新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題培優(yōu)練習(xí)專題15 數(shù)列中的情景題及數(shù)學(xué)文化題（2份打包，原卷版+解析版）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

1．明代數(shù)學(xué)家程大位在《算法統(tǒng)宗》中已經(jīng)給出由n， SKIPIF 1 < 0 和d求各項(xiàng)的問題，如九兒問甲歌：“一個(gè)公公九個(gè)兒，若問生年總不知，自長排來差三歲，共年二百又零七．借問長兒多少歲，各兒歲數(shù)要詳推．”則該問題中老人的長子的歲數(shù)為（）
A．35B．32C．29D．26
2．黃山市歙縣三陽鎮(zhèn)葉村歷史民俗“疊羅漢”已被列入省級非物質(zhì)文化遺產(chǎn)保護(hù)項(xiàng)目，至今已有500多年的歷史，表演時(shí)由二人以上的人層層疊成各種樣式，魅力四射，光彩奪目，好看又壯觀.小明同學(xué)在研究數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 時(shí)，發(fā)現(xiàn)其遞推公式 SKIPIF 1 < 0 就可以利用“疊羅漢”的思想來處理，即 SKIPIF 1 < 0 ，如果該數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 的前兩項(xiàng)分別為 SKIPIF 1 < 0 ，其前 SKIPIF 1 < 0 項(xiàng)和記為 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 （）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
3．《周碑算經(jīng)》記載：一年有二十四個(gè)節(jié)氣，每個(gè)節(jié)氣唇（guǐ）長損益相同，夏至、小暑、大暑、立秋、處暑、白露、秋分、寒露、霜降、立冬、小雪、大雪是連續(xù)十二個(gè)節(jié)氣，其日影子長依次成等差數(shù)列．經(jīng)記錄測算，夏至、處暑、霜降三個(gè)節(jié)氣日影子長之和為16.5尺，這十二節(jié)氣的所有日影子長之和為84尺，則夏至的日影子長為（）尺
A．1B．1.25C．1.5D．2
4．在《增減算法統(tǒng)宗》中有這樣一則故事：“三百七十八里關(guān)，初行健步不為難；次日腳痛減一半，如此六日過其關(guān)”.其大意是：有人要去某關(guān)口，路程為 SKIPIF 1 < 0 里，第一天健步行走，從第二天起由于腳痛，每天走的路程都為前一天的一半，一共走了六天，才到目的地.則此人后 SKIPIF 1 < 0 天共走的里程數(shù)為（）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
5．“三分損益法”是古代中國發(fā)明的制定音律時(shí)所用的生律法.例如：假設(shè)能發(fā)出第一個(gè)基準(zhǔn)音的樂器的長度為36，那么能發(fā)出第二個(gè)基準(zhǔn)音的樂器的長度為 SKIPIF 1 < 0 ，能發(fā)出第三個(gè)基準(zhǔn)音的樂器的長度為 SKIPIF 1 < 0 ，……，也就是依次先減少三分之一，后增加三分之一，以此類推.現(xiàn)有一興趣小組采用此規(guī)律構(gòu)造了一個(gè)共12項(xiàng)的數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 用來研究數(shù)據(jù)的變化，已知 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 （）
A．324B．297C．256D．168
6．大衍數(shù)列0，2，4，8，12，18，?來源于《乾坤譜》中對易傳“大衍之?dāng)?shù)五十”的推論，主要用于解釋中國傳統(tǒng)文化中的太極衍生原理.數(shù)列中的每一項(xiàng)，都代表太極衍生過程中，曾經(jīng)經(jīng)歷過的兩儀數(shù)量總和.其通項(xiàng)公式為 SKIPIF 1 < 0 記數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 的前n項(xiàng)和為 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 （）
參考公式： SKIPIF 1 < 0 .
A．169125B．169150C．338300D．338325
7．任取一個(gè)正整數(shù)，若是奇數(shù)，就將該數(shù)乘 SKIPIF 1 < 0 再加上 SKIPIF 1 < 0 ；若是偶數(shù)，就將該數(shù)除以 SKIPIF 1 < 0 ．反復(fù)進(jìn)行上述兩種運(yùn)算，經(jīng)過有限次步驟后，必進(jìn)入循環(huán)圈 SKIPIF 1 < 0 ．這就是數(shù)學(xué)史上著名的“冰雹猜想”（又稱“角谷猜想”）．比如取正整數(shù) SKIPIF 1 < 0 ，根據(jù)上述運(yùn)算法則得出 SKIPIF 1 < 0 ．猜想的遞推關(guān)系如下：已知數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 滿足 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 為正整數(shù)）， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 的取值為（）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
8．高階等差數(shù)列是數(shù)列逐項(xiàng)差數(shù)之差或高次差相等的數(shù)列，中國古代許多著名的數(shù)學(xué)家對推導(dǎo)高階等差數(shù)列的求和公式很感興趣，創(chuàng)造并發(fā)展了名為“垛積術(shù)”的算法，展現(xiàn)了聰明才智 SKIPIF 1 < 0 如南宋數(shù)學(xué)家楊輝在《詳解九章算法 SKIPIF 1 < 0 商功》一書中記載的三角垛、方垛、芻甍垛等的求和都與高階等差數(shù)列有關(guān) SKIPIF 1 < 0 如圖是一個(gè)三角垛，最頂層有 SKIPIF 1 < 0 個(gè)小球，第二層有 SKIPIF 1 < 0 個(gè)，第三層有 SKIPIF 1 < 0 個(gè)，第四層有 SKIPIF 1 < 0 個(gè)，則第 SKIPIF 1 < 0 層小球的個(gè)數(shù)為（）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
9．在數(shù)學(xué)中，歐拉-馬?羅尼常數(shù) SKIPIF 1 < 0 是數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要常用無理數(shù)，為了便于仗用，我們認(rèn)為 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ．研究 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 的單調(diào)性，可得 SKIPIF 1 < 0 所在的區(qū)間為（）（參考數(shù)據(jù)， SKIPIF 1 < 0 ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
10．斜拉橋是將梁用若干根斜拉索拉在塔柱上的橋，它由梁、斜拉索和塔柱三部分組成.如圖1，這是一座斜拉索大橋，共有10對永久拉索，在索塔兩側(cè)對稱排列.如圖2，已知拉索上端相鄰兩個(gè)錨的間距 SKIPIF 1 < 0 約為4m，拉索下端相鄰兩個(gè)錨的間距 SKIPIF 1 < 0 均為18m.最短拉索的錨 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 滿足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，以 SKIPIF 1 < 0 所在直線為 SKIPIF 1 < 0 軸， SKIPIF 1 < 0 所在直線為 SKIPIF 1 < 0 軸，則最長拉索所在直線的斜率為（）

A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
11．裴波那契數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 ，因數(shù)學(xué)家萊昂納多·裴波那契以兔子繁殖為例子而引入，故又稱為“兔子數(shù)列”，該數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 滿足 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ．盧卡斯數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 是以數(shù)學(xué)家愛德華·盧卡斯命名，與裴波那契數(shù)列聯(lián)系緊密，即 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 （）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
12．分形幾何學(xué)是數(shù)學(xué)家伯努瓦?曼德爾布羅在20世紀(jì)70年代創(chuàng)立的一門新的數(shù)學(xué)學(xué)科，它的創(chuàng)立為解決眾多傳統(tǒng)科學(xué)領(lǐng)域的難題提供了全新的思路，按照如圖1的分形規(guī)律可得知圖2的一個(gè)樹形圖，記圖2中第 SKIPIF 1 < 0 行黑圈的個(gè)數(shù)為 SKIPIF 1 < 0 ，白圈的個(gè)數(shù)為 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 （）

A．34B．35C．88D．89
二、多選題
13．朱世杰是歷史上偉大的數(shù)學(xué)家之一，他所著的《四元玉鑒》卷中“如像招數(shù)”五問中有如下問題：“今有官司差夫一千八百六十四人筑堤，只云初日差六十四人，次日轉(zhuǎn)多七人，每人日支米三升.”其大意為“官府陸續(xù)派遣1864人前往修筑堤壩，第一天派出64人，從第二天開始每天比前一天多派7人，官府向修筑堤壩的每人每天發(fā)放大米3升.”則下列結(jié)論正確的有（）
A．將這1864人派譴完需要16天
B．第十天派往筑堤的人數(shù)為134
C．官府前6天共發(fā)放1467升大米
D．官府前6天比后6天少發(fā)放1260升大米
14．提丟斯·波得定律是關(guān)于太陽系中行星軌道的一個(gè)簡單的幾何學(xué)規(guī)則，它是在1766年由德國的一位中學(xué)老師戴維斯·提丟斯發(fā)現(xiàn)的，后來被柏林天文臺的臺長波得歸納成一條定律，即數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 ：0.4，0.7，1，1.6，2.8，5.2，10，19.6…表示的是太陽系第 SKIPIF 1 < 0 顆行星與太陽的平均距離（以天文單位AU為單位）.現(xiàn)將數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 的各項(xiàng)乘以10后再減4，得到數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 ，可以發(fā)現(xiàn)數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 從第3項(xiàng)起，每項(xiàng)是前一項(xiàng)的2倍，則下列說法正確的是（）
A．?dāng)?shù)列 SKIPIF 1 < 0 的第2023項(xiàng)為 SKIPIF 1 < 0 B．?dāng)?shù)列 SKIPIF 1 < 0 的通項(xiàng)公式為 SKIPIF 1 < 0
C．?dāng)?shù)列 SKIPIF 1 < 0 的前10項(xiàng)和為157.3D．?dāng)?shù)列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 項(xiàng)和 SKIPIF 1 < 0
15．平面螺旋是以一個(gè)固定點(diǎn)開始，向外圈逐漸旋繞而形成的圖案，如圖（1）．它的畫法是這樣的：正方形ABCD的邊長為4，取正方形ABCD各邊的四等分點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H作第二個(gè)正方形，然后再取正方形EFGH各邊的四等分點(diǎn)M，N，P，Q作第三個(gè)正方形，以此方法一直循環(huán)下去，就可得到陰影部分圖案，設(shè)正方形ABCD邊長為 SKIPIF 1 < 0 ，后續(xù)各正方形邊長依次為 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，…， SKIPIF 1 < 0 ，…；如圖（2）陰影部分，設(shè)直角三角形AEH面積為 SKIPIF 1 < 0 ，后續(xù)各直角三角形面積依次為 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，…， SKIPIF 1 < 0 ，…．則（）

A．?dāng)?shù)列 SKIPIF 1 < 0 是以4為首項(xiàng)， SKIPIF 1 < 0 為公比的等比數(shù)列
B．從正方形 SKIPIF 1 < 0 開始，連續(xù) SKIPIF 1 < 0 個(gè)正方形的面積之和為32
C．使得不等式 SKIPIF 1 < 0 成立的 SKIPIF 1 < 0 的最大值為3
D．?dāng)?shù)列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 項(xiàng)和 SKIPIF 1 < 0
16．歷史上著名的伯努利錯排問題指的是：一個(gè)人有 SKIPIF 1 < 0 封不同的信，投入n個(gè)對應(yīng)的不同的信箱，他把每封信都投錯了信箱，投錯的方法數(shù)為 SKIPIF 1 < 0 .例如兩封信都投錯有 SKIPIF 1 < 0 種方法，三封信都投錯有 SKIPIF 1 < 0 種方法，通過推理可得： SKIPIF 1 < 0 .高等數(shù)學(xué)給出了泰勒公式： SKIPIF 1 < 0 ，則下列說法正確的是（）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 為等比數(shù)列
C． SKIPIF 1 < 0 D．信封均被投錯的概率大于 SKIPIF 1 < 0
17．麥克斯韋妖（Maxwell＇s demn），是在物理學(xué)中假想的妖，能探測并控制單個(gè)分子的運(yùn)動，于1871年由英國物理學(xué)家詹姆斯·麥克斯韋為了說明違反熱力學(xué)第二定律的可能性而設(shè)想的．當(dāng)時(shí)麥克斯韋意識到自然界存在著與熵增加相拮抗的能量控制機(jī)制．但他無法清晰地說明這種機(jī)制．他只能詼諧地假定一種“妖”，能夠按照某種秩序和規(guī)則把作隨機(jī)熱運(yùn)動的微粒分配到一定的相格里．麥克斯韋妖是耗散結(jié)構(gòu)的一個(gè)雛形．可以簡單的這樣描述，一個(gè)絕熱容器被分成相等的兩格，中間是由“妖”控制的一扇小“門”，容器中的空氣分子作無規(guī)則熱運(yùn)動時(shí)會向門上撞擊，“門”可以選擇性的將速度較快的分子放入一格，而較慢的分子放入另一格，這樣，其中的一格就會比另外一格溫度高，可以利用此溫差，驅(qū)動熱機(jī)做功．這是第二類永動機(jī)的一個(gè)范例．而直到信息熵的發(fā)現(xiàn)后才推翻了麥克斯韋妖理論．設(shè)隨機(jī)變量X所有取值為1，2，…n，且 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ，2，…n） SKIPIF 1 < 0 ，定義X的信息熵 SKIPIF 1 < 0 ，則下列說法正確的有（）
A．n=1時(shí) SKIPIF 1 < 0
B．n=2時(shí)，若 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 正相關(guān)
C．若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
D．若n=2m，隨機(jī)變量y的所有可能取值為1,2,…,m，且 SKIPIF 1 < 0 （j=1,2,…,m）則 SKIPIF 1 < 0
三、填空題
18．風(fēng)雨橋（如圖①所示）是侗族最具特色的民間建筑之一.風(fēng)雨橋由橋、塔、亭組成.其中亭、塔的俯視圖通常是正方形、正六邊形或正八邊形.圖②是某風(fēng)雨橋亭的大致俯視圖，其中正六邊形的邊長的計(jì)算方法如下： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，…， SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 .已知該風(fēng)雨橋亭共 SKIPIF 1 < 0 層，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則圖②中的五個(gè)正六邊形的周長總和為 SKIPIF 1 < 0 .

19．我國古代的《洛書》中記載著世界上最古老的一個(gè)幻方：如圖將 SKIPIF 1 < 0 填入 SKIPIF 1 < 0 的方格內(nèi)，使三行，三列和兩條對角線上的三個(gè)數(shù)字之和都等于15. 一般地，將連續(xù)的正整數(shù) SKIPIF 1 < 0 填入 SKIPIF 1 < 0 個(gè)方格中，使得每行，每列和兩條對角線上的數(shù)字之和都相等，這個(gè)正方形叫做 SKIPIF 1 < 0 階幻方. 記 SKIPIF 1 < 0 階幻方的每列的數(shù)字之和為 SKIPIF 1 < 0 ，如圖三階幻方的 SKIPIF 1 < 0 ，那么 SKIPIF 1 < 0 .

20．我國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中有“竹九節(jié)”問題：現(xiàn)有一根 SKIPIF 1 < 0 節(jié)的竹子，自上而下各節(jié)的容積成等比數(shù)列，最上面 SKIPIF 1 < 0 節(jié)的容積之積為 SKIPIF 1 < 0 ，最下面 SKIPIF 1 < 0 節(jié)的容積之積為 SKIPIF 1 < 0 ，則第 SKIPIF 1 < 0 節(jié)的容積是 .
21．黎曼猜想由數(shù)學(xué)家波恩哈德·黎曼于1859年提出，是至今仍未解決的世界難題.黎曼猜想涉及到很多領(lǐng)域的應(yīng)用，有些數(shù)學(xué)家將黎曼猜想的攻堅(jiān)之路趣稱為：“各大行長躲在銀行保險(xiǎn)柜前瑟瑟發(fā)抖，不少黑客則潛伏敲著鍵盤蓄勢待發(fā)”.黎曼猜想研究的是無窮級數(shù) SKIPIF 1 < 0 ，我們經(jīng)常從無窮級數(shù)的部分和 SKIPIF 1 < 0 入手.已知正項(xiàng)數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 項(xiàng)和為 SKIPIF 1 < 0 ，且滿足 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 （其中 SKIPIF 1 < 0 表示不超過 SKIPIF 1 < 0 的最大整數(shù)）.
22．將楊輝三角中的每一個(gè)數(shù) SKIPIF 1 < 0 都換成分?jǐn)?shù) SKIPIF 1 < 0 ，就得到一個(gè)如圖所示的分?jǐn)?shù)三角形，稱為萊布尼茨三角形，從萊布尼茨三角形可以看出： SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 項(xiàng)和，則 SKIPIF 1 < 0 .

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