考法一 集合與邏輯用語(yǔ)
【例1-1】（2022浙江溫州）在數(shù)學(xué)漫長(zhǎng)的發(fā)展過(guò)程中，數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)在數(shù)學(xué)中存在著神秘的“黑洞”現(xiàn)象．?dāng)?shù)學(xué)黑洞：無(wú)論怎樣設(shè)值，在規(guī)定的處理法則下，最終都將得到固定的一個(gè)值，再也跳不出去，就像宇宙中的黑洞一樣．目前已經(jīng)發(fā)現(xiàn)的數(shù)字黑洞有“123黑洞”、“卡普雷卡爾黑洞”、“自戀性數(shù)字黑洞”等．定義：若一個(gè)n位正整數(shù)的所有數(shù)位上數(shù)字的n次方和等于這個(gè)數(shù)本身，則稱(chēng)這個(gè)數(shù)是自戀數(shù)．已知所有一位正整數(shù)的自戀數(shù)組成集合A，集合，則的子集個(gè)數(shù)為（ ）
A．3B．4C．7D．8
【例1-2】（2022云南曲靖）杜甫在《奉贈(zèng)韋左丞丈二十二韻》中有詩(shī)句：“讀書(shū)破萬(wàn)卷，下筆如有神.”對(duì)此詩(shī)句的理解是讀書(shū)只有讀透書(shū)，博覽群書(shū)，這樣落實(shí)到筆下，運(yùn)用起來(lái)才有可能得心應(yīng)手，如有神助一般，由此可得，“讀書(shū)破萬(wàn)卷”是“下筆如有神”的（ ）
A．充分不必要條件B．充要條件C．必要不充分條件D．既不充分也不必要條件
【例1-3】（2022秋·上海徐匯·高一上海市南洋模范中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在整數(shù)集中，被5除所得余數(shù)為的所有整數(shù)組成一個(gè)“類(lèi)”，記為，即，，1，2，3，4，給出如下四個(gè)結(jié)論：
①；②；③；
④整數(shù)、屬于同一“類(lèi)”的充要條件是“”．
其中正確的結(jié)論個(gè)數(shù)為（ ）
A．1B．2C．3D．4
考法二 三角函數(shù)與解三角形
【例2-1】（2022春·湖南懷化）明朝早期，鄭和七下西洋過(guò)程中，將中國(guó)古代天體測(cè)量方面所取得的成就創(chuàng)造性地應(yīng)用于航海，形成了一套先進(jìn)航海技術(shù)——“過(guò)洋牽星術(shù)”．簡(jiǎn)單地說(shuō)，就是通過(guò)觀(guān)測(cè)不同季節(jié)、時(shí)辰的日月星辰在天空運(yùn)行的位置和測(cè)量星辰在海面以上的高度來(lái)判斷方位．其采用的主要工具是牽星板，由12塊正方形木板組成，最小的一塊邊長(zhǎng)約2厘米（稱(chēng)一指），木板的長(zhǎng)度從小到大依次成等差數(shù)列，最大的邊長(zhǎng)約24厘米（稱(chēng)十二指）．觀(guān)測(cè)時(shí)，將木板立起，一手拿著木板，手臂伸直，眼睛到木板的距離大約為72厘米，使?fàn)啃前迮c海平面垂直，讓板的下緣與海平面重合，上邊緣對(duì)著所觀(guān)測(cè)的星辰，依高低不同替換、調(diào)整木板，當(dāng)被測(cè)星辰落在木板上邊緣時(shí)所用的是幾指板，觀(guān)測(cè)的星辰離海平面的高度就是幾指，然后就可以推算出船在海中的地理緯度．如圖所示，若在一次觀(guān)測(cè)中，所用的牽星板為六指板，則（ ）
A．B．C．D．
【例2-2】（2022秋·全國(guó)·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）秦九韶是我國(guó)南宋著名數(shù)學(xué)家，在他的著作《數(shù)書(shū)九章》中提出了已知三角形的三邊求面積的方法：“以小斜冪并大斜冪減中斜冪，余半之，自乘于上．以小斜冪乘大斜冪減上，余四約之，為實(shí)．一為從隅，開(kāi)平方得積．”以上文字用公式表示就是，其中a，b，c分別是△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，S是△ABC的面積，在△ABC中，若，，，則△ABC的內(nèi)切圓的面積為（ ）
A．B．C．D．
【例2-3】（2022秋·廣東肇慶·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）《周髀算經(jīng)》是我國(guó)最早的數(shù)學(xué)典籍，書(shū)中記載：我國(guó)早在商代時(shí)期，數(shù)學(xué)家商高就發(fā)現(xiàn)了勾股定理，亦稱(chēng)商高定理三國(guó)時(shí)期數(shù)學(xué)家趙爽創(chuàng)制了如圖1的“勾股圓方圖”（以弦為邊長(zhǎng)得到的正方形是由4個(gè)全等的直角三角形再加上中間的那個(gè)小正方形組成），用數(shù)形結(jié)合法給出了勾股定理的詳細(xì)證明.現(xiàn)將“勾股圓方圖”中的四條股延長(zhǎng)相同的長(zhǎng)度得到圖2.在圖2中，若，，G，F(xiàn)兩點(diǎn)間的距離為，則“勾股圓方圖”中小正方形的面積為（ ）
A．9B．4C．3D．8
【例2-4】（2022秋·安徽·高三合肥一六八中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）我們平時(shí)聽(tīng)到的樂(lè)音不只是一個(gè)音在響，而是許多個(gè)音的結(jié)合，稱(chēng)為復(fù)合音.復(fù)合音的產(chǎn)生是因?yàn)榘l(fā)聲體在全段振動(dòng)，產(chǎn)生頻率為的基音的同時(shí)，其各部分如二分之一、三分之一、四分之一部分也在振動(dòng)，產(chǎn)生的頻率恰好是全段振動(dòng)頻率的倍數(shù)，如，，等.這些音叫諧音，因?yàn)槠湔穹^小，一般不易單獨(dú)聽(tīng)出來(lái)，所以我們聽(tīng)到的聲音的函數(shù)為.則函數(shù)的周期為（ ）
A．B．C．D．
【例2-5】（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）如圖是集合中的點(diǎn)在平面上運(yùn)動(dòng)時(shí)留下的陰影，中間形如“水滴”部分的平面面積為（ ）
A．B．
C．D．
考法三 數(shù)列
【例3-1】（2022秋·江蘇淮安·高三?？茧A段練習(xí)）天干地支紀(jì)年法源于中國(guó)，中國(guó)自古便有十天干與十二地支.十天干即：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥.天干地支紀(jì)年法是按順序以一個(gè)天干和一個(gè)地支相配，排列起來(lái)，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，比如第一年為“甲子”，第二年為“乙丑”，第三年為“丙寅”，…，以此類(lèi)推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新開(kāi)始，即“甲戌”，“乙亥”，之后地支回到“子”重新開(kāi)始，即“丙子”，…，以此類(lèi)推，2022年是壬寅年，請(qǐng)問(wèn)：在100年后的2122年為（ ）
A．壬午年B．辛丑年C．己亥年D．戊戌年
【例3-2】（2022·四川宜賓·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）南宋數(shù)學(xué)家楊輝給出了著名的三角垛公式：，則數(shù)列的前項(xiàng)和為（ ）
A．B．
C．D．
【例3-3】（2022·浙江嘉興）“中國(guó)剩余定理”又稱(chēng)“孫子定理”，1852年英國(guó)來(lái)華傳教偉烈亞力將《孫子算經(jīng)》中“物不知數(shù)”問(wèn)題的解法傳至歐洲．1874年，英國(guó)數(shù)學(xué)家馬西森指出此法符合1801年由高斯得出的關(guān)于同余式解法的一般性定理，因而西方稱(chēng)之為“中國(guó)剩余定理”．“中國(guó)剩余定理”講的是一個(gè)關(guān)于整除的問(wèn)題，現(xiàn)有這樣一個(gè)整除問(wèn)題：將正整數(shù)中能被3除余2且被7除余2的數(shù)按由小到大的順序排成一列，構(gòu)成數(shù)列，則（ ）
A．17B．37C．107D．128
【例3-4】（2022福建漳州）“蘇州碼子”發(fā)源于蘇州，作為一種民間的數(shù)字符號(hào)流行一時(shí)，被廣泛應(yīng)用于各種商業(yè)場(chǎng)合.“蘇州碼子”0~9的寫(xiě)法依次為○?丨?刂?川?ㄨ??〦?〧?〨?攵.某鐵路的里程碑所刻數(shù)代表距離始發(fā)車(chē)站的里程，如某處里程碑上刻著“〦○”代表距離始發(fā)車(chē)站的里程為60公里，已知每隔3公里擺放一個(gè)里程碑，若在點(diǎn)處里程碑上刻著“ㄨ”，在點(diǎn)處里程碑上刻著“攵〦”，則從點(diǎn)到點(diǎn)的所有里程碑上所刻數(shù)之和為（ ）
A．1029B．1125C．1224D．1650
考法四 平面向量
【例4-1】（2023秋·云南·高三云南師大附中?？茧A段練習(xí)）窗花是貼在窗紙或窗戶(hù)玻璃上的剪紙，是中國(guó)古老的漢族傳統(tǒng)民間藝術(shù)之一，它歷史?久，風(fēng)格獨(dú)特，深受?chē)?guó)內(nèi)外人士所喜愛(ài)．如圖甲是一個(gè)正八邊形窗花隔斷，圖乙是從窗花圖中抽象出的幾何圖形示意圖．已知正八邊形的邊長(zhǎng)為，是正八邊形邊上任意一點(diǎn)，則的最大值為（ ）
A．B．C．D．
【例4-2】（2022秋·寧夏銀川·高三銀川一中?？茧A段練習(xí)）圓是中華民族傳統(tǒng)文化的形態(tài)象征，象征著“圓滿(mǎn)”和“飽滿(mǎn)”，是自古以和為貴的中國(guó)人所崇拜的圖騰．如圖，是圓的一條直徑，且．，是圓上的任意兩點(diǎn)，，點(diǎn)在線(xiàn)段上，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【例4-3】（2022·全國(guó)·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）黃金分割〔〕是一種數(shù)學(xué)上的比例關(guān)系.黃金分割具有嚴(yán)格的比例性、藝術(shù)性、和諧性，蘊(yùn)藏著豐富的美學(xué)價(jià)值.應(yīng)用時(shí)一般取，就像圓周率在應(yīng)用時(shí)取一樣.高雅的藝術(shù)殿堂里，自然也留下了黃金數(shù)的足跡.人們還發(fā)現(xiàn)，一些名畫(huà)、雕塑、攝影作品的主題，大多在畫(huà)面的處.藝術(shù)家們認(rèn)為弦樂(lè)器的琴馬放在琴弦的處，能使琴聲更加柔和甜美.黃金矩形的長(zhǎng)寬之比為黃金分割率，換言之，矩形的長(zhǎng)邊為短邊倍.黃金分割率和黃金矩形能夠給畫(huà)面帶來(lái)美感，令人愉悅.在很多藝術(shù)品以及大自然中都能找到它.希臘雅典的巴特農(nóng)神廟就是一個(gè)很好的例子，達(dá)芬奇的《維特魯威人》符合黃金矩形.《蒙娜麗莎》中蒙娜麗莎的臉也符合黃金矩形，《最后的晚餐》同樣也應(yīng)用了該比例布局.2000多年前，古希臘雅典學(xué)派的第三大算學(xué)家歐道克薩斯首先提出黃金分割.所謂黃金分割，指的是把長(zhǎng)為L(zhǎng)的線(xiàn)段分為兩部分，使其中一部分對(duì)于全部之比，等于另一部分對(duì)于該部分之比，黃金分割比為其實(shí)有關(guān)“黃金分割”，我國(guó)也有記載，雖沒(méi)有古希臘的早，但它是我國(guó)數(shù)學(xué)家獨(dú)立創(chuàng)造的.如圖，在矩形中，，相交于點(diǎn)，，，，，，則（ ）
A．B．
C．D．
【例4-4】（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）莊嚴(yán)美麗的國(guó)旗和國(guó)徽上的五角星是革命和光明的象征．正五角星是一個(gè)非常優(yōu)美的幾何圖形，且與黃金分割有著密切的聯(lián)系，在如圖所示的正五角星中，以A，B，C，D，E為頂點(diǎn)的多邊形為正五邊形，且＝.下列關(guān)系中正確的是（ ）
A．
B．
C．
D．
考法五 空間幾何
【例5-1】（2023吉林四平）“阿基米德多面體”也稱(chēng)為半正多面體，半正多面體是由兩種或多種正多邊形面組成，而又不屬于正多面體的凸多面體．如圖，某廣場(chǎng)的一張石凳就是一個(gè)阿基米德多面體，它是由正方體截去八個(gè)一樣的四面體得到的．若被截正方體的棱長(zhǎng)為，則該阿基米德多面體的表面積為（ ）
A．B．
C．D．
【例5-2】（2022秋·海南省直轄縣級(jí)單位·高三嘉積中學(xué)?？茧A段練習(xí)）圖1中的機(jī)械設(shè)備叫做“轉(zhuǎn)子發(fā)動(dòng)機(jī)”，其核心零部件之一的轉(zhuǎn)子形狀是“曲側(cè)面三棱柱”，圖2是一個(gè)曲側(cè)面三棱柱，它的側(cè)棱垂直于底面，底面是“萊洛三角形”，萊洛三角形是以正三角形的三個(gè)頂點(diǎn)為圓心，正三角形的邊長(zhǎng)為半徑畫(huà)圓弧得到的，如圖3．若曲側(cè)面三棱柱的高為5，底面任意兩頂點(diǎn)之間的距離為10，則其側(cè)面積為（ ）
A．B．C．D．
【例5-3】（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）“牟合方蓋”是我國(guó)古代數(shù)學(xué)家劉徽在研究球的體積過(guò)程中構(gòu)造的一個(gè)和諧優(yōu)美的幾何模型.如圖1，正方體的棱長(zhǎng)為2，用一個(gè)底面直徑為2的圓柱面去截該正方體，沿著正方體的前后方向和左右方向各截一次，截得的公共部分即是一個(gè)牟合方蓋（如圖2）.已知這個(gè)牟合方蓋與正方體內(nèi)切球的體釈之比為，則正方體除去牟合方蓋后剩余部分的體積為（ ）
A．B．C．D．
【例5-4】（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）公元前3世紀(jì)，古希臘歐幾里得在《幾何原本》里提出：“球的體積（V）與它的直徑（D）的立方成正比”，此即，歐幾里得未給出k的值．17世紀(jì)日本數(shù)學(xué)家們對(duì)球的體積的方法還不了解，他們將體積公式中的常數(shù)k稱(chēng)為“立圓率”或“玉積率”．類(lèi)似地，對(duì)于等邊圓柱（軸截面是正方形的圓柱），正方體也可利用公式求體積（在等邊圓柱中，D表示底面圓的直徑；在正方體中，D表示棱長(zhǎng)）．假設(shè)運(yùn)用此體積公式求得球（直徑為a），等邊圓柱（底面圓的直徑為a），正方體（棱長(zhǎng)為a）的“玉積率”分別為，那么（ ）
A．B．
C．D．
考法六 函數(shù)與導(dǎo)數(shù)
【例6-1】（2022北京海淀·高三北大附中?？茧A段練習(xí)）成書(shū)于約兩千多年前的我國(guó)古代數(shù)學(xué)典籍《九章算術(shù)》中記載了通過(guò)加減消元求解元一次方程組的算法，直到擁有超強(qiáng)算力計(jì)算機(jī)的今天，這仍然是一種效率極高的算法.按照這種算法，求解元一次方程組大約需要對(duì)實(shí)系數(shù)進(jìn)行（為給定常數(shù)）次計(jì)算.1949年，經(jīng)濟(jì)學(xué)家萊昂提夫?yàn)檠芯俊巴度氘a(chǎn)出模型”（該工作后來(lái)獲得1973年諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)），利用當(dāng)時(shí)的計(jì)算機(jī)求解一個(gè)42元一次方程組，花了約56機(jī)時(shí).事實(shí)上，他的原始模型包含500個(gè)未知數(shù)，受限于機(jī)器算力而不得不進(jìn)行化簡(jiǎn)以減少未知數(shù).如果不進(jìn)行化簡(jiǎn)，根據(jù)未知數(shù)個(gè)數(shù)估計(jì)所需機(jī)時(shí)，結(jié)果最接近于（ ）
A．機(jī)時(shí)B．機(jī)時(shí)C．機(jī)時(shí)D．機(jī)時(shí)
【例6-2】（2022秋·河北邢臺(tái)·高一邢臺(tái)一中校考階段練習(xí)）17世紀(jì)，蘇格蘭數(shù)學(xué)加皮納爾在研究天文學(xué)過(guò)程中，為了簡(jiǎn)化大數(shù)運(yùn)算，發(fā)明了對(duì)數(shù)，對(duì)數(shù)的思想方法即把乘方、乘法運(yùn)算轉(zhuǎn)化為乘法、加法運(yùn)算，從而簡(jiǎn)化運(yùn)算過(guò)程.數(shù)學(xué)家拉普朗斯稱(chēng)贊“對(duì)數(shù)的發(fā)明在實(shí)效上等于把天文學(xué)家的壽命延長(zhǎng)了許多倍”，現(xiàn)代物理學(xué)之父伽利略評(píng)價(jià)“給我空間、時(shí)間及對(duì)數(shù)，我可以創(chuàng)造一個(gè)宇宙”.已知，則所在的區(qū)間為（ ）
A．B．C．D．
【例6-3】（2022江蘇鹽城）（多選）高斯是德國(guó)著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的美譽(yù)，用其名字命名的“高斯函數(shù)”：設(shè)，用[x]表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，則稱(chēng)為高斯函數(shù)，也稱(chēng)為取整函數(shù)，例如：，下列函數(shù)中，滿(mǎn)足函數(shù)的值域中有且僅有兩個(gè)元素的是（ ）
A．
B．
C．
D．
考法七 統(tǒng)計(jì)概率
【例7-1】（2023秋·遼寧葫蘆島·高一統(tǒng)考期末）張益唐是當(dāng)代著名華人數(shù)學(xué)家，他在數(shù)論研究方面取得了巨大成就，曾經(jīng)在《數(shù)學(xué)年刊》發(fā)表《質(zhì)數(shù)間的有界間隔》，證明了存在無(wú)窮多對(duì)質(zhì)數(shù)間隙都小于7000萬(wàn)．2013年張益唐證明了孿生素?cái)?shù)猜想的一個(gè)弱化形式，孿生素?cái)?shù)猜想是希爾伯特在1900年提出的23個(gè)問(wèn)題之一，可以這樣描述，存在無(wú)窮多個(gè)素?cái)?shù)p，使得是素?cái)?shù)，素?cái)?shù)對(duì)稱(chēng)為孿生素?cái)?shù)，在不超過(guò)12的素?cái)?shù)中，隨機(jī)選取兩個(gè)不同的數(shù)，能夠組成孿生素?cái)?shù)的概率是（ ）
A．B．C．D．
【例7-2】（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）我們的祖先創(chuàng)造了一種十分重要的計(jì)算方法：籌算.籌算用的算籌是竹制的小棍，也有骨制的.據(jù)《孫子算經(jīng)》記載，算籌記數(shù)法則是：凡算之法，先識(shí)其位，一縱十橫，百立千僵，千十相望，萬(wàn)百相當(dāng).即在算籌計(jì)數(shù)法中，表示多位數(shù)時(shí)，個(gè)位用縱式，十位用橫式，百位用縱式，千位用橫式，以此類(lèi)推，如圖所示，例如：表示62，表示26，現(xiàn)有5根算籌，據(jù)此表示方式表示兩位數(shù)（算籌不剩余且個(gè)位不為0），則這個(gè)兩位數(shù)大于40的概率為（ ）
A．B．C．D．
【例7-3】（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）花窗是一種在窗洞中用鏤空?qǐng)D案進(jìn)行裝飾的建筑結(jié)構(gòu)，這是中國(guó)古代建筑中常見(jiàn)的美化形式，既具備實(shí)用功能，又帶有裝飾效果．如圖所示是一個(gè)花窗圖案，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別為AB，BC，CD，DA上的三等分點(diǎn)；點(diǎn)P，M，N，O分別為EF，F(xiàn)G，GH，HE上的三等分點(diǎn)；同樣，點(diǎn)Q，R，S，T分別為PM，MN，NO，OP上的三等分點(diǎn)．若在大正方形中隨機(jī)取一點(diǎn)，則該點(diǎn)取自陰影部分的概率為（ ）
A．B．C．D．
【例7-4】（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）馬林?梅森（MarinMersenne，1588-1648）是17世紀(jì)法國(guó)著名的數(shù)學(xué)家和修道士，也是當(dāng)時(shí)歐洲科學(xué)界一位獨(dú)特的中心人物．梅森在歐幾里得、費(fèi)馬等人研究的基礎(chǔ)上對(duì)作了大量的計(jì)算、驗(yàn)證工作．人們?yōu)榧o(jì)念梅森在數(shù)論方面的這一貢獻(xiàn)，將形如（其中p是素?cái)?shù)）的素?cái)?shù)，稱(chēng)為梅森素?cái)?shù)（素?cái)?shù)也稱(chēng)質(zhì)數(shù)）．在不超過(guò)30的素?cái)?shù)中，隨機(jī)選取3個(gè)不同的數(shù)，至少有一個(gè)為梅森素?cái)?shù)的概率是（ ）
A．B．C．D．
【例7-5】（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）《三十六計(jì)》是中華民族珍貴的文化遺產(chǎn)之一，是一部傳習(xí)久遠(yuǎn)的兵法奇書(shū)，與《孫子兵法》合稱(chēng)我國(guó)古代兵法謀略學(xué)的雙壁.三十六計(jì)共分勝戰(zhàn)計(jì)?敵戰(zhàn)計(jì)?攻戰(zhàn)計(jì)?混戰(zhàn)計(jì)?并戰(zhàn)計(jì)?敗戰(zhàn)計(jì)六套，每一套都包含六計(jì)，合三十六個(gè)計(jì)策，如果從這36個(gè)計(jì)策中任取2個(gè)計(jì)策，則這2個(gè)計(jì)策都來(lái)自同一套的概率為（ ）
A．B．C．D．
考法八 復(fù)數(shù)
【例8-1】（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）人們對(duì)數(shù)學(xué)研究的發(fā)展一直推動(dòng)著數(shù)域的擴(kuò)展，從正數(shù)到負(fù)數(shù)、從整數(shù)到分?jǐn)?shù)、從有理數(shù)到實(shí)數(shù)等等．16世紀(jì)意大利數(shù)學(xué)家卡爾丹和邦貝利在解方程時(shí)，首先引進(jìn)了，17世紀(jì)法因數(shù)學(xué)家笛卡兒把i稱(chēng)為“虛數(shù)”，用表示復(fù)數(shù)，并在直角坐標(biāo)系上建立了“復(fù)平面”．若復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足方程，則（ ）
A．B．C．D．
【例8-2】（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）歐拉公式（其中i是虛數(shù)單位，e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）是數(shù)學(xué)中的一個(gè)神奇公式．根據(jù)歐拉公式，復(fù)數(shù)在復(fù)平面上所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限
【例8-3】（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）歐拉是世紀(jì)最偉大的數(shù)學(xué)家之一，在很多領(lǐng)域中都有杰出的貢獻(xiàn)．由《物理世界》發(fā)起的一項(xiàng)調(diào)查表明，人們把歐拉恒等式“”與麥克斯韋方程組并稱(chēng)為“史上最偉大的公式”．其中，歐拉恒等式是歐拉公式：的一種特殊情況．根據(jù)歐拉公式，（ ）
A．B．C．D．
【例8-4】（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）世紀(jì)末，挪威測(cè)量學(xué)家維塞爾首次利用坐標(biāo)平面上的點(diǎn)來(lái)表示復(fù)數(shù)，使復(fù)數(shù)及其運(yùn)算具有了幾何意義，例如，也即復(fù)數(shù)的模的幾何意義為對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離．已知復(fù)數(shù)滿(mǎn)足，則的最大值為（ ）
A．B．C．D．
【例8-5】（2022春·遼寧·高一渤海大學(xué)附屬高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）歐拉公式（）被稱(chēng)為“上帝公式”、“最偉大的數(shù)學(xué)公式”、“數(shù)學(xué)家的寶藏”．尤其是當(dāng)時(shí)，得到，將數(shù)學(xué)中幾個(gè)重要的數(shù)字0，1，i，e，聯(lián)系在一起，美妙的無(wú)與倫比．利用歐拉公式化簡(jiǎn)，則在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限
考法九 不等式
【例9-1】（2022北京豐臺(tái)）《幾何原本》卷Ⅱ的幾何代數(shù)法成了后世西方數(shù)學(xué)家處理數(shù)學(xué)問(wèn)題的重要依據(jù).通過(guò)這一原理，很多代數(shù)的定理都能夠通過(guò)圖形實(shí)現(xiàn)證明，也稱(chēng)之為無(wú)字證明現(xiàn)有如圖所示圖形，點(diǎn)F在半圓O上，點(diǎn)C在直徑AB上，且OF⊥AB，設(shè)AC＝a，BC＝b，可以直接通過(guò)比較線(xiàn)段OF與線(xiàn)段CF的長(zhǎng)度完成的無(wú)字證明為（ ）
A．a(chǎn)2+b2≥2ab（a＞0，b＞0）B．
C．（a＞0，b＞0）D．（a＞0，b＞0）
【例9-2】（2023四川成都）十六世紀(jì)中葉，英國(guó)數(shù)學(xué)家雷科德在《礪智石》一書(shū)中首先把“＝”作為等號(hào)使用，后來(lái)英國(guó)數(shù)學(xué)家哈利奧特首次命題正確的是使用“＜”和“＞”符號(hào)，并逐漸被數(shù)學(xué)屆接受，不等號(hào)的引入對(duì)不等式的發(fā)展影響深遠(yuǎn)．若a，b，c∈R，則下列命題正確的是（ ）
A．若a＜b，則B．若a＞b＞0，則
C．若a＞b，則D．若，則a＞b
【例9-3】（2022·河北張家口）太極圖被稱(chēng)為“中華第一圖”.從孔廟大成殿梁柱，到老子樓觀(guān)臺(tái)?三茅宮?白云觀(guān)的標(biāo)記物；到中醫(yī)?氣功?武術(shù)及中國(guó)傳統(tǒng)文化的書(shū)刊封面?會(huì)徽?會(huì)標(biāo)這種廣為人知的太極圖，其形狀如陰陽(yáng)兩魚(yú)互糾在一起，因而被習(xí)稱(chēng)為“陰陽(yáng)魚(yú)太極圖”.已知函數(shù)，則以下圖形中，陰影部分可以用不等式組表示的是（ ）
A．B．
C．D．
【例9-4】（2023·江西）《幾何原本》卷的幾何代數(shù)法（以幾何方法研究代數(shù)問(wèn)題）成了后世西方數(shù)學(xué)家處理問(wèn)題的重要依據(jù)．通過(guò)這一原理，很多的代數(shù)的公理或定理都能夠通過(guò)圖形實(shí)現(xiàn)證明，也稱(chēng)之為無(wú)字證明．現(xiàn)有如圖所示圖形，點(diǎn)在半圓上，點(diǎn)在直徑上，且，設(shè)，，則該圖形可以完成的無(wú)字證明為（ ）
A．B．
C．D．
考法十 解析幾何
【例10-1】（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）（多選）古希臘著名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯與歐幾里得、阿基米德齊名．他發(fā)現(xiàn)：“平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)，的距離之比為定值的點(diǎn)的軌跡是圓”．后來(lái)人們將這個(gè)圓以他的名字命名，稱(chēng)為阿波羅尼斯圓，簡(jiǎn)稱(chēng)阿氏圓．在平面直角坐標(biāo)系中，，，點(diǎn)滿(mǎn)足．點(diǎn)的軌跡為曲線(xiàn)，下列結(jié)論正確的是（ ）
A．曲線(xiàn)的方程為
B．曲線(xiàn)被軸截得的弦長(zhǎng)為
C．直線(xiàn)與曲線(xiàn)相切
D．是曲線(xiàn)上任意一點(diǎn)，當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為
【例10-2】（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）第24屆冬季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)，將于2022年2月在北京和張家口舉行，北京冬奧會(huì)會(huì)徽以漢字“冬”為靈感來(lái)源，運(yùn)用中國(guó)書(shū)法的藝術(shù)形態(tài)，將厚重的東方文化底蘊(yùn)與國(guó)際化的現(xiàn)代風(fēng)格融為一體，呈現(xiàn)出新時(shí)代的中國(guó)新形象、新夢(mèng)想．會(huì)徽?qǐng)D形上半部分展現(xiàn)滑冰運(yùn)動(dòng)員的造型，下半部分表現(xiàn)滑雪運(yùn)動(dòng)員的英姿．中間舞動(dòng)的線(xiàn)條流暢且充滿(mǎn)韻律，代表舉辦地起伏的山巒、賽場(chǎng)、冰雪滑道和節(jié)日飄舞的絲帶，下部為奧運(yùn)五環(huán)，不僅象征五大洲的團(tuán)結(jié)，而且強(qiáng)調(diào)所有參賽運(yùn)動(dòng)員應(yīng)以公正、坦誠(chéng)的運(yùn)動(dòng)員精神在比賽場(chǎng)上相見(jiàn)．其中奧運(yùn)五環(huán)的大小和間距按以下比例（如圖）：若圓半徑均為12，則相鄰圓圓心水平距離為26，兩排圓圓心垂直距離為11，設(shè)五個(gè)圓的圓心分別為，若雙曲線(xiàn)C以為焦點(diǎn)、以直線(xiàn)為一條漸近線(xiàn)，則C的離心率為（ ）
A．B．C．D．
【例10-3】（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得在《幾何原本》中描述了圓錐曲線(xiàn)的共性，并給出了圓錐曲線(xiàn)的統(tǒng)一定義，只可惜對(duì)這一定義歐幾里得沒(méi)有給出證明．經(jīng)過(guò)了500年，到了3世紀(jì)，希臘數(shù)學(xué)家帕普斯在他的著作《數(shù)學(xué)匯篇》中，完善了歐幾里得關(guān)于圓錐曲線(xiàn)的統(tǒng)一定義，并對(duì)這一定義進(jìn)行了證明，他指出，到定點(diǎn)的距離與到定直線(xiàn)的距離的比是常數(shù)e的點(diǎn)的軌跡叫做圓錐曲線(xiàn)：當(dāng)時(shí)，軌跡為橢圓；當(dāng)時(shí)，軌跡為拋物線(xiàn)；當(dāng)時(shí)，軌跡為雙曲線(xiàn)．現(xiàn)有方程表示的曲線(xiàn)是雙曲線(xiàn)，則m的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
1．（2023天津）荀子日：“故不積跬步，無(wú)以至千里；不積小流，無(wú)以成江海.”這句來(lái)自先秦時(shí)期的名言闡述了做事情不一點(diǎn)一點(diǎn)積累，就永遠(yuǎn)無(wú)法達(dá)成目標(biāo)的哲理.由此可得，“積跬步”是“至千里”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件
2．（2022內(nèi)蒙古赤峰·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）材料一：已知三角形三邊長(zhǎng)分別為，則三角形的面積為，其中.這個(gè)公式被稱(chēng)為海倫一秦九韶公式.
材料二：阿波羅尼奧斯（Apllnius）在《圓錐曲線(xiàn)論》中提出橢圓定義：我們把平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)的距離的和等于常數(shù)(大于的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓.
根據(jù)材料一或材料二解答：已知中，，則面積的最大值為（ ）
A．6B．10C．12D．20
3．（2022·河南·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）在計(jì)算機(jī)尚未普及的年代，人們?cè)谟?jì)算三角函數(shù)時(shí)常常需要查表得到正弦和余弦值，三角函數(shù)表的制作最早可追測(cè)到古希臘數(shù)學(xué)家托勒密．下面給出了正弦表的一部分，例如，通過(guò)查表可知的正弦值為0.0384，的正弦值為0.5135，等等.則根據(jù)該表，416．5°的余弦值為（ ）
A．0.5461B．0.5519C．0.5505D．0.5736
4．（2022·浙江·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）我國(guó)古代數(shù)學(xué)家僧一行應(yīng)用“九服晷影算法”在《大衍歷》中建立了影長(zhǎng)l與太陽(yáng)天頂距θ（）的對(duì)應(yīng)數(shù)表，這是世界數(shù)學(xué)史上較早的一張正切函數(shù)表.根據(jù)三角學(xué)知識(shí)可知，晷影長(zhǎng)l等于表高h(yuǎn)與太陽(yáng)天頂距θ正切值的乘積，即.對(duì)同一“表高”測(cè)量?jī)纱?，第一次和第二次太?yáng)天頂距分別為α，β，若第一次的“晷影長(zhǎng)”是“表高”的3倍，且，則第二次的“晷影長(zhǎng)”是“表高”的（ ）
A．1倍B．C．倍D．倍
5．（2022秋·云南·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）“易有太極，是生兩儀，兩儀生四象，四象生八卦．”太極和八卦組合成了太極八卦圖（如圖1）．某太極八卦圖的平面圖如圖2所示，其中正八邊形的中心與圓心重合，O是正八邊形的中心，MN是圓O的一條直徑，且正八邊形ABCDEFGH內(nèi)切圓的半徑為，．若點(diǎn)P是正八邊形ABCDEFGH邊上的一點(diǎn)，則的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
6．（2022北京·）在橢圓C：（）中，其所有外切矩形的頂點(diǎn)在一個(gè)定圓：上，稱(chēng)此圓為該橢圓的蒙日?qǐng)A.該圖由法國(guó)數(shù)學(xué)家G-Mnge（1746-1818）最先發(fā)現(xiàn).若橢圓C的離心率為e，左?右焦點(diǎn)分別為?，P為橢圓C上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)P和原點(diǎn)作直線(xiàn)l與蒙日?qǐng)A相交于M，N，則（ ）
A．B．1C．D．以上答案均不正確
7．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）2022年北京冬奧會(huì)開(kāi)幕式中，當(dāng)《雪花》這個(gè)節(jié)目開(kāi)始后，一片巨大的“雪花”呈現(xiàn)在舞臺(tái)中央，十分壯觀(guān)．理論上，一片雪花的周長(zhǎng)可以無(wú)限長(zhǎng)，圍成雪花的曲線(xiàn)稱(chēng)作“雪花曲線(xiàn)”，又稱(chēng)“科赫曲線(xiàn)”，是瑞典數(shù)學(xué)家科赫在1904年研究的一種分形曲線(xiàn)．如圖是“雪花曲線(xiàn)”的一種形成過(guò)程：從一個(gè)正三角形開(kāi)始，把每條邊分成三等份，然后以各邊的中間一段為底邊分別向外作正三角形，再去掉底邊，重復(fù)進(jìn)行這一過(guò)程．已知圖①中正三角形的邊長(zhǎng)為6，則圖③中的值為（ ）
A．24B．6C．D．
8．（2022廣東深圳·）享有“數(shù)學(xué)王子”稱(chēng)號(hào)的德國(guó)數(shù)學(xué)家高斯，是近代數(shù)學(xué)奠基者之一，被稱(chēng)為“高斯函數(shù)”，其中表示不超過(guò)的最大整數(shù)，例如：，設(shè)為函數(shù)的零點(diǎn)，則（ ）
A．3B．4C．5D．6
9．（2023春·山西忻州）拉格朗日中值定理是微分學(xué)的基本定理之一，定理內(nèi)容如下：如果函數(shù)在閉區(qū)間上的圖象連續(xù)不間斷，在開(kāi)區(qū)間內(nèi)的導(dǎo)數(shù)為，那么在區(qū)間內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得成立，其中叫做在上的“拉格朗日中值點(diǎn)”．根據(jù)這個(gè)定理，可得函數(shù)在上的“拉格朗日中值點(diǎn)”的個(gè)數(shù)為（ ）
A．0B．1C．2D．3
10．（2022湖北武漢）正整數(shù)1，2，3，…，的倒數(shù)的和已經(jīng)被研究了幾百年，但是迄今為止仍然沒(méi)有得到它的求和公式，只是得到了它的近似公式；當(dāng)很大時(shí).其中稱(chēng)為歐拉—馬歇羅尼常數(shù)，，至今為止都不確定是有理數(shù)還是無(wú)理數(shù).設(shè)表示不超過(guò)的最大整數(shù).用上式計(jì)算的值為（ ）（參考數(shù)據(jù)：，）
A．7B．8C．9D．10
11．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）1949年公布的《國(guó)旗制法說(shuō)明》中就五星的位置規(guī)定：大五角星有一個(gè)角尖正向上方，四顆小五角星均各有一個(gè)角尖正對(duì)大五角星的中心點(diǎn)．有人發(fā)現(xiàn)，第三顆小星的姿態(tài)與大星相近．為便于研究，如圖，以大星的中心點(diǎn)為原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系，OO1，OO2，OO3，OO4分別是大星中心點(diǎn)與四顆小星中心點(diǎn)的連接線(xiàn)，α≈16°，則第三顆小星的一條邊AB所在直線(xiàn)的傾斜角約為（ ）
A．0°B．1°C．2°D．3°
12．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）數(shù)學(xué)家歐拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直線(xiàn)上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半．這條直線(xiàn)被后人稱(chēng)為三角形的歐拉線(xiàn)．已知△ABC的頂點(diǎn)A(1，0)，B(0，2)，且AC＝BC，則△ABC的歐拉線(xiàn)的方程為（ ）
A．4x＋2y＋3＝0B．2x－4y＋3＝0
C．x－2y＋3＝0D．2x－y＋3＝0
13．（2023·陜西西安·統(tǒng)考一模）公元五世紀(jì)，數(shù)學(xué)家祖沖之估計(jì)圓周率的范圍是：，為紀(jì)念祖沖之在圓周率方面的成就，把3.1415926稱(chēng)為“祖率”，這是中國(guó)數(shù)學(xué)的偉大成就.甲同學(xué)是個(gè)數(shù)學(xué)迷，他在設(shè)置手機(jī)的數(shù)字密碼時(shí)，打算將圓周率的前6位數(shù)字3，1，4，1，5，9進(jìn)行某種排列得到密碼.如果排列時(shí)要求兩個(gè)1不相鄰，那么甲同學(xué)可以設(shè)置的不同密碼個(gè)數(shù)為（ ）
A．240B．360C．480D．720
14．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）“回文聯(lián)”是對(duì)聯(lián)中的一種，既可順讀，也可倒讀．比如，一副描繪廈門(mén)鼓浪嶼景色的回文聯(lián)：霧鎖山頭山鎖霧，天連水尾水連天．由此定義“回文數(shù)”，n為自然數(shù)，且n的各位數(shù)字反向排列所得自然數(shù)與n相等，這樣的n稱(chēng)為“回文數(shù)”，如：1221，2413142．則所有5位數(shù)中是“回文數(shù)”且各位數(shù)字不全相同的共有（ ）
A．648個(gè)B．720個(gè)C．810個(gè)D．891個(gè)
15．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）大約公元前300年，歐幾里得在他所著《幾何原本》中證明了算術(shù)基本定理：每一個(gè)比1大的數(shù)（每個(gè)比1大的正整數(shù)）要么本身是一個(gè)素?cái)?shù)，要么可以寫(xiě)成一系列素?cái)?shù)的乘積，如果不考慮這些素?cái)?shù)在乘積中的順序，那么寫(xiě)出來(lái)的形式是唯一的，即任何一個(gè)大于1的自然數(shù)（不為素?cái)?shù)）能唯一地寫(xiě)成（其中是素?cái)?shù)，是正整數(shù)，，），將上式稱(chēng)為自然數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)分解式，且的標(biāo)準(zhǔn)分解式中有個(gè)素?cái)?shù)．從120的標(biāo)準(zhǔn)分解式中任取3個(gè)素?cái)?shù)，則一共可以組成不同的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為（ ）
A．6B．13C．19D．60
16．（2023·北京·高三專(zhuān)題練習(xí)）眾所周知的“太極圖”，其形狀如對(duì)稱(chēng)的陰陽(yáng)兩魚(yú)互抱在一起，也被稱(chēng)為“陰陽(yáng)魚(yú)太極圖”.如圖是放在平面直角坐標(biāo)系中的“太極圖”.整個(gè)圖形是一個(gè)圓形.其中黑色陰影區(qū)域在軸右側(cè)部分的邊界為一個(gè)半圓，給出以下命題:
①在太極圖中隨機(jī)取一點(diǎn)，此點(diǎn)取自黑色陰影部分的概率是；
②當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)與白色部分有公共點(diǎn)；
③黑色陰影部分（包括黑白交界處）中一點(diǎn)，則的最大值為；
④若點(diǎn)，為圓過(guò)點(diǎn)的直徑，線(xiàn)段是圓所有過(guò)點(diǎn)的弦中最短的弦，則的值為.
其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是（ ）
A．①③B．③④C．①③④D．①②④
17．（2023·四川成都·成都七中?？寄M預(yù)測(cè)）算盤(pán)是中國(guó)傳統(tǒng)的計(jì)算工具，其形長(zhǎng)方，周為木框，內(nèi)貫直柱，俗稱(chēng)“檔”，檔中橫以梁，梁上兩珠，每珠作數(shù)五，梁下五珠，每珠作數(shù)一．算珠梁上部分叫上珠，梁下部分叫下珠．例如：在十位檔撥上一顆上珠和一顆下珠，個(gè)位檔撥上一顆上珠，則表示數(shù)字65．若在個(gè)、十、百、千位檔中隨機(jī)選擇一檔撥一顆上珠，再隨機(jī)選擇兩個(gè)檔位各撥一顆下珠，則所撥數(shù)字大于200的概率為（ ）
A．B．C．D．
18．（2023秋·內(nèi)蒙古赤峰·高二統(tǒng)考期末）希爾賓斯基三角形是一種分形，由波蘭數(shù)學(xué)家希爾賓斯基在1915年提出，先作一個(gè)正三角形，挖去一個(gè)“中心三角形”（即以原三角形各邊的中點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形），然后在剩下的小三角形中又挖去一個(gè)“中心三角形”，我們用白色代表挖去的面積，那么黑三角形為剩下的面積（我們稱(chēng)黑三角形為希爾賓斯基三角形）.在如圖第3個(gè)大正三角形中隨機(jī)取點(diǎn)，則落在黑色區(qū)域的概率為（ ）
A．B．C．D．
19（2022·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）據(jù)記載，歐拉公式是由瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)現(xiàn)的，該公式被譽(yù)為“數(shù)學(xué)中的天橋”特別是當(dāng)時(shí)，得到一個(gè)令人著迷的優(yōu)美恒等式，將數(shù)學(xué)中五個(gè)重要的數(shù)（自然對(duì)數(shù)的底，圓周率，虛數(shù)單位，自然數(shù)的單位和零元）聯(lián)系到了一起，有些數(shù)學(xué)家評(píng)價(jià)它是“最完美的數(shù)學(xué)公式”.根據(jù)歐拉公式，復(fù)數(shù)的虛部（ ）
A．B．C．D．
20．（2022·課時(shí)練習(xí)）歐拉公式(是虛數(shù)單位)是由瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)現(xiàn)的，它將指數(shù)函數(shù)的定義域擴(kuò)大到復(fù)數(shù)，建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的關(guān)系，它在復(fù)變函數(shù)論里非常重要，被譽(yù)為“數(shù)學(xué)中的天橋”.根據(jù)歐拉公式可知，表示的復(fù)數(shù)位于復(fù)平面中的（ ）
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限
21．（2021秋·上海楊浦·高二上海市控江中學(xué)?？计谀?shù)學(xué)中有許多形狀優(yōu)美、寓意美好的曲線(xiàn)，曲線(xiàn)就是“心形”曲線(xiàn)．給出以下列兩個(gè)結(jié)論：
①曲線(xiàn)恰好經(jīng)過(guò)6個(gè)整點(diǎn)（即橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)）；
②曲線(xiàn)上任意一點(diǎn)到原點(diǎn)的距離都不超過(guò)；
則正確的判斷是（ ）
A．①正確②錯(cuò)誤B．①錯(cuò)誤②正確
C．①②都錯(cuò)誤D．①②都正確
22．（2022秋·江蘇南通·高三江蘇省如皋中學(xué)統(tǒng)考階段練習(xí)）1883年，德國(guó)數(shù)學(xué)家康托提出了三分康托集，亦稱(chēng)康托爾集.下圖是其構(gòu)造過(guò)程的圖示，其詳細(xì)構(gòu)造過(guò)程可用文字描述為：第一步，把閉區(qū)間平均分成三段，去掉中間的一段，剩下兩個(gè)閉區(qū)間和；第二步，將剩下的兩個(gè)閉區(qū)間分別平均分為三段，各自去掉中間的一段，剩下四段閉區(qū)間：，，，；如此不斷的構(gòu)造下去，最后剩下的各個(gè)區(qū)間段就構(gòu)成了三分康托集.若經(jīng)歷步構(gòu)造后，不屬于剩下的閉區(qū)間，則的最小值是（ ）．
A．7B．8C．9D．10
23．（2022上海奉賢）古希臘時(shí)期，人們把寬與長(zhǎng)之比為的矩形稱(chēng)為黃金矩形，把這個(gè)比值稱(chēng)為黃金分割比例.如圖為希臘的一座古建筑，其中圖中的矩形ABCD，EBCF，F(xiàn)GHC，F(xiàn)GJI，LGJK，MNJK均為黃金矩形，若M與K間的距離超過(guò)1.5米，C與F間的距離小于11米，則該古建筑中A與B間的距離可能是（ ）（參考數(shù)據(jù)：，，，，，）
A．30.3米B．30.1米C．29.2米D．27.4米
24．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）高斯是德國(guó)著名數(shù)學(xué)家，享有“數(shù)學(xué)王子”的稱(chēng)號(hào)，以他名字命名的“高斯函數(shù)”是數(shù)學(xué)界非常重要的函數(shù)．“高斯函數(shù)”為，其中表示不超過(guò)的最大整數(shù)．例如，則函數(shù)的值不可能為（ ）
A．B．0C．1D．2
25．（2022·江蘇）已知表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，稱(chēng)為高斯取整函數(shù)，例如，，方程的解集為A，集合，且，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（ ）
A．或B．或
C．或D．或
26．（2023廣東）如圖在北京召開(kāi)的第24屆國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)的會(huì)標(biāo)，會(huì)標(biāo)是根據(jù)中國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖設(shè)計(jì)的，顏色的明暗使它看上去像一個(gè)風(fēng)車(chē)，代表中國(guó)人民熱情好客.我們教材中利用該圖作為一個(gè)說(shuō)法的一個(gè)幾何解釋?zhuān)@個(gè)說(shuō)法正確的是（ ）
A．如果，，那么
B．如果，那么
C．對(duì)任意實(shí)數(shù)和，有，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立
D．對(duì)任意實(shí)數(shù)和，有，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立
27．（2023福建?。┮獯罄麛?shù)學(xué)家列昂那多斐波那契以兔子繁殖為例，引入“兔子數(shù)列”：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，，即，，此數(shù)列在現(xiàn)代物理“準(zhǔn)晶體結(jié)構(gòu)”、化學(xué)等領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用.若此數(shù)列被2整除后的余數(shù)構(gòu)成一個(gè)新數(shù)列，則數(shù)列的前2020項(xiàng)的和為（ ）
A．1346B．673C．1347D．1348
28（2023·江西上饒·統(tǒng)考一模）蹴鞠，又名蹴球，蹴圓，筑球，踢圓等，蹴有用腳蹴、踢、蹋的含義，鞠最早系外包皮革、內(nèi)實(shí)米糠的球.因而蹴鞠就是指古人以腳蹴、蹋、踢皮球的活動(dòng)，類(lèi)似于今日的足球.2006年5月20日，蹴鞠作為非物質(zhì)文化遺產(chǎn)經(jīng)國(guó)務(wù)院批準(zhǔn)已列入第一批國(guó)家非物質(zhì)文化遺產(chǎn)名錄.已知半徑為3的某鞠（球）的表面上有四個(gè)點(diǎn)A，B，C，P，，，，則該鞠（球）被平面PAB所截的截面圓面積為（ ）
A．B．C．D．
29．（2022·廣西南寧·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）“割圓術(shù)”是我國(guó)古代計(jì)算圓周率的一種方法．在公元年左右，由魏晉時(shí)期的數(shù)學(xué)家劉徽發(fā)明．其原理就是利用圓內(nèi)接正多邊形的面積逐步逼近圓的面積，進(jìn)而求．根據(jù)“割圓術(shù)”，若用正二十四邊形來(lái)估算圓周率，則的近似值是（ ）（精確到）（參考數(shù)據(jù)）
A．B．C．D．
30．（2022·青海海東·?？寄M預(yù)測(cè)）擲鐵餅是一項(xiàng)體育競(jìng)技活動(dòng)．如圖，這是一位擲鐵餅運(yùn)動(dòng)員在準(zhǔn)備擲出鐵餅的瞬間，張開(kāi)的雙臂及肩部近似看成一張拉滿(mǎn)弦的“弓”．經(jīng)測(cè)量，此時(shí)兩手掌心之間的弧長(zhǎng)是，“弓”所在圓的半徑為米，則這位擲鐵餅運(yùn)動(dòng)員兩手掌心之間的距離約為（參考數(shù)據(jù)：，）（ ）
A．米B．米
C．米D．米
31（2022·河南駐馬店·河南省駐馬店高級(jí)中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）“中國(guó)剩余定理”又稱(chēng)“孫子定理”，1852年英國(guó)來(lái)華傳教士偉烈亞利將《孫子算法》中“物不知數(shù)”問(wèn)題的解法傳至歐洲.1874年，英國(guó)數(shù)學(xué)家馬西森指出此法符合1801年由高斯得出的關(guān)于同余式解法的一般性定理，因而西方稱(chēng)之為“中國(guó)剩余定理”，“中國(guó)剩余定理”講的是一個(gè)關(guān)于整除的問(wèn)題，現(xiàn)有這樣一個(gè)整除問(wèn)題：將1至2022這2022個(gè)數(shù)中，能被5除余1且被7除余1的數(shù)按由小到大的順序排成一列，構(gòu)成數(shù)列，則此數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為（ ）
A．58B．57C．56D．55
31．（2022·河南洛陽(yáng)·新安縣第一高級(jí)中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）十二平均律是我國(guó)明代音樂(lè)理論家和數(shù)學(xué)家朱載堉發(fā)明的，明萬(wàn)歷十二年(公元1584年)，他寫(xiě)成《律學(xué)新說(shuō)》提出了十二平均律的理論十二平均律的數(shù)學(xué)意義是：在1和2之間插入11個(gè)數(shù)使包含1和2的這13個(gè)數(shù)依次成遞增的等比數(shù)列，記插入的11個(gè)數(shù)之和為M，插入11個(gè)數(shù)后這13個(gè)數(shù)之和為N，則依此規(guī)則，下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（ ）
A．插入的第8個(gè)數(shù)為B．插入的第5個(gè)數(shù)是插入的第1個(gè)數(shù)的倍
C． D．
32．（2022·安徽合肥·合肥一六八中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）劉徽構(gòu)造的幾何模型“牟合方蓋”中說(shuō)：“取立方棋八枚，皆令立方一寸，積之為立方二寸．規(guī)之為圓困，徑二寸，高二寸．又復(fù)橫規(guī)之，則其形有似牟合方蓋矣．”牟合方蓋是一個(gè)正方體被兩個(gè)圓柱從縱橫兩側(cè)面作內(nèi)切圓柱體時(shí)的兩圓柱體的公共部分，計(jì)算其體積的方法是將原來(lái)的“牟合方益”平均分為八份，取它的八分之一（如圖一）．記正方形OABC的邊長(zhǎng)為r，設(shè)，過(guò)P點(diǎn)作平面PQRS平行于平面OABC．，由勾股定理有，故此正方形PQRS面積是．如果將圖一的幾何體放在棱長(zhǎng)為r的正方體內(nèi)（如圖二），不難證明圖二中與圖一等高處陰影部分的面積等于．（如圖三）設(shè)此棱錐頂點(diǎn)到平行于底面的截面的高度為h，不難發(fā)現(xiàn)對(duì)于任何高度h，此截面面積必為，根據(jù)祖暅原理計(jì)算牟合方蓋體積（ ）
注：祖暅原理：“冪勢(shì)既同，則積不容異”．意思是兩個(gè)同高的立體，如在等高處的截面積相等，則體積相等
A．B．C．D．
33．（2022·湖南衡陽(yáng)·統(tǒng)考三模）圖中的機(jī)械設(shè)備叫做“轉(zhuǎn)子發(fā)動(dòng)機(jī)”，其核心零部件之一的轉(zhuǎn)子形狀是“曲側(cè)面三棱柱”，圖是一個(gè)曲側(cè)面三棱柱，它的側(cè)棱垂直于底面，底面是“萊洛三角形”（如圖），萊洛三角形是以正三角形的三個(gè)頂點(diǎn)為圓心，正三角形的邊長(zhǎng)為半徑畫(huà)圓弧得到的，若曲側(cè)面三棱柱的高為，底面任意兩頂點(diǎn)之間的距離為，則其體積為（ ）
A．B．
C．D．
34（2022·重慶沙坪壩·重慶八中?？寄M預(yù)測(cè)）足球起源于中國(guó)東周時(shí)期的齊國(guó)，當(dāng)時(shí)把足球稱(chēng)為“蹴鞠”.漢代蹴鞠是訓(xùn)練士兵的手段，制定了較為完備的體制.如專(zhuān)門(mén)設(shè)置了球場(chǎng)，規(guī)定為東西方向的長(zhǎng)方形，兩端各設(shè)六個(gè)對(duì)稱(chēng)的“鞠域”，也稱(chēng)“鞠室”，各由一人把守.比賽分為兩隊(duì)，互有攻守，以踢進(jìn)對(duì)方鞠室的次數(shù)決定勝負(fù).年以前的世界杯用球多數(shù)由舉辦國(guó)自己設(shè)計(jì)，所以每一次球的外觀(guān)都不同，拼塊的數(shù)目如同擲骰子一樣沒(méi)準(zhǔn).自年起，世界杯官方用球選擇了三十二面體形狀的足球，沿用至今.如圖Ⅰ，三十二面體足球的面由邊長(zhǎng)相等的塊正五邊形和塊正六邊形拼接而成，形成一個(gè)近似的球體.現(xiàn)用邊長(zhǎng)為的上述正五邊形和正六邊形所圍成的三十二面體的外接球作為足球，其大圓圓周展開(kāi)圖可近似看成是由個(gè)正六邊形與個(gè)正五邊形以及條正六邊形的邊所構(gòu)成的圖形的對(duì)稱(chēng)軸截圖形所得的線(xiàn)段，如圖Ⅱ，則該足球的體積約為（ ）
參考數(shù)據(jù)：，，，，.
A．B．C．D．
35．（2023江西上饒）羅德島太陽(yáng)神巨像是古代世界七大奇跡之一,它是希臘太陽(yáng)神赫利俄斯的青銅鑄像如圖所示，太陽(yáng)神赫利俄斯手中所持的幾何體（含火焰）近似是一個(gè)底面相同的兩個(gè)圓錐合在一起，正方向投影過(guò)去，其平面幾何圖形形狀是上方內(nèi)角為，邊長(zhǎng)為2的菱形.現(xiàn)在其中一個(gè)圓錐中放置一個(gè)球體，使得球與圓錐側(cè)面、底面均相切，則該球的體積為（ ）
A．B．C．D．
36．（2022廣東）（多選）對(duì)表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，如，我們把叫做取整函數(shù)，也稱(chēng)之為高斯（Gaussian）函數(shù)，也有數(shù)學(xué)愛(ài)好者形象的稱(chēng)其為“地板函數(shù)”．在現(xiàn)實(shí)生活中，這種“截尾取整”的高斯函數(shù)有著廣泛的應(yīng)用，如停車(chē)收費(fèi)、EXCEL電子表格，在數(shù)學(xué)分析中它出現(xiàn)在求導(dǎo)、極限、定積分、級(jí)數(shù)等等各種問(wèn)題之中，以下關(guān)于“高斯函數(shù)的命題，其中是真命題有（ ）
A．B．
C．，若，則D．不等式的解集為
37．（2023云南德宏·高三統(tǒng)考期末）（多選）在整數(shù)集中，被4除所得余數(shù)為k的所有整數(shù)組成一個(gè)“類(lèi)”，記為，，則下列結(jié)論正確的為（ ）
A．B．
C．D．整數(shù)屬于同一“類(lèi)”的充要條件是“”
38（2022云南）（多選）群論是代數(shù)學(xué)的分支學(xué)科，在抽象代數(shù)中具有重要地位，且群論的研究方法也對(duì)抽象代數(shù)的其他分支有重要影響，例如一元五次及以上的方程沒(méi)有根式解就可以用群論知識(shí)證明.群的概念則是群論中最基本的概念之一，其定義如下：設(shè)G是一個(gè)非空集合，“· ”是G上的一個(gè)代數(shù)運(yùn)算，即對(duì)所有的a、b∈G，有a·b∈G，如果G的運(yùn)算還滿(mǎn)足：①a、b、c∈G，有（a·b）·c=a·（b·c）；②，使得，有，③，，使a·b=b·a=e，則稱(chēng)G關(guān)于“·”構(gòu)成一個(gè)群.則下列說(shuō)法正確的有（ ）
A．關(guān)于數(shù)的乘法構(gòu)成群
B．G={x|x=，k∈Z，k≠0}∪{x|x=m，m∈Z，m≠0}關(guān)于數(shù)的乘法構(gòu)成群
C．實(shí)數(shù)集關(guān)于數(shù)的加法構(gòu)成群
D．關(guān)于數(shù)的加法構(gòu)成群
39．（2023陜西西安）（多選）由無(wú)理數(shù)引發(fā)的數(shù)學(xué)危機(jī)一直延續(xù)到19世紀(jì)直到1872年，德國(guó)數(shù)學(xué)家戴德金從連續(xù)性的要求出發(fā)，用有理數(shù)的“分割”來(lái)定義無(wú)理數(shù)史稱(chēng)戴德金分割，并把實(shí)數(shù)理論建立在嚴(yán)格的科學(xué)基礎(chǔ)上，才結(jié)束了無(wú)理數(shù)被認(rèn)為“無(wú)理”的時(shí)代，也結(jié)束了持續(xù)2000多年的數(shù)學(xué)史上的第一次大危機(jī)所謂戴德金分割，是指將有理數(shù)集Q劃分為兩個(gè)非空的子集M與N，且滿(mǎn)足，，M中的每一個(gè)元素都小于N中的每一個(gè)元素，則稱(chēng)為戴德金分割試判斷，對(duì)于任一戴德金分割，下列選項(xiàng)中，可能成立的是（ ）
A．M沒(méi)有最大元素，N有一個(gè)最小元素
B．M沒(méi)有最大元素，N也沒(méi)有最小元素
C．M有一個(gè)最大元素，N有一個(gè)最小元素
D．M有一個(gè)最大元素，N沒(méi)有最小元素
40．（2022秋·湖北黃岡·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）（多選）折扇又名“紙扇”是一種用竹木或象牙做扇骨，韌紙或者綾絹?zhàn)錾让娴哪苷郫B的扇子.如圖1，其平面圖是如圖2的扇形，其中，，點(diǎn)F在弧上，且，點(diǎn)E在弧上運(yùn)動(dòng).則下列結(jié)論正確的有（ ）
A．B．，則
C．在方向上的投影向量為D．的最小值是-3
41．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）（多選）古代典籍《周易》中的“八卦”思想在我國(guó)建筑中有一定影響．如圖是受“八卦”的啟示，設(shè)計(jì)的正八邊形的八角窗，若是正八邊形的中心，且，則（ ）
A．與能構(gòu)成一組基底B．
C．D．
42（2022秋·福建廈門(mén)）（多選）大自然的美麗，總是按照美的密碼進(jìn)行，而數(shù)學(xué)是美麗的鏡子，斐波那契數(shù)列，就用量化展示了一些自然界的奧妙．譬如松果、風(fēng)梨的排列、向日葵花圈數(shù)、蜂巢、黃金矩形、黃金分割等都與斐波那契數(shù)列有關(guān)．在數(shù)學(xué)上，斐波那契數(shù)列可以用遞推的方法來(lái)定義：，則（ ）
A．
B．
C．
D．
43．（2023廣東清遠(yuǎn)·高三統(tǒng)考期末）（多選）我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《算法統(tǒng)宗》中有如下問(wèn)題：“今有善走者，日增等里，首日行走一百里，九日共行一千二百六十里，問(wèn)日增幾何?”其大意是：現(xiàn)有一位善于步行的人，第一天行走了一百里，以后每天比前一天多走里，九天他共行走了一千二百六十里，求的值.關(guān)于該問(wèn)題，下列結(jié)論正確的是（ ）
A．
B．此人第三天行走了一百二十里
C．此人前七天共行走了九百一十里
D．此人有連續(xù)的三天共行走了三百九十里
44．（2023福建福州）（多選）傳說(shuō)古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家用沙粒和小石子來(lái)研究數(shù)，他們根據(jù)沙?；蛐∈铀帕械男螤畎褦?shù)分成許多類(lèi)，如圖中第一行圖形中黑色小點(diǎn)個(gè)數(shù)：稱(chēng)為三角形數(shù)，第二行圖形中黑色小點(diǎn)個(gè)數(shù)：稱(chēng)為正方形數(shù)，記三角形數(shù)構(gòu)成數(shù)列，正方形數(shù)構(gòu)成數(shù)列，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．
B．1225既是三角形數(shù)，又是正方形數(shù)
C．
D．，總存在，使得成立
45．（2022秋·福建福州）（多選）意大利著名數(shù)學(xué)家斐波那契在研究兔子的繁殖問(wèn)題時(shí)，發(fā)現(xiàn)有這樣的一列數(shù)：，，，，，，.該數(shù)列的特點(diǎn)如下：前兩個(gè)數(shù)均為，從第三個(gè)數(shù)起，每一個(gè)數(shù)都等于它前面兩個(gè)數(shù)的和.人們把這樣的一列數(shù)組成的數(shù)列稱(chēng)為斐波那契數(shù)列，現(xiàn)將中的各項(xiàng)除以所得余數(shù)按原順序構(gòu)成的數(shù)列記為，則下列結(jié)論中正確的是（ ）
A．
B．
C．
D．
46．（2022秋·吉林·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）（多選）中國(guó)音樂(lè)有悠久的歷史和獨(dú)特的創(chuàng)造.當(dāng)今世界公認(rèn)的音樂(lè)律制，如五度相生律（中國(guó)稱(chēng)三分損益律）、純律和十二平均律，皆為中國(guó)獨(dú)立發(fā)明.其中，“三分損益法”是以“宮”為基本音，宮生徵，徵生商，商生羽，羽生角，即“宮”經(jīng)過(guò)一次“損”，頻率變?yōu)樵瓉?lái)的，得到“徵”；“徵”經(jīng)過(guò)一次“益”，頻率變?yōu)樵瓉?lái)的，得到“商”……依次損益交替變化，得到“宮、徵、商、羽、角”這五個(gè)音階，據(jù)此可推得（ ）
A．“商、羽、角”的頻率成等比數(shù)列
B．“角、商、宮”的頻率成等比數(shù)列
C．“宮、徵、商、羽、角”的頻率依次遞增
D．“宮、商、角、徵、羽”的頻率依次遞增
47．（2022遼寧大連）（多選）十六世紀(jì)中葉，英國(guó)數(shù)學(xué)家雷科德在《礪智石》一書(shū)中首先把“＝”作為等號(hào)使用，后來(lái)英國(guó)數(shù)學(xué)家哈利奧特首次使用“＜”和“＞”符號(hào)，不等號(hào)的引入對(duì)不等式的發(fā)展影響深遠(yuǎn)．若a，b，，則下列命題正確的是（ ）
A．若且，則B．若，，則
C．若，，則D．若，，則
48．（2022廣西柳州）（多選）中國(guó)傳統(tǒng)文化中很多內(nèi)容體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的“對(duì)稱(chēng)美”，如圖所示的太極圖是由黑白兩個(gè)魚(yú)形紋組成的圓形圖案，充分體現(xiàn)了相互轉(zhuǎn)化、對(duì)稱(chēng)統(tǒng)一的形式美、和諧美．定義：圖象能夠?qū)A的周長(zhǎng)和面積同時(shí)等分成兩部分的函數(shù)稱(chēng)為圓的一個(gè)“太極函數(shù)”，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．對(duì)于任意一個(gè)圓，其“太極函數(shù)”有無(wú)數(shù)個(gè)
B．函數(shù)可以同時(shí)是無(wú)數(shù)個(gè)圓的“太極函數(shù)”
C．函數(shù)可以是某個(gè)圓的“太極函數(shù)”
D．函數(shù)是“太極函數(shù)”的充要條件為函數(shù)的圖象是中心對(duì)稱(chēng)圖形
49．（2022秋·重慶沙坪壩）（多選）狄利克雷是數(shù)學(xué)史上第一位重視概念的人,并且是有意識(shí)地“以概念代替直覺(jué)”的人．在狄利克雷之前,數(shù)學(xué)家們主要研究具體函數(shù),進(jìn)行具體計(jì)算,他們不大考慮抽象問(wèn)題,但狄利克雷之后,人們開(kāi)始考慮函數(shù)的各種性質(zhì),例如奇偶性、單調(diào)性、周期性等．1837年,狄利克雷拓廣了函數(shù)概念,提出了自變量x與另一個(gè)變量y之間的現(xiàn)代觀(guān)念的對(duì)應(yīng)關(guān)系,并舉出了個(gè)著名的函數(shù)——狄利克雷函數(shù):,下列說(shuō)法正確的有（ ）
A．B．
C．是偶函數(shù)D．的值域?yàn)?br>50．（2022江蘇常州·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）法國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)馬被稱(chēng)為業(yè)余數(shù)學(xué)之王，很多數(shù)學(xué)定理以他的名字命名．對(duì)而言，若其內(nèi)部的點(diǎn)滿(mǎn)足，則稱(chēng)為的費(fèi)馬點(diǎn)．在中，已知，設(shè)為的費(fèi)馬點(diǎn)，且滿(mǎn)足，．則的外接圓半徑長(zhǎng)為_(kāi)________．
51．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）中國(guó)文化博大精深，“八卦”用深邃的哲理解釋自然、社會(huì)現(xiàn)象．如圖（1）是八卦模型圖，將共簡(jiǎn)化成圖（2）的正八邊形，若，則______________．
52．（2022春·湖南衡陽(yáng)）剪紙藝術(shù)是一種中國(guó)傳統(tǒng)的民間工藝，它源遠(yuǎn)流長(zhǎng)，經(jīng)久不衰，已成為世界藝術(shù)寶庫(kù)中的一種珍藏．某學(xué)校為了豐富學(xué)生的課外活動(dòng)，組織了剪紙比賽，小明同學(xué)在觀(guān)看了2022年北京冬奧會(huì)的節(jié)目《雪花》之后，被舞臺(tái)上一片片漂亮的“雪花”所吸引，決定用作品“雪花”參加剪紙比賽．小明的參賽作品“雪花”如圖1所示，它的平面圖可簡(jiǎn)化為圖2的平面圖形，該平面圖形既是軸對(duì)稱(chēng)圖形，又是中心對(duì)稱(chēng)圖形，其中，為該平面圖形上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（含邊界），六邊形為正六邊形，，，為等邊三角形，則的最大值為_(kāi)_______．
53．（2022秋·上海）定義:對(duì)于任意數(shù)列,假如存在一個(gè)常數(shù)使得對(duì)任意的正整數(shù)都有,且,則稱(chēng)為數(shù)列的“上漸近值”．已知數(shù)列有（為常數(shù),且）,它的前項(xiàng)和為,并且滿(mǎn)足,令,記數(shù)列的“上漸近值”為,則的值為 _____．
54．（2023秋·山東聊城）聲音通過(guò)空氣傳播時(shí)會(huì)引起區(qū)域性的壓強(qiáng)值改變，稱(chēng)為“聲壓”，用P表示（單位：Pa（帕））；“聲壓級(jí)”S（單位:dB（分貝））表示聲壓的相對(duì)大小，已知．兩個(gè)不同聲源的聲壓，，疊加后的總聲壓．現(xiàn)有兩個(gè)聲壓級(jí)為的聲源，疊加后的聲壓級(jí)是________dB（參考數(shù)據(jù)：?。?br>55．（2022秋·黑龍江哈爾濱）在數(shù)學(xué)中，布勞威爾不動(dòng)點(diǎn)定理是拓?fù)鋵W(xué)里一個(gè)非常重要的不動(dòng)點(diǎn)定理，布勞威爾不動(dòng)點(diǎn)定理得名于荷蘭數(shù)學(xué)家魯伊茲·布勞威爾（LEJBruwer），簡(jiǎn)單的講就是對(duì)于滿(mǎn)足一定條件的圖象不間斷的函數(shù)，存在，使，那么我們稱(chēng)該函數(shù)為“不動(dòng)點(diǎn)”函數(shù)，為函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn).若，則的不動(dòng)點(diǎn)為_(kāi)__________.
56．（2022秋·上海浦東新 ）我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中，定義了三個(gè)特別重要而基本的多面體，它們是：（1）“塹堵”：兩個(gè)底面為直角三角形的直棱柱；（2）“陽(yáng)馬”：底面為長(zhǎng)方形，且有一棱與底面垂直的棱錐；（3）“鱉臑（biēnà）”：每個(gè)面都為直角三角形的四面體.魏晉時(shí)期的大數(shù)學(xué)家劉徽進(jìn)一步研究發(fā)現(xiàn)：任何一個(gè)“塹堵”都可以分割成一個(gè)“陽(yáng)馬”和一個(gè)“鱉臑”且“陽(yáng)馬”和“鱉臑”的體積比為定值.則此定值為_(kāi)_____.
57．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）無(wú)窮符號(hào)在數(shù)學(xué)中是一個(gè)重要的符號(hào)，該符號(hào)的引入為微積分和集合論的研究帶來(lái)了便利，某校在一次數(shù)學(xué)活動(dòng)中以無(wú)窮符號(hào)為創(chuàng)意來(lái)源，設(shè)計(jì)了如圖所示的活動(dòng)標(biāo)志，該標(biāo)志由兩個(gè)半徑分別為15和20的實(shí)心小球相交而成，球心距，則該標(biāo)志的體積為_(kāi)__________.
附：一個(gè)半徑為的球被平面截下的一部分叫做球缺，截面叫做球缺的底面，垂直于截面的直徑被截下的線(xiàn)段長(zhǎng)叫做球缺的高（記為），球缺的體積公式為.
58．（2023秋·廣西桂林）我國(guó)南北朝時(shí)期的數(shù)學(xué)家祖暅提出體積的計(jì)算原理（祖暅原理）：“冪勢(shì)既同則積不容異”．“勢(shì)”即是高，“冪”是面積．意思是：如果兩等高的幾何體在同高處的截面積相等，那么這兩個(gè)幾何體的體積相等．已知雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)在軸上，離心率為，且過(guò)點(diǎn)．若直線(xiàn)與在第一象限內(nèi)與雙曲線(xiàn)及其漸近線(xiàn)圍成如圖陰影部分所示的圖形，則該圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得幾何體的體積為_(kāi)________.
59．（2023北京）若集合，，，，且滿(mǎn)足集合中最大的數(shù)大于集合中最大的數(shù)，則稱(chēng)有序集合對(duì)為“兄弟集合對(duì)”.當(dāng)時(shí)，這樣的“兄弟集合對(duì)”有_________對(duì)；當(dāng)時(shí)，這樣的“兄弟集合對(duì)”有___________對(duì)（用含有的表達(dá)式作答）.
60（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）如圖是集合中的點(diǎn)在平面上運(yùn)動(dòng)時(shí)留下的陰影，中間形如“水滴”部分的平面面積為
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