一、單選題
1．已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在上．若到直線的距離為5，則（ ）
A．7B．6C．5D．4
2．過點(diǎn)與圓相切的兩條直線的夾角為，則（ ）
A．1B．C．D．
3．已知橢圓，為兩個(gè)焦點(diǎn)，O為原點(diǎn)，P為橢圓上一點(diǎn)，，則（ ）
A．B．C．D．
4．已知的半徑為1，直線PA與相切于點(diǎn)A，直線PB與交于B，C兩點(diǎn)，D為BC的中點(diǎn)，若，則的最大值為（ ）
A．B．
C．D．
5．已知實(shí)數(shù)滿足，則的最大值是（ ）
A．B．4C．D．7
6．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，直線與C交于A，B兩點(diǎn)，若面積是面積的2倍，則（ ）．
A．B．C．D．
7．設(shè)為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)在上，若，則（ ）
A．1B．2C．4D．5
8．已知，是橢圓：的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)在上，則的最大值為（ ）
A．13B．12C．9D．6
9．已知平面上兩定點(diǎn)A，B，則所有滿足（且）的點(diǎn)P的軌跡是一個(gè)圓心在直線AB上，半徑為的圓.這個(gè)軌跡最先由古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)，故稱作阿氏圓.已知?jiǎng)狱c(diǎn)P在棱長為6的正方體的一個(gè)側(cè)面上運(yùn)動(dòng)，且滿足，則點(diǎn)P的軌跡長度為（ ）
A．B．C．D．
10．希臘著名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)“平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之比為定值的點(diǎn)的軌跡是圓”.后來，人們將這個(gè)圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓.已知在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，，若點(diǎn)是滿足的阿氏圓上的任意一點(diǎn)，點(diǎn)為拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，在直線上的射影為，則的最小值為（ ）
A．B．C．D．
11．阿波羅尼斯（約公元前262-190年）證明過這樣一個(gè)命題：在平面內(nèi)到兩定點(diǎn)距離之比為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是圓，后人將這個(gè)圓稱為阿氏圓．若平面內(nèi)兩定點(diǎn)A，B間的距離為2，動(dòng)點(diǎn)P滿足，則面積的最大值是（ ）
A．B．2C．D．4
12．阿波羅尼斯是古希臘著名數(shù)學(xué)家，與歐幾里得、阿基米德被稱為亞歷山大時(shí)期數(shù)學(xué)三巨匠，他對(duì)圓錐曲線有深刻且系統(tǒng)的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圓錐曲線》一書中，阿波羅尼斯圓是他的研究成果之一，指的是：已知?jiǎng)狱c(diǎn)與兩定點(diǎn)，的距離之比為，那么點(diǎn)的軌跡就是阿波羅尼斯圓．如動(dòng)點(diǎn)與兩定點(diǎn)，的距離之比為時(shí)的阿波羅尼斯圓為．下面，我們來研究與此相關(guān)的一個(gè)問題：已知圓上的動(dòng)點(diǎn)和定點(diǎn)，，則的最小值為（ ）
A．B．C．D．
13．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，離心率為，其蒙日?qǐng)A方程為，M為蒙日?qǐng)A上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作橢圓的兩條切線，與蒙日?qǐng)A分別交于P，Q兩點(diǎn)，若面積的最大值為36，則橢圓的長軸長為（ ）
A．B．C．D．
14．19世紀(jì)法國著名數(shù)學(xué)家加斯帕爾?蒙日，創(chuàng)立了畫法幾何學(xué)，推動(dòng)了空間幾何學(xué)的獨(dú)立發(fā)展，提出了著名的蒙日?qǐng)A定理：橢圓的兩條切線互相垂直，則切線的交點(diǎn)位于一個(gè)與橢圓同心的圓上，稱為蒙日?qǐng)A，橢圓的蒙日?qǐng)A方程為.若圓與橢圓的蒙日?qǐng)A有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，則b的值為（ ）
A．B．C．D．
15．加斯帕爾-蒙日是1819世紀(jì)法國著名的幾何學(xué)家．如圖，他在研究圓錐曲線時(shí)發(fā)現(xiàn)：橢圓的任意兩條互相垂直的切線的交點(diǎn)都在同一個(gè)圓上，其圓心是橢圓的中心，這個(gè)圓被稱為“蒙日?qǐng)A”．若長方形的四邊均與橢圓相切，則下列說法錯(cuò)誤的是（ ）

A．橢圓的離心率為B．橢圓的蒙日?qǐng)A方程為
C．若為正方形，則的邊長為D．長方形的面積的最大值為18
16．已知橢圓：的短軸長為2，上頂點(diǎn)為，左頂點(diǎn)為，，分別是的左、右焦點(diǎn)，且的面積為，點(diǎn)為上的任意一點(diǎn)，則的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
17．已知F為拋物線C：的焦點(diǎn)，過點(diǎn)F的直線l與C相交于A，B兩點(diǎn)，且，則
A．6B．8C．10D．12
18．過橢圓的左焦點(diǎn)F作傾斜角為60°的直線l與橢圓C交于A、B兩點(diǎn)，則（ ）
A．B．C．D．
19．已知點(diǎn)是雙曲線上的動(dòng)點(diǎn)，，為該雙曲線的左右焦點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則的最大值為（ ）
A．B．2C．D．
20．已知雙曲線的右支上的點(diǎn)，滿足，分別是雙曲線的左右焦點(diǎn)），則為雙曲線的半焦距）的取值范圍是（ ）
A．，B．，C．，D．，
21．已知為拋物線的焦點(diǎn)，過作兩條互相垂直的直線，，直線與交于，兩點(diǎn)，直線與交于，兩點(diǎn)，則當(dāng)取得最小值時(shí)，四邊形的面積為（ ）
A．32B．16C．24D．8
22．橢圓：的左、右頂點(diǎn)分別為，，點(diǎn)在上且直線的斜率的取值范圍是，那么直線斜率的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
23．橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為、，點(diǎn)在上，且直線的斜率為，則直線斜率為（ ）
A．B．3C．D．
24．已知為雙曲線上不同三點(diǎn)，且滿足（為坐標(biāo)原點(diǎn)），直線的斜率記為，則的最小值為
A．8B．4C．2D．1
25．已知、是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，是橢圓上的一點(diǎn)，若，且的面積為，則
A．2B．3C．6D．9
26．已知，是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為橢圓C上一點(diǎn)，且，若的面積為，則（ ）
A．9B．3C．4D．8
27．已知橢圓上一動(dòng)點(diǎn)P到兩個(gè)焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離之積為q，則q取最大值時(shí)，的面積為（ ）
A．1B．C．2D．
28．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，過的直線與雙曲線的左、右兩支分別交于，兩點(diǎn)，若為邊長為4的等邊三角形，則的面積為（ ）
A．B．C．D．
29．已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，是雙曲線的左支上一點(diǎn)，，則的周長的最小值為（ ）
A．B．
C．D．
30．過拋物線的焦點(diǎn)作直線交拋物線于，兩點(diǎn)（，的橫坐標(biāo)不相等），弦的垂直平分線交軸于點(diǎn)，若，則（ ）
A．14B．16C．18D．20
31．設(shè)是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，若上存在點(diǎn)滿足，則的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
32．已知，為橢圓：的兩個(gè)焦點(diǎn)，若上存在點(diǎn)滿足，則實(shí)數(shù)取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
33．已知是橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)，過且垂直于x軸的直線交C于A、B兩點(diǎn)，且，則的方程為（ ）
A．B．C．D．
34．已知、分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，且，點(diǎn)為雙曲線右支上一點(diǎn)，為內(nèi)心，若，則的值為（ ）
A．B．C．D．
35．已知點(diǎn)A，B在拋物線上，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，且的垂心恰好是此拋物線的焦點(diǎn)F，則直線AB的方程是（ ）
A．B．C．D．
36．已知是雙曲線的左?右焦點(diǎn)，過點(diǎn)且垂直于實(shí)軸的直線與雙曲線的兩條漸近線分別相交于A，B兩點(diǎn)，則坐標(biāo)原點(diǎn)O可能為的（ ）
A．垂心B．內(nèi)心C．外心D．重心
二、多選題
37．已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線上，過點(diǎn)的直線交C于P，Q兩點(diǎn)，則（ ）
A．C的準(zhǔn)線為B．直線AB與C相切
C．D．
38．為拋物線的弦，，分別過作的拋物線的切線交于點(diǎn)，稱為阿基米德三角形，弦為阿基米德三角形的底邊.若弦過焦點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．
B．底邊的直線方程為；
C．是直角三角形；
D．面積的最小值為.
39．過拋物線C：（）的焦點(diǎn)F的直線與拋物線C相交于A，B兩點(diǎn)，以A，B為切點(diǎn)作拋物線C的兩條切線，，設(shè)，的交點(diǎn)為M，稱△AMB為阿基米德三角形.則關(guān)于阿基米德三角形AMB，下列說法正確的有（ ）
A．△AMB是直角三角形
B．頂點(diǎn)M的軌跡是拋物線C的準(zhǔn)線
C．MF是△AMB的高線
D．△AMB面積的最小值為
40．拋物線的弦與過弦的端點(diǎn)的兩條切線所圍成的三角形稱為阿基米德三角形.設(shè)拋物線，弦過焦點(diǎn)為其阿基米德三角形，則下列結(jié)論一定成立的是（ ）
A．存在點(diǎn)，使得
B．
C．對(duì)于任意的點(diǎn)，必有向量與向量共線
D．面積的最小值為
三、填空題
41．已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)在圓上，則的最小值為 ．
42．已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線：()的焦點(diǎn)為，為上一點(diǎn)，與軸垂直，為軸上一點(diǎn)，且，若，則的準(zhǔn)線方程為 .
43．過橢圓的右焦點(diǎn)F的直線與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，則面積最大值為 .
44．已知直線l與橢圓交于M，N兩點(diǎn)，當(dāng) ，面積最大，并且最大值為 .記，當(dāng)面積最大時(shí)， ﹐ .Р是橢圓上一點(diǎn)，，當(dāng)面積最大時(shí)， .
45．已知A，B，C分別是橢圓上的三個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則面積最大值為 .
46．已知點(diǎn)P(0，1)，橢圓 (m>1)上兩點(diǎn)A，B滿足，則當(dāng)m= 時(shí)，點(diǎn)B橫坐標(biāo)的絕對(duì)值最大．
47．已知橢圓，點(diǎn)為橢圓外一點(diǎn)，斜率為的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，過點(diǎn)作直線，分別交橢圓于，兩點(diǎn)．當(dāng)直線的斜率為時(shí)，此橢圓的離心率為 ．
48．過點(diǎn)的直線與橢圓交于點(diǎn)和，且.點(diǎn)滿足，若為坐標(biāo)原點(diǎn)，則的最小值為 ．
49．已知橢圓，過C中心的直線交C于M，N兩點(diǎn)，點(diǎn)P在x軸上其橫坐標(biāo)是點(diǎn)M橫坐標(biāo)的3倍，直線NP交C于點(diǎn)Q，若直線QM恰好是以MN為直徑的圓的切線，則C的離心率為 ．
50．拋物線有一條重要性質(zhì)：從焦點(diǎn)出發(fā)的光線，經(jīng)過拋物線上的一點(diǎn)反射后，反射光線平行于拋物線的軸．過拋物線：上的點(diǎn)（不為原點(diǎn)）作的切線，過坐標(biāo)原點(diǎn)作，垂足為，直線（為拋物線的焦點(diǎn)）與直線交于點(diǎn)，點(diǎn)，則的取值范圍是 ．
51．設(shè)拋物線，M為直線上任意一點(diǎn)，過M引拋物線的切線，切點(diǎn)分別為A，B，記A，B，M的橫坐標(biāo)分別為，則下列關(guān)系：①；②；③.其中正確的是 (填序號(hào))．
52．定義：點(diǎn)為曲線外的一點(diǎn)，為上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則取最大值時(shí)，叫點(diǎn)對(duì)曲線的張角.已知點(diǎn)為拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)對(duì)圓的張角為，則的最小值為 .
53．已知雙曲線：的左、右焦點(diǎn)分別為，，其右支上有一點(diǎn)滿足，過點(diǎn)向的平分線引垂線交于點(diǎn)，若，則雙曲線的離心率 .
54．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，是上異于頂點(diǎn)的一點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)，的平分線與直線交于點(diǎn)，當(dāng)四邊形的面積為時(shí)， ．
55．已知拋物線，直線過點(diǎn)且與相交于，兩點(diǎn)，若的平分線過點(diǎn)，則直線的斜率為 ．
56．過拋物線的焦點(diǎn)的直線與交于兩點(diǎn)，且，的準(zhǔn)線與軸交于，的面積為，則的通徑長為 .
57．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為過的通徑（過焦點(diǎn)垂直于長軸的弦叫做通徑），則的內(nèi)切圓方程為 .
58．雙曲線的光學(xué)性質(zhì)為：從雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)過雙曲線反射后，反射光線的反向延長線過雙曲線的另一個(gè)焦點(diǎn)．如圖：為雙曲線的左，右焦點(diǎn)，若從右焦點(diǎn)發(fā)出的光線在上的點(diǎn)處反射后射出（共線），且，則的離心率為 .

59．橢圓的光學(xué)性質(zhì)，從橢圓一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光，經(jīng)過橢圓反射后，反射光線都匯聚到橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)上．已知橢圓C：，為其左、右焦點(diǎn)．M是C上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)，若的最大值為6.動(dòng)直線l為此橢圓C的切線，右焦點(diǎn)關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)，，則橢圓C的離心率為 ；S的取值范圍為 ．
60．雙曲線的光學(xué)性質(zhì)為：如圖①，從雙曲線右焦點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)雙曲線鏡面反射，反射光線的反向延長線經(jīng)過左焦點(diǎn). 我國首先研制成功的“雙曲線新聞燈”，就是利用了雙曲線的這個(gè)光學(xué)性質(zhì).某“雙曲線燈”的軸截面是雙曲線一部分，如圖②，其方程為，為其左右焦點(diǎn)，若從右焦點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)雙曲線上的點(diǎn)A和點(diǎn)反射后，滿足，，則該雙曲線的離心率為 .
參考答案：
1．D
【分析】利用拋物線的定義求解即可.
【詳解】因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為，點(diǎn)在上，
所以到準(zhǔn)線的距離為，
又到直線的距離為，
所以，故.
故選：D.
2．B
【分析】方法一：根據(jù)切線的性質(zhì)求切線長，結(jié)合倍角公式運(yùn)算求解；方法二：根據(jù)切線的性質(zhì)求切線長，結(jié)合余弦定理運(yùn)算求解；方法三：根據(jù)切線結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式可得，利用韋達(dá)定理結(jié)合夾角公式運(yùn)算求解.
【詳解】方法一：因?yàn)?，即，可得圓心，半徑，
過點(diǎn)作圓C的切線，切點(diǎn)為，
因?yàn)?，則，
可得，
則，
，
即為鈍角，
所以；
法二：圓的圓心，半徑，
過點(diǎn)作圓C的切線，切點(diǎn)為，連接，
可得，則，
因?yàn)?br>且，則，
即，解得，
即為鈍角，則，
且為銳角，所以；
方法三：圓的圓心，半徑，
若切線斜率不存在，則切線方程為，則圓心到切點(diǎn)的距離，不合題意；
若切線斜率存在，設(shè)切線方程為，即，
則，整理得，且
設(shè)兩切線斜率分別為，則，
可得，
所以，即，可得，
則，
且，則，解得.
故選：B.

3．B
【分析】根據(jù)橢圓的定義結(jié)合余弦定理求出的值，利用，根據(jù)向量模的計(jì)算即可求得答案.
【詳解】由題意橢圓，為兩個(gè)焦點(diǎn)，可得，

則①，即，
由余弦定理得，
，故，②
聯(lián)立①②，解得：，
而，所以，
即，
故選：B
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題綜合考查了橢圓和向量知識(shí)的結(jié)合，解答時(shí)要注意到O為的中點(diǎn)，從而可以利用向量知識(shí)求解.
4．A
【分析】由題意作出示意圖，然后分類討論，利用平面向量的數(shù)量積定義可得，或然后結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)即可確定的最大值.
【詳解】如圖所示，，則由題意可知:，
由勾股定理可得

當(dāng)點(diǎn)位于直線異側(cè)時(shí)或PB為直徑時(shí)，設(shè)，
則：
，則
當(dāng)時(shí)，有最大值.

當(dāng)點(diǎn)位于直線同側(cè)時(shí)，設(shè)，
則：
，
，則
當(dāng)時(shí)，有最大值.
綜上可得，的最大值為.
故選：A.
【點(diǎn)睛】本題的核心在于能夠正確作出示意圖，然后將數(shù)量積的問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)求最值的問題，考查了學(xué)生對(duì)于知識(shí)的綜合掌握程度和靈活處理問題的能力.
5．C
【分析】法一：令，利用判別式法即可；法二：通過整理得，利用三角換元法即可，法三：整理出圓的方程，設(shè)，利用圓心到直線的距離小于等于半徑即可.
【詳解】法一：令，則，
代入原式化簡得，
因?yàn)榇嬖趯?shí)數(shù)，則，即，
化簡得，解得，
故 的最大值是，
法二：，整理得，
令，，其中，
則，
，所以，則，即時(shí)，取得最大值，
法三：由可得，
設(shè)，則圓心到直線的距離，
解得
故選：C.
6．C
【分析】首先聯(lián)立直線方程與橢圓方程，利用，求出范圍，再根據(jù)三角形面積比得到關(guān)于的方程，解出即可.
【詳解】將直線與橢圓聯(lián)立，消去可得，
因?yàn)橹本€與橢圓相交于點(diǎn)，則，解得，
設(shè)到的距離到距離，易知，
則，，
，解得或（舍去），
故選：C.
7．B
【分析】方法一：根據(jù)焦點(diǎn)三角形面積公式求出的面積，即可解出；
方法二：根據(jù)橢圓的定義以及勾股定理即可解出．
【詳解】方法一：因?yàn)?，所以?br>從而，所以．
故選：B.
方法二：
因?yàn)?，所以，由橢圓方程可知，，
所以，又，平方得：
，所以．
故選：B.
8．C
【分析】本題通過利用橢圓定義得到，借助基本不等式即可得到答案．
【詳解】由題，，則，
所以（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立）．
故選：C．
【點(diǎn)睛】
9．B
【分析】根據(jù)阿氏圓的定義分析得P點(diǎn)軌跡為球與側(cè)面的交線，計(jì)算其弧長即可
【詳解】在圖1中，以B為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，如圖2所示，
設(shè)阿氏圓圓心為，半徑為r.因?yàn)椋裕?br>所以.
設(shè)圓O與AB交于點(diǎn)M.由阿氏圓性質(zhì)，知.
又，所以.又，
所以，解得，所以，
所以點(diǎn)P在空間內(nèi)的軌跡為以O(shè)為球心，半徑為4的球.
當(dāng)點(diǎn)P在側(cè)面內(nèi)部時(shí)，如圖2所示，截面圓與，分別交于點(diǎn)M，R，
所以點(diǎn)P在側(cè)面內(nèi)的軌跡為.
因?yàn)樵谥校?，，所以?br>所以，所以點(diǎn)P在側(cè)面內(nèi)部的軌跡長為.

故選：B.
10．B
【分析】先求出點(diǎn)的軌跡方程，再結(jié)合阿波羅尼斯圓的定義及拋物線的定義可得，從而可得出答案.
【詳解】設(shè)，則，
化簡整理得，
所以點(diǎn)的軌跡為以為圓心1為半徑的圓，
拋物線的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為，
則
，
當(dāng)且僅當(dāng)（兩點(diǎn)在兩點(diǎn)中間）四點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)，
所以的最小值為.
故選：B.
11．C
【分析】設(shè)經(jīng)過點(diǎn)A，B的直線為x軸，的方向?yàn)閤軸正方向，線段AB的垂直平分線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)法計(jì)算.
【詳解】設(shè)經(jīng)過點(diǎn)A，B的直線為x軸，的方向?yàn)閤軸正方向，線段AB的垂直平分線為y軸，線段AB的中點(diǎn)O為原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系.則，．

設(shè)，∵，∴，
兩邊平方并整理得，即．
要使的面積最大，只需點(diǎn)P到AB（x軸）的距離最大時(shí)，
此時(shí)面積為．
故選：C.
12．C
【分析】取點(diǎn)，推理證明得，把問題轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)M到定點(diǎn)B，N距離和的最小值作答.
【詳解】如圖，點(diǎn)M在圓上，取點(diǎn)，連接，有，
當(dāng)點(diǎn)不共線時(shí)，，又，因此∽，
則有，當(dāng)點(diǎn)共線時(shí)，有，則，
因此，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)M是線段BN與圓O的交點(diǎn)時(shí)取等號(hào)，
所以的最小值為.
故選：C
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：圓及圓錐曲線中最值或范圍問題的常見解法：
（1）幾何法，若題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征和意義，則考慮利用幾何法來解決；
（2）代數(shù)法，若題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)某種明確的函數(shù)關(guān)系，則可首先建立目標(biāo)函數(shù)，再求這個(gè)函數(shù)的最值或范圍．
13．B
【分析】由橢圓離心率，用半焦距c表示a，b，再利用橢圓蒙日?qǐng)A的性質(zhì)及面積最大值求出c即可求出結(jié)果.
【詳解】令橢圓的半焦距為c，
由橢圓的離心率，得，，
因此橢圓的蒙日?qǐng)A方程為，由蒙日?qǐng)A的性質(zhì)得，
于是線段PQ是圓的直徑，即，
則面積的最大值為，即，，
所以橢圓的長軸長為.
故選：B
14．B
【分析】
根據(jù)題意，得到蒙日?qǐng)A的方程為，結(jié)合圓與圓的位置關(guān)系，即可求解.
【詳解】由題意得，橢圓的蒙日?qǐng)A的半徑，
所以橢圓的蒙日?qǐng)A的方程為：，
因?yàn)閳A與橢圓的蒙日?qǐng)A有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，
可得兩圓外切，所以，解得.
故選：B.
15．D
【分析】
由橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程求得后再求得，從而可得離心率，利用特殊的長方形（即邊長與橢圓的軸平行）求得蒙日?qǐng)A方程，從而可得長方形邊長的關(guān)系，結(jié)合基本不等式得面積最大值，并得出長方形為正方形時(shí)的邊長．
【詳解】由橢圓方程知，，則，離心率為，A正確；
當(dāng)長方形的邊與橢圓的軸平行時(shí)，長方形的邊長分別為和4，其對(duì)角線長為，因此蒙日?qǐng)A半徑為，圓方程為，B正確；
設(shè)矩形的邊長分別為，因此，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以長方形的面積的最大值是20，此時(shí)該長方形為正方形，邊長為，C正確，D錯(cuò)誤．
故選：D．
16．D
【分析】由已知和面積得到，，對(duì)進(jìn)行化簡，配方求最值.
【詳解】由已知的，故.∵的面積為，
∴，∴.又∵，
∴，，∴，
又，∴，
∴.∴的取值范圍為.
故選：D.
【點(diǎn)睛】本題主要考查橢圓的定義、橢圓的幾何性質(zhì)，以及配方求最值的問題.
17．B
【分析】根據(jù)拋物線的方程求出準(zhǔn)線方程，利用拋物線的定義即條件，求出A，B的中點(diǎn)橫坐標(biāo)，即可求出線段AB的長度
【詳解】拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為
設(shè)，，則
，，
，，，，
．
故選B．
【點(diǎn)睛】本題考查解決拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離問題，利用拋物線的定義將到焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線的距離是關(guān)鍵．
18．A
【分析】設(shè)，，把直線與橢圓聯(lián)立，求出，
，即可求出.
【詳解】由，得，，，左焦點(diǎn)為．
則過左焦點(diǎn)F，傾斜角為60°直線l的方程為．代入，得，
設(shè)，，則，，
又，
根據(jù)弦長公式得：，
且，
∴，
故選：A．
19．D
【分析】設(shè)在右支上，根據(jù)雙曲線的性質(zhì)求得、且，由已知雙曲線有，結(jié)合的范圍求范圍，即可得結(jié)果.
【詳解】由雙曲線的對(duì)稱性，假設(shè)在右支上，即，
由到的距離為，而，
所以，
綜上，，同理，則，
對(duì)于雙曲線，有且，
所以，而，即.
故選：D
20．B
【分析】根據(jù)得，，再換元利用函數(shù)的單調(diào)性求解.
【詳解】解：由雙曲線的第二定義可知，，
右支上的點(diǎn)，滿足，
由，解得，
在右支上，可得，可得，即，則，
令，，可得
而在，單調(diào)遞減，，，，
故選：B
21．A
【分析】由兩條直線垂直，以及取得最小值時(shí)，有與，與關(guān)于軸對(duì)稱，可得直線的斜率為1，進(jìn)而可求出直線的方程，與拋物線聯(lián)立寫出韋達(dá)定理和弦長公式，再由相互垂直的四邊形面積公式求值即可．
【詳解】因?yàn)?，要使最小，而?br>由拋物線的對(duì)稱性可得與，與關(guān)于軸對(duì)稱，所以可得直線的斜率為1，又過拋物線的焦點(diǎn)，
所以直線的方程為：，
，整理可得，，，
所以可得，
所以．
故選：．
22．A
【分析】設(shè)，則，代入斜率的計(jì)算公式可得：，根據(jù)直線的斜率的取值范圍即可求解.
【詳解】由題意，橢圓：的左、右頂點(diǎn)分別為，
設(shè)，則，
又由，可得，
因?yàn)椋?，可得?br>所以直線斜率的取值范圍．
故選：．
23．B
【分析】求出的坐標(biāo)，進(jìn)而求出直線的方程，聯(lián)立橢圓方程后，求出點(diǎn)坐標(biāo)，代入斜率公式，可得答案.
【詳解】橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為、，
點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)坐標(biāo)為，
又直線的斜率為，
直線的方程為：，
代入橢圓方程可得：，
設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，則，解得，，
故直線斜率，
故選:B．
24．B
【詳解】由 有點(diǎn) 為線段 的中點(diǎn),設(shè) ,則 ,所以 ,故 ,由于點(diǎn)A,B,P在雙曲線上,所以 ,代入上式中,有 ,所以 ,故最小值為4.選B.
點(diǎn)睛:本題主要考查了雙曲線的有關(guān)計(jì)算,涉及到的知識(shí)點(diǎn)有平面向量中線定理,直線斜率的計(jì)算公式,基本不等式等,屬于中檔題. 首先得出原點(diǎn)為線段AB的中點(diǎn),再求出直線PA,PB斜率的表達(dá)式, 算出為定值,再由基本不等式求出最小值.
25．B
【分析】先根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)求得，設(shè)出，，利用余弦定理可求得的值，最后利用三角形面積公式求解即得．
【詳解】解：設(shè)，，
則由橢圓的定義可得：①
在△中，
所以②，
由①②得
即
所以，
．
故選： B．
26．B
【分析】由橢圓定義與余弦定理，三角形面積公式求解
【詳解】法一：設(shè)，，則，
，∴．
又，∴，解得．
法二：由焦點(diǎn)三角形面積公式得
故選：B
27．B
【分析】根據(jù)橢圓定義，結(jié)合基本不等式求出，進(jìn)而求出面積.
【詳解】根據(jù)橢圓定義，，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”，
此時(shí)三角形是等腰三角形，易知，所以的面積為
故選：B.
28．A
【分析】利用雙曲線的定義求出，進(jìn)而得出，再由三角形的面積公式即可求解.
【詳解】∵，∴，
∵，∴，
因?yàn)?，所以，?br>∴.
故選：A
29．A
【分析】設(shè)雙曲線的左焦點(diǎn)為，則，則由題意可得的周長為，當(dāng)，，三點(diǎn)共線時(shí)，最小，從而可得答案
【詳解】設(shè)雙曲線的左焦點(diǎn)為，則．由題可知，，
∴，，，
∴，的周長為．
∵當(dāng)，，三點(diǎn)共線時(shí)，最小，最小值為，
∴的周長的最小值為．
故選：A
30．D
【分析】利用點(diǎn)差法，得到弦所在直線的斜率與弦中點(diǎn)縱坐標(biāo)的關(guān)系式，再結(jié)合拋物線的定義即求.
【詳解】設(shè)，，弦的中點(diǎn)為，，
則，
所以，所以，
則，
所以弦的垂直平分線為．
令，則，所以．
又，
所以．
故選：D．
31．A
【分析】分焦點(diǎn)在軸上和軸上兩種情況討論，設(shè)為橢圓短軸端點(diǎn)，由題意，，利用三角函數(shù)列出不等式即可得解.
【詳解】①時(shí)，上存在點(diǎn)滿足，
設(shè)為橢圓短軸端點(diǎn)，
當(dāng)位于短軸的端點(diǎn)時(shí)，取最大值，
要使橢圓上存在點(diǎn)滿足則，，
，解得；
②當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在軸上時(shí)，，同理可得；
的取值范圍是.
故選：A.
【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓性質(zhì)和三角函數(shù)的綜合應(yīng)用，考查了分類討論思想，屬于中檔題.
32．C
【分析】討論焦點(diǎn)的位置，然后利用焦點(diǎn)三角形頂點(diǎn)的位置和已知條件可找到m的取值范圍.
【詳解】當(dāng)焦點(diǎn)在軸上時(shí)，，，，
當(dāng)為上下頂點(diǎn)時(shí)，最大，
因?yàn)樽鴺?biāo)，，，所以，
即，解得；
當(dāng)焦點(diǎn)在軸上時(shí)，，，，
當(dāng)為左右頂點(diǎn)時(shí)，最大，因?yàn)椋?，?br>所以，即，解得，
故選：C.
【點(diǎn)睛】本題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及幾何性質(zhì)，考查的核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)運(yùn)算、分類討論思想.
33．C
【分析】根據(jù)題意結(jié)合橢圓的定義運(yùn)算求解即可.
【詳解】如圖所示：，，
由橢圓定義得.①
在中，.②
由①②得，則，
所以橢圓C的方程為.
故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查橢圓方程的求解.
34．C
【分析】
設(shè)，，，可得，可以將，轉(zhuǎn)換為，結(jié)合雙曲線的定義以及即可求解.
【詳解】如圖所示：

由題意為內(nèi)心，
設(shè)，，，內(nèi)切圓半徑為，
所以，又因?yàn)椋?br>即，
化簡得，
由雙曲線定義可知，因此有；
注意到，且以及，
聯(lián)立并化簡得，即 ，
解得或（舍去，因?yàn)椋?br>故選：C
35．D
【分析】根據(jù)題意和拋物線的對(duì)稱性可得OF垂直平分AB，設(shè)，結(jié)合 求出的值，進(jìn)而得出結(jié)果.
【詳解】如圖所示，為的垂心，為焦點(diǎn)，
，垂直平分線段，直線垂直于軸．
設(shè)，，其中，
為垂心，，，
即，解得，
直線的方程為，即．
故選：D．
36．A
【分析】根據(jù)三角形四種心的性質(zhì)，即可得答案；
【詳解】對(duì)B，若O為的內(nèi)心，則到直線的距離等于，顯然不可能，到直線的距離恒小于，故B錯(cuò)誤；
對(duì)C，若O為的外心，則，，和已知矛盾，故B錯(cuò)誤；
對(duì)D，若O為的重心，則，這也顯然錯(cuò)誤，故C錯(cuò)誤；
根據(jù)排除法，O可能為的垂心，
故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線中三角形的幾種心的性質(zhì)，考查邏輯推理能力，求解時(shí)注意三角形各種心的定義.
37．BCD
【分析】求出拋物線方程可判斷A，聯(lián)立AB與拋物線的方程求交點(diǎn)可判斷B，利用距離公式及弦長公式可判斷C、D.
【詳解】將點(diǎn)的代入拋物線方程得，所以拋物線方程為，故準(zhǔn)線方程為，A錯(cuò)誤；
，所以直線的方程為，
聯(lián)立，可得，解得，故B正確；
設(shè)過的直線為，若直線與軸重合，則直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，
所以，直線的斜率存在，設(shè)其方程為，，
聯(lián)立，得，
所以，所以或，，
又，，
所以，故C正確；
因?yàn)?，?br>所以，而，故D正確.
故選：BCD
38．ABC
【分析】由導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求得可得A處的切線方程，得出直線的方程為和，得到，進(jìn)而可判定A正確；點(diǎn)在直線上，進(jìn)而得到底邊的直線方程，可判定B正確；設(shè)直線，聯(lián)立方程組，根據(jù)，可判定C正確；取的中點(diǎn)，化簡得到的面積為，可判定D不正確.
【詳解】依題意設(shè)，，由方程，可得，則，
由導(dǎo)數(shù)的幾何意義知，直線的斜率為，同理直線的斜率為，
可得A處的切線方程為：，即，
化簡可得，所以直線的方程為，
同理可得：直線BM的方程為，所以，
則，
因?yàn)?，解得，即，所以A正確；
因點(diǎn)在直線上，
可得，，
即在上，在上，
所以底邊的直線方程為，所以B正確；
設(shè)直線，聯(lián)立方程組，整理得，
則且，，
因?yàn)椋裕?br>所以是直角三角形，所以C正確；
取的中點(diǎn)，連接，根據(jù)拋物線的定義，可得平行軸，
所以
因?yàn)?，，所以?br>，
代入可得，
當(dāng)時(shí)，，所以D不正確.
故選：ABC.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)撥：圓錐曲線中的最值問題的分類及求解策略：
1、圓錐曲線中的最值問題大致可分為兩類：一是涉及距離、面積的最值以及與之相關(guān)的一些問題；二是求直線或圓錐曲線中的幾何元素的最值，以及當(dāng)這些元素存在最值時(shí)，求解與之有關(guān)的一些問題；
2、對(duì)于圓錐曲線中的最值問題，一般可采用數(shù)形結(jié)合的方法或轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值的問題加以解決，解決最值范圍問題時(shí)，應(yīng)重視圓錐曲線的定義、曲線的幾何特征、方程的代數(shù)特征在解題中的作用.
39．ABC
【分析】關(guān)于阿基米德三角形△AMB的結(jié)論，需要逐個(gè)選項(xiàng)去判斷，由，即可證明A；求出處的切線方程，可以得出的坐標(biāo)進(jìn)而可以驗(yàn)證B；設(shè)的中點(diǎn)為，利用可以判斷C；利用三角形面積公式結(jié)合韋達(dá)定理可以判斷D.
【詳解】設(shè)，，，，由可得：，，
由導(dǎo)數(shù)的幾何意義知，直線的斜率為，同理直線的斜率為，
設(shè)直線，聯(lián)立，化為，
得到，．
對(duì)于A，，，
所以△AMB是直角三角形，故A正確；
對(duì)于B，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得處的切線方程為：，
則，化簡可得：，
所以直線的方程為：，
同理可得：直線的方程為：，
所以，則，
因?yàn)椋獾茫海?br>所以，
所以，因?yàn)閽佄锞€C：的準(zhǔn)線為，
所以頂點(diǎn)M的軌跡是拋物線C的準(zhǔn)線，且取的中點(diǎn)，
連接，平行軸，故B正確；
對(duì)于C，，，所以
所以MF是△AMB的高線，故C正確；
對(duì)于D，因?yàn)槠叫休S，所以
因?yàn)椋?br>所以，
，
代入可得：，
當(dāng)時(shí)，，故D不正確.
故選：ABC.

40．BCD
【分析】設(shè)，，設(shè)直線，聯(lián)立拋物線方程，結(jié)合韋達(dá)定理可得，利用直線與拋物線相切條件分別求得過點(diǎn)的切線斜率為.對(duì)于A，計(jì)算，從而可判斷；對(duì)于B，求得點(diǎn)A ，B處的切線方程分別為：，從而可得，進(jìn)而可得，從而有，根據(jù)數(shù)量積的定義和相似三角形的性質(zhì)即可判斷；對(duì)于C，設(shè)AB的中點(diǎn)為，得到，從而軸，而，即可判斷；對(duì)于D，設(shè)準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)為，由面積的，可知當(dāng)最短時(shí)（最短為），也最短，最短為，即可判斷.
【詳解】
設(shè)，，設(shè)直線，
聯(lián)立，化為，而，
所以.
設(shè)過點(diǎn)的切線為，
聯(lián)立，整理可得，
由，可得.
同理可得過點(diǎn)的切線斜率為.
對(duì)于A，，，，故A錯(cuò)；
對(duì)于B，可得點(diǎn)A ，B處的切線方程分別為：，
可得,
又因?yàn)橹本€AB的斜率為，，
又由A選項(xiàng)可知，所以，所以，
，故B正確；
對(duì)于C，設(shè)AB的中點(diǎn)為，則由軸，
而向量，向量與向量共線，故C正確；
對(duì)于D，如圖，設(shè)準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)為，
面積的，可知當(dāng)最短時(shí)（最短為），也最短，
最短為，所以面積的最小值為，故D正確.
故選：BCD.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用韋達(dá)定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：
（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為；
（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，必要時(shí)計(jì)算；
（3）列出韋達(dá)定理；
（4）將所求問題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、（或、）的形式；
（5）代入韋達(dá)定理求解.
41．2
【分析】
運(yùn)用三角代換法，結(jié)合余弦函數(shù)的最值性質(zhì)進(jìn)行求解即可.
【詳解】
如圖，
令，，得，，即，
，
則當(dāng)時(shí)，有最小值為2．
故答案為：2．
42．
【分析】先用坐標(biāo)表示，再根據(jù)向量垂直坐標(biāo)表示列方程，解得，即得結(jié)果.
【詳解】拋物線： ()的焦點(diǎn),
∵P為上一點(diǎn)，與軸垂直，
所以P的橫坐標(biāo)為，代入拋物線方程求得P的縱坐標(biāo)為,
不妨設(shè),
因?yàn)镼為軸上一點(diǎn)，且，所以Q在F的右側(cè)，
又，
因?yàn)?，所?
，
所以的準(zhǔn)線方程為
故答案為：.
【點(diǎn)睛】利用向量數(shù)量積處理垂直關(guān)系是本題關(guān)鍵.
43．/
【分析】利用仿射變換，將橢圓變換為圓，利用圓的性質(zhì)求出面積的最大值，從而可求出面積最大值
【詳解】作變換之后橢圓變?yōu)閳A，方程為，，
由于，因此時(shí)面積最大，
此時(shí)，
那么，
故答案為：
44． 4 2 1
【分析】作伸縮變換，將橢圓變?yōu)閳A，根據(jù)三角形面積公式求得當(dāng)時(shí)，最大，進(jìn)而依次計(jì)算可得.
【詳解】作變換此時(shí)橢圓變?yōu)閳A，方程為，
當(dāng)時(shí)，最大，并且最大為，
此時(shí)，.
由于，，
∴，
，
因?yàn)?，所?
.
故答案為：；；4；2；1.
45．/4.5
【分析】作變換之后橢圓變?yōu)閳A，方程為，是圓的內(nèi)接三角形，圓的內(nèi)接三角形面積最大時(shí)為等邊三角形，則，求出，代入即可得出答案.
【詳解】作變換之后橢圓變?yōu)閳A，方程為，
是圓的內(nèi)接三角形，設(shè)的半徑為，
設(shè)所對(duì)應(yīng)邊長為，所以
，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等，
因?yàn)樵谏蠟橥购瘮?shù)，則，
，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等，
所以圓的內(nèi)接三角形面積最大時(shí)為等邊三角形，因此，又因?yàn)椋?br>∴.
故答案為：.
46．5
【分析】方法一：先根據(jù)條件得到A,B坐標(biāo)間的關(guān)系，代入橢圓方程解得B的縱坐標(biāo)，即得B的橫坐標(biāo)關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系，最后根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)確定最值即可解出.
【詳解】［方法一］：點(diǎn)差法＋二次函數(shù)性質(zhì)
設(shè)，由得
因?yàn)锳,B在橢圓上,所以 ，即，與相減得：，所以，
，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取最等號(hào)，即時(shí)，點(diǎn)B橫坐標(biāo)的絕對(duì)值最大.
故答案為：5．
［方法二］：【通性通法】設(shè)線＋韋達(dá)定理
由條件知直線的斜率存在，設(shè)，直線的方程為，聯(lián)立得，根據(jù)韋達(dá)定理得，由知，代入上式解得，所以．此時(shí)，又，解得．
［方法三］：直線的參數(shù)方程+基本不等式
設(shè)直線的參數(shù)方程為其中t為參數(shù)，為直線的傾斜角，將其代入橢圓方程中化簡得，設(shè)點(diǎn)A，B對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為，則．由韋達(dá)定理知，解得，所以，此時(shí)，即，代入，解得．
［方法四］：直接硬算求解+二次函數(shù)性質(zhì)
設(shè)，因?yàn)?，所以?br>即 ①， ②，
又因?yàn)?，所以?br>不妨設(shè)，因此，代入②式可得．化簡整理得．
由此可知，當(dāng)時(shí)，上式有最大值16，即點(diǎn)B橫坐標(biāo)的絕對(duì)值有最大值2．
所以．
［方法五］：【最優(yōu)解】仿射變換
如圖1，作如下仿射變換，則為一個(gè)圓．
根據(jù)仿射變換的性質(zhì)，點(diǎn)B的橫坐標(biāo)的絕對(duì)值最大，等價(jià)于點(diǎn)的橫坐標(biāo)的絕對(duì)值最大，則
．
當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，根據(jù)易得，此時(shí)．
［方法六］：中點(diǎn)弦性質(zhì)的應(yīng)用
設(shè)，由可知，則中點(diǎn)．因?yàn)椋?，整理得，由于，則時(shí)，，所以．
【整體點(diǎn)評(píng)】方法一：由題意中點(diǎn)的坐標(biāo)關(guān)系，以及點(diǎn)差法可求出點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)，從而可以根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)解出；
方法二：常規(guī)設(shè)線，通過聯(lián)立，根據(jù)韋達(dá)定理以及題目條件求出點(diǎn)的橫坐標(biāo)，然后利用基本不等式求出最值，由取等條件得解，是該題的通性通法；
方法三：利用直線的參數(shù)方程與橢圓方程聯(lián)立，根據(jù)參數(shù)的幾何意義，解得點(diǎn)的橫坐標(biāo)，再利用基本不等式求出最值，由取等條件得解；
方法四：利用題目條件硬算求出點(diǎn)的橫坐標(biāo)，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)解出；
方法五：根據(jù)仿射變換，利用圓的幾何性質(zhì)結(jié)合平面幾何知識(shí)轉(zhuǎn)化，求出對(duì)應(yīng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)的絕對(duì)值最大，從而解出，計(jì)算難度小，是該題的最優(yōu)解；
方法六：利用中點(diǎn)弦的性質(zhì)找出點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)關(guān)系，再根據(jù)關(guān)系式自身特征求出點(diǎn)的橫坐標(biāo)的絕對(duì)值的最大值，從而解出，計(jì)算量小，也是不錯(cuò)的方法．
47．
【分析】由題意，不妨設(shè)直線AB過原點(diǎn)O，則 ，設(shè)CD及中點(diǎn)的坐M標(biāo)，再利用點(diǎn)差法求出OM和CD斜率的關(guān)系，然后根據(jù)O，M，P三點(diǎn)共線，求出a，b的關(guān)系即可.
【詳解】如圖所示：

設(shè)直線AB過原點(diǎn)O，由題意得 ，
設(shè)，CD的中點(diǎn)為，則，
因?yàn)镃，D在橢圓上，
所以，兩式相減得，
所以，
因?yàn)镺，M，P三點(diǎn)共線，
所以，
即，解得，
所以，
故答案為：
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：解決直線與曲線的位置關(guān)系的相關(guān)問題，往往先把直線方程與曲線方程聯(lián)立，消元、化簡，然后應(yīng)用根與系數(shù)的關(guān)系建立方程，解決相關(guān)問題．涉及弦中點(diǎn)的問題常常用“點(diǎn)差法”解決，往往會(huì)更簡單．
48．.
【分析】先設(shè)， ， ，由且得整理得：，同理分析出：，由于A, B在橢圓上，則可以分析出，則Q點(diǎn)的軌跡是直線，利用點(diǎn)到線得距離求得OQ得最小值
【詳解】設(shè)， ， 則
于是，同理，
于是我們可以得到
.
即，所以Q點(diǎn)的軌跡是直線， 即為原點(diǎn)到直線的距離，
所以
【點(diǎn)睛】平面向量共線的坐標(biāo)表示問題的常見類型及解題策略
(1)利用兩向量共線的條件求向量坐標(biāo)．一般地，在求與一個(gè)已知向量a共線的向量時(shí)，可設(shè)所求向量為λa(λ∈R)，然后結(jié)合其他條件列出關(guān)于λ的方程，求出λ的值后代入λa即可得到所求的向量．
(2)利用兩向量共線求參數(shù)．如果已知兩向量共線，求某些參數(shù)的取值時(shí)，利用“若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a∥b的充要條件是x1y2＝x2y1”解題比較方便．
49．
【分析】利用三條直線的斜率關(guān)系，結(jié)合點(diǎn)差法可得.
【詳解】
設(shè)，，則，，
設(shè)、、，分別為直線、、的斜率，
則，，，
因直線是以為直徑的圓的切線
所以，，
所以，
又在直線上，所以，
因、在上，
所以，，
兩式相減得，
整理得，
故，即，
，
故.
故答案為：
50．
【分析】設(shè)點(diǎn)，切線的方程為，繼而求得切線的斜率，由 可求得的方程，與直線聯(lián)立可求得點(diǎn)的坐標(biāo)，繼而消參可求得點(diǎn)的軌跡方程，則結(jié)合圖形可求得得范圍.
【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)為拋物線：上的點(diǎn)（不為原點(diǎn)），
所以可設(shè)點(diǎn)，且
當(dāng)切線的斜率不存在時(shí)，切點(diǎn)為原點(diǎn)不合題意；
當(dāng)切線的斜率存在時(shí)，可設(shè)為，
聯(lián)立，消去可得，
化簡可得，
令，可得，
化簡可得，即，
又，所以的斜率，
所以的方程，
因?yàn)辄c(diǎn)，
所以的斜率為，
則的方程為，
聯(lián)立，解得，
即，
當(dāng)時(shí)，的方程為， 的方程
則或，滿足
由兩式相除可得，即
由，可得
再代入，可得，
化簡可得，可得，
可知點(diǎn)軌跡為半徑為的圓，圓心為,
結(jié)合圖形可知，
又，，
則.
故答案為：
51．①
【分析】利用導(dǎo)數(shù)幾何意義求出切線的方程，聯(lián)立求出的關(guān)系，再逐一判斷各個(gè)命題即得.
【詳解】由，得，求導(dǎo)得，則切線的斜率分別為，而，
于是直線的方程為，直線的方程為，
因此，則，而，從而，①正確；
，即，②錯(cuò)誤；
當(dāng)時(shí)，③無意義，
當(dāng)時(shí)，，③錯(cuò)誤，
所以正確命題的序號(hào)是①.
故答案為：①
52．
【分析】先根據(jù)新定義，利用二倍角公式判斷最小時(shí)最小，再設(shè)，利用距離公式，結(jié)合二次函數(shù)最值的求法求得最小值，即得結(jié)果.
【詳解】解：如圖，，
要使最小，則最大，即需最小.
設(shè)，則，
∴當(dāng)，即時(shí)，，，
此時(shí)或，.
故答案為：.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：
本題的解題關(guān)鍵在于理解新定義，將的最小值問題轉(zhuǎn)化為線段最小問題，結(jié)合二次函數(shù)求最值即突破難點(diǎn).
53．
【分析】延長交于點(diǎn)，由題意及雙曲線定義可知，則，，在中，用余弦定理得出等式，從而求得離心率．
【詳解】
延長交于點(diǎn)，
因?yàn)?，則，
因?yàn)椋?br>所以，則，，
在中，由余弦定理得，
又因?yàn)?，所以?br>所以，即，
所以.
故答案為：
54．
【分析】根據(jù)定義結(jié)合中位線及面積公式計(jì)算正弦值即可.
【詳解】
由題可知，．
因?yàn)槠椒?，所以到，的距離相等，
設(shè)為，則．
易知是的中位線，延長，交于點(diǎn)，則為的中點(diǎn)，
過作于，
易得，則，從而．
故答案為：
55．
【分析】分別設(shè)出直線、直線和直線的方程，以及，兩點(diǎn)坐標(biāo)，利用角平分線到角兩邊距離相等，可得直線和直線的斜率積為，從而得到，聯(lián)立直線與拋物線，結(jié)合韋達(dá)定理即可求解.
【詳解】設(shè)直線的方程為，即，
設(shè)直線，的方程分別為，，即，，
設(shè)，，
的平分線過點(diǎn)，，
整理得：，，
，則，即，
由，得，
，．
又，，解得：或（舍去）.
故答案為：.
56．
【解析】設(shè)直線方程為，與拋物線方程聯(lián)立，根據(jù)，即，結(jié)合韋達(dá)定理求得，再根據(jù)的面積為，由求解.
【詳解】設(shè)過拋物線的焦點(diǎn)的直線方程為，
與拋物線方程聯(lián)立得：，
設(shè)，
由根與系數(shù)的關(guān)系得：，
又因?yàn)椋?br>所以，
解得，
所以，
即，
解得，
所以，
所以的通徑長為8
故答案為：8
57．
【分析】先求出，，，求出，，進(jìn)而可以求出的周長和面積，設(shè)的內(nèi)切圓半徑為，由即可求出，利用坐標(biāo)和半徑即可以求出圓心坐標(biāo)，從而得出圓的方程.
【詳解】
設(shè)的內(nèi)切圓半徑為，由橢圓的方程知：，，
則，因?yàn)榇怪庇谳S，
所以 ，，
解得：，，
的周長為，
其面積為：，
由內(nèi)切圓的性質(zhì)得：，即，解得：，
圓心橫坐標(biāo)為：，所以圓心坐標(biāo)為，
所以所求圓的方程為：，
故答案為：
【點(diǎn)睛】本題主要考查了橢圓的幾何性質(zhì)以及圓的方程，屬于中檔題.
58．
【分析】由題意確定關(guān)于x軸對(duì)稱，以及軸，即可求得，的表達(dá)式，結(jié)合雙曲線定義可得的關(guān)系，即可求得答案.
【詳解】由題意可知在雙曲線的右支上，
因?yàn)椋瑒t關(guān)于x軸對(duì)稱，
所以軸，
又，所以，，
由雙曲線定義可得，即，
故，
故答案為：
59．
【分析】根據(jù)題意得，求出，再求出離心率；根據(jù)橢圓的光學(xué)性質(zhì)可得，即點(diǎn)的軌跡是以為圓心，半徑為4的圓，又點(diǎn)到直線的距離的5倍，分析求解即可.
【詳解】根據(jù)橢圓定義得：，
所以，
因?yàn)榈淖畲笾禐?，，所以，即，
解得，所以離心率為；
右焦點(diǎn)關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)，
設(shè)切點(diǎn)為A，由橢圓的光學(xué)性質(zhì)可得：三點(diǎn)共線，
所以，
即點(diǎn)的軌跡是以為圓心，半徑為4的圓，
圓心到直線的距離為，
則圓上的點(diǎn)到直線3x＋4y－24＝0的距離最小值為，最大值為，
所以點(diǎn)到直線的距離為，
所以表示點(diǎn)到直線的距離的5倍，
則，即.
故答案為：①#；②.
60．
【分析】設(shè)，由雙曲線定義表示出，用已知正切值求出，再由雙曲線定義得，再由勾股定理結(jié)合正切值用表示出，從而建立關(guān)系式求出（用表示），然后在中，應(yīng)用勾股定理得出的關(guān)系，求得離心率．
【詳解】
由題可知共線，共線，
如圖，設(shè)，則，
因?yàn)?，所以?br>又，所以，所以，所以，
又因?yàn)?，，所以?br>所以，得，則，
又，且，所以，
化簡得，所以.
故答案為：.

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