熱點(diǎn)8-2 概率與統(tǒng)計(jì)綜合（10題型+滿分技巧+限時檢測）-2025年高考數(shù)學(xué)熱點(diǎn)重點(diǎn)難點(diǎn)專題練習(xí)（新高考專用）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

概率統(tǒng)計(jì)專題相關(guān)的知識點(diǎn)錯綜復(fù)雜又環(huán)環(huán)相扣，在高考考查中一般情況會對多個知識點(diǎn)進(jìn)行綜合考查。題量通常為“兩小一大”，有時也“三小一大”或“一小一大”；選擇題、填空題考查全面，解答題重點(diǎn)考查概率統(tǒng)計(jì)主干知識，以圖表信息、古典概型、常見概率分布，回歸分析，獨(dú)立性檢驗(yàn)、樣本估計(jì)總體、分布列和數(shù)學(xué)期望為主要考查內(nèi)容，關(guān)注學(xué)科知識的綜合性，常與分段函數(shù)、二次函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、數(shù)列、最值問題等相結(jié)合進(jìn)行綜合考查。
【題型1 古典概型的計(jì)算】
【例1】（2024·四川·校聯(lián)考一模）一次課外活動中，某班60名同學(xué)均參加了羽毛球或乒乓球運(yùn)動，其中37人參加了羽毛球運(yùn)動，38人參加了乒乓球運(yùn)動．若從該班隨機(jī)抽取一名同學(xué)，則該同學(xué)既參加了羽毛球運(yùn)動又參加了乒乓球運(yùn)動的概率為（）．
A． B． C． D．
【變式1-1】（2024·湖南岳陽·高三岳陽一中?？奸_學(xué)考試）四位同學(xué)乘同一列火車，火車有10節(jié)車廂，則至少有兩位同學(xué)上了同一節(jié)車廂的概率為（）
A． B． C． D．
【變式1-2】（2024·江蘇徐州·高三?？奸_學(xué)考試）今年暑期，《八角籠中》、《長安三萬里》、《封神榜》、《孤注一擲》引爆了電影市場，小明和他的同學(xué)一行四人決定去看這四部電影，若小明要看《長安三萬里》，則恰有兩人看同一部影片的概率為（）
A． B． C． D．
【變式1-3】（2022·河南·高三專題練習(xí)）“天問一號”中的天問是中國行星探測任務(wù)的名稱，它的名字起源于屈原的《天問》，想要表達(dá)的是中華民族對追求真理的執(zhí)著，對科技創(chuàng)新的不懈．中國行星探測任務(wù)被命名為“天問系列”是在2020年4月24日，首次火星探測任務(wù)的探測器則被命名為“天問一號”．2020年7月23日，中午12時41分，長征五號遙四運(yùn)載火箭托舉著我國首次火星探測任務(wù)“天問一號”探測器，在中國文昌航天發(fā)射場點(diǎn)火升空．若從“天，問，一，號”，這4個字中任取一個字，再從“4，24，7，23”這4個數(shù)字中任取2個數(shù)字，組成一個“系列組”，則該“系列組”中包含“天問一號”命名時間“4，24”或發(fā)射時間“7，23”的概率為（）
A． B． C． D．
【變式1-4】（2024·廣東·高三統(tǒng)考期末）《易·系辭上》有“河出圖，洛出書”之說，河圖、洛書是中華文化，陰陽術(shù)數(shù)之源，其中河圖排列結(jié)構(gòu)是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中.如圖，白點(diǎn)為陽數(shù)，黑點(diǎn)為陰數(shù).若從這10個數(shù)中任取3個數(shù)，已知3個數(shù)中至多有1個陰數(shù)，則取出的3個數(shù)之和是5的倍數(shù)的概率是（）
A． B． C． D．
【題型2 隨機(jī)抽樣與計(jì)算】
【例2】（2024·重慶·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）①植物根據(jù)植株的高度及分枝部位等可以分為喬木、灌木和草木三大類，某植物園需要對其園中的不同植物的干重（烘干后測定的質(zhì)量）進(jìn)行測量；②檢測員擬對一批新生產(chǎn)的1000箱牛奶抽取10箱進(jìn)行質(zhì)量檢測；上述兩項(xiàng)調(diào)查應(yīng)采用的抽樣方法是（）
A．①用簡單隨機(jī)抽樣，②用分層隨機(jī)抽樣 B．①用簡單隨機(jī)抽樣，②用簡單隨機(jī)抽樣
C．①用分層隨機(jī)抽樣，②用簡單隨機(jī)抽樣 D．①用分層隨機(jī)抽樣，②用分層隨機(jī)抽樣
【變式2-1】（2024·青海西寧·高三統(tǒng)考期末）用分層抽樣的方法從某社區(qū)的500名男居民和700名女居民中選取12人參與社區(qū)服務(wù)滿意度調(diào)研，則女居民比男居民多選?。? ）
A．8人 B．6人 C．4人 D．2人
【變式2-2】（2024·湖南長沙·長郡中學(xué)?？家荒＃榱肆私鈱W(xué)生們的身體狀況，某學(xué)校決定采用分層抽樣的方法，從高一?高二?高三三個年級共抽取100人進(jìn)行各項(xiàng)指標(biāo)測試.已知高三年級有500人，高二年級有700人，高一年級有800人，則高三年級抽取的人數(shù)為（）
A．30 B．25 C．20 D．15
【變式2-3】（2023·廣西·高三南寧三中校聯(lián)考階段練習(xí)）北京時間2023年10月31日8時11分，神舟十六號載人飛船返回艙在東風(fēng)著陸場成功著陸，載人飛行任務(wù)取得圓滿成功．某高中學(xué)校在有120名同學(xué)的“航天”社團(tuán)中隨機(jī)抽取24名參加一個交流會，若按社團(tuán)中高一、高二、高三年級的成員人數(shù)比例分層隨機(jī)抽樣，則高一年級抽取6人，若按性別比例分層隨機(jī)抽樣，則女生抽取15人，則下列結(jié)論錯誤的是（）
A．24是樣本容量
B．120名社團(tuán)成員中男生有50人
C．高二與高三年級的社團(tuán)成員共有90人
D．高一年級的社團(tuán)成員中女生最多有30人
【變式2-4】（2024·陜西·校聯(lián)考一模）我校高三年級為了學(xué)生某項(xiàng)身體指標(biāo)，利用隨機(jī)數(shù)表對650名學(xué)生進(jìn)行抽樣，先將650進(jìn)行編號，001，002，，649，650．從中抽取50個樣本，下圖提供隨機(jī)數(shù)表的第4行到第6行，若從表中第5行第6列開始向右讀取數(shù)據(jù)，則得到的第7個樣本編號是（）
32 21 18 34 29 78 64 54 07 32 52 42 06 44 38 12 23 43 56 77 35 78 90 56 42
84 42 12 53 31 34 57 86 07 36 25 30 07 32 86 23 45 78 89 07 23 68 96 08 04
32 56 78 08 43 67 89 53 55 77 34 89 94 83 75 22 53 55 78 32 45 77 89 23 45
A．623 B．328 C．072 D．457
【題型3 用樣本估計(jì)總體】
【例3】（2024·江蘇蘇州·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）歌唱比賽共有 11位評委分別給出某選手的原始評分，評定該選手的成績時，從11個原始評分中去掉1個最高分、1個最低分，得到9個有效評分. 9個有效評分與 11個原始評分相比，一定不變的數(shù)字特征是（）
A．平均數(shù) B．極差 C．方差 D．中位數(shù)
【變式3-1】（2024·安徽合肥·合肥一六八中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知數(shù)據(jù)，，…，的平均數(shù)和方差分別為4，10，那么數(shù)據(jù)，，…，的平均數(shù)和方差分別為（）
A．， B．1， C．， D．，
【變式3-2】（2024·湖南長沙·長沙一中校聯(lián)考模擬預(yù)測）現(xiàn)有隨機(jī)選出的20個數(shù)據(jù)，統(tǒng)計(jì)如下，則（）
7 24 39 54 61 66 73 82 82 82
87 91 95 8 98 102 102 108 114 120
A．該組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為102 B．該組數(shù)據(jù)的極差為112
C．該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為87 D．該組數(shù)據(jù)的80%分位數(shù)為102
【變式3-3】（2024·陜西西安·統(tǒng)考一模）某班學(xué)生每天完成數(shù)學(xué)作業(yè)所需的時間的頻率分布直方圖如圖，為響應(yīng)國家減負(fù)政策，若每天作業(yè)布置量在此基礎(chǔ)上減少5分鐘，則減負(fù)后完成作業(yè)的時間的中位數(shù)為（）
A．25 B．30 C．35 D．40
【變式3-4】（2024·四川·高三西充中學(xué)校聯(lián)考期末）下圖是2023年11月中國的10個城市地鐵運(yùn)營里程（單位：公里）及運(yùn)營線路條數(shù)的統(tǒng)計(jì)圖，下列判斷正確的是（）

A．這10個城市中北京的地鐵運(yùn)營里程最長且運(yùn)營線路條數(shù)最多
B．這10個城市地鐵運(yùn)營里程的中位數(shù)是516公里
C．這10個城市地鐵運(yùn)營線路條數(shù)的平均數(shù)為15.4
D．這10城市地鐵運(yùn)營線路條數(shù)的極差是12
【題型4 百分位數(shù)的計(jì)算】
【例4】（2024·廣東·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）某班12名同學(xué)某次測試的數(shù)學(xué)成績（單位：分）分別為62，57，72，85，95，69，74，91，83，65，78，89，則這12名同學(xué)這次測試的數(shù)學(xué)成績的第60百分位數(shù)是（）
A．74 B．78 C．83 D．91
【變式4-1】（2024·重慶·高三西南大學(xué)附中校聯(lián)考開學(xué)考試）一個容量為10的樣本，其數(shù)據(jù)依次為：9，2，5，10，16，7，18，23，20，3，則該組數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)為（）
A．15 B．16 C．17 D．18
【變式4-2】（2024·廣東深圳·高三深圳中學(xué)?？奸_學(xué)考試）已知7個數(shù)據(jù)0，1，5，6，7，11，12，則這組數(shù)據(jù)的第百分位數(shù)為（）
A． B． C． D．
【變式4-3】（2024·江西南昌·南昌二中校聯(lián)考模擬預(yù)測）從某公司生產(chǎn)的產(chǎn)品中任意抽取12件，得到它們的質(zhì)量（單位：）如下：7.9，9.0，8.9，8.6，8.4，8.5，8.5，8.5，9.9，7.8，8.3，8.0，則這組數(shù)據(jù)的四分位數(shù)不可能是（）
A．8.75 B．8.15 C．9.9 D．8.5
【變式4-4】（2024·全國·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知2024個互不相同的實(shí)數(shù)，記其上四分位數(shù)為，中位數(shù)為，第75分位數(shù)為，則（）
A． B． C． D．
【題型5 事件關(guān)系的判斷】
【例5】（2024·全國·模擬預(yù)測）同時拋擲兩顆骰子，觀察向上的點(diǎn)數(shù)，記“點(diǎn)數(shù)之和為5”是事件，“點(diǎn)數(shù)之和為4的倍數(shù)”是事件，則（）
A．為不可能事件 B．與為互斥事件
C．為必然事件 D．與為對立事件
【變式5-1】（2024·廣東·高三學(xué)業(yè)考試）一個人打靶時連續(xù)射擊3次，則事件“至少有兩次中靶”的對立事件為（）
A．至多有一次中靶 B．至多有兩次中靶 C．恰好有一次中靶 D．三次都中靶
【變式5-2】（2024·廣東湛江·統(tǒng)考一模）在一次考試中有一道4個選項(xiàng)的雙選題，其中B和C是正確選項(xiàng)，A和D是錯誤選項(xiàng)，甲、乙兩名同學(xué)都完全不會這道題目，只能在4個選項(xiàng)中隨機(jī)選取兩個選項(xiàng)．設(shè)事件“甲、乙兩人所選選項(xiàng)恰有一個相同”，事件“甲、乙兩人所選選項(xiàng)完全不同”，事件“甲、乙兩人所選選項(xiàng)完全相同”，事件“甲、乙兩人均未選擇B選項(xiàng)”，則（）
A．事件M與事件N相互獨(dú)立 B．事件X與事件Y相互獨(dú)立
C．事件M與事件Y相互獨(dú)立 D．事件N與事件Y相互獨(dú)立
【變式5-3】（2022·全國·高三專題練習(xí)）從裝有3個黃球和4個藍(lán)球的口袋內(nèi)任取3個球，那么互斥不對立的事件是（）
A．恰有一個黃球與恰有一個藍(lán)球 B．至少有一個黃球與都是黃球
C．至少有一個黃球與都是藍(lán)球 D．至少有一個黃球與至少有一個藍(lán)球
【變式5-4】（2023·廣東惠州·高三?？茧A段練習(xí)）同時拋擲一紅一綠兩枚質(zhì)地均勻的骰子，用表示紅色骰子的點(diǎn)數(shù)，表示綠色骰子的點(diǎn)數(shù)，設(shè)事件“”，事件“為奇數(shù)”，事件“”，則下列結(jié)論正確的是（）
A．A與對立 B． C．A與相互獨(dú)立 D．與相互獨(dú)立
【題型6 線性回歸分析】
【例6】（2024·河南·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）（多選）已知變量之間的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為，且變量的數(shù)據(jù)如下表所示：
則下列說法正確的是（）
A．變量之間負(fù)相關(guān) B．
C．當(dāng)時，可估計(jì)的值為11 D．當(dāng)時，殘差為
【變式6-1】（2024·湖南·長沙一中校聯(lián)考模擬預(yù)測）某騎行愛好者在專業(yè)人士指導(dǎo)下對近段時間騎行鍛煉情況進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，統(tǒng)計(jì)每次騎行期間的身體綜合指標(biāo)評分與騎行用時（單位：小時）如下表：
由上表數(shù)據(jù)得到的正確結(jié)論是（）
參考數(shù)據(jù)：
參考公式：相關(guān)系數(shù).
A．身體綜合指標(biāo)評分與騎行用時正相關(guān)
B．身體綜合指標(biāo)評分與騎行用時的相關(guān)程度較弱
C．身體綜合指標(biāo)評分與騎行用時的相關(guān)程度較強(qiáng)
D．身體綜合指標(biāo)評分與騎行用時的關(guān)系不適合用線性回歸模型擬合
【變式6-2】（2024·山東·高三山東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？奸_學(xué)考試）為研究某池塘中水生植物的覆蓋水塘面積（單位：）與水生植物的株數(shù)（單位：株）之間的相關(guān)關(guān)系，收集了4組數(shù)據(jù)，用模型去擬合與的關(guān)系，設(shè)與的數(shù)據(jù)如表格所示：得到與的線性回歸方程，則（）
A．-2 B．-1 C． D．
【變式6-3】（2024·湖北武漢·統(tǒng)考模擬預(yù)測）隨著科技發(fā)展的日新月異，人工智能融入了各個行業(yè)，促進(jìn)了社會的快速發(fā)展．其中利用人工智能生成的虛擬角色因?yàn)閾碛懈偷娜斯こ杀?，正逐步取代傳統(tǒng)的真人直播帶貨．某公司使用虛擬角色直播帶貨銷售金額得到逐步提升，以下為該公司自2023年8月使用虛擬角色直播帶貨后的銷售金額情況統(tǒng)計(jì)．
若與的相關(guān)關(guān)系擬用線性回歸模型表示，回答如下問題：
（1）試求變量與的樣本相關(guān)系數(shù)（結(jié)果精確到0.01）；
（2）試求關(guān)于的經(jīng)驗(yàn)回歸方程，并據(jù)此預(yù)測2024年2月份該公司的銷售金額．
附：經(jīng)驗(yàn)回歸方程，其中，，
樣本相關(guān)系數(shù)；
參考數(shù)據(jù)：，．
【變式6-4】（2024·廣東廣州·統(tǒng)考二模）某沙漠地區(qū)經(jīng)過治理，生態(tài)系統(tǒng)得到很大改善，野生動物數(shù)量有所增加.為調(diào)查該地區(qū)植物覆蓋面積與某種野生動物數(shù)量的關(guān)系，將其分成面積相近的若干個地塊，從這些地塊中隨機(jī)抽取20個作為樣區(qū)，調(diào)查得到樣本數(shù)據(jù)，其中，和，分別表示第個樣區(qū)的植物覆蓋面積（單位：公頃）和這種野生動物的數(shù)量（單位：只），并計(jì)算得.
（1）求樣本的相關(guān)系數(shù)（精確到0.01），并推斷這種野生動物的數(shù)量y（單位：只）和植物覆蓋面積x（單位：公頃）的相關(guān)程度；
（2）已知20個樣區(qū)中有8個樣區(qū)的這種野生動物數(shù)量低于樣本平均數(shù)，從20個樣區(qū)中隨機(jī)抽取2個，記抽到這種野生動物數(shù)量低于樣本平均數(shù)的樣區(qū)的個數(shù)為X，求隨機(jī)變量X的分布列.
附：相關(guān)系數(shù)
【題型7 獨(dú)立性檢驗(yàn)】
【例7】（2024·廣東廣州·統(tǒng)考二模）根據(jù)分類變量與的成對樣本數(shù)據(jù)，計(jì)算得到.依據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，結(jié)論為（）
A．變量與獨(dú)立
B．變量與獨(dú)立，這個結(jié)論犯錯誤的概率不超過
C．變量與不獨(dú)立
D．變量與不獨(dú)立，這個結(jié)論犯錯誤的概率不超過
【變式7-1】（2024·四川成都·高三成都七中?？计谀┰谀巢《疽呙绲难邪l(fā)過程中，需要利用基因編輯小鼠進(jìn)行動物實(shí)驗(yàn).現(xiàn)隨機(jī)抽取100只基因編輯小鼠對該病毒疫苗進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，得到如下列聯(lián)表（部分?jǐn)?shù)據(jù)缺失）：
計(jì)算可知，根據(jù)小概率值______的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析“給基因編輯小鼠注射該種疫苗能起到預(yù)防該病毒感染的效果” （）
附：，.
A．0.001 B．0.05 C．0.01 D．0.005
【變式7-2】（2024·福建泉州·高三?？茧A段練習(xí)）針對時下的“短視頻熱”，某高校團(tuán)委對學(xué)生性別和喜歡短視頻是否有關(guān)聯(lián)進(jìn)行了一次調(diào)查，其中被調(diào)查的男生?女生人數(shù)均為人，男生中喜歡短視頻的人數(shù)占男生人數(shù)的，女生中喜歡短視頻的人數(shù)占女生人數(shù)的.零假設(shè)為：喜歡短視頻和性別相互獨(dú)立.若依據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)認(rèn)為喜歡短視頻和性別不獨(dú)立，則的最小值為（）
附：，附表：
A．7 B．8 C．9 D．10
【變式7-3】（2023·全國·高三專題練習(xí)）千百年來，我國勞動人民在生產(chǎn)實(shí)踐中根據(jù)云的形狀、走向、速度、厚度、顏色等的變化，總結(jié)了豐富的“看云識天氣”的經(jīng)驗(yàn)，并將這些經(jīng)驗(yàn)編成諺語，如“天上鉤鉤云，地上雨淋淋”“日落云里走，雨在半夜后”……小波同學(xué)為了驗(yàn)證“日落云里走，雨在半夜后”，觀察了地區(qū)A的100天日落和夜晚天氣，得到如下2×2列聯(lián)表（單位：天），并計(jì)算得到，下列小波對地區(qū)A天氣的判斷不正確的是（）
參考公式：
臨界值參照表：
A．夜晚下雨的概率約為
B．未出現(xiàn)“日落云里走”，夜晚下雨的概率約為
C．據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，認(rèn)為“日落云里走”是否出現(xiàn)與夜晚天氣有關(guān)
D．出現(xiàn)“日落云里走”，據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，可以認(rèn)為夜晚會下雨
【變式7-4】（2024·四川宜賓·高三四川省興文第二中學(xué)校?？奸_學(xué)考試）為探究某藥物對小鼠的生長抑制作用，將40只小鼠均分為兩組，分別為對照組（不加藥物）和實(shí)驗(yàn)組（加藥物）.
測得40只小鼠體重如下（單位：）：（已按從小到大排好）
對照組：17.3 18.4 20.1 20.4 21.5 23.2 24.6 24.8 25.0 25.4 26.1 26.3 26.4 26.5 26.8 27.0 27.4 27.5 27.6 28.3
實(shí)驗(yàn)組：5.4 6.6 6.8 6.9 7.8 8.2 9.4 10.0 10.4 11.2 14.4 17.3 19.2 20.2 23.6 23.8 24.5 25.1 25.2 26.0
附：，其中.
（1）求40只小鼠體重的中位數(shù)，并完成下面列聯(lián)表：
（2）根據(jù)列聯(lián)表，能否有的把握認(rèn)為藥物對小鼠生長有抑制作用.
【題型8 二項(xiàng)分布】
【例8】（2024·安徽合肥·高三合肥一六八中學(xué)校聯(lián)考期末）甲、乙兩人進(jìn)行射擊比賽，每次比賽中，甲?乙各射擊一次，甲?乙每次至少射中8環(huán).根據(jù)統(tǒng)計(jì)資料可知，甲擊中8環(huán)?9環(huán)?10環(huán)的概率分別為，乙擊中8環(huán)?9環(huán)?10環(huán)的概率分別為，且甲?乙兩人射擊相互獨(dú)立.
（1）在一場比賽中，求乙擊中的環(huán)數(shù)少于甲擊中的環(huán)數(shù)的概率；
（2）若獨(dú)立進(jìn)行三場比賽，其中X場比賽中甲擊中的環(huán)數(shù)多于乙擊中的環(huán)數(shù)，求的分布列與數(shù)學(xué)期望.
【變式8-1】（2022·全國·高三專題練習(xí)）某校高三年級數(shù)學(xué)組長為了了解學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)情況，對其在市二診考試中的數(shù)學(xué)成績（滿分150分）進(jìn)行分析，從全年級數(shù)學(xué)成績中隨機(jī)抽取了15人的成績作為樣本，得到如圖所示的莖葉圖．若成績不低于120分，則稱為數(shù)學(xué)成績優(yōu)良．
（1）從這15人的成績中隨機(jī)抽取3人，求至多有1人數(shù)學(xué)成績優(yōu)良的概率；
（2）以這15人的成績中成績優(yōu)良的頻率作為概率，估計(jì)該校高三年級在市三診、省一、二診未來3次診斷考試數(shù)學(xué)成績優(yōu)良的人數(shù)，從而估計(jì)該校今年高考數(shù)學(xué)成績．記隨機(jī)變量為未來這3次考試中優(yōu)良學(xué)生的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．
【變式8-2】（2022·河南·高三專題練習(xí)）甲、乙兩隊(duì)要舉行一場排球比賽，雙方約定采用“五局三勝”制賽規(guī)，即一場比賽全程最多打五局，比賽雙方只要有一個隊(duì)先勝三局，則比賽就此結(jié)束，且該隊(duì)為獲勝方．根據(jù)以往大量的賽事記錄可知甲、乙兩隊(duì)在比賽中每局獲勝的概率分別為．
（1）若在首局比賽中乙隊(duì)以的比分暫時領(lǐng)先，求最后甲隊(duì)、乙隊(duì)各自獲勝的概率；
（2）求乙隊(duì)以的比分獲勝的概率；
（3）設(shè)確定比賽結(jié)果需要比賽局，求的分布列及數(shù)學(xué)期望．
【變式8-3】（2024·湖北十堰·高三統(tǒng)考期末）某市為提高市民對文明城市創(chuàng)建的認(rèn)識，舉辦了“創(chuàng)建文明城市”知識競賽，從所有答卷中隨機(jī)抽取份作為樣本，將個樣本數(shù)據(jù)按、、、、、分成組，并整理得到如下頻率分布直方圖.
（1）請通過頻率分布直方圖估計(jì)這份樣本數(shù)據(jù)的平均值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）.
（2）以樣本頻率估計(jì)概率，若競賽成績不低于分，則被認(rèn)定為成績合格，低于分說明成績不合格.從參加知識競賽的市民中隨機(jī)抽取人，用表示成績合格的人數(shù)，求的分布列及數(shù)學(xué)期望.
【變式8-4】（2024·北京昌平·高三統(tǒng)考期末）某汽車生產(chǎn)企業(yè)對一款新上市的新能源汽車進(jìn)行了市場調(diào)研，統(tǒng)計(jì)該款車車主對所購汽車性能的評分，將數(shù)據(jù)分成5組：，并整理得到如下頻率分布直方圖：
（1）求的值；
（2）該汽車生產(chǎn)企業(yè)在購買這款車的車主中任選3人，對評分低于110分的車主送價值3000元的售后服務(wù)項(xiàng)目，對評分不低于110分的車主送價值2000元的售后服務(wù)項(xiàng)目．若為這3人提供的售后服務(wù)項(xiàng)目總價值為元，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；
（3）用隨機(jī)抽樣的方法從購買這款車的車主中抽取10人，設(shè)這10人中評分不低于110分的人數(shù)為，問為何值時，的值最大？（結(jié)論不要求證明
【題型9 超幾何分布】
【例9】（2024·山東·高三山東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？奸_學(xué)考試）盒中有大小顏色相同的6個乒乓球，其中4個未使用過（稱之為新球），2個使用過（稱之為舊球）.每局比賽從盒中隨機(jī)取2個球作為比賽用球，比賽結(jié)束后放回盒中.使用過的球即成為舊球.
（1）求一局比賽后盒中恰有3個新球的概率；
（2）設(shè)兩局比賽后盒中新球的個數(shù)為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望.
【變式9-1】（2024·遼寧·高三校聯(lián)考期末）某企業(yè)打算處理一批產(chǎn)品，這些產(chǎn)品每箱10件，以箱為單位銷售，已知這批產(chǎn)品中每箱都有廢品.每箱的廢品率只有或者兩種可能，且兩種可能的產(chǎn)品市場占有率分別為.假設(shè)該產(chǎn)品正品每件市場價格為100元，廢品不值錢，現(xiàn)處理價格為每箱840元，遇到廢品不予更換，以一箱產(chǎn)品中正品的價格期望值作為決策依據(jù).（運(yùn)算結(jié)果保留分?jǐn)?shù)）
（1）在不開箱檢驗(yàn)的情況下，判斷是否可以購買；
（2）現(xiàn)允許開箱，不放回地隨機(jī)從一箱中抽取2件產(chǎn)品進(jìn)行檢驗(yàn)，已發(fā)現(xiàn)在抽取檢驗(yàn)的2件產(chǎn)品中，其中恰有一件是廢品
①求此箱是廢品率為的概率；
②判斷此箱是否可以購買，并說明理由.
【變式9-2】（2024·安徽黃山·統(tǒng)考一模）某校高三年級名學(xué)生的高考適應(yīng)性演練數(shù)學(xué)成績頻率分布直方圖如圖所示，其中成績分組區(qū)間是、、、、、．
（1）求圖中的值，并根據(jù)頻率分布直方圖，估計(jì)這名學(xué)生的這次考試數(shù)學(xué)成績的第百分位數(shù)；
（2）從這次數(shù)學(xué)成績位于、的學(xué)生中采用比例分配的分層隨機(jī)抽樣的方法抽取人，再從這人中隨機(jī)抽取人，該人中成績在區(qū)間的人數(shù)記為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望．
【變式9-3】（2024·浙江湖州·高三統(tǒng)考期末）杭州第屆亞運(yùn)會，是繼年北京亞運(yùn)會、年廣州亞運(yùn)會之后，中國第三次舉辦亞洲最高規(guī)格的國際綜合性體育賽事.年月日，杭州亞運(yùn)會開幕式隆重舉行.某電商平臺亞運(yùn)周邊文創(chuàng)產(chǎn)品直播間，主播為當(dāng)晚點(diǎn)前登錄該直播間的前名觀眾設(shè)置了兩輪“慶亞運(yùn)、送吉祥物”的抽獎活動.每輪抽獎都是由系統(tǒng)獨(dú)立、隨機(jī)地從這名觀眾中抽取名幸運(yùn)觀眾，抽中者平臺會有亞運(yùn)吉祥物玩偶贈送.而直播時這名觀眾始終在線，記兩次抽獎中被抽中的幸運(yùn)觀眾總?cè)藬?shù)為（幸運(yùn)觀眾總?cè)藬?shù)不重復(fù)計(jì)數(shù)，例如若某幸運(yùn)觀眾兩次都被抽中，但只記為人）.
（1）已知小杭是這前名觀眾中的一人，若小杭被抽中的概率為，求的值；
（2）當(dāng)取到最大值時，求的值.
【題型10 正態(tài)分布】
【例10】（2024·重慶·統(tǒng)考一模）已知某社區(qū)居民每周運(yùn)動總時間為隨機(jī)變量（單位：小時），且，．現(xiàn)從該社區(qū)中隨機(jī)抽取3名居民，則至少有兩名居民每周運(yùn)動總時間為5至6小時的概率為（）
A．0.642 B．0.648 C．0.722 D．0.748
【變式10-1】（2023·廣東肇慶·廣東肇慶中學(xué)?？寄M預(yù)測）佛山被譽(yù)為“南國陶都”，擁有上千年的制陶史，佛山瓷磚享譽(yù)海內(nèi)外.某企業(yè)瓷磚生產(chǎn)線上生產(chǎn)的瓷磚某項(xiàng)指標(biāo)，且，現(xiàn)從該生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取10片瓷磚，記表示的瓷磚片數(shù)，則 .
【變式10-2】（2024·江蘇·高三統(tǒng)考期末）隨機(jī)變量，若，，則（）
A．0.25 B．0.5 C．0.75 D．0.85
【變式10-3】（2024·浙江金華·高三統(tǒng)考期末）某次數(shù)學(xué)聯(lián)考成績的數(shù)據(jù)分析，20000名考生成績服從正態(tài)分布，則80分以上的人數(shù)大約是（）
參考數(shù)據(jù)：若，則
A．3173 B．6346 C．6827 D．13654
【變式10-4】（2024·湖南常德·高三統(tǒng)考期末）某校高三年級800名學(xué)生在高三的一次考試中數(shù)學(xué)成績近似服從正態(tài)分布，若某學(xué)生數(shù)學(xué)成績?yōu)?02分，則該學(xué)生數(shù)學(xué)成績的年級排名大約是（）
（附：，，）
A．第18名 B．第127名 C．第245名 D．第546名
（建議用時：60分鐘）
1．（2024·內(nèi)蒙古赤峰·高三?？奸_學(xué)考試）某企業(yè)舉辦冬季趣味運(yùn)動會，在跳繩比賽中，名參賽者的成績(單位：個)分別是、、、、、、、、、，則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是（）
A． B． C． D．
2．（2024·江蘇南通·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）有8位同學(xué)一次數(shù)學(xué)測試的分?jǐn)?shù)分別是：111，118，125，130，130，132，136，140，則這組數(shù)據(jù)的75百分位數(shù)是（）
A．130 B．132 C．134 D．136
3．（2024·浙江·高三鎮(zhèn)海中學(xué)校聯(lián)考開學(xué)考試）有一組數(shù)據(jù)：，去掉該組中的一個數(shù)據(jù)，得到一組新的數(shù)據(jù).與原有數(shù)據(jù)相比，無論去掉哪個數(shù)據(jù)，一定變化的數(shù)字特征是（）
A．平均數(shù) B．眾數(shù) C．中位數(shù) D．極差
4．（2024·湖南·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）有一組樣本數(shù)據(jù)由5個連續(xù)的正整數(shù)組成，其中是最小值，是最大值，若在原數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上增加兩個數(shù)據(jù)，，組成一組新的樣本數(shù)據(jù)，則（）
A．新樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)小于原樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)
B．新樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)大于原樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)
C．新樣本數(shù)據(jù)的方差等于原樣本數(shù)據(jù)的方差
D．新樣本數(shù)據(jù)的方差大于原樣本數(shù)據(jù)的方差
5．（2024·重慶·高三統(tǒng)考期末）對一個樣本進(jìn)行統(tǒng)計(jì)后得到頻率分布直方圖如圖所示，并由此估計(jì)總體集中趨勢，則，可以分別大致反映這組數(shù)據(jù)的（）
A．平均數(shù)，中位數(shù) B．平均數(shù)，眾數(shù) C．中位數(shù)，平均數(shù) D．中位數(shù)，眾數(shù)
6．（2024·全國·模擬預(yù)測）如圖為一組數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖，已知該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為5，方差為，去掉，，，這4個數(shù)據(jù)后，所得數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，方差為，則（）
A．， B．， C．， D．，
7．（2024·陜西安康·安康中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）“百年風(fēng)雨歷經(jīng)苦難，百年成就激蕩人心”，為弘揚(yáng)陳延年、陳喬年烈士的光榮事跡及革命精神，傳承紅色基因，某?！把訂躺倌晷小睂?shí)踐團(tuán)于1月6日開展紅色文化活動，實(shí)踐團(tuán)成員中有來自高二（1）班和高二（2）班的學(xué)生各2人，高二（3）班和高二（4）班的學(xué)生各1人，在瞻仰陳延年烈士雕像舉行宣誓環(huán)節(jié)，需要從這6名學(xué)生中任選4名手持國旗，則這4名學(xué)生來自不同班級的概率為（）
A． B． C． D．
8．（2023·陜西·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）第19屆亞運(yùn)會將于2023年9月23日至10月8日在杭州舉行，某網(wǎng)絡(luò)直播平臺調(diào)研“大學(xué)生是否喜歡觀看體育比賽直播與性別有關(guān)”，從某高校男、女生中各隨機(jī)抽取100人進(jìn)行問卷調(diào)查，得到如下數(shù)據(jù)．
通過計(jì)算，有95％以上的把握認(rèn)為大學(xué)生喜歡觀看直播體育比賽與性別有關(guān)，則在被調(diào)查的100名女生中喜歡觀看體育比賽直播的人數(shù)的最大值為（）
附：，其中．
A．55 B．57 C．58 D．60
9．（2024·廣西南寧·高三南寧二中?？奸_學(xué)考試）隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，，，則（）
A． B． C．1 D．
10．（2024·浙江·高三甌海中學(xué)校聯(lián)考開學(xué)考試）某校1000名學(xué)生參加數(shù)學(xué)期末考試，每名學(xué)生的成績服從，成績不低于120分為優(yōu)秀，依此估計(jì)優(yōu)秀的學(xué)生人數(shù)約為（）附：若，則.
A．23 B．46 C．159 D．317
11．（2024·廣東·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）在某電路上有兩個獨(dú)立工作的元件，每次通電后，需要更換C元件的概率為0.2，需要更換D元件的概率為，則在某次通電后有且只有一個需要更換的條件下，C需要更換的概率是（）
A． B． C． D．
12．（2024·廣東梅州·統(tǒng)考一模）（多選）某單位有職工450人，其中男職工150人，現(xiàn)為了解職工健康情況，該單位采取分層隨機(jī)抽樣的方法抽取了一個容量為90的樣本，得出體重情況：男性平均體重為63千克；女性平均體重為54千克.則下列說法不正確的是（）
A．抽查的樣本中女職工人數(shù)為60 B．該單位男職工的體重普遍比女職工較重
C．估計(jì)該單位職工平均體重為58.5 D．每一位男或女職工被抽中的可能性均為
13．（2024·四川內(nèi)江·高三內(nèi)江市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）某大型企業(yè)生產(chǎn)的產(chǎn)品細(xì)分為10個等級，為了解這批產(chǎn)品的等級分布情況，從流水線上隨機(jī)抽取了1000件進(jìn)行檢測、分類和統(tǒng)計(jì)，并依據(jù)以下規(guī)則對產(chǎn)品進(jìn)行評分：檢測到1級到3級的評為優(yōu)秀，檢測到4級到6級的評為良好，檢測到7級到9級的評為合格，檢測到10級的評為不合格.以下把頻率視為概率，現(xiàn)有如下檢測統(tǒng)計(jì)表：
（1）從這1000件產(chǎn)品中隨機(jī)抽取1件，請估計(jì)這件產(chǎn)品評分為良好或優(yōu)秀的概率；
（2）從該企業(yè)的流水線上隨機(jī)抽取4件產(chǎn)品，設(shè)這一件產(chǎn)品中評分為優(yōu)秀的產(chǎn)品個數(shù)為，求的分布列、期望.
14．（2024·山東濟(jì)寧·高三?？奸_學(xué)考試）2021年是中國共產(chǎn)黨建黨100周年，為引導(dǎo)和帶動青少年重溫中國共產(chǎn)黨的百年光輝歷程，某市組織全市中學(xué)生參加中國共產(chǎn)黨百年歷史知識競賽，現(xiàn)從中隨機(jī)抽取了100名學(xué)生的成績組成樣本，并將得分分成以下6組：，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如圖所示．
（1）試估計(jì)這100名學(xué)生得分的中位數(shù)（保留小數(shù)點(diǎn)后兩位有效數(shù)字）；
（2）從樣本中得分不低于70分的學(xué)生中，按比例用分層隨機(jī)抽樣的方法選取11人進(jìn)行座談，若從座談名單中隨機(jī)抽取3人，記其得分在的人數(shù)為，試求的分布列和均值；
（3）用樣本估計(jì)總體，根據(jù)頻率分布直方圖，可以認(rèn)為參加知識競賽的學(xué)生的得分近似地服從正態(tài)分布，其中近似為樣本平均數(shù)，近似為樣本方差，經(jīng)計(jì)算．現(xiàn)從所有參加知識競賽的學(xué)生中隨機(jī)抽取2000人，若這2000名學(xué)生的得分相互獨(dú)立，試問得分高于90分的人數(shù)最有可能是多少？
參考數(shù)據(jù)：若隨機(jī)變量，則，．
15．（2023·云南昆明·高三云南師大附中?？茧A段練習(xí)）某校高一年級舉行數(shù)學(xué)史知識競賽，每個同學(xué)從10道題中一次性抽出4道作答.小張有7道題能答對，3道不能答對；小王每道答對的概率均為，且每道題答對與否互不影響.
（1）分別求小張，小王答對題目數(shù)的分布列；
（2）若預(yù)測小張答對題目數(shù)多于小王答對題目數(shù)，求的取值范圍.滿分技巧
古典概型中基本事件的探求方法
1、列舉法：適合于基本事件個數(shù)較少且易一一列舉出來的試驗(yàn)；
2、列表法（坐標(biāo)法）：適合于從多個元素中選定兩個元素的試驗(yàn)；
3、樹形圖法：適合于有順序的問題及較復(fù)雜問題中基本事件個數(shù)的探究；
4、排列組合法：求較復(fù)雜試驗(yàn)中基本時間的個數(shù)時，可利用排列或組合的知識.
滿分技巧
1、明確簡單隨機(jī)抽樣與分層抽樣的定義。
2、分層隨機(jī)抽樣的相關(guān)計(jì)算關(guān)系：
（1）eq \f(樣本容量n,總體的個數(shù)N)＝eq \f(該層抽取的個體數(shù),該層的個體數(shù))；
（2）總體中某兩層的個體數(shù)之比等于樣本中這兩層抽取的個體數(shù)之比．
（3）樣本的平均數(shù)和各層的樣本平均數(shù)的關(guān)系為：eq \x\t(ω)＝eq \f(m,m＋n)＋eq \f(n,m＋n)＝eq \f(M,M＋N)＋eq \f(N,M＋N).
滿分技巧
樣本估計(jì)總體的常用結(jié)論：
1、如果兩組數(shù)和的平均數(shù)分別是和，則一組數(shù)的平均數(shù)是；
2、如果一組數(shù)的平均數(shù)為，則一組數(shù)的平均數(shù)為。
3、如果一組數(shù)的平均數(shù)為，則一組數(shù)的平均數(shù)為
4、如果一組數(shù)的方差為，則一組數(shù)的方差為；
5、如果一組數(shù)的方差為，則一組數(shù)的方差為。
滿分技巧
計(jì)算一組n個數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù)的步驟
第1步，按從小到大排列原始數(shù)據(jù)．
第2步，計(jì)算i＝n×p%.
第3步，若i不是整數(shù)，而大于i的比鄰整數(shù)為j，則第p百分位數(shù)為第j項(xiàng)數(shù)據(jù)；若i是整數(shù)，則第p百分位數(shù)為第i項(xiàng)與第(i＋1)項(xiàng)數(shù)據(jù)的平均數(shù)．
滿分技巧
判斷互斥、對立事件的兩種方法
（1）定義法：判斷互斥事件、對立事件一般用定義判斷，不可能同時發(fā)生的兩個事件為互斥事件；兩個事件，若有且僅有一個發(fā)生，則這兩事件為對立事件，對立事件一定是互斥事件．
（2）集合法：①由各個事件所含的結(jié)果組成的集合彼此的交集為空集，則事件互斥．
②事件A的對立事件所含的結(jié)果組成的集合，是全集中由事件A所含的結(jié)果組成的集合的補(bǔ)集．
滿分技巧
線性回歸分析問題的類型及解題方法
1、求線性回歸方程：（1）利用公式求出回歸系數(shù)，；（2）利用回歸直線過樣本中心點(diǎn)求系數(shù)；
2、利用回歸方程進(jìn)行預(yù)測：把線性回歸方程看作一次函數(shù)，求函數(shù)值；
3、利用回歸直線判斷正、負(fù)相關(guān)：決定正相關(guān)函數(shù)負(fù)相關(guān)的系數(shù)是；
4、回歸方程的擬合效果可以利用相關(guān)系數(shù)判斷，當(dāng)越接近1時，兩變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)。
5
6
8
12
14
10
8
6
5
1
身體綜合指標(biāo)評分
1
2
3
4
5
用時小時）
9.5
8.8
7.8
7
6.1
3
4
6
7
2
2.5
4.5
7
年月
2023年8月
2023年9月
2023年10月
2023年11月
2023年12月
2024年1月
月份編號
1
2
3
4
5
6
銷售金額／萬元
15.4
25.4
35.4
85.4
155.4
195.4
滿分技巧
獨(dú)立性檢驗(yàn)的一般方法
（1）根據(jù)題目信息，完善列聯(lián)表；
（2）提出零假設(shè)：假設(shè)兩個變量相互獨(dú)立，并給出在問題中的解釋。
（3）根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)及計(jì)算公式求出的值；
（4）當(dāng)時，我們就推斷不成立，即兩個變量不獨(dú)立，該推斷犯錯誤的概率不超過；
當(dāng)時，我們沒有充分證據(jù)推斷不成立，可以認(rèn)為兩個變量相互獨(dú)立。
被某病毒感染
未被某病毒感染
合計(jì)
注射疫苗
10
50
未注射疫苗
30
50
合計(jì)
30
100
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
0.05
0.01
3.841
6.635
日落云里走
夜晚天氣
下雨
未下雨
出現(xiàn)
25
5
未出現(xiàn)
25
45
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
0.10
0.05
0.010
2.706
3.841
6.635
合計(jì)
對照組
實(shí)驗(yàn)組
合計(jì)
滿分技巧
獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)與二項(xiàng)分布
1、定型：“獨(dú)立”“重復(fù)”是二項(xiàng)分布的基本特征，“每次試驗(yàn)事件發(fā)生的概率都相等”是二項(xiàng)分布的本質(zhì)特征．判斷隨機(jī)變量是否服從二項(xiàng)分布，要看在一次試驗(yàn)中是否只有兩種試驗(yàn)結(jié)果，且兩種試驗(yàn)結(jié)果發(fā)生的概率分別為p,1－p，還要看是否為n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，隨機(jī)變量是否為某事件在這n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中發(fā)生的次數(shù)．
2、定參，確定二項(xiàng)分布中的兩個參數(shù)n和p，即試驗(yàn)發(fā)生的次數(shù)和試驗(yàn)中事件發(fā)生的概率．
3、列表，根據(jù)離散型隨機(jī)變量的取值及其對應(yīng)的概率，列出分布列．
4、求值，根據(jù)離散型隨機(jī)變量的期望和方差公式，代入相應(yīng)數(shù)據(jù)求值．
相關(guān)公式：已知X～B(n，p)，則P(X＝k)＝Ceq \\al(k,n)pk(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)，E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)．
滿分技巧
超幾何分布的適用范圍及本質(zhì)
（1）適用范圍：考察對象分兩類；已知各類對象的個數(shù)；從中抽取若干個個題，考察某一類個題個數(shù)的概率分布；
（2）本質(zhì)：超幾何分布是不放回抽樣問題，在每次試驗(yàn)中某一事件發(fā)生的概率是不相同的。
2、超幾何分布與二項(xiàng)分布的區(qū)別
（1）超幾何分布需要知道總體的容量，而二項(xiàng)分布不需要；
（2）超幾何分布是“不放回”抽取，在每次試驗(yàn)中某一事件發(fā)生的概率是不相同的，而二項(xiàng)分布是“有放回”的抽?。í?dú)立重復(fù)），在每次試驗(yàn)中某一事件發(fā)生的概率是相同點(diǎn)。
滿分技巧
關(guān)于正態(tài)總體在某個區(qū)間內(nèi)取值的概率求法
（1）熟記P(μ－σ

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