得，
由，，解得，則.
故答案為：.
9．已知拋物線的焦點為，準(zhǔn)線為，點在上，，則點的橫坐標(biāo)為 ．
【答案】
【分析】過點作于點，由拋物線定義以及三角函數(shù)可用含的橫坐標(biāo)的式子表示，注意到，由此即可列方程求解.
【解析】如圖所示：
過點作于點，
顯然拋物線的焦點為F1,0，準(zhǔn)線為，
由拋物線定義有，結(jié)合得，
而，
所以.
故答案為：.
10．對24小時內(nèi)降水在平地上的積水厚度進行如下定義：
小明用了一個圓錐形容器接了24小時的雨水，則這一天的雨水屬于等級 ．（只填入雨水等級所對應(yīng)的序號）
【答案】中雨
【分析】由圓錐的體積公式，求出雨水的體積，再除以圓的面積，即可求解.
【解析】設(shè)圓錐形容器中積水水面半徑為，則，解得，
所以積水厚度為，所以.
所以一天的雨水屬于中雨.
故答案為：中雨.
11．已知函數(shù)在區(qū)間上是嚴(yán)格減函數(shù)，則的取值范圍是 ．
【答案】
【分析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)函數(shù)的關(guān)系，將問題轉(zhuǎn)化為在恒成立，且不恒為0，求解即可．
【解析】因為函數(shù)在區(qū)間上是嚴(yán)格減函數(shù)，
所以在上恒成立，且不恒為0，
所以在恒成立，
設(shè)，，則，
令，解得或（舍去），
因為時，，時，，
所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，
又因為，，
所以當(dāng)時，，
所以，
故答案為：．
12．已知數(shù)列是等差數(shù)列，若，則數(shù)列的項數(shù)的最大值是 .
【答案】
【分析】構(gòu)造函數(shù)，則的圖像與直線至少有個公共點，確定，，得到，得到答案.
【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，構(gòu)造函數(shù)，
則的圖像與直線至少有個公共點，
橫坐標(biāo)分別為，，，，，
根據(jù)絕對值函數(shù)的性質(zhì)知：
當(dāng)為奇數(shù)時，函數(shù)圖像關(guān)于對稱，時有最小值，
此時最多有個交點，不滿足題意，
當(dāng)為偶數(shù)時，函數(shù)圖像在上是一條水平的線段，可以有個交點，
故，
且，
故，即，
，故，故.
故答案為：.
【點睛】關(guān)鍵點睛：本題考查了等差數(shù)列，數(shù)列的絕對值求和，意在考查學(xué)生的計算能力，轉(zhuǎn)化能力和綜合應(yīng)用能力，其中構(gòu)造函數(shù)，再根據(jù)其性質(zhì)得到是解題的關(guān)鍵.
二、單選題
13．在中，“”是“”的（ ）
A．充分非必要條件B．充要條件
C．必要非充分條件D．既非充分又非必要條件
【答案】B
【分析】利用正弦定理，結(jié)合充分條件、必要條件的定義判斷即得.
【解析】在中，令角所對邊分別為，
由正弦定理得，
所以“”是“”的充要條件.
故選：B
14．下列命題錯誤的是（ ）
A．兩個隨機變量的線性相關(guān)性越強，相關(guān)系數(shù)的絕對值越接近于1
B．設(shè)，若，，則
C．線性回歸直線一定經(jīng)過樣本點的中心
D．一個袋子中有100個大小相同的球，其中有40個黃球、60個白球，從中不放回地隨機摸出20個球作為樣本，用隨機變量X表示樣本中黃球的個數(shù)，則X服從二項分布，且
【答案】D
【分析】根據(jù)相關(guān)系數(shù)的表示意義、二項分布的有關(guān)性質(zhì)、線性回歸方程和超幾何分布的定義依次判斷選項即可.
【解析】A：兩個隨機變量的線性相關(guān)性越強，相關(guān)系數(shù)的絕對值越接近于1，故A正確；
B：由，得，解得，故B正確；
C：線性回歸直線一定經(jīng)過樣本點的中心，故C正確；
D：由于是不放回地隨機摸出20個球作為樣本，
所以由超幾何分布的定義知服從超幾何分布，得，故D錯誤；
故選：D
15．若直線垂直于以為直徑的圓所在的平面，為圓周上異于的一點，下列說法錯誤的是（ ）
A．B．
C．D．平面
【答案】A
【分析】根據(jù)條件，利用線面垂直的性質(zhì)定理和判定定理，對各選項分析判斷，即可求解.
【解析】因為直線垂直于以為直徑的圓所在的平面，
又面，所以，故選項C正確，
又，，面，所以平面，
又面，所以，故選項B和D正確，
對于選項A，若，又，面，
則面，又面，所以，與相矛盾
故選：A.
16．考慮這樣的等腰三角形：它的三個頂點都在橢圓上，且其中恰有兩個頂點為橢圓的頂點.關(guān)于這樣的等腰三角形有多少個，有兩個命題：命題①：滿足條件的三角形至少有12個.命題②：滿足條件的三角形最多有20個.關(guān)于這兩個命題的真假有如下判斷，正確的是（ ）
A．命題①正確；命題②錯誤.B．命題①錯誤；命題②正確.
C．命題①，②均正確.D．命題①，②均錯誤.
【答案】C
【分析】分別以橢圓頂點連線為等腰三角形的腰或底，進行分類討論，得到答案.
【解析】不妨設(shè)，
如圖1，連接，
當(dāng)為等腰三角形的底時，作的垂直平分線交橢圓于兩點，
連接，則為等腰三角形，滿足題意，

同理當(dāng)為等腰三角形的底時，
也可以各作出2個滿足要求的等腰三角形，共有8個；
如圖2，當(dāng)為等腰三角形的腰時，以為圓心，為半徑作圓，

則圓的方程為，
聯(lián)立，消得，
解得或，
當(dāng)時，，則交點有，
當(dāng)，即時，
則圓與橢圓相交于點，連接，
其中滿足要求，三個頂點均為橢圓頂點，不合題意，
同理當(dāng)為等腰三角形的腰時，
也可以各作出2個滿足要求的等腰三角形，共有8個；
當(dāng)，即時，
則圓與橢圓相交于點三點，
當(dāng)，即時，則圓與橢圓相交于點兩點，
綜上，當(dāng)為等腰三角形的腰時，符合題意的三角形的個數(shù)可能是個或個；
如圖3，以為圓心，為半徑作圓，此時圓與橢圓相交于點，

連接，此時為等腰三角形，滿足題意，共有2個，
如圖4，以為圓心，為半徑作圓，此時圓與橢圓相交于點，
連接，此時為等腰三角形，滿足題意，共有2個，

由橢圓性質(zhì)可知，為橢圓中的最長弦，所以不能作為等腰三角形的腰，
而作為底時，剛好等腰三角形的頂點為上頂點或下頂點，不合要求，
綜上所述，滿足要求的等腰三角形個數(shù)為或，
所以滿足條件的三角形至少有12個，最多有個，
所以命題①，②均正確.
故選：C.
【點睛】方法點睛：兩圓一線，是平面幾何中等腰三角形存在性問題的通用解法，這里以橢圓為背景進行考察，基本思路沒有變化，但要注意兩圓一線所得到的等腰三角形有不滿足要求的，要舍去.
一、填空題
1．已知集合，，則 ．
【答案】
【分析】找出集合A與集合B的公共元素，即可確定出交集．
【解析】因為集合，，
所以.
故答案為：.
2．在平面向量中，已知是單位向量，向量滿足，則的最大值為 .
【答案】
【分析】由可得，進而可得，再結(jié)合即可得即可.
【解析】因為，所以，
即，
又因為，
所以，
所以，解得，
故的最大值為4.
故答案為：4.
3．已知直線1過點，且它的一個法向量，則該直線的一般式方程為
【答案】
【分析】由直線的法向量可求得直線的斜率，再由點斜式方程可得解.
【解析】直線1的一個法向量，則該直線的斜率為12，直線過，
由點斜式得到直線方程為,化簡得到一般方程：.
故答案為：.
4．設(shè)等比數(shù)列的前項和為，若，，則 ．
【答案】
【分析】利用等比數(shù)列的性質(zhì)得，再利用等比數(shù)列的定義求得公比，進而求得，即可求解.
【解析】等比數(shù)列的前項和為，，，
，，
，
．
故答案為：．
5．函數(shù)的值域為 .
【答案】
【分析】根據(jù)函數(shù)的解析式求得函數(shù)的值域.
【解析】當(dāng)時，，
當(dāng)時，，
所以函數(shù)的值域為.
故答案為：
6．已知 ，則 的最大值為 ．
【答案】
【分析】先求出的最小值，再將化為，即可求得答案.
【解析】因為，
故，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，
所以，即的最大值是.
故答案為：.
7．在一次為期30天的博覽會上，主辦方統(tǒng)計了每天的參觀人數(shù)（單位：千人），并繪制了莖葉圖（如圖），其中“莖”表示十位，“葉”表示個位，則這組數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)是 .
【答案】50
【分析】分析可知這組數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)是第23位數(shù)，結(jié)合莖葉圖即可得結(jié)果.
【解析】因為，可知這組數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)是第23位數(shù)，
結(jié)合莖葉圖可知第23位數(shù)是50，所以這組數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)是50.
故答案為：50.
8．已知一個圓錐的高是2，側(cè)面展開圖是半圓，則它的側(cè)面積是 ．
【答案】/
【分析】設(shè)圓錐的底面半徑為，母線長為，根據(jù)側(cè)面展開圖是半圓解得，再由求出可得答案.
【解析】設(shè)圓錐的底面半徑為，母線長為，
則，解得，
又由，可得，，
所以圓錐的側(cè)面積是.
故答案為：.
9．隨機變量的概率分布密度函數(shù)，其圖象如圖所示，設(shè)，則圖中陰影部分的面積為 ．
【答案】0.35/
【分析】根據(jù)正態(tài)分布的對稱性即可求解.
【解析】由題意可知，則，
故圖中陰影部分的面積為．
故答案為：0.35.
10．在中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.若，， ，則的面積為 ．
【答案】3
【分析】利用余弦定理，結(jié)合已知求出，再利用三角形面積公式計算即得.
【解析】在中，由余弦定理，得，則，
于是，解得，
所以的面積為.
故答案為：3
11．已知函數(shù)，若函數(shù)在區(qū)間上恰有個零點，則所有可能的正整數(shù)的值組成的集合為 .
【答案】
【分析】化簡函數(shù)得，令，換元得，根據(jù)二次函數(shù)零點可得：原題意等價于在區(qū)間上恰有2024個零點，結(jié)合正弦函數(shù)的圖象性質(zhì)分析求解.
【解析】，
令，，可得，，
記的兩零點為、，
則，不妨設(shè)，
且，則，，，
可知（舍去），，
原題意等價于在區(qū)間上恰有2024個零點，
可知在和（為正整數(shù)）內(nèi)不同根的個數(shù)均為，
所以.
故答案為：.
12．若曲線的圖象上任意不同的兩點，，坐標(biāo)都滿足關(guān)系，則在①；②；③；④中，不可能是曲線的方程的序號為 （填上所有正確答案的序號）.
【答案】①②
【分析】由將兩邊平方可得，即可得到恒成立，利用特殊值判斷①②，根據(jù)雙曲線的性質(zhì)判斷③④.
【解析】因為Mx1,y1，Nx2,y2，
所以，，則，
由，
所以，
即，
所以
所以，
所以，
依題意可得恒成立，
對于①：，取，不為時，此時恒有，故①錯誤；
對于②：，取，不為時，此時恒有，故②錯誤；
對于③：，由對勾函數(shù)的性質(zhì)可知，函數(shù)在0,1，上單調(diào)遞減，
在1,+∞，上單調(diào)遞增，
且當(dāng)時，當(dāng)時，
函數(shù)圖象如下所示：
當(dāng)、在同一支時，顯然，所以；
當(dāng)、在不同支時，顯然，所以；
綜上可得恒成立，故③正確；
對于④：，雙曲線的漸近線方程為，設(shè)直線的傾斜角為，
則，所以，所以，
即兩漸近線的夾角小于，
所以當(dāng)、在雙曲線的同一支時，，所以；
當(dāng)、在雙曲線的不同支時，顯然，所以；
綜上可得恒成立，故④正確；
故不可能是曲線的方程的序號為①②.
故答案為：①②
【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題解答的關(guān)鍵是推導(dǎo)出，從而得到.
二、單選題
13．下列函數(shù)是偶函數(shù)的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義判斷即可．
【解析】選項A，令，定義域為，
且，即為奇函數(shù)，
選項B，令，定義域為，，
即為奇函數(shù)；
選項C，令，，，
故不是偶函數(shù)；
選項D，，定義域為，且，則為偶函數(shù)，
故選：D．
14．已知兩條不同的直線m，n，兩個不同的平面，，則（ ）
A．若∥，，，則∥
B．若，，，則
C．若，，則∥
D．若，，∥，則∥
【答案】D
【分析】對于A，由題意可得m，n可能平行，也可能異面，即可判斷；對于B，由題意可得能有，也可能有∥，也可能平面，相交，即可判斷；對于C，由題意可得有可能是∥，也可能，即可判斷；對于D，根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理即可判斷.
【解析】解：對于A，若∥，，，則m，n可能平行，也可能異面，故A錯誤；
對于B，若，，，則可能有，也可能有∥，也可能平面，相交，故B錯誤；
對于C，若，，則有可能是∥，也可能，故C錯誤，
對于D，根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理可知若，，∥，則∥，故D正確，
故選：D.
15．拋擲三枚硬幣，若記“出現(xiàn)三個正面”、“兩個正面一個反面”和“兩個反面一個正面”分別為事件A、B和C，則下列說法錯誤的是（ ）
A．事件A、B和C兩兩互斥B．
C．事件A與事件是對立事件D．事件與相互獨立
【答案】C
【分析】利用互斥事件的定義判斷A，；利用互斥事件概率加法公式求解判斷B；利用對立事件的定義判斷C；利用相互獨立事件判斷D.
【解析】拋擲三枚硬幣，樣本空間(正,正,正),(正,正,反),(正,反,正),(反,正,正),
(正,反,反),(反,正,反),(反,反,正),(反,反,反)，共8個樣本點，
事件(正,正,正)，(正,正,反),(正,反,正),(反,正,正)，(正,反,反),(反,正,反),(反,反,正)，
對于A，事件中任何兩個事件都不能同時發(fā)生，事件兩兩互斥，A正確；
對于B，，B正確；
對于C，事件與可以同時不發(fā)生，事件A與事件不是對立事件，C錯誤；
對于D，，，
，則事件，相互獨立，D正確.
故選：C
16．設(shè)函數(shù)在區(qū)間I上有導(dǎo)函數(shù)，且在區(qū)間I上恒成立，對任意的，有．對于各項均不相同的數(shù)列，，，下列結(jié)論正確的是（ ）
A．?dāng)?shù)列與均是嚴(yán)格增數(shù)列
B．?dāng)?shù)列與均是嚴(yán)格減數(shù)列
C．?dāng)?shù)列與中的一個是嚴(yán)格增數(shù)列，另一個是嚴(yán)格減數(shù)列
D．?dāng)?shù)列與均既不是嚴(yán)格增數(shù)列也不是嚴(yán)格減數(shù)列
【答案】C
【分析】由條件易知函數(shù)y=fx在I上嚴(yán)格遞減，構(gòu)造，因數(shù)列的各項均不相同，由的大小比較，利用函數(shù)單調(diào)性可得的大小關(guān)系，即得結(jié)論.
【解析】依題意，因f'x

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