新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題培優(yōu)練習(xí)專題08 函數(shù)中的情景題與數(shù)學(xué)文化題（2份打包，原卷版+解析版）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

1．（2023屆福建省三明市高三三模）17世紀(jì)，法國數(shù)學(xué)家馬林·梅森在歐幾里得?費(fèi)馬等人研究的基礎(chǔ)上，對 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 為素?cái)?shù)）型的數(shù)作了大量的研算，他在著作《物理數(shù)學(xué)隨感》中斷言：在 SKIPIF 1 < 0 的素?cái)?shù)中，當(dāng) SKIPIF 1 < 0 ，3，5，7，13，17，19，31，67，127，257時， SKIPIF 1 < 0 是素?cái)?shù)，其它都是合數(shù).除了 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 兩個數(shù)被后人證明不是素?cái)?shù)外，其余都已被證實(shí).人們?yōu)榱思o(jì)念梅森在 SKIPIF 1 < 0 型素?cái)?shù)研究中所做的開創(chuàng)性工作，就把 SKIPIF 1 < 0 型的素?cái)?shù)稱為“梅森素?cái)?shù)”，記為 SKIPIF 1 < 0 .幾個年來，人類僅發(fā)現(xiàn)51個梅森素?cái)?shù)，由于這種素?cái)?shù)珍奇而迷人，因此被人們答為“數(shù)海明珠”.已知第7個梅森素?cái)?shù) SKIPIF 1 < 0 ，第8個梅森素?cái)?shù) SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 約等于（參考數(shù)據(jù)： SKIPIF 1 < 0 ）（）
A．17.1B．8.4C．6.6D．3.6
【答案】D
【解析】由已知可得 SKIPIF 1 < 0 .故選D
2．（2023屆海南省高三上學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平診斷）天文學(xué)中常用“星等”來衡量天空中星體的明亮程度，一個望遠(yuǎn)鏡能看到的最暗的天體星等稱為這個望遠(yuǎn)鏡的“極限星等”．在一定條件下，望遠(yuǎn)鏡的極限星等M與其口徑D（即物鏡的直徑，單位：mm）近似滿足關(guān)系式 SKIPIF 1 < 0 ，例如： SKIPIF 1 < 0 口徑的望遠(yuǎn)鏡的極限星等約為10.3．則 SKIPIF 1 < 0 口徑的望遠(yuǎn)鏡的極限星等約為（）
A．12.8B．13.3C．13.8D．14.3
【答案】B
【解析】由題意 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．∴ SKIPIF 1 < 0 ．故選B.
3．（2023屆四川省綿陽市高三下學(xué)期3月月考）通過加強(qiáng)對野生動物的棲息地保護(hù)和拯教繁育，某瀕危野生動物的數(shù)量不斷增長，根據(jù)調(diào)查研究，該野生動物的數(shù)量 SKIPIF 1 < 0 （t的單位：年），其中K為棲息地所能承受該野生動物的最大數(shù)量.當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時，該野生動物的瀕危程度降到較為安全的級別，此時 SKIPIF 1 < 0 約為（ SKIPIF 1 < 0 ）（）
A．9B．10C．11D．12
【答案】C
【解析】解析根據(jù)題意 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 .故選C
4．（2023屆陜西省咸陽市武功縣高三下學(xué)期5月模擬）陜西榆林神木石峁遺址發(fā)現(xiàn)于1976，經(jīng)過數(shù)十年的發(fā)掘研究，已證實(shí)是中國已發(fā)現(xiàn)的龍山晚期到夏早期規(guī)模最大的城址，出土了大量玉器、陶器、壁畫、房屋、城池、人體骨骼等遺跡，2019年科技人員對遺跡中發(fā)現(xiàn)的某具人婁骨骼化石進(jìn)行碳14測定年代，公式為： SKIPIF 1 < 0 （其中 SKIPIF 1 < 0 為樣本距今年代， SKIPIF 1 < 0 為現(xiàn)代活體中碳14放射性豐度， SKIPIF 1 < 0 為測定樣本中碳14放射性豐度），已知現(xiàn)代活體中碳14放射性豐度 SKIPIF 1 < 0 ，該人類骨骼碳14放射性豐度 SKIPIF 1 < 0 ，則該骨骼化石距今的年份大約為（）（附： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ）
A．3353B．3997C．4125D．4387
【答案】B
【解析】由題知， SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 .
故選B.
5．（2024屆重慶市第八中學(xué)校高三上學(xué)期測試）隨著新一代人工智能技術(shù)的快速發(fā)展和突破，以深度學(xué)習(xí)計(jì)算模式為主的AI算力需求呈指數(shù)級增長.現(xiàn)有一臺計(jì)算機(jī)每秒能進(jìn)行 SKIPIF 1 < 0 次運(yùn)算，用它處理一段自然語言的翻譯，需要進(jìn)行 SKIPIF 1 < 0 次運(yùn)算，那么處理這段自然語言的翻譯所需時間約為（參考數(shù)據(jù)： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ）（）
A． SKIPIF 1 < 0 秒B． SKIPIF 1 < 0 秒C． SKIPIF 1 < 0 秒D． SKIPIF 1 < 0 秒
【答案】B
【解析】設(shè)所需時間為 SKIPIF 1 < 0 秒，則 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 秒，故選B.
6．（2024屆江西省宜春市豐城市江西省豐城中學(xué)高三上學(xué)期開學(xué)考）“ChatGPT”以其極高的智能化引起世界關(guān)注.深度學(xué)習(xí)是人工智能的一種具有代表性的實(shí)現(xiàn)方法，它是以神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)為出發(fā)點(diǎn)的.在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化中，指數(shù)衰減的學(xué)習(xí)率模型為 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 表示每一輪優(yōu)化時使用的學(xué)習(xí)率， SKIPIF 1 < 0 表示初始學(xué)習(xí)率， SKIPIF 1 < 0 表示衰減系數(shù)， SKIPIF 1 < 0 表示訓(xùn)練迭代輪數(shù)， SKIPIF 1 < 0 表示衰減速度.已知某個指數(shù)衰減的學(xué)習(xí)率模型的初始學(xué)習(xí)率為 SKIPIF 1 < 0 ，衰減速度為 SKIPIF 1 < 0 ，且當(dāng)訓(xùn)練迭代輪數(shù)為 SKIPIF 1 < 0 時，學(xué)習(xí)率為 SKIPIF 1 < 0 ，則學(xué)習(xí)率衰減到 SKIPIF 1 < 0 以下（不含 SKIPIF 1 < 0 ）所需的訓(xùn)練迭代輪數(shù)至少為（參考數(shù)據(jù)： SKIPIF 1 < 0 ）（）
A．75B．74C．73D．72
【答案】C
【解析】由題設(shè)可得 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以所需的訓(xùn)練迭代輪數(shù)至少為 SKIPIF 1 < 0 次．故選C．
7．（2023屆浙江省金麗衢十二校高三下學(xué)期第二次聯(lián)考）提丟斯一波得定則，簡稱“波得定律”，是表示各行星與太陽平均距離的一種經(jīng)驗(yàn)規(guī)則.它是在1766年德國的一位中學(xué)教師戴維·提丟斯發(fā)現(xiàn)的.后來被柏林天文臺的臺長波得歸納成了一個如下經(jīng)驗(yàn)公式來表示：記太陽到地球的平均距離為1，若某行星的編號為n，則該行星到太陽的平均距離表示為 SKIPIF 1 < 0 ，那么編號為9的行星用該公式推得的平均距離位于（）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】由表格可得 SKIPIF 1 < 0 ，故選D
8．（2023屆上海市七寶中學(xué)高三5月第二次模擬）某環(huán)保部門要求相關(guān)企業(yè)加強(qiáng)污水治理，排放未達(dá)標(biāo)的企業(yè)要限期整改、設(shè)企業(yè)的污水排放量 SKIPIF 1 < 0 與時間t的關(guān)系為 SKIPIF 1 < 0 ，用 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 的大小評價在 SKIPIF 1 < 0 這段時間內(nèi)企業(yè)污水治理能力的強(qiáng)弱，已知整改期內(nèi)，甲、乙兩企業(yè)的污水排放量與時間的關(guān)系如下圖所示.則下列正確的命題是（）

A．在 SKIPIF 1 < 0 這段時間內(nèi)，甲企業(yè)的污水治理能力比乙企業(yè)弱；
B．在 SKIPIF 1 < 0 時刻，甲企業(yè)的污水治理能力比乙企業(yè)弱；
C．在 SKIPIF 1 < 0 時刻，甲、乙兩企業(yè)的污水排放都不達(dá)標(biāo)；
D．甲企業(yè)在 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 這三段時間中，在 SKIPIF 1 < 0 的污水治理能力最強(qiáng)
【答案】D
【解析】設(shè)甲企業(yè)的污水排放量 SKIPIF 1 < 0 與時間t的關(guān)系為 SKIPIF 1 < 0 ，乙企業(yè)的污水排放量 SKIPIF 1 < 0 與時間t的關(guān)系為 SKIPIF 1 < 0 .
對于A選項(xiàng)，在 SKIPIF 1 < 0 這段時間內(nèi)，甲企業(yè)的污水治理能力 SKIPIF 1 < 0 ，
乙企業(yè)的污水治理能力 SKIPIF 1 < 0 .由圖可知， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ,即甲企業(yè)的污水治理能力比乙企業(yè)強(qiáng)，故A選項(xiàng)錯誤；
對于B選項(xiàng)，由圖可知， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 時刻的切線斜率小于 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 時刻的切線斜率，
但兩切線斜率均為負(fù)值，故在 SKIPIF 1 < 0 時刻甲企業(yè)的污水治理能力比乙企業(yè)強(qiáng)，故B選項(xiàng)錯誤；
對于C選項(xiàng)，在 SKIPIF 1 < 0 時刻，甲、乙兩企業(yè)的污水排放都小于污水達(dá)標(biāo)排放量，
故甲、乙兩企業(yè)的污水排放都達(dá)標(biāo)，故C選項(xiàng)錯誤；
對于D選項(xiàng)，由圖可知，甲企業(yè)在 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 這三段時間中，
在 SKIPIF 1 < 0 時 SKIPIF 1 < 0 的差值最大，所以在 SKIPIF 1 < 0 時的污水治理能力最強(qiáng)，故D選項(xiàng)正確，
故選D.
9．（2023屆安徽省A10聯(lián)盟高三最后一卷）19世紀(jì)美國天文學(xué)家西蒙·紐康在翻閱對數(shù)表時，偶然發(fā)現(xiàn)表中以1開頭的數(shù)出現(xiàn)的頻率更高．約半個世紀(jì)后，物理學(xué)家本·福特又重新發(fā)現(xiàn)這個現(xiàn)象，從實(shí)際生活得出的大量數(shù)據(jù)中，以1開頭的數(shù)出現(xiàn)的頻數(shù)約為總數(shù)的三成，并提出本·福特定律，即在大量 SKIPIF 1 < 0 進(jìn)制隨機(jī)數(shù)據(jù)中，以 SKIPIF 1 < 0 開頭的數(shù)出現(xiàn)的概率為 SKIPIF 1 < 0 ，如斐波那契數(shù)、階乘數(shù)、素?cái)?shù)等都比較符合該定律．后來常有數(shù)學(xué)愛好者用此定律來檢驗(yàn)?zāi)承┙?jīng)濟(jì)數(shù)據(jù)、選舉數(shù)據(jù)等大數(shù)據(jù)的真實(shí)性．若 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ），則 SKIPIF 1 < 0 的值為（ SKIPIF 1 < 0 ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】B
【解析】依題意，得
SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ．故選B．
10．（2024屆北京市景山學(xué)校高三上學(xué)期開學(xué)考試）教室通風(fēng)的目的是通過空氣的流動，排出室內(nèi)的污濁空氣和致病微生物，降低室內(nèi)二氧化碳和致病微生物的濃度，送進(jìn)室外的新鮮空氣.按照國家標(biāo)準(zhǔn)，教室內(nèi)空氣中二氧化碳最高容許濃度為 SKIPIF 1 < 0 .經(jīng)測定，剛下課時，空氣中含有 SKIPIF 1 < 0 的二氧化碳，若開窗通風(fēng)后教室內(nèi)二氧化碳的濃度為 SKIPIF 1 < 0 ，且y隨時間t（單位：分鐘）的變化規(guī)律可以用函數(shù) SKIPIF 1 < 0 描述，則該教室內(nèi)的二氧化碳濃度達(dá)到國家標(biāo)準(zhǔn)需要的時間t（單位：分鐘）的最小整數(shù)值為（）
（參考數(shù)據(jù) SKIPIF 1 < 0 ）
A．5B．7C．9D．10
【答案】B
【解析】當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 的最小整數(shù)值為 SKIPIF 1 < 0 .故選B
11．（2024屆陜西省渭南市富平中學(xué)高三上學(xué)期開學(xué)考試）2023年2月27日，學(xué)堂梁子遺址入圍2022年度全國十大考古新發(fā)現(xiàn)終評項(xiàng)目．該遺址先后發(fā)現(xiàn)石制品300多件，已知石制品化石樣本中碳14質(zhì)量N隨時間t（單位：年）的衰變規(guī)律滿足 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 表示碳14原有的質(zhì)量）．經(jīng)過測定，學(xué)堂梁子遺址中某件石制品化石樣本中的碳14質(zhì)量約是原來的 SKIPIF 1 < 0 倍，據(jù)此推測該石制品生產(chǎn)的時間距今約（）．（參考數(shù)據(jù)： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ）
A．8037年B．8138年C．8237年D．8337年
【答案】B
【解析】由題意， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，故選B.
12．（2024屆湖南省衡陽市第八中學(xué)高三上學(xué)期開學(xué)檢測）黎曼函數(shù)是一個特殊的函數(shù)，由德國著名的數(shù)學(xué)家黎曼發(fā)現(xiàn)并提出，在高等數(shù)學(xué)中有著廣泛應(yīng)用，其定義為: SKIPIF 1 < 0 時， SKIPIF 1 < 0 .若數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 ，則下列結(jié)論:① SKIPIF 1 < 0 的函數(shù)圖像關(guān)于直線 SKIPIF 1 < 0 對稱；② SKIPIF 1 < 0 ；③ SKIPIF 1 < 0 ；④ SKIPIF 1 < 0 ；⑤ SKIPIF 1 < 0 .其中正確的是（）
A．①②③B．②④⑤C．①③④D．①④⑤
【答案】D
【解析】對于①：若 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，關(guān)于 SKIPIF 1 < 0 對稱，
若 SKIPIF 1 < 0 為無理數(shù)，則 SKIPIF 1 < 0 也是無理數(shù)， SKIPIF 1 < 0 ，也關(guān)于 SKIPIF 1 < 0 對稱，
若 SKIPIF 1 < 0 ，并且 SKIPIF 1 < 0 是既約的真分?jǐn)?shù)，則 SKIPIF 1 < 0 ，并且 SKIPIF 1 < 0 是互質(zhì)的， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 也是真分?jǐn)?shù)，若 SKIPIF 1 < 0 不是既約分?jǐn)?shù)，則 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 必定存在公約數(shù) SKIPIF 1 < 0 ，
不妨假設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，則有 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 存在大于1的公約數(shù)，與題設(shè)矛盾，故 SKIPIF 1 < 0 也是既約分?jǐn)?shù)， SKIPIF 1 < 0 ，即關(guān)于 SKIPIF 1 < 0 對稱，
故①正確；
對于②， SKIPIF 1 < 0 時， SKIPIF 1 < 0 ，故②錯誤；
對于③，當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時，有 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，但當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時 SKIPIF 1 < 0 ，故③錯誤；
對于④， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
構(gòu)造函數(shù) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 單調(diào)遞增，
SKIPIF 1 < 0 ，即當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故④正確；
對于⑤， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，故⑤正確；故選D.
二、多選題
13．（2024屆】湖南省長沙市高三上學(xué)期入學(xué)考試）濟(jì)南大明湖的湖邊設(shè)有如圖所示的護(hù)欄，柱與柱之間是一條均勻懸鏈.數(shù)學(xué)中把這種兩端固定的一條（粗細(xì)與質(zhì)量分布）均勻、柔軟的鏈條，在重力的作用下所具有的曲線形狀稱為怠鏈線.如果建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，那么懸鏈線可以表示為函數(shù) SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ，則下列關(guān)于懸鏈線函數(shù) SKIPIF 1 < 0 的性質(zhì)判斷正確的是（）
A． SKIPIF 1 < 0 為偶函數(shù)B． SKIPIF 1 < 0 為奇函數(shù)
C． SKIPIF 1 < 0 的單調(diào)遞減區(qū)間為 SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 的最大值是 SKIPIF 1 < 0
【答案】AC
【解析】∵ SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 為偶函數(shù)，A正確，B錯誤；
又∵ SKIPIF 1 < 0 在R上單調(diào)遞增，且 SKIPIF 1 < 0
則當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時，則 SKIPIF 1 < 0 ，當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時，則 SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 的單調(diào)遞減區(qū)間為 SKIPIF 1 < 0 ，單調(diào)遞增區(qū)間為 SKIPIF 1 < 0 ，C正確；
則 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 的最小值為a，D錯誤；故選AC.
14．（2024屆貴州省遵義市鳳岡縣第二中學(xué)高三上學(xué)期9月月考）星等是衡量天體光度的量.為了衡量星星的明暗程度，古希臘天文學(xué)家喜帕恰斯（又名依巴谷）在公元前二世紀(jì)首先提出了星等這個概念，例如，1等星的星等值為1， SKIPIF 1 < 0 等星的星等值為 SKIPIF 1 < 0 .已知兩個天體的星等值 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 和它們對應(yīng)的亮度 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 滿足關(guān)系式 SKIPIF 1 < 0 ，關(guān)于星等下列結(jié)論正確的是（）
A．星等值越小，星星就越亮
B．1等星的亮度恰好是6等星的100倍
C．若星體甲與星體乙的星等值的差小于2.5，則星體甲與星體乙的亮度的比值小于 SKIPIF 1 < 0
D．若星體甲與星體乙的星等值的差大于10，則星體甲與星體乙的亮度的比值小于 SKIPIF 1 < 0
【答案】ABD
【解析】對選項(xiàng)A，若 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以星等值越小，星星就越亮，故A正確；
對選項(xiàng)B，當(dāng) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 時， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，B正確；
對選項(xiàng)C，若 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，C錯誤；
對選項(xiàng)D，若 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，D正確.
故選ABD.
15．歐拉函數(shù) SKIPIF 1 < 0 的函數(shù)值等于所有不超過 SKIPIF 1 < 0 ，且與 SKIPIF 1 < 0 互素（兩個數(shù)的最大公約數(shù)為1）的正整數(shù)的個數(shù)，例如 SKIPIF 1 < 0 .歐拉函數(shù)具有以下性質(zhì)：如果 SKIPIF 1 < 0 是互素的正整數(shù)，那么 SKIPIF 1 < 0 .下列說法中正確的是（）
A． SKIPIF 1 < 0
B．若 SKIPIF 1 < 0 為素?cái)?shù)，則 SKIPIF 1 < 0
C．若 SKIPIF 1 < 0 為奇數(shù)，則 SKIPIF 1 < 0
D．若 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0
【答案】ABD
【解析】在不超過5的正整數(shù)中與5互素的正整數(shù)有1，2，3，4，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
在不超過8的正整數(shù)中與8互素的正整數(shù)有1，3，5，7，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
5與8互素，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故A正確；
若 SKIPIF 1 < 0 為素?cái)?shù)，則 SKIPIF 1 < 0 與其前面 SKIPIF 1 < 0 個正整數(shù)互素，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故B正確；
因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故C錯誤；
因?yàn)樵诓怀^ SKIPIF 1 < 0 且與 SKIPIF 1 < 0 互素的正整數(shù)有1，3，5，…， SKIPIF 1 < 0 ，共有 SKIPIF 1 < 0 個，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，故D正確.故選ABD
16．麥克斯韋妖（Maxwell＇s demn），是在物理學(xué)中假想的妖，能探測并控制單個分子的運(yùn)動，于1871年由英國物理學(xué)家詹姆斯·麥克斯韋為了說明違反熱力學(xué)第二定律的可能性而設(shè)想的．當(dāng)時麥克斯韋意識到自然界存在著與熵增加相拮抗的能量控制機(jī)制．但他無法清晰地說明這種機(jī)制．他只能詼諧地假定一種“妖”，能夠按照某種秩序和規(guī)則把作隨機(jī)熱運(yùn)動的微粒分配到一定的相格里．麥克斯韋妖是耗散結(jié)構(gòu)的一個雛形．可以簡單的這樣描述，一個絕熱容器被分成相等的兩格，中間是由“妖”控制的一扇小“門”，容器中的空氣分子作無規(guī)則熱運(yùn)動時會向門上撞擊，“門”可以選擇性的將速度較快的分子放入一格，而較慢的分子放入另一格，這樣，其中的一格就會比另外一格溫度高，可以利用此溫差，驅(qū)動熱機(jī)做功．這是第二類永動機(jī)的一個范例．而直到信息熵的發(fā)現(xiàn)后才推翻了麥克斯韋妖理論．設(shè)隨機(jī)變量X所有取值為1，2，…n，且 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ，2，…n） SKIPIF 1 < 0 ，定義X的信息熵 SKIPIF 1 < 0 ，則下列說法正確的有（）
A．n=1時 SKIPIF 1 < 0
B．n=2時，若 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 正相關(guān)
C．若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
D．若n=2m，隨機(jī)變量y的所有可能取值為1,2,…,m，且 SKIPIF 1 < 0 （j=1,2,…,m）則 SKIPIF 1 < 0
【答案】ABD
【解析】對于A，若 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，因此 SKIPIF 1 < 0 ，A正確；
對于B，當(dāng)n=2時， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，
即函數(shù) SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上單調(diào)遞增，所以 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 正相關(guān)，B正確；
對于C， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ，
于是 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，
則 SKIPIF 1 < 0 ，兩式相減得 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，因此 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，C錯誤；
對于D，若 SKIPIF 1 < 0 ，隨機(jī)變量 SKIPIF 1 < 0 的所有可能的取值為 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ），
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
由于 SKIPIF 1 < 0 ，即有 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，
因此 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 成立，D正確.
故選ABD
17．（2023屆河北省衡水中學(xué)高三第四次綜合素養(yǎng)測評）華人數(shù)學(xué)家李天巖和美國數(shù)學(xué)家約克給出了“混沌”的數(shù)學(xué)定義，由此發(fā)展的混沌理論在生物學(xué)?經(jīng)濟(jì)學(xué)和社會學(xué)領(lǐng)域都有重要作用.在混沌理論中，函數(shù)的周期點(diǎn)是一個關(guān)鍵概念，定義如下：設(shè) SKIPIF 1 < 0 是定義在 SKIPIF 1 < 0 上的函數(shù)，對于 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，若存在正整數(shù) SKIPIF 1 < 0 使得 SKIPIF 1 < 0 ，且當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時， SKIPIF 1 < 0 ，則稱 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的一個周期為 SKIPIF 1 < 0 的周期點(diǎn).給出下列四個結(jié)論正確的是（）
A．若 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 存在唯一個周期為1的周期點(diǎn)；
B．若 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 存在周期為2的周期點(diǎn)；
C．若 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 不存在周期為3的周期點(diǎn)；
D．若 SKIPIF 1 < 0 ，則對任意正整數(shù) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 都不是 SKIPIF 1 < 0 的周期為 SKIPIF 1 < 0 的周期點(diǎn).
【答案】AD
【解析】解：對于 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，2，3， SKIPIF 1 < 0 ，
若存在正整數(shù) SKIPIF 1 < 0 使得 SKIPIF 1 < 0 ，且當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時， SKIPIF 1 < 0 ，
則稱 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的一個周期為 SKIPIF 1 < 0 的周期點(diǎn)．
對于①，若 SKIPIF 1 < 0 為 SKIPIF 1 < 0 周期為1的周期點(diǎn)，
SKIPIF 1 < 0 ，故A正確；
對于②，若 SKIPIF 1 < 0 為 SKIPIF 1 < 0 周期為2的周期點(diǎn)，
則 SKIPIF 1 < 0
解得, SKIPIF 1 < 0 ，
但 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 不存在在周期為2的周期點(diǎn)，故B錯誤；
對于③，當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時，易見有兩個周期點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ；
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時， SKIPIF 1 < 0
即 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 時，周期點(diǎn)有4個， SKIPIF 1 < 0
同理， SKIPIF 1 < 0 時，周期點(diǎn)有8個， SKIPIF 1 < 0 故③錯誤；
對于④， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 不是周期點(diǎn)，故D正確．故選AD．
三、填空題
18．（2023屆廣東省六校聯(lián)考）十九世紀(jì)下半葉集合論的創(chuàng)立，奠定了現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基礎(chǔ).著名的“康托三分集”是數(shù)學(xué)理性思維的構(gòu)造產(chǎn)物，具有典型的分形特征，其操作過程如下：將閉區(qū)間 SKIPIF 1 < 0 均分為三段，去掉中間的區(qū)間段 SKIPIF 1 < 0 ，記為第一次操作；再將剩下的兩個區(qū)間 SKIPIF 1 < 0 分別均分為三段，并各自去掉中間的區(qū)間段，記為第二次操作；…，如此這樣，每次在上一次操作的基礎(chǔ)上，將剩下的各個區(qū)間分別均分為三段，同樣各自去掉中間的區(qū)間段.操作過程不斷地進(jìn)行下去，以至無窮，剩下的區(qū)間集合即是“康托三分集”.若使去掉的各區(qū)間長度之和不小于 SKIPIF 1 < 0 ，則需要操作的次數(shù) SKIPIF 1 < 0 的最小值為 .（參考數(shù)據(jù)： SKIPIF 1 < 0 ）
【答案】12
【解析】由題意可知，每次操作剩下的區(qū)間長度為都是原來的 SKIPIF 1 < 0 ，
第n次操作后剩下的區(qū)間長度為 SKIPIF 1 < 0 ，則所有去掉的區(qū)間長度之和為 SKIPIF 1 < 0 ，
由題意知， SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
兩邊取對數(shù)得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
又n為整數(shù)，∴n的最小值為12．
19．（2023屆江蘇省淮安市淮安區(qū)高三上學(xué)期期中）有一根蠟燭點(diǎn)燃6min后，蠟燭長為17.4cm；點(diǎn)燃21min后，蠟燭長為8.4cm．已知蠟燭長度l（cm）與燃燒時間t（min）可用直線方程表示，則這根蠟燭從點(diǎn)燃到燃盡共耗時 min．
【答案】35
【解析】根據(jù)題意，不妨設(shè)直線方程為 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以直線方程為 SKIPIF 1 < 0 ，當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時，即 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以這根蠟燭從點(diǎn)燃到燃盡共耗時35 min.
20．生物入侵是指生物由原生存地侵入到另一個新的環(huán)境，從而對入侵地的生態(tài)系統(tǒng)造成危害的現(xiàn)象.若某入侵物種的個體平均繁殖數(shù)量為 SKIPIF 1 < 0 ，一年四季均可繁殖，繁殖間隔 SKIPIF 1 < 0 為相鄰兩代間繁殖所需的平均時間.在物種入侵初期，可用對數(shù)模型 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 為常數(shù)）來描述該物種累計(jì)繁殖數(shù)量 SKIPIF 1 < 0 與入侵時間 SKIPIF 1 < 0 （單位：天）之間的對應(yīng)關(guān)系，且 SKIPIF 1 < 0 ，在物種入侵初期，基于現(xiàn)有數(shù)據(jù)得出 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .據(jù)此估計(jì)該物種累計(jì)繁殖數(shù)量比初始累計(jì)繁殖數(shù)量增加 SKIPIF 1 < 0 倍所需要的時間為天. （ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ）
【答案】24.8/ SKIPIF 1 < 0
【解析】 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ．
設(shè)初始時間為 SKIPIF 1 < 0 ，初始累計(jì)繁殖數(shù)量為 SKIPIF 1 < 0 ，累計(jì)繁殖數(shù)量增加 SKIPIF 1 < 0 倍后的時間為 SKIPIF 1 < 0 ，
則 SKIPIF 1 < 0 （天 SKIPIF 1 < 0 ．
21．阿貝爾獎和菲爾茲獎雙料得主，英國89歲高齡的著名數(shù)學(xué)家阿蒂亞爵士宣布自己證明了黎曼猜想，這一事件引起了數(shù)學(xué)界的震動.在1859年，德國數(shù)學(xué)家黎曼向科學(xué)院提交了題目為《論小于某值的素?cái)?shù)個數(shù)》的論文并提出了一個命題，也就是著名的黎曼猜想.在此之前著名的數(shù)學(xué)家歐拉也曾研究過這個問題，并得到小于數(shù)字 SKIPIF 1 < 0 的素?cái)?shù)個數(shù)大約可以表示為 SKIPIF 1 < 0 的結(jié)論.若根據(jù)歐拉得出的結(jié)論，不用計(jì)算器，估計(jì)10000以內(nèi)的素?cái)?shù)個數(shù)為 .（ SKIPIF 1 < 0 ，計(jì)算結(jié)果取整數(shù)）
【答案】1086
【解析】 SKIPIF 1 < 0
22．（2023屆四川省宜賓市高三三模）音樂是由不同頻率的聲音組成的．若音1（d）的音階頻率為f，則簡譜中七個音1（d），2（re），3（mi），4（fa），5（s），6（la），7（si）組成的音階頻率分別是f， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，其中后一個音階頻率與前一個音階頻率的比是相鄰兩個音的臺階．上述七個音的臺階只有兩個不同的值，記為 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 稱為全音， SKIPIF 1 < 0 稱為半音，則 SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】0
【解析】相鄰兩個音的頻率比分別為 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由題意， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 .行星
金星
地球
火星
谷神星
木星
土星
天王星
海王星
編號
1
2
3
4
5
6
7
8
公式推得值
0.7
1
1.6
2.8
5.2
10
19.6
38.8
實(shí)測值
0.72
1
1.52
2.9
5.2
9.54
19.18
30.06

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