TOC \ "1-3" \h \z \u \l "_Tc145423898" 題型1恒成立問題之直接求導(dǎo)型 PAGEREF _Tc145423898 \h 1
\l "_Tc145423899" 題型2恒成立問題之分離參數(shù)型 PAGEREF _Tc145423899 \h 2
\l "_Tc145423900" 題型3恒成立問題之隱零點(diǎn)型 PAGEREF _Tc145423900 \h 4
\l "_Tc145423901" 題型4恒成立問題之洛必達(dá)法則 PAGEREF _Tc145423901 \h 5
\l "_Tc145423902" 題型5恒成立問題之兩個(gè)函數(shù)問題 PAGEREF _Tc145423902 \h 6
\l "_Tc145423903" ◆類型1同變量型 PAGEREF _Tc145423903 \h 6
\l "_Tc145423904" ◆類型2不同變量型 PAGEREF _Tc145423904 \h 7
\l "_Tc145423905" ◆類型3函數(shù)相等型 PAGEREF _Tc145423905 \h 7
\l "_Tc145423906" 題型6恒成立問題之構(gòu)造函數(shù) PAGEREF _Tc145423906 \h 9
\l "_Tc145423907" 題型7零點(diǎn)問題 PAGEREF _Tc145423907 \h 10
\l "_Tc145423908" 題型8同構(gòu)問題 PAGEREF _Tc145423908 \h 11
\l "_Tc145423909" 題型9整數(shù)解問題 PAGEREF _Tc145423909 \h 12
\l "_Tc145423910" 題型10函數(shù)凹凸性問題 PAGEREF _Tc145423910 \h 13
\l "_Tc145423911" 題型11倍函數(shù)問題 PAGEREF _Tc145423911 \h 14
\l "_Tc145423912" 題型12二次型函數(shù)問題 PAGEREF _Tc145423912 \h 16
\l "_Tc145423913" 題型13嵌套函數(shù)問題 PAGEREF _Tc145423913 \h 17
\l "_Tc145423914" 題型14切線放縮法 PAGEREF _Tc145423914 \h 18
題型1恒成立問題之直接求導(dǎo)型
【例題1】（2023春·四川綿陽·高三綿陽南山中學(xué)實(shí)驗(yàn)學(xué)校校考階段練習(xí)）已知，設(shè)函數(shù)，若關(guān)于的不等式在上恒成立，則的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
【變式1-1】1. （2023春·浙江杭州·高三浙江省杭州第二中學(xué)?？茧A段練習(xí)）對(duì)正實(shí)數(shù)a有在定義域內(nèi)恒成立，則a的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
【變式1-1】2. （2022秋·安徽六安·高三六安市裕安區(qū)新安中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若不等式對(duì)恒成立，其中，則的最大值為（ ）
A．B．C．D．
【變式1-1】3. （2023春·四川南充·高三閬中中學(xué)?？茧A段練習(xí)）一般地，對(duì)于函數(shù)和復(fù)合而成的函數(shù)，它的導(dǎo)數(shù)與函數(shù)，的導(dǎo)數(shù)間的關(guān)系為．若關(guān)于的不等式對(duì)于任意恒成立，則的最大值為（ ）
A．B．1C．D．
【變式1-1】4. （2023·安徽合肥·合肥市第七中學(xué)?？既＃┮阎瘮?shù)，若對(duì)任意的恒成立，則的最大值是（ ）
A．B．C．D．
【變式1-1】5.（2022春·安徽滁州·高三?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)，若存在，對(duì)于任意，都有，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 .
題型2恒成立問題之分離參數(shù)型
【例題2】（2023春·江蘇·高三江蘇省前黃高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）若關(guān)于的不等式對(duì)任意的恒成立，則整數(shù)的最大值為（ ）
A．B．0C．1D．3
【變式2-1】1. （2022秋·四川內(nèi)江·高三威遠(yuǎn)中學(xué)校校考階段練習(xí)）已知不等式對(duì)恒成立，則取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
【變式2-1】2. （2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知f(x)，g(x)分別為定義域?yàn)镽的偶函數(shù)和奇函數(shù)，且，若關(guān)于x的不等式在(0，ln 2)上恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【變式2-1】3. （2022秋·山西運(yùn)城·高三?？茧A段練習(xí)）已知，是函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)，且，當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍（ ）
A．B．
C．D．
【變式2-1】4. （2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若關(guān)于x的不等式在上恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（ ）
A．B．
C．D．
題型3恒成立問題之隱零點(diǎn)型
【例題3】（2023·河南鄭州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，，若恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為 ．
【變式3-1】1. （2022秋·黑龍江哈爾濱·高三哈爾濱市第六中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）若關(guān)于的不等式對(duì)一切正實(shí)數(shù)恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【變式3-1】2. （2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，對(duì)任意，都有恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 .
【變式3-1】3. （2023·廣東深圳·深圳中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）若關(guān)于x的不等式對(duì)任意的恒成立，則整數(shù)k的最大值為 .
【變式3-1】4. （2022·安徽·巢湖市第一中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知不等式對(duì)恒成立，則實(shí)數(shù)a的最小值為（ ）
A．B．C．D．1
題型4恒成立問題之洛必達(dá)法則
【例題4】(多選)已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．是周期為的奇函數(shù)B．在上為增函數(shù)
C．在內(nèi)有21個(gè)極值點(diǎn)D．在上恒成立的充要條件是
【變式4-1】1. （2020春·黑龍江哈爾濱·高三黑龍江實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？奸_學(xué)考試）已知函數(shù) (a∈R),若在x∈(0,1］ 時(shí)恒成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是
A．［,+ ∞）B．[,+∞)C．[2,+∞)D．[1,+∞)
【變式4-1】2. （2020·江西九江·統(tǒng)考三模）若對(duì)任意，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【變式4-1】3. （2020春·河北唐山·期中）若對(duì)恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是
A．B．C．D．
【變式4-1】4.(多選) （2023春·河南許昌·）已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．是周期為的奇函數(shù)B．在上為增函數(shù)
C．在內(nèi)有21個(gè)極值點(diǎn)D．在上恒成立的充要條件是
題型5恒成立問題之兩個(gè)函數(shù)問題
◆類型1同變量型
【例題5-1】（2023秋·廣東陽江·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）已知函數(shù)，，，恒成立，則的最大值為（ ）
A．B．C．D．
【變式5-1】1. （2022秋·江蘇鎮(zhèn)江·高三江蘇省鎮(zhèn)江中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)若不等式對(duì)一切恒成立，則正整數(shù)的最大值為（ ）
A．B．C．D．
【變式5-1】2. （2023·江蘇·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知，，對(duì)于，恒成立，則的最小值為（ ）
A．B．－1C．D．－2
【變式5-1】3. （2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，，若對(duì)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【變式5-1】4. （2020·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)三次函數(shù)，（a,b,c為實(shí)數(shù)且）的導(dǎo)數(shù)為，記，若對(duì)任意，不等式恒成立，則的最大值為
◆類型2不同變量型
【例題5-2】（2022秋·河南·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)，，其中．若對(duì)任意的正實(shí)數(shù)，，不等式恒成立，則a的最小值為（ ）
A．0B．1C．D．e
【例題5-2】1. （多選）（2023秋·廣東·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知，.若存在，，使得成立，則下列結(jié)論中正確的是（ ）
A．當(dāng)時(shí)，B．當(dāng)時(shí)，
C．不存在，使得成立D．恒成立，則
【變式5-2】2. （2022秋·四川綿陽·高三四川省綿陽江油中學(xué)階段練習(xí)）已知函數(shù)，(是自然對(duì)數(shù)的底數(shù))，對(duì)任意的，存在，有，則的取值范圍為 .
【變式5-2】3. （2022秋·四川·高三棠湖中學(xué)階段練習(xí)）函數(shù)，，當(dāng)時(shí)，對(duì)任意、，都有成立，則的取值范圍是 ．
【變式5-2】4.（2021秋·湖北襄陽·高三開學(xué)考試）已知函數(shù)，， .
◆類型3函數(shù)相等型
【例題5-3】（2021秋·江西·高三階段練習(xí)）已知函數(shù)， ，若對(duì)任意的，總存在實(shí)數(shù)，使得成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
【變式5-3】1. （2022·天津和平·耀華中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，，若對(duì)任意，總存在，使，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
【變式5-3】2. （2023·新疆烏魯木齊·烏市一中?？既＃┮阎瘮?shù)，若存在，使得，則（ ）
A．B．
C．D．
【變式5-3】3. （2021·河南·統(tǒng)考一模）定義：.設(shè)函數(shù)，，若，，使得，，則實(shí)數(shù)的取值范圍是
A．B．
C．D．
【變式5-3】4. （2021春·江蘇南通·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知函數(shù)，，若對(duì)，，使成立，則的取值范圍是( )
A．B．C．D．
題型6恒成立問題之構(gòu)造函數(shù)
【例題6】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，，且，則下列關(guān)系式恒成立的為（ ）
A．B．C．D．
【變式6-1】1. （2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，若對(duì)任意，恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）
A．B．
C．D．
【變式6-1】2. （2022秋·重慶·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)，在區(qū)間內(nèi)任取兩個(gè)實(shí)數(shù)，且，若不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
【變式6-1】3. （2022秋·河南鄭州·高三鄭州外國(guó)語學(xué)校?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)，對(duì)任意的實(shí)數(shù)，且，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【變式6-1】4. （2022秋·湖南長(zhǎng)沙·高三長(zhǎng)沙市明德中學(xué)?？奸_學(xué)考試）已知，，其中，若恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
題型7零點(diǎn)問題
【例題7】（2022秋·江西撫州·高三臨川一中?？计谥校┤艉瘮?shù)在區(qū)間上有零點(diǎn)，則的最小值為（ ）
A．B．C．D．
【變式7-1】1. （2023·安徽黃山·屯溪一中校考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，若函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
【變式7-1】2. （2021秋·廣東深圳·高三紅嶺中學(xué)?？计谀┮阎瘮?shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
【變式7-1】3. （2023·浙江溫州·樂清市知臨中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）設(shè)，，已知函數(shù)，有且只有一個(gè)零點(diǎn)，則的最小值為（ ）
A．B．C．D．
【變式7-1】4. （2023·四川廣元·?？寄M預(yù)測(cè)）若函數(shù)在上存在兩個(gè)零點(diǎn)，則a的取值范圍是 （ ）
A．B．C．D．
題型8同構(gòu)問題
【例題8】（2023秋·江蘇鎮(zhèn)江·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）對(duì)于實(shí)數(shù)，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
【變式8-1】1. （2021秋·江蘇揚(yáng)州·高三揚(yáng)州中學(xué)校考階段練習(xí)）設(shè)，若存在正實(shí)數(shù)，使得不等式成立，則的最大值為（ ）
A．B．C．D．
【變式8-1】2. （2023秋·廣東中山·高三校考階段練習(xí)）對(duì)任意，恒成立，則實(shí)數(shù)的可能取值為（ ）
A．B．C．D．
【變式8-1】3. （2023秋·江西南昌·高三南昌市外國(guó)語學(xué)校?？茧A段練習(xí)）已如函數(shù)，若任意實(shí)數(shù)，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
【變式8-1】4. （2022秋·福建莆田·高三莆田二中?？茧A段練習(xí)）對(duì)任意 ，若不等式恒成立，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【變式8-1】5.（2023春·四川內(nèi)江·高三威遠(yuǎn)中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）定義：設(shè)函數(shù)在上的導(dǎo)函數(shù)為，若在上也存在導(dǎo)函數(shù)，則稱函數(shù)在上存在二階導(dǎo)函數(shù)，簡(jiǎn)記為．若在區(qū)間上，則稱函數(shù)在區(qū)間上為“凹函數(shù)”．已知在區(qū)間上為“凹函數(shù)”，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為 ．
題型9整數(shù)解問題
【例題9】（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知關(guān)于的不等式有且僅有兩個(gè)正整數(shù)解（其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【變式9-1】1. （2023·重慶巴南·統(tǒng)考一模）已知偶函數(shù)滿足，，且當(dāng)時(shí)，.若關(guān)于的不等式在上有且只有個(gè)整數(shù)解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【變式9-1】2. （2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）函數(shù)，若不等式最多只有一個(gè)整數(shù)解，則的取值范圍為（ ）
A．B．
C．D．
【變式9-1】3. （2023春·湖北武漢·高三武漢市黃陂區(qū)第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)，，若關(guān)于x的不等式在區(qū)間內(nèi)有且只有兩個(gè)整數(shù)解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
【變式9-1】4. （2023秋·黑龍江哈爾濱·高三哈爾濱市第六中學(xué)校?？计谀┮阎?，若有且只有兩個(gè)整數(shù)解使成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）
A．B．
C．D．
【變式9-1】5.（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，若有且只有兩個(gè)整數(shù)解，則k的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
題型10函數(shù)凹凸性問題
【例題10】（2023·云南·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)，滿足f（x）＜0恒成立的最大整數(shù)m的值為 ．
【變式10-1】1. （2021春·湖北鄂州·高二統(tǒng)考期末）已知大于1的正數(shù)，滿足，則正整數(shù)的最大值為（ ）
A．7B．8C．9D．11
【變式10-1】2. （2023秋·江蘇南京·高三南京市中華中學(xué)校考階段練習(xí)）已知實(shí)數(shù)，滿足，則的值為
A．B．C．D．
【變式10-1】3. （2022秋·安徽·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
題型11倍函數(shù)問題
【例題11】（2023春·北京海淀·高二校考階段練習(xí)）若存在且，使成立，則在區(qū)間上，稱為的“倍函數(shù)”．設(shè)，，若在區(qū)間上，為的“倍函數(shù)”，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）
A．B．
C．D．
【變式11-1】1. （2020秋·海南海口·高三海南中學(xué)?？茧A段練習(xí)）對(duì)于函數(shù)y=f(x)，若存在區(qū)間[a，b]，當(dāng)x∈[a，b]時(shí)的值域?yàn)閇ka，kb](k>0)，則稱y=f(x)為k倍值函數(shù).若f(x)=ex+3x是k倍值函數(shù)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（ ）
A．(e+，+∞)B．(e+，+∞)
C．(e+2，+∞)D．(e+3，+∞)
【變式11-1】2. （2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如果存在，且，使成立，則在區(qū)間上，稱為的“倍函數(shù)”．設(shè)，，若在區(qū)間上，為的“倍函數(shù)”，則實(shí)數(shù)的取值范圍為 ．
【變式11-1】3. （2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）函數(shù)的定義域?yàn)镈，若存在閉區(qū)間，使得函數(shù)滿足：①在內(nèi)是單調(diào)函數(shù)；②在上的值域?yàn)?，則稱區(qū)間為的“倍值區(qū)間”．下列函數(shù)中存在“倍值區(qū)間”的有 ．
①； ②；
③； ④．
【變式11-1】4. (2023秋·湖北·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）小王準(zhǔn)備在單位附近的某小區(qū)買房，若小王看中的高層住宅總共有n層（，），設(shè)第1層的“環(huán)境滿意度”為1，且第k層（，）比第層的“環(huán)境滿意度”多出；又已知小王有“恐高癥”，設(shè)第1層的“高層恐懼度”為1，且第k層（，）比第層的“高層恐懼度”高出倍.在上述條件下，若第k層“環(huán)境滿意度”與“高層恐懼度”分別為，，記小王對(duì)第k層“購(gòu)買滿意度”為，且，則小王最想買第 ( ) 層住宅.
（參考公式及數(shù)據(jù)：，，，）
【變式11-1】5.（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若存在實(shí)數(shù)，對(duì)任意成立，則稱是在區(qū)間上的“倍函數(shù)”.已知函數(shù)和，若是在上的倍函數(shù)，則的取值范圍是 .
題型12二次型函數(shù)問題
【例題12】（2023·江蘇南京·南京市第一中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，若函數(shù)恰有6個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為 ．
【變式12-1】1. （2023·全國(guó)·校聯(lián)考二模）已知函數(shù)，若關(guān)于的方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根時(shí)，實(shí)數(shù)a的取值范圍是 .
【變式12-1】2. （2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）函數(shù)，若關(guān)于的方程有6個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)的取值范圍為 .
【變式12-1】3. （2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，若關(guān)于的方程有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則的取值范圍為 ．
【變式12-1】4. （2023秋·廣東東莞·高三校考期末）已知函數(shù),若關(guān)于x的方程有8個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，則整數(shù)m的值為 .（其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）
【變式12-1】5. （2022秋·山西運(yùn)城·高三統(tǒng)考期中）已知函數(shù)，若的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為3，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 .
題型13嵌套函數(shù)問題
【例題13】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，若曲線上存在點(diǎn)使得，則a的取值范圍是 ．
【變式13-1】1. （2020春·浙江·高二校聯(lián)考期末）已知函數(shù)，，記函數(shù)g(x)和h(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)分別是M ，N，則（ ）
A．若M=1，則N≤2B．若M=2，則N≥2
C．若M=3，則N=4D．若N=3，則M=2
【變式13-1】2. （2023·天津·二模）已知函數(shù)，若有兩個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【變式13-1】3. （2023·浙江·二模）已知函數(shù)，則至多有 個(gè)實(shí)數(shù)解.
【變式13-1】4. （2023·江蘇·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，若有六個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 ．
【變式13-1】5. （2023·四川·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，若關(guān)于x的方程恰有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，且，則的取值范圍是 ．
題型14切線放縮法
【例題14】（2022高三專題練習(xí)）已知，若關(guān)于的不等式恒成立，則的最大值為 ．
【變式14-1】1. （2022·湖南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）若關(guān)于x的不等式恒成立，則的最大值是 .
【變式14-1】2. （2018秋·江蘇南京·高三統(tǒng)考期中）存在使對(duì)任意的恒成立，則的最小值為 .
【變式14-1】3. （2020春·湖北荊門·高三荊門市龍泉中學(xué)校考階段練習(xí)）若關(guān)于的不等式恒成立，則的最小值是 .
1. （2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知當(dāng)時(shí)，關(guān)于的不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的值不可能是（ ）
A．0B．1C．2D．3
2. （2023·江西·校聯(lián)考二模）已知函數(shù)，當(dāng)時(shí)，恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
3. （2022·山東·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，若對(duì)任意恒成立，則實(shí)數(shù)a的最小值為（ ）
A．B．C．D．
4. （2023·山東·山東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？级＃┮阎坏仁綄?duì)任意恒成立，則實(shí)數(shù)的最小值是 ．
5. （2022·江西·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）若不等式對(duì)任意恒成立，則實(shí)數(shù)的值為 ．
6. （2023·江西上饒·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知，不等式對(duì)恒成立，則實(shí)數(shù)的最小值為 .
7. （2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）若，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 ．
8. （2023·青海西寧·統(tǒng)考二模）設(shè)實(shí)數(shù)，若對(duì)任意的，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為 .
9. （2023·福建泉州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）方程滿足的正整數(shù)解的組數(shù)為（ ）
A．0B．1C．2D．無數(shù)組
10. （2021·天津薊州·天津市薊州區(qū)第一中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）偶函數(shù)滿足，當(dāng)時(shí)，，不等式在上有且只有個(gè)整數(shù)解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
11. （2020·河北衡水·?？家荒＃┰O(shè)函數(shù)，若曲線上存在點(diǎn)，使得成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）
A．，B．，C．，D．，
無論大題小題，分類討論求參是導(dǎo)數(shù)基礎(chǔ)，也是復(fù)習(xí)訓(xùn)練重點(diǎn)之一：
1.移項(xiàng)含參討論是所有導(dǎo)數(shù)討論題的基礎(chǔ)，也是學(xué)生日常訓(xùn)練的重點(diǎn).
2.討論點(diǎn)的尋找是關(guān)鍵.
3.一些題型，可以適當(dāng)?shù)慕柚它c(diǎn)值來"壓縮"參數(shù)的討論范圍
分離參數(shù)是屬于“暴力計(jì)算”型方法，分離參數(shù)：將參數(shù)提取到單獨(dú)的一側(cè)，然后通過求解函數(shù)的最值來求解參數(shù)的取值范圍.
1. 分離參數(shù)思維簡(jiǎn)單，不需過多思考；
2. 參變分離原則是容易分離且構(gòu)造的新函數(shù)不能太過復(fù)雜
3. 缺點(diǎn)是，首先得能分參，其次求導(dǎo)計(jì)算可能十分麻煩，甚至需要二階，三階..等等求導(dǎo).
解題框架（主要的）：
（1）導(dǎo)函數(shù)（主要是一階導(dǎo)函數(shù)）等零這一步，有根但不可解.但得到參數(shù)和的等量代換關(guān)系.備用
（2）知原函數(shù)最值處就是一階導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)處，可代入虛根
（3）利用與參數(shù)互化得關(guān)系式，先消掉參數(shù)，得出不等式，求得范圍.
（4）再代入?yún)?shù)和互化式中求得參數(shù)范圍.
如果最值恰好在“斷點(diǎn)處”，則可以通過洛必達(dá)法則求出“最值”.
此類函數(shù)，多采用兩函數(shù)“取最值法”.一般地，已知函數(shù)，
（1）若，，總有成立，故；
（2）若，，有成立，故；
（3）若，，有成立，故；
（4）若，，有，則的值域是值域的子集．
-些復(fù)雜結(jié)構(gòu)，需要先構(gòu)造合理的函數(shù)形式再求導(dǎo)研究，以達(dá)到"化繁為簡(jiǎn)"的目的
1.確定零點(diǎn)的個(gè)數(shù)問題：可利用數(shù)形結(jié)合的辦法判斷交點(diǎn)個(gè)數(shù)，如果函數(shù)較為復(fù)雜，可用導(dǎo)數(shù)知識(shí)確定極值點(diǎn)和單調(diào)區(qū)間從而確定其大致圖象；
2.方程的有解問題就是判斷是否存在零點(diǎn)的問題，可參變分離，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域問題處理，可以通過構(gòu)造函數(shù)的方法、把問題轉(zhuǎn)化為研究構(gòu)造的函數(shù)的零點(diǎn)問題；
3.利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)零點(diǎn)或方程根，通常有三種思路：①利用最值或極值研究；②利用數(shù)形結(jié)合思想研究；③構(gòu)造輔助函數(shù)研究.
同構(gòu)法的三種基本模式：
①乘積型，如可以同構(gòu)成，進(jìn)而構(gòu)造函數(shù)；
②比商型，如可以同構(gòu)成，進(jìn)而構(gòu)造函數(shù)；
③和差型，如，同構(gòu)后可以構(gòu)造函數(shù)或.
1.通過函數(shù)討論法，參變分離，數(shù)形結(jié)合等來切入
2.討論出單調(diào)性，要注意整數(shù)解中相鄰兩個(gè)整數(shù)點(diǎn)函數(shù)的符號(hào)問題
凹凸函數(shù)常見的圖形

1.保值函數(shù)，包括“倍增函數(shù)”，“倍縮函數(shù)”，“K倍函數(shù)”，等等新定義
2.應(yīng)用函數(shù)思想和方程思想.
換元為主要切入點(diǎn).注意借助于雙坐標(biāo)系來轉(zhuǎn)換
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