1. （2023屆河南省開封市通許縣高三沖刺卷）已知函數(shù) SKIPIF 1 < 0 ．
(1)若函數(shù) SKIPIF 1 < 0 的圖象與直線 SKIPIF 1 < 0 相切，求實(shí)數(shù) SKIPIF 1 < 0 的值；
(2)若函數(shù) SKIPIF 1 < 0 有且只有一個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù) SKIPIF 1 < 0 的取值范圍．
【解析】（1）設(shè)直線 SKIPIF 1 < 0 與函數(shù) SKIPIF 1 < 0 的圖象相切于點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，
因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 ，由②③可得 SKIPIF 1 < 0 ④，易知 SKIPIF 1 < 0 .
由①得 SKIPIF 1 < 0 ，代入④可得 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .
故 SKIPIF 1 < 0 .
（2）令 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
由題意可得 SKIPIF 1 < 0 只有一個(gè)根.
易知 SKIPIF 1 < 0 不是方程 SKIPIF 1 < 0 的根，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以由 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 .
設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 的圖象只有一個(gè)交點(diǎn).
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 ，函數(shù) SKIPIF 1 < 0 單調(diào)遞增；
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 ，函數(shù) SKIPIF 1 < 0 單調(diào)遞減；
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 ，函數(shù) SKIPIF 1 < 0 單調(diào)遞增.
設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 ，函數(shù) SKIPIF 1 < 0 單調(diào)遞減；
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 ，函數(shù) SKIPIF 1 < 0 單調(diào)遞增.
所以 SKIPIF 1 < 0 .
所以 SKIPIF 1 < 0 .
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 ，
畫出函數(shù) SKIPIF 1 < 0 的圖象如圖所示：

由圖可知，若 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 的圖象只有一個(gè)交點(diǎn)，
則 SKIPIF 1 < 0 .
所以實(shí)數(shù) SKIPIF 1 < 0 的取值范圍是 SKIPIF 1 < 0 .
2．（2024屆福建省莆田哲理中學(xué)高三上學(xué)期月考）已知函數(shù) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
(1)當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)，求曲線 SKIPIF 1 < 0 在點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 處的切線方程；
(2)試討論函數(shù) SKIPIF 1 < 0 的單調(diào)性.
【解析】（1）因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，切點(diǎn)為 SKIPIF 1 < 0
又因?yàn)?SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0
所以曲線 SKIPIF 1 < 0 在點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 處的切線方程是 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 .
（2）因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上單調(diào)遞減；
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)，令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 ，當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上單調(diào)遞減，在 SKIPIF 1 < 0 上單調(diào)遞增，
綜上，當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上單調(diào)遞減；
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上單調(diào)遞減，在 SKIPIF 1 < 0 上單調(diào)遞增
3．（2024屆重慶市第一中學(xué)高三上學(xué)期開學(xué)考）已知函數(shù) SKIPIF 1 < 0 .
(1)設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，經(jīng)過(guò)點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 作函數(shù) SKIPIF 1 < 0 圖像的切線，求切線的方程；
(2)若函數(shù) SKIPIF 1 < 0 有極大值，無(wú)最大值，求實(shí)數(shù) SKIPIF 1 < 0 的取值范圍.
【解析】（1） SKIPIF 1 < 0 時(shí) SKIPIF 1 < 0 ，
設(shè)切點(diǎn)為 SKIPIF 1 < 0 ，則切線斜率為 SKIPIF 1 < 0 ，
切線方程： SKIPIF 1 < 0 ，
將點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 帶入得： SKIPIF 1 < 0 ，
此時(shí)斜率 SKIPIF 1 < 0 ，所以切線方程為 SKIPIF 1 < 0 .
（2）函數(shù) SKIPIF 1 < 0 的定義域?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0
（1）當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí) SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 單調(diào)遞增，
注意到 SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 ，注意到 SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 ，
故存在 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，在 SKIPIF 1 < 0 時(shí) SKIPIF 1 < 0 單調(diào)遞減，在 SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 單調(diào)遞增，函數(shù) SKIPIF 1 < 0 有極小值，無(wú)極大值，不符合題意.
（2）當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)，令 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 單調(diào)遞增，在 SKIPIF 1 < 0 單調(diào)遞減.
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí) SKIPIF 1 < 0 ，當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí) SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
若 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 恒成立， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 單調(diào)遞減，無(wú)極值和最值.
若 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，此時(shí)存在 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，
且在 SKIPIF 1 < 0 有 SKIPIF 1 < 0 單調(diào)遞減；在 SKIPIF 1 < 0 有 SKIPIF 1 < 0 單調(diào)遞增，此時(shí) SKIPIF 1 < 0 為 SKIPIF 1 < 0 的極大值.
注意到 SKIPIF 1 < 0 時(shí) SKIPIF 1 < 0 ，要使 SKIPIF 1 < 0 無(wú)最大值，則還應(yīng)滿足 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，同時(shí) SKIPIF 1 < 0 ，
帶入 SKIPIF 1 < 0 整理得 SKIPIF 1 < 0 .
由于 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 單調(diào)遞減，故 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
綜上實(shí)數(shù) SKIPIF 1 < 0 的取值范圍為 SKIPIF 1 < 0 .
4.（2024屆江蘇省南通市高三上學(xué)期質(zhì)量監(jiān)測(cè)）已知函數(shù) SKIPIF 1 < 0 的極小值為 SKIPIF 1 < 0 ，其導(dǎo)函數(shù) SKIPIF 1 < 0 的圖象經(jīng)過(guò) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 兩點(diǎn).
(1)求 SKIPIF 1 < 0 的解析式；
(2)若曲線 SKIPIF 1 < 0 恰有三條過(guò)點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 的切線，求實(shí)數(shù) SKIPIF 1 < 0 的取值范圍.
【解析】（1） SKIPIF 1 < 0 ，
因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 的圖象經(jīng)過(guò) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 兩點(diǎn).
所以當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 單調(diào)遞增；
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 單調(diào)遞減；
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 單調(diào)遞增.
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 處取得極小值，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
解方程組 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
（2）設(shè)切點(diǎn)為 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，
因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以切線方程為 SKIPIF 1 < 0 ，
將 SKIPIF 1 < 0 代入上式，得 SKIPIF 1 < 0 .
因?yàn)榍€ SKIPIF 1 < 0 恰有三條過(guò)點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 的切線，所以方程 SKIPIF 1 < 0 有三個(gè)不同實(shí)數(shù)解.
記 SKIPIF 1 < 0 ，則導(dǎo)函數(shù) SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 或1.
列表：
所以 SKIPIF 1 < 0 的極大值為 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的極小值為 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .故 SKIPIF 1 < 0 的取值范圍是 SKIPIF 1 < 0 .
5.（2024屆上海市華東師范大學(xué)第二附屬中學(xué)高三上學(xué)期質(zhì)量調(diào)研）設(shè)函數(shù) SKIPIF 1 < 0 的定義域?yàn)殚_區(qū)間 SKIPIF 1 < 0 ，若存在 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 處的切線 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 的圖象只有唯一的公共點(diǎn)，則稱切線 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的一條“ SKIPIF 1 < 0 切線”.
(1)判斷函數(shù) SKIPIF 1 < 0 是否存在“ SKIPIF 1 < 0 切線”，若存在，請(qǐng)寫出一條“ SKIPIF 1 < 0 切線”的方程，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
(2)設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，若對(duì)任意正實(shí)數(shù) SKIPIF 1 < 0 ，函數(shù) SKIPIF 1 < 0 都存在“ SKIPIF 1 < 0 切線”，求實(shí)數(shù) SKIPIF 1 < 0 的取值范圍；
(3)已知實(shí)數(shù) SKIPIF 1 < 0 ，函數(shù) SKIPIF 1 < 0 ，求證：函數(shù) SKIPIF 1 < 0 存在無(wú)窮多條“ SKIPIF 1 < 0 切線”，且至少一條“ SKIPIF 1 < 0 切線”的切點(diǎn)的橫坐標(biāo)不超過(guò) SKIPIF 1 < 0 .
【解析】（1）記 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0
取 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，切線方程為 SKIPIF 1 < 0 .
與函數(shù) SKIPIF 1 < 0 聯(lián)立，得 SKIPIF 1 < 0 .
記 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ,
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí) SKIPIF 1 < 0 ，當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí) SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上嚴(yán)格增，在 SKIPIF 1 < 0 上嚴(yán)格減， SKIPIF 1 < 0 ，
故函數(shù) SKIPIF 1 < 0 只有一個(gè)零點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ,故 SKIPIF 1 < 0 是一條“ SKIPIF 1 < 0 切線”:
（2） SKIPIF 1 < 0
設(shè)點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 在函數(shù) SKIPIF 1 < 0 的圖像上,
點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 處的切線為 SKIPIF 1 < 0 ，與 SKIPIF 1 < 0 聯(lián)立
得 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 （*）
由題意得直線 SKIPIF 1 < 0 為“ SKIPIF 1 < 0 切線”，故方程（*）在 SKIPIF 1 < 0 上有且僅有一解 SKIPIF 1 < 0
則 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
若 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 是方程（*）的唯一解（此時(shí)有無(wú)數(shù)條“ SKIPIF 1 < 0 切線”切點(diǎn)橫坐標(biāo)為 SKIPIF 1 < 0 上的任意值）.
若 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 （此時(shí)只有一條“ SKIPIF 1 < 0 切線”，切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為 SKIPIF 1 < 0 ）
或 SKIPIF 1 < 0 （此時(shí)有無(wú)數(shù)條“ SKIPIF 1 < 0 切線”,切點(diǎn)橫坐標(biāo)為 SKIPIF 1 < 0 上的任意值）
綜上， SKIPIF 1 < 0 .
（3）證明： SKIPIF 1 < 0 ，將點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 處的切線 SKIPIF 1 < 0 的方程與 SKIPIF 1 < 0 聯(lián)立得 SKIPIF 1 < 0 ，
記 SKIPIF 1 < 0 ，則直線 SKIPIF 1 < 0 為“ SKIPIF 1 < 0 切線” SKIPIF 1 < 0 函數(shù) SKIPIF 1 < 0 有且僅有一個(gè)零點(diǎn) SKIPIF 1 < 0
（此時(shí)，一個(gè) SKIPIF 1 < 0 對(duì)應(yīng)一條“ SKIPIF 1 < 0 切線”），顯然 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的零點(diǎn)，
故只要 SKIPIF 1 < 0 沒(méi)其他零點(diǎn).
此時(shí) SKIPIF 1 < 0 ，
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 恒成立，
此時(shí)當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 ，當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 ，
故此時(shí) SKIPIF 1 < 0 為 SKIPIF 1 < 0 唯一的極小值點(diǎn)（也是最小值點(diǎn)），而 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 無(wú)其他零點(diǎn)，故直線 SKIPIF 1 < 0 為“ SKIPIF 1 < 0 切線”，因 SKIPIF 1 < 0 的任意性，
故函數(shù) SKIPIF 1 < 0 存在無(wú)窮多條“ SKIPIF 1 < 0 切線”，有一條 “ SKIPIF 1 < 0 切線”的切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為 SKIPIF 1 < 0 .
二、含參函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題
6. （2024屆山東省泰安市肥城市高三上學(xué)期9月月考）已知函數(shù) SKIPIF 1 < 0 .
(1)討論 SKIPIF 1 < 0 的單調(diào)性；
(2)證明：當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 .
【解析】（1）函數(shù) SKIPIF 1 < 0 的定義域是 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 .
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)，可知 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上單調(diào)遞增；
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)，由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，
可得 SKIPIF 1 < 0 時(shí)，有 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 時(shí)，有 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上單調(diào)遞減， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上單調(diào)遞增.
綜上所述：當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上單調(diào)遞增；
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上單調(diào)遞減，在 SKIPIF 1 < 0 上單調(diào)遞增.
（2）證明：當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)，要證 SKIPIF 1 < 0 成立，
只需證 SKIPIF 1 < 0 成立，
只需證 SKIPIF 1 < 0 即可.
因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，由（1）知， SKIPIF 1 < 0 .
令 SKIPIF 1 < 0 ，
則 SKIPIF 1 < 0 ，
可得 SKIPIF 1 < 0 時(shí)，有 SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 時(shí)，有 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上單調(diào)遞減，在 SKIPIF 1 < 0 上單調(diào)遞增，
可知 SKIPIF 1 < 0 ，則有 SKIPIF 1 < 0 ，所以有 SKIPIF 1 < 0 ，
所以當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 成立.
7.（2024屆江西省豐城厚一學(xué)校高三上學(xué)期9月月考）已知函數(shù) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
(1)討論函數(shù) SKIPIF 1 < 0 的單調(diào)性；
(2)證明：當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 .
【解析】（1）函數(shù) SKIPIF 1 < 0 的定義域?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，
求導(dǎo)得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)，恒有 SKIPIF 1 < 0 ，函數(shù) SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上單調(diào)遞減；
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)，由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 單調(diào)遞減，由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 單調(diào)遞增；
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)，由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 單調(diào)遞減，由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 單調(diào)遞增；
所以當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)，函數(shù) SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上單調(diào)遞減，在 SKIPIF 1 < 0 上單調(diào)遞增；
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)，函數(shù) SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上單調(diào)遞減；
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)，函數(shù) SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上單調(diào)遞減，在 SKIPIF 1 < 0 上單調(diào)遞增.
（2）由（1）知，當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)，函數(shù) SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上單調(diào)遞增，在 SKIPIF 1 < 0 上單調(diào)遞減，
則當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 取得最大值 SKIPIF 1 < 0 ，
于是當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 成立，當(dāng)且僅當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 成立，
即當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 成立，令函數(shù) SKIPIF 1 < 0 ，求導(dǎo)得 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，求導(dǎo)得 SKIPIF 1 < 0 ，
于是函數(shù) SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上單調(diào)遞增， SKIPIF 1 < 0 ，
因此函數(shù) SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上單調(diào)遞增， SKIPIF 1 < 0 ，即當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 成立，
所以當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 .
8.（2024屆四川省仁壽第一中學(xué)校高三上學(xué)期9月月考）已知a為實(shí)常數(shù)，函數(shù) SKIPIF 1 < 0 （其中 SKIPIF 1 < 0 為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）
(1)討論函數(shù) SKIPIF 1 < 0 的單調(diào)性；
(2)設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，函數(shù) SKIPIF 1 < 0 有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
【解析】（1） SKIPIF 1 < 0 ，
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上單調(diào)遞增；
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上單調(diào)遞增，在 SKIPIF 1 < 0 上單調(diào)遞減；
綜上： SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上是單調(diào)遞增；
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上單調(diào)遞增，在 SKIPIF 1 < 0 上單調(diào)遞減；
（2）由（1）得， SKIPIF 1 < 0 時(shí)，函數(shù) SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 遞增，不可能有2個(gè)零點(diǎn)，
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)，函數(shù) SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 遞減，在 SKIPIF 1 < 0 遞增，
函數(shù) SKIPIF 1 < 0 的最小值為 SKIPIF 1 < 0 ，∴函數(shù) SKIPIF 1 < 0 只有1個(gè)零點(diǎn)，
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)，函數(shù) SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 遞減，在 SKIPIF 1 < 0 遞增，
SKIPIF 1 < 0 為函數(shù) SKIPIF 1 < 0 的最小值，
令 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 ，故函數(shù) SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 遞增，且 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上遞減，
SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0
由于 SKIPIF 1 < 0 ，
所以，當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)，函數(shù) SKIPIF 1 < 0 有2個(gè)零點(diǎn)．
9.（2024屆江蘇省淮安市高三上學(xué)期第一次調(diào)研測(cè)試）已知函數(shù) SKIPIF 1 < 0 ．
(1)討論函數(shù) SKIPIF 1 < 0 的單調(diào)性；
(2)求證：當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 ．
【解析】（1）因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
①當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 單調(diào)遞減；
②當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)，由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上單調(diào)遞減，在 SKIPIF 1 < 0 上單調(diào)遞增．
綜上，當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 單調(diào)遞減；當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上單調(diào)遞減，在 SKIPIF 1 < 0 上單調(diào)遞增．
（2）當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 ，
要證明 SKIPIF 1 < 0 ，只要證 SKIPIF 1 < 0 ，即證 SKIPIF 1 < 0 ，
設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，列表得
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
10.（2024屆湖南省長(zhǎng)沙市長(zhǎng)郡中學(xué)高三上學(xué)期月考）已知函數(shù) SKIPIF 1 < 0 ．
(1)討論 SKIPIF 1 < 0 的單調(diào)性；
(2)證明：當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 ．
【解析】（1）因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，定義域?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)，由于 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 恒成立，此時(shí) SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上單調(diào)遞減；
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
則當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 ，有 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上單調(diào)遞增；
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 ，有 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上單調(diào)遞減；
綜上所述：當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上單調(diào)遞減；
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上單調(diào)遞增， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上單調(diào)遞減．
（2）我們先證明引理： SKIPIF 1 < 0 ，恒有 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ．
引理的證明：
設(shè) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
故只需證明 SKIPIF 1 < 0 ，恒有 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
由于 SKIPIF 1 < 0 ，知當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 ；當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 ；
則 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上單調(diào)遞減，在 SKIPIF 1 < 0 上單調(diào)遞增，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，恒有 SKIPIF 1 < 0 ．
由于 SKIPIF 1 < 0 ，知當(dāng) SKIPIF 1 < 0 ，均有 SKIPIF 1 < 0 ，
所以恒有 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上單調(diào)遞增，
則 SKIPIF 1 < 0 ．
所以 SKIPIF 1 < 0 ，恒有 SKIPIF 1 < 0 ．
綜上，引理得證．回到原題：
由（1）得 SKIPIF 1 < 0 ，
故只需證明：對(duì) SKIPIF 1 < 0 ，恒有 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ．
由引理得 SKIPIF 1 < 0 ．命題得證．
三、函數(shù)零點(diǎn)與方程實(shí)根個(gè)數(shù)問(wèn)題
11. （2024屆江西省全南中學(xué)高三上學(xué)期開學(xué)考試）已知函數(shù) SKIPIF 1 < 0 ．
(1)當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)，求函數(shù) SKIPIF 1 < 0 的極小值；
(2)若函數(shù) SKIPIF 1 < 0 在區(qū)間 SKIPIF 1 < 0 上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，求 SKIPIF 1 < 0 的取值范圍．
【解析】（1）當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 單調(diào)遞減；
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 單調(diào)遞增，
所以函數(shù) SKIPIF 1 < 0 的極小值為 SKIPIF 1 < 0 .
（2）解：若 SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 ；當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 ，
所以函數(shù) SKIPIF 1 < 0 在區(qū)間 SKIPIF 1 < 0 上有且只有一個(gè)零點(diǎn).
若 SKIPIF 1 < 0 時(shí)，由 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
①若 SKIPIF 1 < 0 時(shí)，此時(shí) SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上單調(diào)遞增，且 SKIPIF 1 < 0 ，此時(shí)函數(shù) SKIPIF 1 < 0 在區(qū)間 SKIPIF 1 < 0 上有且只有一個(gè)零點(diǎn)；
②若 SKIPIF 1 < 0 時(shí)，可得 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 上單調(diào)遞增，在 SKIPIF 1 < 0 上單調(diào)遞減，
又由 SKIPIF 1 < 0 ，只需討論 SKIPIF 1 < 0 的符號(hào)，
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 ，函數(shù) SKIPIF 1 < 0 在區(qū)間 SKIPIF 1 < 0 上有且只有一個(gè)零點(diǎn)；
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 ，函數(shù) SKIPIF 1 < 0 在區(qū)間 SKIPIF 1 < 0 上無(wú)零點(diǎn).
③若 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 上單調(diào)遞增，在 SKIPIF 1 < 0 上單調(diào)遞減，
又由 SKIPIF 1 < 0 ，
此時(shí)函數(shù) SKIPIF 1 < 0 在區(qū)間 SKIPIF 1 < 0 上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，
綜上可得， SKIPIF 1 < 0 ，即實(shí)數(shù) SKIPIF 1 < 0 的取值范圍為 SKIPIF 1 < 0 .
12.（2023屆海南省?？谑懈呷聦W(xué)期學(xué)生學(xué)科能力診斷）已知函數(shù) SKIPIF 1 < 0 .
(1)求 SKIPIF 1 < 0 的極值；
(2)若函數(shù) SKIPIF 1 < 0 至少有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的最小值.
【解析】（1）由題意得 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 ，當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上單調(diào)遞增，在 SKIPIF 1 < 0 上單調(diào)遞減，
故 SKIPIF 1 < 0 的極大值為 SKIPIF 1 < 0 ，極小值為 SKIPIF 1 < 0 .
（2）由 SKIPIF 1 < 0 ，即得 SKIPIF 1 < 0 ，
設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 （舍去），
令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上單調(diào)遞減，
令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上單調(diào)遞增，
故 SKIPIF 1 < 0 的最小值為 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，故當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，故存在唯一的 SKIPIF 1 < 0 ，使 SKIPIF 1 < 0 ，
當(dāng)x變化時(shí)， SKIPIF 1 < 0 的變化情況如表：
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 且無(wú)限趨近于0時(shí)， SKIPIF 1 < 0 ，
由于 SKIPIF 1 < 0 趨近于負(fù)無(wú)窮小，故 SKIPIF 1 < 0 趨近于負(fù)無(wú)窮小，
由于 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上單調(diào)遞減，故 SKIPIF 1 < 0 ，
作出 SKIPIF 1 < 0 的大致圖像如圖：
要使函數(shù) SKIPIF 1 < 0 至少有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，
則直線 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 的圖象至少有兩個(gè)交點(diǎn)，
故需使 SKIPIF 1 < 0 ，即實(shí)數(shù)m的最小值為3.
13.（2024屆北京市陳經(jīng)綸中學(xué)高三上學(xué)期9月階段性診斷）已知函數(shù) SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求曲線 SKIPIF 1 < 0 在點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 處的切線方程；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù) SKIPIF 1 < 0 的取值范圍；
(3)當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)，判斷 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，并說(shuō)明理由．
【解析】（1）由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，
此時(shí)切線斜率為 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ；
所以切線方程為 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ；
即曲線 SKIPIF 1 < 0 在點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 處的切線方程為 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）根據(jù)題意，若 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上單調(diào)遞增，
即可得 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立，即 SKIPIF 1 < 0 恒成立；
令 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ；
顯然 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上滿足 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 恒成立，所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立；
即 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 單調(diào)遞增，所以 SKIPIF 1 < 0 ；
所以 SKIPIF 1 < 0 即可；
因此實(shí)數(shù) SKIPIF 1 < 0 的取值范圍為 SKIPIF 1 < 0 .
（3）令 SKIPIF 1 < 0 ，即可得 SKIPIF 1 < 0 ；
構(gòu)造函數(shù) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，易知 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立，
即 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上單調(diào)遞增，如下圖中實(shí)曲線所示：
又函數(shù) SKIPIF 1 < 0 恒過(guò) SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
易知 SKIPIF 1 < 0 ，所以函數(shù) SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 處的切線方程為 SKIPIF 1 < 0 ；
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 （圖中虛線）在 SKIPIF 1 < 0 范圍內(nèi)恒在 SKIPIF 1 < 0 （圖中實(shí)直線）的上方；
所以由圖易知 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 范圍內(nèi)僅有一個(gè)交點(diǎn)，
即函數(shù) SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 內(nèi)僅有一個(gè)零點(diǎn).
14.（2023屆河南省部分學(xué)校高三押題信息卷）已知函數(shù) SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求證：曲線 SKIPIF 1 < 0 僅有一條過(guò)原點(diǎn)的切線；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 時(shí)，關(guān)于 SKIPIF 1 < 0 的方程 SKIPIF 1 < 0 有唯一解，求實(shí)數(shù) SKIPIF 1 < 0 的取值范圍．
【解析】（1） SKIPIF 1 < 0 的定義域?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，設(shè)切點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，
則切線方程為 SKIPIF 1 < 0 ，
當(dāng)切線過(guò)原點(diǎn)時(shí)有 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即切點(diǎn)有且只有一個(gè)，則曲線 SKIPIF 1 < 0 僅有一條過(guò)原點(diǎn)的切線，即得證.
（2）關(guān)于 SKIPIF 1 < 0 的方程 SKIPIF 1 < 0 有唯一解，即方程 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 有唯一解，
令 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 .
因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，故當(dāng) SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 ，函數(shù) SKIPIF 1 < 0 單調(diào)遞增，且當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 ，當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 .
易知 SKIPIF 1 < 0 的圖象與直線 SKIPIF 1 < 0 有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，滿足題意，此時(shí) SKIPIF 1 < 0 ；
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 時(shí)，設(shè) SKIPIF 1 < 0 有兩個(gè)根 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 .
①若 SKIPIF 1 < 0 ，則當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 單調(diào)遞增；
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 單調(diào)遞減，且當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 ，當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 .
故要使得 SKIPIF 1 < 0 有唯一解，則 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 恒成立.
此時(shí) SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
則極大值 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，故當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 單調(diào)遞增；當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 單調(diào)遞減.
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 恒成立，故 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；
同理，極小值 SKIPIF 1 < 0 ，當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)無(wú)最小值，此時(shí)無(wú)實(shí)數(shù) SKIPIF 1 < 0 使得 SKIPIF 1 < 0 恒成立.
②若 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，不滿足 SKIPIF 1 < 0 ；
③若 SKIPIF 1 < 0 ，由①可得 SKIPIF 1 < 0 ；
故當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 .
綜上所述：
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 ；當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 .
四、不等式恒成立問(wèn)題
15. （2023屆河南省信陽(yáng)高級(jí)中學(xué)高三下學(xué)期3月測(cè)試）已知函數(shù) SKIPIF 1 < 0 .
(1) SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的導(dǎo)函數(shù)，求 SKIPIF 1 < 0 的最小值；
(2)證明：對(duì)任意正整數(shù) SKIPIF 1 < 0 ，都有 SKIPIF 1 < 0 （其中 SKIPIF 1 < 0 為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）；
(3)若 SKIPIF 1 < 0 恒成立，求實(shí)數(shù) SKIPIF 1 < 0 的取值范圍.
【解析】（1）依題意， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 在區(qū)間 SKIPIF 1 < 0 上 SKIPIF 1 < 0 單調(diào)遞減；
在區(qū)間 SKIPIF 1 < 0 上 SKIPIF 1 < 0 單調(diào)遞增，
所以當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí) SKIPIF 1 < 0 取得最小值為 SKIPIF 1 < 0 .
（2）要證明：對(duì)任意正整數(shù) SKIPIF 1 < 0 ，都有 SKIPIF 1 < 0 ，
即證明 SKIPIF 1 < 0 ，
即證明 SKIPIF 1 < 0 ，
由（1）得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0
令 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
所以對(duì)任意正整數(shù) SKIPIF 1 < 0 ，都有 SKIPIF 1 < 0 .
（3）若不等式 SKIPIF 1 < 0 恒成立，此時(shí) SKIPIF 1 < 0 ，
則 SKIPIF 1 < 0 恒成立，
令 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在區(qū)間 SKIPIF 1 < 0 上單調(diào)遞增，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)等號(hào)成立，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)等號(hào)成立，所以 SKIPIF 1 < 0 .
16.（2024屆河北省保定市唐縣第一中學(xué)高三上學(xué)期9月月考）已知函數(shù) SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ）．
(1)若 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立，求a的取值范圍：
(2)設(shè) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 為函數(shù) SKIPIF 1 < 0 的兩個(gè)零點(diǎn)，證明： SKIPIF 1 < 0 ．
【解析】（1）若 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立，即 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 ，當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上單調(diào)遞減，在 SKIPIF 1 < 0 上單調(diào)遞增，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即a的取值范圍是 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）令 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上單調(diào)遞增，
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上單調(diào)遞減，在 SKIPIF 1 < 0 上單調(diào)遞增．
不妨設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ．
設(shè)函數(shù) SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ），則 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上單調(diào)遞增，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ．
又函數(shù) SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上單調(diào)遞減，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
17.（2024屆上海市育才中學(xué)高三上學(xué)期第一次調(diào)研檢測(cè)）已知函數(shù) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 為 SKIPIF 1 < 0 的導(dǎo)數(shù)．
(1)求曲線 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 處的切線方程；
(2)證明： SKIPIF 1 < 0 在區(qū)間 SKIPIF 1 < 0 存在唯一零點(diǎn)；
(3)若 SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 ，求a的取值范圍．
【解析】（1） SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以曲線 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 處的切線方程為 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）令 SKIPIF 1 < 0 ，
則 SKIPIF 1 < 0 ，
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上單調(diào)遞增，
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以函數(shù) SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上沒(méi)有零點(diǎn)，
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上單調(diào)遞減，
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以函數(shù) SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，
綜上所述，函數(shù) SKIPIF 1 < 0 在在區(qū)間 SKIPIF 1 < 0 存在唯一零點(diǎn)，
即 SKIPIF 1 < 0 在區(qū)間 SKIPIF 1 < 0 存在唯一零點(diǎn)；
（3）若 SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 ，
則 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
由（2）知， SKIPIF 1 < 0 在區(qū)間 SKIPIF 1 < 0 上只有一個(gè)零點(diǎn)，設(shè)為 SKIPIF 1 < 0 ，
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 ，當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 ，
所以函數(shù) SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上單調(diào)遞增，在 SKIPIF 1 < 0 上單調(diào)遞減，
又 SKIPIF 1 < 0 ，
所以當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 ，
又當(dāng) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
所以a的取值范圍為 SKIPIF 1 < 0 ．
18.（2023屆陜西省咸陽(yáng)市武功縣高三上學(xué)期11月期中）已知函數(shù) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
(1)若 SKIPIF 1 < 0 ，求函數(shù) SKIPIF 1 < 0 的單調(diào)區(qū)間；
(2)若關(guān)于 SKIPIF 1 < 0 的不等式 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立，求 SKIPIF 1 < 0 的取值范圍；
(3)若實(shí)數(shù) SKIPIF 1 < 0 滿足 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，證明： SKIPIF 1 < 0 .
【解析】（1）當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 的單調(diào)增區(qū)間為 SKIPIF 1 < 0 ，單調(diào)減區(qū)間為 SKIPIF 1 < 0 ；
（2） SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，
則 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 遞增，在 SKIPIF 1 < 0 遞減， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上單調(diào)遞增， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 的取值范圍 SKIPIF 1 < 0 ；
（3） SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上遞增，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
下面證明： SKIPIF 1 < 0 ，
即證 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，
∴函數(shù) SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上單調(diào)遞減，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 遞減，
SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
19.（2024屆遼寧省朝陽(yáng)高三上學(xué)期9月聯(lián)考）已知函數(shù) SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求函數(shù) SKIPIF 1 < 0 的單調(diào)區(qū)間；
(2)若存在 SKIPIF 1 < 0 ，使得不等式 SKIPIF 1 < 0 成立，求 SKIPIF 1 < 0 的取值范圍.
【解析】（1）由函數(shù) SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 的定義域?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 無(wú)單調(diào)性；
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 對(duì)任意 SKIPIF 1 < 0 恒成立，
所以函數(shù) SKIPIF 1 < 0 的單調(diào)遞增區(qū)間為 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，無(wú)單調(diào)遞減區(qū)間；
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 對(duì)任意 SKIPIF 1 < 0 恒成立，
所以函數(shù) SKIPIF 1 < 0 的單調(diào)遞減區(qū)間為 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 無(wú)單調(diào)遞增區(qū)間.
（2）由不等式 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，
設(shè) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
根據(jù)題意，存在 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
又由 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立，不滿足題意；
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)，方程 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立，則 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上單調(diào)遞增，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立，不滿足題意；
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)，令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
則當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上單調(diào)遞減，此時(shí) SKIPIF 1 < 0 ，
因此，當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)，存在 SKIPIF 1 < 0 ，使得不等式 SKIPIF 1 < 0 成立，
所以滿足題意的 SKIPIF 1 < 0 的取值范圍為 SKIPIF 1 < 0 .
五、不等式證明
20. （2024屆云南省大理高三區(qū)域性規(guī)?；y(tǒng)一檢測(cè)）已知函數(shù) SKIPIF 1 < 0 ．
(1)討論 SKIPIF 1 < 0 的極值；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 （e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，證明： SKIPIF 1 < 0 ．
【解析】（1）函數(shù) SKIPIF 1 < 0 的定義域?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，求導(dǎo)得 SKIPIF 1 < 0 ，
若 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，無(wú)極值；
若 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
若 SKIPIF 1 < 0 ，當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 單調(diào)遞減，當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 單調(diào)遞增，
此時(shí)，函數(shù) SKIPIF 1 < 0 有唯一極小值 SKIPIF 1 < 0 ，無(wú)極大值；
若 SKIPIF 1 < 0 ，當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 單調(diào)遞增，當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 單調(diào)遞減，
此時(shí)，函數(shù) SKIPIF 1 < 0 有唯一極大值 SKIPIF 1 < 0 ，無(wú)極小值；
所以當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)，函數(shù) SKIPIF 1 < 0 無(wú)極值；
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)，函數(shù) SKIPIF 1 < 0 有極小值 SKIPIF 1 < 0 ，無(wú)極大值；
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)，函數(shù) SKIPIF 1 < 0 有極大值 SKIPIF 1 < 0 ，無(wú)極小值；
（2）證明：由 SKIPIF 1 < 0 ，兩邊取對(duì)數(shù)可得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由（1）可知，函數(shù) SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上單調(diào)遞增，在 SKIPIF 1 < 0 上單調(diào)遞減，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
而 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 恒成立，
因此，當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)，存在 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，滿足 SKIPIF 1 < 0 ，
若 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 成立；
若 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，
記 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
則 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
即有函數(shù) SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上單調(diào)遞增，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
于是 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
函數(shù) SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上單調(diào)遞增，因此 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
21.（2023屆陜西省西安市第八十三中學(xué)等校高三二輪復(fù)習(xí)聯(lián)考）已知函數(shù) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求 SKIPIF 1 < 0 的極值；
(2)證明：當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 ．（參考數(shù)據(jù)： SKIPIF 1 < 0 ）
【解析】（1） SKIPIF 1 < 0 的定義域?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 ，當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 ，
所以函數(shù) SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上單調(diào)遞增，在 SKIPIF 1 < 0 上單調(diào)遞減，
故 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 處取得極大值 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 的極大值為 SKIPIF 1 < 0 ，無(wú)極小值；
（2）設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，
則 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 單調(diào)遞減，當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 單調(diào)遞增，
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以存在 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ．
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 單調(diào)遞減，
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 單調(diào)遞增，
所以當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 處取得極小值，即為最小值，
故 SKIPIF 1 < 0 ，
設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，
由二次函數(shù)的性質(zhì)得函數(shù) SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上單調(diào)遞減，
故 SKIPIF 1 < 0 ，
所以當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ．
22.（2024屆湖南省長(zhǎng)沙市高三上學(xué)期第二次階段性測(cè)試）函數(shù) SKIPIF 1 < 0 .
(1)若 SKIPIF 1 < 0 存在極值，求 SKIPIF 1 < 0 的取值范圍；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，已知方程 SKIPIF 1 < 0 有兩個(gè)不同的實(shí)根 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，證明： SKIPIF 1 < 0 .（其中 SKIPIF 1 < 0 是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）
【解析】（1）因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 為單調(diào)遞增函數(shù)，不可能有極值，舍去；
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 時(shí)，令 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 ；當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 ；
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上單調(diào)遞增，在 SKIPIF 1 < 0 上單調(diào)遞減，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 取得極大值，符合題意；
綜上： SKIPIF 1 < 0 ，故實(shí)數(shù) SKIPIF 1 < 0 的取值范圍為 SKIPIF 1 < 0 .
（2）由 SKIPIF 1 < 0 得: SKIPIF 1 < 0 .
由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0
構(gòu)造 SKIPIF 1 < 0 .易知 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 單調(diào)遞增且 SKIPIF 1 < 0 .
∴ SKIPIF 1 < 0 .即 SKIPIF 1 < 0 取對(duì)數(shù)得 SKIPIF 1 < 0
設(shè) SKIPIF 1 < 0 .則 SKIPIF 1 < 0
即 SKIPIF 1 < 0 .
利用對(duì)數(shù)均值不等式有 SKIPIF 1 < 0 即證得 SKIPIF 1 < 0 .
要證 SKIPIF 1 < 0 .只要證明 SKIPIF 1 < 0 .
設(shè) SKIPIF 1 < 0 .由（*）可且 SKIPIF 1 < 0
則 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 單調(diào)遞減，則 SKIPIF 1 < 0 .即 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
對(duì)數(shù)均值不等式 SKIPIF 1 < 0 .
證明如下:不妨設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，要證 SKIPIF 1 < 0 ，即證， SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 即證 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0
即證: SKIPIF 1 < 0 .
令 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 結(jié)論得證.
23.（2023屆四川省綿陽(yáng)市涪城區(qū)南山中學(xué)高三仿真測(cè)試）已知函數(shù) SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
(2)已知 SKIPIF 1 < 0 ，證明： SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 .
【解析】（1）函數(shù) SKIPIF 1 < 0 定義域?yàn)镽， SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 解得 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 在區(qū)間 SKIPIF 1 < 0 上單調(diào)遞增，
由 SKIPIF 1 < 0 解得 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 在區(qū)間 SKIPIF 1 < 0 上單調(diào)遞減，
故 SKIPIF 1 < 0 的最小值是 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）在（1）中，令 SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ．且 SKIPIF 1 < 0 不恒為零．
所以，函數(shù) SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上單調(diào)遞增，故 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ．
所以， SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
0
SKIPIF 1 < 0
1
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
+
0
-
0
+
SKIPIF 1 < 0
↗
極大
↘
極小
↗
a
SKIPIF 1 < 0
1
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
單調(diào)遞減
極小值
單調(diào)遞增
x
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
1
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
+
0
-
0
+
SKIPIF 1 < 0
+
0
-
0
+
SKIPIF 1 < 0
增
極大值
減
極小值3
增

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