1．（2023屆山西省運(yùn)城市運(yùn)城中學(xué)高三第二次模擬）函數(shù) SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 處的切線方程為（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以所求切線方程為： SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
故選A
2．（2024屆江蘇省淮安市高三上學(xué)期第一次調(diào)研）函數(shù) SKIPIF 1 < 0 與直線 SKIPIF 1 < 0 相切，則實(shí)數(shù)a的值為（ ）
A．1B．2C．eD． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】設(shè)函數(shù) SKIPIF 1 < 0 與直線 SKIPIF 1 < 0 相切于 SKIPIF 1 < 0 ，直線 SKIPIF 1 < 0 斜率為 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 .故選B
3．（2024屆江蘇省南通市如東縣高三上學(xué)期期初學(xué)情檢測(cè)）已知 SKIPIF 1 < 0 是奇函數(shù)，則 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 處的切線方程是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 為奇函數(shù)，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
化簡可得 SKIPIF 1 < 0 ，
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)，對(duì)任意 SKIPIF 1 < 0 方程成立，
故 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，所以切線方程為 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .故選B
4．（2024屆陜西省榆林市府谷縣高三上學(xué)期第一次聯(lián)考）若直線 SKIPIF 1 < 0 與曲線 SKIPIF 1 < 0 相切，直線 SKIPIF 1 < 0 與曲線 SKIPIF 1 < 0 相切，則 SKIPIF 1 < 0 的值為（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C．1D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】設(shè)直線 SKIPIF 1 < 0 與曲線 SKIPIF 1 < 0 相切于點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，直線 SKIPIF 1 < 0 與曲線 SKIPIF 1 < 0 相切于點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，對(duì) SKIPIF 1 < 0 求導(dǎo)得 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
對(duì) SKIPIF 1 < 0 求導(dǎo)得 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
令 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 單調(diào)遞減，
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 單調(diào)遞增，
又 SKIPIF 1 < 0 ，當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 .故選C.
5．（2024屆河南省新未來高三上學(xué)9月聯(lián)考）若存在 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，使得直線 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的圖象均相切，則實(shí)數(shù) SKIPIF 1 < 0 的取值范圍是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】設(shè) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 圖象上的切點(diǎn)分別為 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
則過這兩點(diǎn)處的切線方程分別為 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
則 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，設(shè) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 為單調(diào)遞增函數(shù)， SKIPIF 1 < 0 ，
可得 SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上單調(diào)遞減，在 SKIPIF 1 < 0 上單調(diào)遞增，
所以 SKIPIF 1 < 0 .故選C.
6．（2024屆北京市八一學(xué)校高三上學(xué)期開學(xué)摸底考試）直線l經(jīng)過點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，且與直線 SKIPIF 1 < 0 平行，如果直線l與曲線 SKIPIF 1 < 0 相切，那么b等于（ ）．
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C．1D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】設(shè)切點(diǎn)為 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 的導(dǎo)數(shù)為 SKIPIF 1 < 0 ，因?yàn)橹本€l經(jīng)過點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，且與直線 SKIPIF 1 < 0 平行，所以切線的斜率為 SKIPIF 1 < 0 ，即切線 SKIPIF 1 < 0 的斜率為 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
可得切點(diǎn)為 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .故選B
7．（2024屆重慶市第十一中學(xué)高三上學(xué)期第一次質(zhì)量監(jiān)測(cè)）已知曲線 SKIPIF 1 < 0 與直線 SKIPIF 1 < 0 相切，則 SKIPIF 1 < 0 的最大值為（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】設(shè)切點(diǎn)為 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
切線方程為 SKIPIF 1 < 0 ，又切線方程為 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，消去 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，易知 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 遞增，當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 遞減，
所以 SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 ，從而 SKIPIF 1 < 0 取得最大值 SKIPIF 1 < 0 ．故選C．
8．（2024屆廣東省高三上學(xué)期新高考聯(lián)合質(zhì)量測(cè)評(píng)9月聯(lián)考）過點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 作曲線 SKIPIF 1 < 0 的兩條切線，切點(diǎn)分別為 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D．3
【答案】D
【解析】因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以切線方程為 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
依題意關(guān)于 SKIPIF 1 < 0 的方程 SKIPIF 1 < 0 有兩個(gè)不同的解 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，
即關(guān)于 SKIPIF 1 < 0 的方程 SKIPIF 1 < 0 有兩個(gè)不同的解 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .故選D
9．（2023屆云南省保山市高三二模）若函數(shù) SKIPIF 1 < 0 與函數(shù) SKIPIF 1 < 0 的圖象存在公切線，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】由函數(shù) SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，設(shè)切點(diǎn)為 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，
則公切線方程為 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
與 SKIPIF 1 < 0 聯(lián)立可得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，整理可得 SKIPIF 1 < 0 ，
又由 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，函數(shù) SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上單調(diào)遞增，且 SKIPIF 1 < 0 ，
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，此時(shí)函數(shù) SKIPIF 1 < 0 單調(diào)遞減，
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，此時(shí)函數(shù) SKIPIF 1 < 0 單調(diào)遞增，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，且當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 ，所以函數(shù) SKIPIF 1 < 0 的值域?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，即實(shí)數(shù) SKIPIF 1 < 0 的取值范圍為 SKIPIF 1 < 0 .故選A.
10．（2023屆河南省信陽高級(jí)中學(xué)高三下學(xué)期2月測(cè)試）已知過點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 不可能作曲線 SKIPIF 1 < 0 的切線．對(duì)于滿足上述條件的任意的b，函數(shù) SKIPIF 1 < 0 恒有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，則a的取值范圍是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】設(shè) SKIPIF 1 < 0 是曲線 SKIPIF 1 < 0 上的任意一點(diǎn)， SKIPIF 1 < 0 ，
所以在點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 處的切線方程為 SKIPIF 1 < 0 ，
代入點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由于過點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 不可能作曲線 SKIPIF 1 < 0 的切線，
則直線 SKIPIF 1 < 0 與函數(shù) SKIPIF 1 < 0 的圖象沒有公共點(diǎn)，
SKIPIF 1 < 0 ，
所以函數(shù) SKIPIF 1 < 0 在區(qū)間 SKIPIF 1 < 0 上導(dǎo)數(shù)大于零，函數(shù)單調(diào)遞增；
在區(qū)間 SKIPIF 1 < 0 上導(dǎo)數(shù)小于零，函數(shù)單調(diào)遞減，
所以當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)，函數(shù) SKIPIF 1 < 0 取得極大值也即是最大值 SKIPIF 1 < 0 ，
則 SKIPIF 1 < 0 ．
對(duì)于滿足此條件的任意的b，函數(shù) SKIPIF 1 < 0 恒有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，
等價(jià)于 SKIPIF 1 < 0 恒有兩個(gè)不同的變號(hào)零點(diǎn)，
等價(jià)于方程 SKIPIF 1 < 0 有兩個(gè)不同的解．
令 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
即直線 SKIPIF 1 < 0 與函數(shù) SKIPIF 1 < 0 的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)．
記 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，
記 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上單調(diào)遞增．令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ．
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 ，當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上單調(diào)遞減， SKIPIF 1 < 0 上單調(diào)遞增．所以 SKIPIF 1 < 0 ．
所以 SKIPIF 1 < 0 ．因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
即實(shí)數(shù)a的取值范圍是 SKIPIF 1 < 0 ．故選A
二、多選題
11．（2024屆福建省廈門市松柏中學(xué)高三上學(xué)期第一次月考）已知直線 SKIPIF 1 < 0 與曲線 SKIPIF 1 < 0 相切，則下列直線中可能與 SKIPIF 1 < 0 垂直的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】AC
【解析】 SKIPIF 1 < 0 的定義域?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，即直線 SKIPIF 1 < 0 的斜率 SKIPIF 1 < 0 ，
設(shè)與 SKIPIF 1 < 0 垂直的直線的斜率為 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
對(duì)于A，直線的斜率為 SKIPIF 1 < 0 ，故A正確；
對(duì)于B，直線的斜率為 SKIPIF 1 < 0 ，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，直線的斜率為 SKIPIF 1 < 0 ，故C正確；
對(duì)于D，直線的斜率為 SKIPIF 1 < 0 ，故D錯(cuò)誤.故選AC.
12．（2024屆廣東省深圳市寶安第一外國語學(xué)校高三上學(xué)期8月月考）若過點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 可作 3 條直線與函數(shù) SKIPIF 1 < 0 的圖象相切， 則實(shí)數(shù) SKIPIF 1 < 0 可能是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】BCD
【解析】設(shè)切點(diǎn)為 SKIPIF 1 < 0 ，
因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以切線方程為 SKIPIF 1 < 0 ，又切線過 SKIPIF 1 < 0 ，
則 SKIPIF 1 < 0 ，整理得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以令 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以當(dāng) SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 單調(diào)遞減，
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 單調(diào)遞增，
故當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 取極小值 SKIPIF 1 < 0 ，當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 取極大值 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 可知當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí) SKIPIF 1 < 0 ，
所以函數(shù) SKIPIF 1 < 0 的圖象大致如圖，

由圖可知，當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)，直線 SKIPIF 1 < 0 與函數(shù) SKIPIF 1 < 0 的圖象有3個(gè)交點(diǎn)，
此時(shí)過點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 可作3條直線與函數(shù) SKIPIF 1 < 0 的圖象相切，
由此可知，BCD符合題意，故選BCD
13．（2023屆湖南省長沙市實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三二模）已知 SKIPIF 1 < 0 ，若過點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 恰能作兩條直線與曲線 SKIPIF 1 < 0 相切，其中 SKIPIF 1 < 0 ，則m與n可能滿足的關(guān)系式為（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】AD
【解析】設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為 SKIPIF 1 < 0 ，因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，切線斜率為 SKIPIF 1 < 0 ，
所以，曲線 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 處的切線方程為 SKIPIF 1 < 0
將點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 的坐標(biāo)代入切線方程可得 SKIPIF 1 < 0 ，
過點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 恰能作兩條直線與曲線 SKIPIF 1 < 0 相切，
即方程 SKIPIF 1 < 0 有2個(gè)解，即 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 的圖象有2個(gè)交點(diǎn)，
SKIPIF 1 < 0 ，
若 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上單調(diào)遞減，在 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 上單調(diào)遞增，

若 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上單調(diào)遞減，在 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 上單調(diào)遞增，

又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
故由圖可知，當(dāng) SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 的圖象有2個(gè)交點(diǎn)，
此時(shí)， SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .故選AD.
14．已知函數(shù) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，直線 SKIPIF 1 < 0 分別與曲線 SKIPIF 1 < 0 和曲線 SKIPIF 1 < 0 相切于點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且直線 SKIPIF 1 < 0 也與曲線 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 都相切，則（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】AD
【解析】選項(xiàng)A，B：易知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，
則曲線 SKIPIF 1 < 0 在點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 處的切線方程為 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
則 SKIPIF 1 < 0 ．
曲線 SKIPIF 1 < 0 在點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 處的切線方程為 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故A正確，B錯(cuò)誤；
選項(xiàng)C，D：曲線 SKIPIF 1 < 0 與曲線 SKIPIF 1 < 0 關(guān)于直線 SKIPIF 1 < 0 對(duì)稱，根據(jù)對(duì)稱性可知， SKIPIF 1 < 0 關(guān)于直線 SKIPIF 1 < 0 的對(duì)稱點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 與曲線 SKIPIF 1 < 0 的切點(diǎn)，則 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故C錯(cuò)誤，D正確．故選AD
三、填空題
15．（2024屆江西省樂安縣第二中學(xué)高三上學(xué)期開學(xué)考試）已知直線 SKIPIF 1 < 0 與曲線 SKIPIF 1 < 0 相切，則實(shí)數(shù) SKIPIF 1 < 0 .
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】設(shè)切點(diǎn)為 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則有 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0
16．（2023屆江西省景德鎮(zhèn)市高三第三次質(zhì)量檢測(cè)）若曲線 SKIPIF 1 < 0 在點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 處的切線與曲線 SKIPIF 1 < 0 相切于點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 .
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 切線斜率 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 切線方程可記為： SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
則 SKIPIF 1 < 0 ，易得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 .
17．（2024屆江蘇省常州高級(jí)中學(xué)高三上學(xué)期期初檢測(cè)）在平面直角坐標(biāo)系 SKIPIF 1 < 0 中，若過點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 且同時(shí)與曲線 SKIPIF 1 < 0 ，曲線 SKIPIF 1 < 0 都相切的直線有兩條，則點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 的坐標(biāo)為 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】設(shè)點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 的坐標(biāo)為 SKIPIF 1 < 0 ，
顯然這兩條曲線的公切線存在斜率，設(shè)為 SKIPIF 1 < 0 ，
因此切線方程為 SKIPIF 1 < 0 ，
設(shè)曲線 SKIPIF 1 < 0 的切點(diǎn)為 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，所以過該切點(diǎn)的切線的斜率為 SKIPIF 1 < 0 ，
則有 SKIPIF 1 < 0 ，
設(shè) SKIPIF 1 < 0 的切點(diǎn)為 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，所以過該切點(diǎn)的切線的斜率為 SKIPIF 1 < 0 ，
則有 SKIPIF 1 < 0 ，
由題意可知： SKIPIF 1 < 0 ，于是有： SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，或 SKIPIF 1 < 0 ，
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)，則有 SKIPIF 1 < 0 ，
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)，則有 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 可解， SKIPIF 1 < 0 .
18．（2024屆福建省漳州市第三中學(xué)高三上學(xué)期9月月考）已知函數(shù) SKIPIF 1 < 0 ，若過點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 可作曲線 SKIPIF 1 < 0 的三條切線，則 SKIPIF 1 < 0 的取值范圍是 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】設(shè)過點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 的直線為 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，設(shè)切點(diǎn)為 SKIPIF 1 < 0 ，
則 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 有三個(gè)解，
令 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 單調(diào)遞增， SKIPIF 1 < 0 單調(diào)遞減，
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 有三個(gè)解，
得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
19．（2024屆江西省智學(xué)聯(lián)盟體高三第一次聯(lián)考）若過 SKIPIF 1 < 0 軸上任意點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 可作曲線 SKIPIF 1 < 0 兩條切線，則 SKIPIF 1 < 0 的取值范圍 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】設(shè)曲線上一點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，在 SKIPIF 1 < 0 點(diǎn)的切線方程 SKIPIF 1 < 0 ，
把 SKIPIF 1 < 0 點(diǎn)代入切線方程得 SKIPIF 1 < 0 ，得： SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，分別令 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 解得
SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 單調(diào)遞增， SKIPIF 1 < 0 單調(diào)遞減， SKIPIF 1 < 0 ，
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 要有兩個(gè)解，
則 SKIPIF 1 < 0 即對(duì)任意 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，
對(duì)任意 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，只要 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 單調(diào)遞減，在 SKIPIF 1 < 0 單調(diào)遞增，則 SKIPIF 1 < 0 ． SKIPIF 1 < 0 ．
20．已知函數(shù) SKIPIF 1 < 0 有兩條與直線 SKIPIF 1 < 0 平行的切線，且切點(diǎn)坐標(biāo)分別為 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 的取值范圍是 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】由題意可知 SKIPIF 1 < 0 的定義域?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ,
由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得，切點(diǎn)為 SKIPIF 1 < 0 時(shí)，切線斜率為 SKIPIF 1 < 0 ，
切點(diǎn)為 SKIPIF 1 < 0 時(shí)，切線斜率為 SKIPIF 1 < 0 ．
又∵兩條切線與直線 SKIPIF 1 < 0 平行，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 是關(guān)于方程 SKIPIF 1 < 0 的兩根，
由 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，
可得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
四、解答題
21．（2023屆河南省部分學(xué)校高三押題信息卷）已知函數(shù) SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求證：曲線 SKIPIF 1 < 0 僅有一條過原點(diǎn)的切線；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 時(shí)，關(guān)于 SKIPIF 1 < 0 的方程 SKIPIF 1 < 0 有唯一解，求實(shí)數(shù) SKIPIF 1 < 0 的取值范圍．
【解析】（1） SKIPIF 1 < 0 的定義域?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，設(shè)切點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，
則切線方程為 SKIPIF 1 < 0 ，
當(dāng)切線過原點(diǎn)時(shí)有 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即切點(diǎn)有且只有一個(gè)，則曲線 SKIPIF 1 < 0 僅有一條過原點(diǎn)的切線，即得證.
（2）關(guān)于 SKIPIF 1 < 0 的方程 SKIPIF 1 < 0 有唯一解，即方程 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 有唯一解，
令 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 .
因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，故當(dāng) SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 ，函數(shù) SKIPIF 1 < 0 單調(diào)遞增，且當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 ，當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 .
易知 SKIPIF 1 < 0 的圖象與直線 SKIPIF 1 < 0 有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，滿足題意，此時(shí) SKIPIF 1 < 0 ；
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 時(shí)，設(shè) SKIPIF 1 < 0 有兩個(gè)根 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 .
①若 SKIPIF 1 < 0 ，則當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 單調(diào)遞增；
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 單調(diào)遞減，且當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 ，當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 .
故要使得 SKIPIF 1 < 0 有唯一解，則 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 恒成立.
此時(shí) SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
則極大值 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，故當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 單調(diào)遞增；當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 單調(diào)遞減.
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 恒成立，故 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；
同理，極小值 SKIPIF 1 < 0 ，當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)無最小值，此時(shí)無實(shí)數(shù) SKIPIF 1 < 0 使得 SKIPIF 1 < 0 恒成立.
②若 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，不滿足 SKIPIF 1 < 0 ；
③若 SKIPIF 1 < 0 ，由①可得 SKIPIF 1 < 0 ；
故當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 .
綜上所述：
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 ；當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 .
22.（2024屆江蘇省南通市如東縣高三上學(xué)期期初學(xué)情檢）已知 SKIPIF 1 < 0 是函數(shù) SKIPIF 1 < 0 的極值點(diǎn).
(1)求 SKIPIF 1 < 0 的極值；
(2)證明：過點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 可以作曲線 SKIPIF 1 < 0 的兩條切線.
【解析】（1）因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 是函數(shù) SKIPIF 1 < 0 的極值點(diǎn)，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
即 SKIPIF 1 < 0 ，
易知當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 ；當(dāng) SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 ；
因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上單調(diào)遞增， SKIPIF 1 < 0 上單調(diào)遞減， SKIPIF 1 < 0 上單調(diào)遞增，
所以當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 取得極大值 SKIPIF 1 < 0 ；當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 取得極小值 SKIPIF 1 < 0 .
（2）設(shè)切點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，
則切線方程是 SKIPIF 1 < 0 .
SKIPIF 1 < 0 代入得 SKIPIF 1 < 0 ，
整理得 SKIPIF 1 < 0 .
設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，則
SKIPIF 1 < 0 .
易知 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上單調(diào)遞減， SKIPIF 1 < 0 上單調(diào)遞增，
SKIPIF 1 < 0 上單調(diào)遞減， SKIPIF 1 < 0 上單調(diào)遞增，
又因 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上有且只有一個(gè)零點(diǎn).
又因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上有且只有一個(gè)等點(diǎn).
又因?yàn)楫?dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上沒有零點(diǎn)；
即 SKIPIF 1 < 0 有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，也即過點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 可以作曲線 SKIPIF 1 < 0 的兩條切線.

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